Der Dualraum

Als Vorbereitung f¨ur das Studium von Bilinearformen wollen wir zun¨achst eine besonders wich-tige Klasse linearer Abbildungen betrachten.

Definition 6.1.1

Sei K ein beliebiger K¨orper und V ein K–Vektorraum. Dann heißt derK-Vektorraum V^∗ := Hom_K(V, K) ={ϕ:V →K|ϕlinear}

der Dualraum von V. Die Elemente vonV^∗ heißen Linearformen auf V. Beispiele 6.1.2.

Sei K =Rund V der Vektorraum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem abgeschlosse-nen Intervall [a, b]. Dann sind die Abbildungen

ϕ, ψ: V →R mit

ψ(f) =f(a) und ϕ(f) = Z b

a

f(x)dx oder allgemeiner f¨urx∈[a, b] bzw.g ∈V die Abbildungen

ψ_x(f) =f(x) und ϕ_g(f) = Z b

a

f·gdx Linearformen auf V.

Betrachtung 6.1.3.

Sei dim_KV <∞. Aus Korollar 3.2.17 folgt

dim_KV^∗ = dim_KHom_K(V, K) = dim_KV ·dim_KK = dim_KV .

Sei nun Beine Basis von V,B={b1, . . . , bn}. Definiere Linearformenb^∗_j ∈V^∗ durch ihre Werte auf den Basisvektoren b_i, vgl. Satz 3.2.1

b^∗_j(bk) =δj,k , woraus sofort folgt

b^∗_j

n

X

k=1

α_kb_k

!

=α_j .

Wir behaupten, dass B^∗ = {b^∗₁, . . . , b^∗_n} eine Basis von V^∗ ist. Wegen dimV^∗ = dimV = n reicht es zu zeigen, dass B^∗ linear unabh¨angig ist: gelte also

n

X

k=1

α_kb^∗_k = 0 mit α_k∈K ; dann gilt aber f¨ur jedes j = 1, . . . , n:

0 =

n

X

k=1

α_kb^∗_k(b_j) =α_j .

Definition 6.1.4

Die BasisB^∗ vonV^∗heißt die zuBduale Basis. IstBeine geordnete Basis, so ist auch die duale Basis B^∗ in nat¨urlicher Weise eine geordnete Basis.

Lemma 6.1.5.

Sei V ein beliebiger K–Vektorraum und sei v ∈V \ {0}. Dann gibt es eine Linearform ϕ∈V^∗ mit ϕ(v)6= 0.

Beweis.

Erg¨anze (v) zu einer Basis (v, w₁, . . . , wn−1) vonV. Definiere die Linearformϕ∈V^∗ durch ihre Werte auf dieser Basis, vgl. Satz 3.2.1:

ϕ(v) = 1 ϕ(wi) = 0 i= 1, . . . , n−1.

Bemerkung 6.1.6.

Wegen dim_KV = dim_KV^∗ f¨ur dim_KV < ∞ sind ein endlich-dimensionaler Vektorraum und sein Dualraum isomorph. Jede geordnete Basis B von V liefert einen Isomorphismus

ΨB : V →V^∗

mit ΨB(b_i) :=b^∗_i. Dieser Isomorphismus ist jedochnicht kanonisch, d.h. er h¨angt von der Wahl der Basis B ab. Sei etwa α∈ K\ {0}, und betrachte die reskalierte Basis B⁰ = (αb₁, . . . , αb_n).

Wegen

b^∗_j(b_k) =δ_jk = (b⁰_j)^∗(b⁰_k) = (b⁰_j)^∗(αb_k) =α(b⁰_j)^∗(b_k)

folgt (b⁰_j)^∗ =α⁻¹b^∗_j. Somit ist die duale Basis (B⁰)^∗ = (α⁻¹b^∗₁, . . . , α⁻¹b^∗_n). Es ist ΨB⁰(b⁰_i) = (b⁰_i)^∗

und somit f¨ur alle 1≤i≤n

ΨB⁰(b_i) = ΨB⁰(α⁻¹b⁰_i) =α⁻¹ΨB⁰(b⁰_i) =α⁻¹(b⁰_i)^∗ =α⁻²b^∗_i =α⁻²ΨB(b_i), weshalb die Isomorphismen ΨB⁰ und ΨB f¨ur α6=±1 verschieden sind, ΨB⁰ =α⁻²ΨB.

Da es also f¨ur eine Identifizierung eines Vektorraums mit seinem Dualraum keinen ausge-zeichneten Isomorphismus gibt, sollten die beiden Vektorr¨aume nicht miteinander identifiziert werden.

Definition 6.1.7

Sei V ein K–Vektorraum und M ⊂V eine Teilmenge. Dann heißt

M⁰ :={ϕ∈V^∗|ϕ(m) = 0 f¨ur allem ∈M} ⊂ V^∗ der Annulator der Teilmenge M.

Lemma 6.1.8.

Es gilt:

1. M⁰ ist ein Untervektorraum von V^∗.

2. span_KM ={v ∈V|ϕ(v) = 0 f¨ur alle ϕ∈M⁰}

Ist insbesondere M =U ein Untervektorraum von V, so gilt U ={v ∈V|ϕ(v) = 0 f¨ur alle ϕ∈U⁰}. 3. Ist dim_KV <∞ und U ⊂V Untervektorraum, so gilt

dim_KU^◦ = dim_KV −dim_KU .

Beweis.

1. ist offensichtlich.

2. “⊂” Sei v =∈span_KM beliebig. Finde α_i ∈K und m_i ∈M, so dass gilt v =Pj

i=1α_im_i. F¨ur jede Linearformϕ∈M⁰ im Annulator gilt wegen ϕ(_i) = 0, dass

ϕ(v) =X

i

αiϕ(mi) = 0.

“⊃” Angenommen, es g¨abev ∈V mit ϕ(v) = 0 f¨ur alleϕ∈M⁰ und v 6∈span_KM. W¨ahle eine geordnete Basis (u₁, . . . , u_m) von span_KM; dann ist die Familie (u₁, . . . , u_m, v) linear unabh¨angig und kann zu einer geordneten Basis (u₁, . . . , u_m, v, w₁, . . . , w_l) vonV erg¨anzt werden. Definiere ϕ∈V^∗ durch

ϕ(u_i) = 0 ϕ(v) =ϕ(w_j) = 1.

Dann ist ϕ ∈ M⁰, aber ϕ(v) = 1. Widerspruch zur Annahme, dass ϕ(v) = 0 f¨ur alle ϕ∈M⁰ , also muss v ∈span_KM gelten.

3. Erg¨anze eine geordnete Basis von U zu einer geordneten Basis (u₁, . . . , u_k, v_k+1, . . . , v_n) von V. Sei B^∗ = (u^∗₁, . . . , u^∗_k, v^∗_k+1, . . . , v^∗_n) die duale Basis von V^∗. Dann liegt

ϕ=

k

X

i=1

α_iu^∗_i +

n

X

j=k+1

α_iv^∗_i

genau dann in U⁰, wenn f¨ur allej = 1, . . . , k gilt 0 =ϕ(u_j) = α_j

Dies ist aber genau der Fall f¨ur ϕ ∈ span_K(v^∗_k+1, . . . , v_n^∗). Somit ist (v_k+1^∗ , . . . , v_n^∗) eine Basis von U⁰ ⊂V^∗, und es gilt

dim_KU⁰ =n−k = dim_KV −dim_KU .

Beispiel 6.1.9.

1. Sei dimKV <∞ und U ⊂V eine Hyperebene, d.h. ein Untervektorraum der Dimension dim_KU = dim_KV −1.

Nach Lemma 6.1.8.3 ist

dimKU⁰ =n−(n−1) = 1.

Also U⁰ = span_K(ϕ) f¨ur jedes ϕ ∈ U⁰ \ {0}. Nach Lemma 6.1.8.2 gilt f¨ur jede solche Linearform ϕ

U ={v ∈V|ϕ(v) = 0}.

2. Betrachten wir nun allgemeiner die affine Hyperebene v₀+U, so gilt v ∈v₀+U ⇔v−v₀ ∈U

⇔ϕ(v−v₀) = 0

⇔ϕ(v) = ϕ(v₀) =:c Wir finden also f¨ur jede affine Hyperebene eine Darstellung

U+v₀ ={v ∈V|ϕ(v) =c}

Dies ist eine Hessesche Normalform der affinen Hyperebene v0 +U. Sie ist eine koordi-natenfreie Version der Gleichungsform einer Hyperebene, f¨ur die man kein Skalarprodukt auf V einf¨uhren muss und stattdessen mit dem Dualraum arbeitet.

Definition 6.1.10

Seien V, W zwei K–Vektorr¨aume und sei Φ : V → W eine lineare Abbildung. Dann heißt die Abbildung

Φ^∗ :W^∗→V^∗ ϕ 7→ϕ◦Φ die zu Φ duale Abbildung.

Lemma 6.1.11.

1. Φ^∗ ist eine lineare Abbildung.

2. SeienV, W, Z jeweilsK-Vektorr¨aume und Φ : V →W und Ψ :W →Z lineare Abbildun-gen. Dann gilt (Ψ◦Φ)^∗ = Φ^∗◦Ψ^∗ .

Beweis.

1. Seien ϕ₁, ϕ₂ ∈W^∗ und α₁, α₂ ∈K. Wir rechnen f¨ur v ∈V Φ^∗(α₁ϕ₁+α₂ϕ₂) (v) = (α₁ϕ₁+α₂ϕ₂) (Φv)

=α₁ϕ₁(Φv) +α₂ϕ₂(Φv)

=α₁Φ^∗ϕ₁(v) +α₂Φ^∗ϕ₂(v)

= (α1Φ^∗ϕ1+α2Φ^∗ϕ2) (v).

2. Es gilt f¨ur alle ϕ∈Z^∗ wegen der Assoziativit¨at der Verkettung von Abbildungen (Ψ◦Φ)^∗(ϕ) = ϕ◦(Ψ◦Φ) = (ϕ◦Ψ)◦Φ = (Ψ^∗ϕ)◦Φ = Φ^∗(Ψ^∗(ϕ)) = (Φ^∗◦Ψ^∗) (ϕ).

Satz 6.1.12.

SeienV, W endlich–dimensionaleK–Vektorr¨aume mit geordneten BasenAundB. Sei Φ : V → W eine lineare Abbildung. Dann ist die darstellende Matrix der dualen Abbildung bez¨uglich der dualen Basen:

M_A^B∗∗(Φ^∗) =M_B^A(Φ)^t . Beweis.

• Es gilt mit M_B^A(Φ) = (c_kj) und M_B^A∗^∗(Φ^∗) = (d_µν) nach der Definition der darstellenden Matrix

Φ(aj) =

m

X

k=1

ckjbk mit m:= dimW, f¨ur allej = 1,2, . . . ,dimV Φ^∗ b^∗_µ

=

n

X

ν=1

d_νµa^∗_ν f¨ur alleµ= 1,2, . . . ,dimW mit n := dimV

• Wir vergleichen

b^∗_µ(Φ(a_j)) =b^∗_µ

m

X

k=1

c_kjb_k

!

=

m

X

k=1

c_kjb^∗_µ(b_k) =c_µj b^∗_µ(Φ(a_j)) = Φ^∗ b^∗_µ

(a_j) =

n

X

ν=1

d_νµa^∗_ν(a_j) =d_jµ.

Satz 6.1.13.

Seien V, W endlich-dimensionale K–Vektorr¨aume und sei Φ : V → W linear. Dann gilt f¨ur Φ^∗ :W^∗ →V^∗

Im Φ^∗ = (ker Φ)^◦ ⊂ V^∗ ker Φ^∗ = (Im Φ)^◦ ⊂ W^∗ Beweis.

• Wir zeigen zuerst die Inklusion Im Φ^∗ ⊂(ker Φ)^◦. Sei ϕ∈Im Φ^∗, d.h. ϕ= Φ^∗(ψ) f¨ur ein ψ ∈W^∗. F¨ur jedes v ∈ker Φ gilt dann

ϕ(v) = Φ^∗(ψ)(v) =ψ(Φ(v)) =ψ(0) = 0, also ϕ∈(ker Φ)^◦.

• Sei umgekehrt ϕ ∈ (ker Φ)^◦. Wir m¨ussen ein Urbild von ϕ konstruieren. Finde dazu mit Hilfe von Bemerkung 3.7.8.4 geordnete Basen A = (v₁, . . . , v_n) von V und B = (w₁, . . . , w_m) vonW, so dass die darstellende Matrix von Φ die Gestalt

M_B^A(Φ) =

E_r 0

0 0

hat. Definiere ψ ∈W^∗ auf der Basis B von W durch ψ(w_j) =

(ϕ(v_j)∈K j = 1, . . . , r 0 f¨ur j ≥r+ 1 . Dann gilt f¨ur j = 1, . . . , r

Φ^∗(ψ)(v_j) = ψ(Φv_j) = ψ(w_j) =ϕ(v_j) und f¨urj ≥r+ 1

Φ^∗(ψ)(v_j) = ψ(Φv_j) = ψ(0) = 0 .

Andererseits folgt aus ker Φ = span_K(v_r+1, . . . , v_n) und ϕ∈(ker Φ)^◦ ebenfalls ϕ(v_j) = 0.

Also ist Φ^∗(ψ) =ϕ, also ϕ∈Im Φ^∗.

• Die andere Aussage folgt mit ¨ahnlichen Argumenten.

Korollar 6.1.14.

Es ist rg Φ^∗ = rg (Φ).

Beweis.

rg Φ^∗ = dim_KIm Φ^∗ = dim_K(ker Φ)^◦ (nach Satz 6.1.13)

= dimK(V)−dimKker Φ (nach Satz 6.1.8.3)

= dim_KIm Φ (wegen der Dimensionsformel 3.1.7)

= rg Φ.

Wegen

rg Φ = rgM_B^A(Φ) und

rg (Φ^∗) = rg M_A^B∗∗(Φ^∗)

= rgM_B^A(Φ)^t =rgfM_B^A(Φ)

folgt aus Korollar 6.1.14 erneut die Aussage, dass Zeilen- und Spaltenrang einer Matrix ¨ uber-einstimmen, vergleiche Satz 3.7.13.

Definition 6.1.15

Sei V ein K–Vektorraum. Dann heißt derK-Vektorraum V^∗∗:= (V^∗)^∗ = Hom_K(V^∗, K) der Bidualraum von V.

Betrachtung 6.1.16.

Betrachte zu einem Vektor v ∈ V die Abbildung, die eine Linearform auf diesem Vektor aus-wertet:

ι_V(v) : V^∗ →K ϕ7→ϕ(v)

Die Abbildung ιV(v) ist linear, denn

ι_V(v)(α₁ϕ₁+α₂ϕ₂) = (α₁ϕ₁+α₂ϕ₂)(v) = α₁ϕ₁(v) +α₂ϕ₂(v) =α₁ι_V(v)ϕ₁+α₂ι_V(v)ϕ₂ , also ist ι_V(v)∈V^∗∗. Wir haben also f¨ur jedenK–VektorraumV eine Abbildung

ι_V : V →V^∗∗

Satz 6.1.17.

1. ιV ist eine injektive lineare Abbildung.

2. Ist dim_KV <∞, so istι_V ein Isomorphismus. Er heißt dann kanonischer Isomorphismus.

3. Diese Abbildungen sind funktoriell: seien V, W jeweilsK–Vektorr¨aume und sei Φ : V → W linear. Dann kommutiert das folgende Diagramm:

V ^{Φ //}

ιV

W

ιW

V^∗∗

Φ^∗∗ // W^∗∗

Beweis.

1. Es gilt f¨ur α₁, α₂ ∈K, v₁, v₂ ∈V und alle ϕ∈V^∗

ι_V(α₁v₁+α₂v₂)(ϕ) =ϕ(α₁v₁+α₂v₂) =α₁ϕ(v₁) +α₂ϕ(v₂)

= (α₁ι_V(v₁) +α₂ι_V(v₂)) (ϕ).

Also ist ιV eine lineare Abbildung. Sei v ∈ V mit ιV(v) = 0. Dann gilt f¨ur alle ϕ ∈ V^∗: 0 = ι_V(v)ϕ=ϕ(v). Nach Lemma 6.1.5 muss dann aber v = 0 gelten.

2. Ist dim_KV <∞, so gilt

dim_KV^∗∗ = dim_KV^∗ = dim_KV . Nach 1. ist ι_V injektiv, also auch bijektiv.

3. Seiv ∈V und ϕ∈W^∗. Es gilt

(Φ^∗∗◦ι_V(v)) (ϕ) = Φ^∗∗(ι_V(v)) (ϕ) = ι_V(v) (Φ^∗(ϕ)) = Φ^∗(ϕ)(v) =ϕ(Φ(v)) . Andererseits ist

(ιW ◦Φ(v))ϕ=ιW(Φ(v)(ϕ) = ϕ(Φ(v)) . Somit ist

Φ^∗∗◦ιV(v) =ιW ◦Φ(v) f¨ur allev ∈V .

Im Dokument Lineare Algebra Studienjahr 2018/19 Christoph Schweigert Universität Hamburg Department Mathematik Schwerpunkt Algebra und Zahlentheorie (Seite 176-183)