Die Determinantenabbildung

4.2 Die Determinantenabbildung

Wir wollen einen Volumensbegriff f¨ur n–dimensionaler Parallelotope P ⊂ Rⁿ einf¨uhren. Dazu betrachten wir eine Matrix, deren Zeilenvektoren die Transponierten der Basisvektoren sind, die den Spat aufspannen.

Wir erhalten so durch das Volumen eine Abbildung M(n×n,R)→R

mit gewissen Eigenschaften. Die Eigenschaften dieser Abbildung f¨uhren auf den Begriff der Determinantenabbildung, die wir gleich f¨ur Matrizen ¨uber einem beliebigen K¨orperK einf¨uhren:

Definition 4.2.1

Sei K ein K¨orper undn ∈N. Eine Abbildung

det : M(n×n, K)→K A7→det (A) heißt Determinantenabbildung, falls gilt:

(D1) det ist linear in jeder Zeile:

Hierbei sind alle Vektoren a_i ∈ Kⁿ als Spaltenvektoren zu sehen, d.h. der transponierte Vektor (a_i)^t steht f¨ur den i-ten Zeilenvektor.

(D2) det ist alternierend, d.h. stimmen zwei Zeilen ¨uberein, so ist det (A) = 0.

(D3) det ist normiert, d.h. det (E_n) = 1.

Ein Beispiel f¨ur eine Determinantenabbildung haben wir schon kennengelernt:

M(3×3,R) → R

3. Entsteht B aus A durch Vertauschung zweier Zeilen, so ist detB =−detA.

4. Entsteht B aus A durch Addition des Vielfachen einer Zeile zu einer anderen, so ist detB = detA.

5. SeiA eine obere Dreiecksmatrix der Form A=

Hierbei steht ∗ f¨ur beliebige Eintr¨age oberhalb der Hauptdiagonalen. Dann ist detA=λ1. . . λn=

n

Y

j=1

λj .

Die Determinante ist wegen 1. f¨ur n ≥2 keine lineare Funktion; sie ist auch nicht additiv:

2. Aus der Zeilenlinearit¨at (D1) folgt sofort:

detA= det

. B gehe aus A durch Vertauschung der i–ten und j–ten Zeile hervor, mit i > j. Dann ist wegen (D2):

4. B entstehe aus Adurch Addition des λ–fachen derj–ten Zeile zuri–ten Zeile, miti6=j.

Dann ist

denn die zweite Matrix in der Summe hat die gleichen Eintr¨age in deri-ten undj-ten Zeile.

Damit wissen wir, wie sich die Determinante unter den elementaren Zeilenumformungen aus Satz 3.5.8 verh¨alt.

5. Sind alle λ_i 6= 0, so kann man A durch Zeilenumformungen in eine Diagonalmatrix uberf¨¨ uhren mit gleichen Diagonalelementen:

detA= det

Die Determinante einer Matrix verschwindet genau dann, wenn diese nicht maximalen Rang hat: detA= 0⇔rg A < n.

Beweis.

Durch spezielle Zeilenumformungen, d.h. Zeilenvertauschungen und Additionen von Vielfachen von Zeilen zu anderen Zeilen, ¨uberf¨uhren wir Amit dem Gauß’schen Algorithmus in eine obere Dreiecksmatrix A⁰. Die Matrizen A und A⁰ haben gleichen Rang. Aus Lemma 4.3.3.3 und 4 folgt

Daher verschwindet die Determinante, detA = 0 genau dann, wenn wenigstens ein λj ver-schwindet, λ_j = 0. Das heißt aber, dass A⁰ nicht invertierbar ist, was zu

rgA= rgA⁰ < n

¨

aquivalent ist.

Korollar 4.2.4.

F¨ur jeden K¨orper K und jedesn ≥1 gibt es h¨ochstens eine Determinantenabbildung det : M(n×n, K)→K .

Beweis.

Uberf¨¨ uhre eine Matrix A durch spezielle Zeilenumformung in eine obere Dreiecksmatrix A⁰, wobei k Zeilenvertauschungen auftreten:

F¨ur jede Determinantenabbildung muss also gelten

detA= (−1)^kdetA⁰ = (−1)^k

Wir arbeiten ¨uber dem K¨orper K =C und betrachten die Matrix A=

Wir f¨uhren elementare Zeilenumformungen aus:

detA=−det

F¨ur jeden K¨orper K und jedesn ≥1 gibt es genau eine Determinantenabbildung det_n: M(n×n, K)→K

Beweis.

der Existenz durch vollst¨andige Induktion nach n.

• Induktionsanfang: definiere

det₁(a) :=a (D1)-(D3) sind in diesem Fall offensichtlich.

• F¨ur den Induktionsschritt definiere f¨ur A ∈ M(n×n, K) die folgenden n² Streichungs-matrizen:

Wir m¨ussen nur noch die Axiome (D1)-(D3) ¨uberpr¨ufen.

(D1) Entstehe Ae aus A durch Multiplikation der k–ten Zeile mit λ ∈ K: ˜a_kj = λa_kj und

˜

a_ij =a_ij f¨ur i6=k. F¨ur die Streichungsmatrizen gilt:

• Ae^Str_kj =A^Str_kj da die einzige ver¨anderte Zeile, n¨amlich diek-te Zeile, gestrichen wird.

• F¨ur i 6=k entsteht auch Ae^Str_ij aus A^Str_ij durch Multiplikation einer Zeile mit λ ∈ K, Die Additivit¨at zeigt man analog.

(D2) M¨ogen diek–te undl–te Zeile ¨ubereinstimmen. Ohne Beschr¨ankung der Allgemeinheit sei k < l. Isti6=kundi6=l, so hatA^Str_ij auch zwei identische Zeilen; nach Induktionsannahme folgt

detn−1A^Str_ij = 0. Also erh¨alt man:

det_nA= (−1)^k+ja_kjdetn−1A^Str_kj + (−1)^l+ja_ljdetn−1A^Str_lj - Aus der Gleichheit der k-ten und l-ten Zeile folgt a_kj =a_lj.

- A^Str_lj geht ausA^Str_kj durch (l−k−1) Zeilenvertauschungen hervor, also gilt detn−1A^Str_lj = (−1)^l−k−1detn−1A^Str_kj

Insgesamt folgt

det_nA= 0.

(D3) Die EinheitsmatrixA=En hat Eintr¨age aij =δij. Daher gilt Aus dem Satz folgt sofort der

Satz 4.2.7. Spaltenentwicklungssatz von Laplace F¨ur jede MatrixA∈M(n×n, K) gilt

Die Vorzeichen im Laplace’schen Entwicklungssatz folgen einem Schachbrettmuster.

Beispiele 4.2.8. F¨ur 3×3-Matrizen gibt es die Merkregel von Sarrus: : man berechnet f¨ur alle drei Parallelen zur Hauptdiagonalen – hier durchgehend eingezeichnet – die Produkte der Eintr¨age und addiert die Ergebnisse auf. Davon zieht man die drei Produkte der Eintr¨age auf den drei Parallelen der Nebendiagonalen – im Schema gestrichelt gezeichnet – ab.

a₁₃

Vorsicht: in der Entwicklung der Determinante einer n×n–Matrix tretenn! Terme auf;

es gibt also keine Verallgemeinerung der Regel von Sarrus f¨ur n ≥ 4, die es erlaubt, nur mit Produkten auf Haupt- und Nebendiagonalen zu arbeiten!

Wir illustrieren die Berechnung durch Entwicklung nach der ersten Spalte:

det

Satz 4.2.9.

Die Determinante ist auch linear in jeder Spalte; d.h. f¨ur alle Spaltenvektorena₁, . . . , a_n,a⁰_j, a⁰⁰_j ∈ Kⁿ und λ∈K gilt

det(a₁. . . λa_j. . . a_n) =λdet(a₁. . . a_j. . . a_n)

det(a1. . . a⁰_j +a⁰⁰_j . . . an) = det(a1. . . aj. . . an) + det(a1. . . a⁰⁰_j. . . an)

Beweis.

Aus der Entwicklung nach der j–ten Spalte folgt:

det(a₁. . . λa_j. . . a_n) =

n

X

i=1

(−1)^i+j(λa_ij) detA^Str_ij =λdetA .

Analog zeigt man die Additivit¨at.

Satz 4.2.10.

F¨ur alleA ∈M(n×n, K) gilt det (A^t) = detA .

Beweis.

Wegen der Eindeutigkeit der Determinantenfunktion reicht es aus, zu zeigen, dass det :f M(n×n, K)→K

A7→detA^t eine Determinantenfunktion ist.

(D1) folgt aus der Spaltenlinearit¨at in Satz 4.2.9.

(D2) WennAzwei gleiche Zeilen hat, so hatA^t zwei gleiche Spalten. Also ist rg (A^t)< n, nach Lemma 4.2.3 muss 0 = detA^t =detAf gelten.

(D3) folgt aus

detEf n= detE_n^t = detEn = 1.

Korollar 4.2.11.

1. Zeilenentwicklungssatz von Laplace: f¨ur jedes A∈M(n×n, K) gilt detA=

n

X

j=1

(−1)^i+ja_ijdetA^Str_ij , , und zwar f¨ur jedes m¨ogliche i, mit 1≤i≤n.

2. Entsteht Aeaus A durch Vertauschung zweier Spalten, so ist detAe=−detA .

Beweis.

1. Berechne detA^t durch Entwicklung nach der i–ten Spalte, die ja genau die i–te Zeile von A ist. Beispiel: Entwicklung nach der ersten Zeile zur Berechnung der folgenden Determinante:

2. Dann entstehtAe^t aus A^t durch Vertauschen zweier Zeilen. Aus Satz 4.2.2(iii) folgt detAe= detAe^t=−detA^t=−detA .

Es folgt erst recht ABx = 0, also rg (AB) < n, wiederum nach der Dimensionsformel.

Daraus folgt det(AB) = 0 und somit die behauptete Gleichung.

• Wir halten B mit detB 6= 0 fest und zeigen, dass auch die Funktion detAf := detA·B

detB

eine Determinantenfunktion ist, woraus die Behauptung wegen der Eindeutigkeitsaussage in Korollar 4.2.4 folgt.

(D1) Entsteht ˜A aus A durch Multiplikation der i–ten Zeile mit λ∈K, so ist Ae= ∆_λ,i·A mit λ. Nach dem Axiom (D1) f¨ur die Determinantenfunktion det folgt

det(AB) =e λdetAB

und somit

detgAe= det (AB)e

detB =λdetAB

detB =λgdetA.

Um die Additivit¨at von det zu zeigen, schreiben wirg A=





 (a₁)^t

... (a_n)^t





 B = (b₁, . . . , b_n) ,

dr¨ucken also die Matrix A durch Zeilenvektoren a_j ∈ Kⁿ und die Matrix B durch Spal-tenvektoren bj ∈Kⁿ aus. Es gelte ai =a⁰_i+a⁰⁰_i. Dann ist

A·B =







(a1)^tb1 . . . (a1)^tbn

... ... (a_n)^tb₁ . . . (a_n)^tb_n







= (a⁰_i+a⁰⁰_i)^tb1. . .(a⁰_i+a⁰⁰_i)^tbn

Somit folgt detAB= detA⁰B+ detA⁰⁰B und daraus die Additivit¨at von det :g detgA= detAB

detB =detgA⁰+detgA⁰⁰ .

(D2) Hat A zwei gleiche Zeilen, so ist rgA < n. Wegen ImAB ⊂ ImA ist rgAB < n, also det(AB) = 0, also detAf = 0.

(D3) Auch die Funktiondet ist normiert:g

detgE_n= det(E_n·B) detB = 1 .

Korollar 4.2.13.

Ist A∈GL(n, K), so ist detA⁻¹ = (det(A))⁻¹. Beweis.

1 = det(E_n) = det A·A⁻¹

= detA·detA⁻¹ .

Satz 4.2.14.

F¨urA∈M(n×n, K) setze B = (bij)∈M(n×n, K) mit b_ij := (−1)^i+jdetA^Str_ji . Man beachte die Reihenfolgen der Indizes! Dann gilt

AB =BA = det (A)E_n. Ist insbesondere A invertierbar, so ist das Inverse von A gleich

A⁻¹ = 1 detAB .

Beispiel: n= 2, K beliebig: A= nach dem Zeilenentwicklungssatz 4.2.11 f¨ur die i–te Zeile.

• Der (i, k)–te Eintrag von AB ist f¨uri6=k:

wobeiAeausAentsteht, indem man diek-te Zeile durch diei–te Zeile ersetzt. Dies ¨andert nicht die Streichungsmatrix, da die k-te Zeile dort ohnehin gestrichen wird. Beim Ma-trixelementea_kj haben wir eine entsprechende ¨Anderung des Index vorgenommen. Wegen i6=k hat Aezwei Zeilen mit identischen Eintr¨agen, also ist detAe= 0.

• Aus dem Spaltenentwicklungssatz folgen die analogen Aussagen f¨ur das Produkt B ·A.

Satz 4.2.15. Cramersche Regel

Seiena1, . . . , an, b∈Kⁿund sei die MatrixA= (a1, . . . , an) invertierbar. Dann ist die eindeutige L¨osungx∈Kⁿdes inhomogenen linearen Gleichungssystems vonnGleichungen f¨urnVariablen

Ax=b gegeben durch

x_i = det (a₁, . . . , ai−1, b, a_i+1, . . . , a_n) detA

Beweis.

• Das lineare Gleichungssystem Ax=b hat die eindeutige L¨osung x=A⁻¹b

Wir zeigen nun die Identit¨at

(−1)^i+jdetA^Str_ji = det (a₁, . . . , ai−1, e_j, a_i+1, . . . , a_n). Sie folgt aus

(a₁, . . . , ai−1, e_j, a_i+1, . . . , a_n) =



















a_1,1 . . . a_i−1,1 0 a_i+1,1 . . . a_n,1

... ... ...

a_1,j . . . ai−1,j 1 a_i+1,j . . . a_n,j 0

...

a_1,n . . . ai−1,n 0 a_i+1,n . . . a_n,n



















und Entwicklungssatz nach der i-ten Spalte. Aus der Linearit¨at der Determinante und b =

n

X

j=1

b_je_j

folgt sofort x_i = 1

detA

n

X

j=1

det (a₁, . . . , ai−1, e_j, a_i+1, . . . , a_n)b_j = 1

detAdet (a₁, . . . , ai−1, b, a_i+1, . . . , a_n).

Betrachtung 4.2.16.

1. ¨Ahnliche Matrizen haben die gleiche Determinante. Denn gilt Ae=T ·A·T⁻¹

mit T ∈GL(n, K), so ist nach dem Determinantenmultiplikationssatz 4.2.12 detAe= detT ·detA·detT⁻¹ = detA .

2. IstV ein n–dimensionaler K–Vektorraum und Φ : V →V ein Endomorphismus, sind B und B⁰ zwei geordnete Basen von V, so sind die beiden darstellenden Matrizen

M_B^B(Φ) und M_B^B00(Φ)

¨ahnlich und haben somit die gleiche Determinante.

Definition 4.2.17

F¨ur einen EndomorphismusΦ : V →V eines endlich–dimensionalen Vektorraums V heißt det (Φ) := det M_B^B(Φ)

Determinante von Φ, wobeiB eine beliebige geordnete Basis von V ist.

Bemerkungen 4.2.18.

1. F¨ur Endomorphismen Φ,Ψ : V →V gilt:

(a) det Φ6= 0⇔Φ ist Automorphismus.

(b) det (Φ⁻¹) = _{det Φ}¹ f¨ur alle Automorphismen Φ.

(c) det (Φ◦Ψ) = det (Φ)det (Ψ)

2. Sei nunV =R². F¨ur eine Drehung Φ =R_θ um den Ursprung ist det Φ = det (M(R_θ)) = det

cosθ −sinθ sinθ cosθ

= cos²θ+ sin²θ = 1.

F¨ur eine Spiegelung Φ =Sθ an einer Ursprungsgeraden ist det Φ = det (M(S_θ)) = det

cos 2θ sin 2θ sin 2θ −cos 2θ

=−cos²2θ−sin²2θ=−1.

Im Dokument Lineare Algebra Studienjahr 2018/19 Christoph Schweigert Universität Hamburg Department Mathematik Schwerpunkt Algebra und Zahlentheorie (Seite 124-136)