Matrizen

3.2 Matrizen

Wir wollen nun lineare Abbildungen zwischen K-Vektorr¨aumen mit Hilfe von Basen explizit durch Elemente in K beschreiben. Zentral hierf¨ur ist

Satz 3.2.1.

Gegeben seien endlich–dimensionale Vektorr¨aumeV undW sowie Vektorenv₁, . . . , v_r ∈V und w₁, . . . , w_r ∈W. Dann gilt:

1. Ist die Familie (v₁, . . . , v_r) in V linear unabh¨angig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung Φ : V →W mit Φ(v_i) = w_i f¨ur i= 1, . . . , r.

2. Ist (v₁, . . . , v_r) sogar eine Basis vonV, so gibt es genau eine lineare Abbildung Φ : V →W mit Φ(v_i) = w_i. Diese hat die beiden Eigenschaften:

(a) Φ(V) = Im Φ = span_K(w₁, . . . , w_r)

(b) Die Abbildung Φ ist genau dann injektiv, wenn die Familie (w₁, . . . , w_r) inW linear unabh¨angig ist.

Beweis.

• Wir zeigen erst 2: da die Familie (v1, . . . , vr) eine Basis ist, hat jedesv ∈V eine eindeutige

gelten muss. Es gibt also h¨ochstens eine lineare Abbildung mit den genannten Eigen-schaften. Man rechnet leicht nach, dass die durch (∗) definierte Abbildung auch linear ist. also ist v ∈ker Φ. Damit ist ker Φ nicht trivial und Φ nicht injektiv.

• Sei umgekehrt Φ(v) = 0. Wir schreiben v als eindeutig bestimmte Linearkombination v =

Also ist Φ injektiv, wenn die Familie (w_i) linear unabh¨angig ist.

• Ist die Familie (v₁, . . . , v_r) nur linear unabh¨angig, aber keine Basis, so k¨onnen wir mit Hilfe des Basiserg¨anzungssatzes 2.4.10.3 die Familie zu einer Basis von V erg¨anzen:

(v₁, . . . , v_r, v_r+1, . . . , v_n)

und ein Φ durch Vorgabe beliebiger Werte w_r+1, . . . , w_n ∈ W f¨ur v_r+1, . . . , v_n wie in 2.

festlegen.

Korollar 3.2.2.

Isomorphe Vektorr¨aume haben die gleiche Dimension.

Beweis.

Wir zeigen den Satz f¨ur endlich-dimensionale Vektorr¨aume. Sei Φ :V →W ein Isomorphismus vonK-Vektorr¨aumen und (v1, . . . , vn) eine Basis vonV. Dann ist die Familie (Φ(v1), . . . ,Φ(vn)) linear unabh¨angig, weil Φ injektiv ist, und ein Erzeugendensystem, weil Φ surjektiv ist, also eine Basis vonW. Die Vektorr¨aumeV undW haben also Basen gleicher L¨ange, also die gleiche

Dimension.

Korollar 3.2.3.

Ist V ein K–Vektorraum mit geordneter Basis B= (v₁, . . . , v_n), so gibt es genau einen Isomor-phismus

ΦB : Kⁿ→V

mit ΦB(e_i) = v_i f¨ur i = 1, . . . , n wobei e_i die kanonische Basis von Kⁿ bezeichnet. Es ist n = dim_KV; insbesondere ist jeder endlich–erzeugte K–Vektorraum V zu einen Vektorraum der Form Kⁿ f¨ur genau einn isomorph.

Beweis.

Wende Satz 3.2.1.2 auf die Basen (e₁, . . . , e_n) von Kⁿ und (v₁, . . . , v_n) von V an. Φ_B ist surjektiv nach Teilaussage a), weil die Familie (v_i) ein Erzeugendensystem von V ist, und injektiv, weil (v_i) linear unabh¨angig ist. Da isomorphe Vektorr¨aume nach Korollar 3.2.2 gleiche Dimension haben, aber f¨ur n 6= m gilt n = dim_KKⁿ 6= dim_KK^m = m, folgt auch die

Eindeutigkeitsaussage.

Nebenbei haben wir auch alle endlich erzeugten Vektorr¨aume bis auf Isomorphie klassifiziert:

zwei solche Vektorr¨aume sind genau dann isomorph, wenn sie die gleiche Dimension haben. Dies f¨uhrt uns darauf, zun¨achst lineare Abbildungen

Φ : Kⁿ→K^m zu bechreiben.

Definition 3.2.4 Sei K ein K¨orper.

1. Ein rechteckiges Schema der Form







a₁₁ . . . a_1n ... ... a_m1 . . . a_mn







mit a_ij ∈K heißt einem×n–Matrix mit Eintr¨agen inK. Die Menge derm×nMatrizen mit Eintr¨agen in K bezeichnen wir mit M(m×n, K).

2. SeiΦ : Kⁿ →K^m eine lineare Abbildung. Es seien

Φ(e₁) =





 a11

... a_m1





 , . . . , Φ(e_n) =





 a1n

... a_mn







mit aij ∈K die Bilder der Vektoren (e1, . . . , en) der Standardbasis vonKⁿ. Dann heißt

die darstellende Matrix von Φ.

Man beachte, dass wir hier die Standardbasis als geordnete Basis auffassen, damit wir wissen, was die erste Spalte der darstellenden Matrix ist, was die zweite Spalte etc.

Aus Satz 3.2.1 folgt, das M(Φ) und Φ sich umkehrbar eindeutig entsprechen. Sei nun

v =

beliebig. Dann rechnen wir mit v =Pn

i=1v_ie_i, also Multipli-kation von Matrizen mit Vektoren durch

A·v =

Wir setzen K =R und n =m= 2 und betrachten Drehungen um den Ursprung, vgl. Beispiel 3.1.4.2. Mit Hilfe des Produkts einer Matrix mit einem Vektor erh¨alt man mitθ ∈R

R_θ dann Ψ◦Φ wieder eine lineare Abbildung. Wir wollen deren darstellende Matrix M(Ψ ◦Φ) bestimmen. Dazu benutzen wir die Standardbasen (e₁, . . . , e_n) ∈ Kⁿ und (e⁰₁, . . . , e⁰_m) ∈ K^m. Seien

M(Ψ) = (a_ij), M(Φ) = (b_ij), M(Ψ◦Φ) = (c_ij)

die darstellenden Matrizen. Dann ist

Die Definition stellt sicher, dass M(Ψ ◦Φ) = M(Ψ)· M(Φ) gilt. Die Komposition linearer Abbildung wird also in die Multiplikation der darstellenden Matrizen ¨uberf¨uhrt.

Beispiel 3.2.9. Die Drehwinkel zweier Drehungen um den Ursprung addieren sich also.

Bemerkungen 3.2.10.

1. Im allgemeinen ist die Verkettung linearer Abbildungen und somit die Matrizenmultipli-kation nicht kommutativ. Zum Beispiel finden wir f¨ur

A =

2. Die Verkettung von Abbildungen und somit auch die Matrizenmultiplikation sind aber assoziativ.

3. Sei Φ : Kⁿ →K^m linear. Dann ist (vgl. Definition 3.1.5.3):

rg (Φ) = dim_KIm Φ = dim_KΦ(Kⁿ)

dim_Kspan_K(Φ(e₁), . . . ,Φ(e_n)) []Satz 3.2.1.2 (a)] .

Dies ist wegen des Basisauswahlsatzes 2.4.6 gleich der maximalen Anzahl linear un-abh¨angiger Spaltenvektoren der Matrix M(Φ). Als Beispiel betrachten wir mit K = R die linearen Abbildungen Φ,Ψ : R³ →R² mit

M(Φ) =

1 2 3 2 4 6

rg (Φ) = 1 M(Ψ) =

1 2 −1 2 0 5

rg (Φ) = 2

Wir wollen noch etwas mehr mit Matrizen rechnen. Nach Satz 3.1.9 ist Hom_K(Kⁿ, K^m) ein K–Vektorraum. Durch ¨Ubergang zu den darstellenden Matrizen wird auch die Menge M(m× n, K) der m×n Matrizen zu einem K–Vektorraum.

Definition 3.2.11

1. Die Summe zweier MatrizenA, B ∈M(m×n, K) ist komponentenweise erkl¨art:

A+B = (a_ij) + (b_ij) = (a_ij +b_ij) Sei λ ∈K; f¨ur die Skalarmultiplikation setzen wir

λA =λ(a_ij) = (λa_ij)

2. Die Transponierte einer Matrix A∈M(m×n, K) ist die durch A^t= (a^t_ij) = (a_ji)∈M(n×m, K) definierte n×m Matrix. Zum Beispiel ist:

2 3 0 1 4 1

t

=



 2 1 3 4 0 1





3. Wir setzen

E_n =M(id_Kⁿ) =











1 0 0 0 1 0 . . .

... ... 1 . . . ... ... ... ...











und nennen E_n die Einheitsmatrix f¨urKⁿ. Wir schreibenE_n = (δ_ij)mit δ_ij =

(1 f¨uri=j 0 f¨uri6=j . δ_ij heißt des Kroneckerscheδ–Symbol.

Lemma 3.2.12.

Es gelten die folgenden Rechenregeln: sind A, A⁰ ∈ M(m×n, K), B, B⁰ ∈ M(n×r, K), C ∈ M(r×s, K) undλ ∈K, so gilt

1. A·(B+B⁰) = AB+A·B⁰ und (A+A⁰)·B =AB+A⁰B (Distributivgesetze)

2. A·(λB) = (λA)·B =λ(A·B)

3. (A·B)·C =A·(B·C) (Assoziativgesetz) 4. (A·B)^t =B^t·A^t

5. E_m·A=A·E_n=A Beweis.

1.,2. und 5. zeigt man durch einfaches Hinschreiben.

3. folgt aus dem Assoziativit¨atsgesetz f¨ur die Verkettung von Abbildungen 4. rechnen wir vor: ist A= (aij) und B = (bjk), so istA·B = (cik) mit

c_ik =X

j

a_ijb_jk .

Also ist (AB)^t = (c⁰_ki) mit c⁰_ki =c_ik =P

ja_ijb_jk. Weiter ist B^t= (b⁰_kj) mit b⁰_kj =b_jk A^t= (a⁰_ji) mit a⁰_ji=b_ij Hieraus folgt

B^t·A^t= (d_ki) mit d_ki =X

j

b⁰_kj·a⁰_ji =X

j

b_jk ·a_ij =c_ik =c⁰_ki .

Korollar 3.2.13.

Die Menge M(n × n, K) der quadratischen Matrizen ¨uber einen K¨orper K bildet mit den Operationen (+,·) einen Ring. Dieser ist f¨urn≥2 nicht–kommutativ.

Unter der Entsprechung

Hom(Kⁿ, Kⁿ)→M(n×n, K) entsprechen den Isomorphismen die folgenden Matrizen:

Definition 3.2.14

Eine Matrix A ∈M(n×n, K) heißt invertierbar, wenn es eine Matrix A⁰ ∈M(n×n, K) gibt mit

A·A⁰ =A⁰·A =E_n .

Korollar 3.2.15.

Die Menge

GL(n, K) := {A∈M(n×n, K) : Ainvertierbar}

mit der Multiplikation als Verkn¨upfung bildet eine Gruppe mit neutralem ElementEn. Sie heißt allgemeine lineare Gruppe, englisch general linear group.

Beweis.

• Mit A, B ∈GL(n, K) ist auch A·B ∈GL(n, K). Denn gelte f¨urA⁰, B⁰ ∈M(n×n, K) AA⁰ =A⁰A=En und BB⁰ =B⁰B =En ,

so ist wegen der Assoziativit¨at der Matrizenmultiplikation

(B⁰A⁰)AB=B⁰(A⁰A)B =E_n und AB(B⁰A⁰) =A(BB⁰)A⁰ =E_n.

• Die Gruppenaxiome sind klar, das neutrale Element ist die Einheitsmatrix E_n.

Satz 3.2.16.

Gegeben seien K–Vektorr¨aume

V mit geordneter BasisA = (v₁, . . . , v_n) W mit geordneter Basis B = (w₁, . . . , w_m). Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung

Φ : V →W genau eine Matrix A= (a_ij)∈M(m×n, K), so dass

Φ(vj) =

m

X

i=1

aijwi (∗) gilt. Die so erhaltene Abbildung

M_B^A : Hom(V, W)→M(m×n, K) Φ 7→A=M_B^A(Φ) ist ein Isomorphismus von K–Vektorr¨aumen. Insbesondere gilt

M_B^A(Φ + Ψ) =M_B^A(Φ) +M_B^A(Ψ) M_B^A(λΦ) =λM_B^A(Φ).

Nach Wahl von geordneten Basen von V und vonW kann man also lineare Abbildungen durch Matrizen beschreiben. Man sagt, die Matrix M_B^A(Φ) stelle die lineare Abbildung Φ bez¨uglich der geordneten Basen A, B von V und von W dar.

Beweis.

• Da B= (w₁, . . . , w_m) eine geordnete Basis von W ist, sind die Linearkombinationen aus (∗) und somit die Spalten der Matrix eindeutig bestimmt.

• Geh¨ort zur Abbildung Ψ die Matrix B = (b_ij), so rechnen wir:

(Φ + Ψ)(v_j) = Φ(v_j) + Ψ(v_j)

=

m

X

i=1

aijwi+

m

X

i=1

bijwi

=

m

X

i=1

(aij +bij)wi

und f¨urλ∈K

(λΦ)(v_j) =λ·Φ(v_j) =λ

m

X

i=1

a_ijw_i =

m

X

i=1

(λ_ia_ij)w_i . Also ist die Abbildung M_B^A eine K–lineare Abbildung.

• Nach Satz 3.2.1.2 ist die Abbildung sogar bijektiv.

Korollar 3.2.17.

Mit den gleichen Bezeichnungen betrachte f¨ur jedes i = 1. . . n und j = 1. . . m die lineare Abbildung

F_i^j : V →W

mit F_i^j(v_k) :=

(w_j f¨ur k=i 0 sonst.

Diese m·n Abbildungen bilden eine Basis von Hom(V, W). Insbesondere gilt dim_KHom(V, W) = dim_KV ·dim_KW .

Beweis.

• Es ist M_B^A(F_i^j) =E_i^j, also gleich der Matrix, deren Eintr¨age alle gleich Null sind, außer in der i–ten Spalte und j–ten Zeile. Man nennt so eine Matrix auch eine Basismatrix.

• Die Familie (E_i^j) bildet eine Basis desK–VektorraumsM(m×n, K). DaM_B^A ein Isomor-phismus ist, bildet auch (F_i^j) eine Basis von Hom(V, W).

Die Frage, wie die MatrixM_B^A(F) sich ¨andert, wenn man die geordneten BasenA,B¨andert, werden wir erst am Ende dieses Kapitels angehen.

Bemerkungen 3.2.18.

Ist V = W, d.h. liegt ein Endomorphismus vor, so ist es zweckm¨aßig, mit nur einer Basis zu arbeiten, also A=B= (v1, v2, . . . , vn) zu w¨ahlen. Man schreibt dann

MB :=M_B^B . Der Vektorraumisomorphismus

MB : End(V)→M(n×n, K) ist dann definiert durch die Gleichungen

Φ(vj) =

n

X

i=1

aijvi .

Die Einheitsmatrix E_n = (δ_ij) beschreibt in jeder Basis B von V die identische Abbildung, MB(id_V) = E_n. Die Frage, wie durch Wahl einer geeigneten Basis die darstellende Matrix eines Endomorphismus auf eine Standardform gebracht werden kann, werden wir erst sp¨ater, in den Kapiteln 5 und 7, beantworten k¨onnen.

Im Dokument Lineare Algebra Studienjahr 2018/19 Christoph Schweigert Universität Hamburg Department Mathematik Schwerpunkt Algebra und Zahlentheorie (Seite 84-93)