Kurzzusammenfassung der Kapitel 1 und 2

. Daher gilt

rg (X) =

(3.7.12)rg

E_r 0 0 0

=r

rg (X)f =

(3.7.12)rgf

E_r 0 0 0

=r

Hieraus folgt rg (X) = r=rg (X).f

Beispiel 3.7.14.

rg

1 2 3 4 2 4 6 8

=rgf

1 2 3 4 2 4 6 8

= 1.

3.8 Kurzzusammenfassung der Kapitel 1 und 2

Wir wollen kurz den bisher entwickelten Stoff zusammenfassen.

1. Ausgehend vom Begriff der Gruppe haben wir Ringe und als spezielle Ringe K¨orper eingef¨uhrt. Wichtige Beispiele f¨ur Ringe, die nicht K¨orper sind, sind die ganzen Zahlen Z, die Restklassenringe Z/nZ f¨ur n nicht prim, und die Polynome ¨uber einem K¨orper.

Wichtige Beispiele f¨ur K¨orper sind die K¨orper der rationalen ZahlenQ, der reellen Zahlen R, der komplexen Zahlen C und der K¨orper F^p, der genau p Elemente hat mit p prim.

Endliche K¨orper habenpⁿ Elemente, mit p prim und n ∈N.

2. F¨ur einen gegebenen K¨orper K haben wir den Begriff des K-Vektorraums kennengelernt.

Weitere wichtige Begriffe sind:

- Untervektorraum, affiner Unterraum.

- Innere Summe von Untervektorr¨aumen: es giltW₁+W₂ = span_K(W₁∪W₂), vergleiche Satz 2.5.2; die Dimension ist dim_K(W₁+W₂) = dim_K(W₁) + dim_K(W₂)−dim_K(W₁∩ W₂). Die innere direkte Summe ist der Spezialfall einer inneren Summe mit W₁ ∩ W₂ ={0}.

- ¨Außere direkte Summe und Produkt von Vektorr¨aumen.

- Zu einem Untervektorraum U ⊂ V k¨onnen wir den Quotienvektorraum V /U kon-struieren. Im Falle endlich erzeugter Vektorr¨aume ist dessen Dimension dim_KV /U = dim_KV −dim_KU.

3. Aus den Vektoren eines Vektorraums kann man Linearkombinationen bilden. Dies f¨uhrt auf zwei wichtige Begriffe

- Erzeugnis /Erzeugendensystem B ⊂V: es gilt span_K(B) =V. - Lineare Unabh¨angigkeit

Linear unabh¨angige Erzeugendensysteme heißen Basen; sie existieren f¨ur jeden Vektor-raum; die Anzahl ihrer Elemente ist eindeutig und heißt die Dimension des Vektorraums.

Basen sind maximale linear unabh¨angige Familien und minimale Erzeugendensysteme.

- Der Basisauswahlsatz 2.4.6 erlaubte es uns, aus Erzeugendensystemen eine Basis auszuw¨ahlen.

- Der Basiserg¨anzungssatz 2.4.10.2 erlaubt es, linear unabh¨angige Familien zu Basen zu erg¨anzen.

4. F¨urK-lineare Abbildungen Φ :V →W sahen wir:

- Urbilder von Untervektorr¨aumen sind Untervektorr¨aume von V und somit nie die leere Menge. Insbesondere ist der Kern von Φ als Urbild der 0 ∈ W ein Untervek-torraum von V. Die lineare Abbildung Φ ist genau dann injektiv, wenn ker Φ ={0}

gilt.

- Urbilder affiner Unterr¨aume sind affine Unterr¨aume oder die leere Menge.

- Der Raum Hom_K(V, W) der K-linearen Abbildungen ist ein K-Vektorraum der Di-mension dim_KV ·dim_KW.

- Den Homomorphiesatz 3.4.3: f¨ur eine lineare Abbildung Φ : V → W erhalten wir einen Isomorphismus V /ker Φ →^∼ Im Φ. Hieraus folgt insbesondere die Dimensions-formel 3.1.7:

dim_KV −dim_Kker Φ = dim_KIm Φ = rg Φ.

5. Explizite Beschreibung von linearen Abbildungen Φ : V → W f¨ur endlich-dimensionale Vektorr¨aume:

- Situation:

dim_KV <∞ A= (v₁, . . . v_n) geordnete Basis von V dim_KW <∞ B= (w₁, . . . w_m) geordnete Basis von W

- Jede geordnete Basis A von V gibt einen Isomorphismus vom Standardvektorraum Kⁿ mit Standardbasis auf V:

ΦA : Kⁿ→V mit ΦA(e_i) =v_i. - Die darstellenden Matrizen geben Isomorphismen

M_B^A: Hom_K(V, W)→M(m×n, K)

von K Vektorr¨aumen (mit Multiplikationen, wo diese definiert sind).

- Ein Basiswechsel wird durch invertierbare Transformationsmatrizen T_A^A0 =M_A^A0(id_V)

beschrieben. F¨ur lineare Abbildungen gilt die Transformationsformel 3.7.5 M_B^A0⁰(Φ) =T_B^B0 ·M_B^A(Φ)·

T_A^A0

−1

.

- Zwei (nicht notwendigerweise quadratische) Matrizen X, Y heißen ¨aquivalent, wenn es invertible (und damit quadratische) Matrizen S, T gibt mit Y = SXT⁻¹. Jede MatrixA ist ¨aquivalent zu einer Matrix der Form

E_r 0 0 0

mit r= rg (A). Zeilenrang und Spaltenrang einer Matrix sind gleich.

- Zwei quadratische Matrizen X, Y heißen ¨ahnlich, wenn es eine invertible Matrix S gibt mit Y =SXS⁻¹.

6. Aus den entwickelten Begriffen folgt eine Theorie f¨ur die L¨osungsmenge Lsg(A, b) eines inhomogenen linearen Gleichungssystems:

- Lsg(A, b) = ∅ genau dann, wenn b 6∈ ImA, was genau dann gilt, wenn rg (A, b) = rg (A) + 1.

- Lsg(A, b) ist entweder leer oder affiner Unterraum der Dimension n − rgA. Man erh¨alt alle L¨osungen des inhomogenen linearen Gleichungssystems, indem man zu einer speziellen L¨osung alle L¨osungen des zugeh¨origen homogenen Gleichungssystems addiert.x

- Der Gauß’sche Algorithmus erlaubt es, lineare Gleichungssysteme systematisch zu l¨osen.

4 Determinanten

4.1 Das Vektorprodukt auf R

³

Definition 4.1.1 Die Abbildung

R³×R³ → R³

(v, w) 7→ v×w:=





v2w3−v3w2

v₃w₁−v₁w₃ v₁w₂−v₂w₁





heißt Vektorprodukt.

Das Vektorprodukt kann nur f¨ur drei-dimensionale Vektorr¨aume mit Wahl einer geordneten Basis (eigentlich: Wahl einer euklidischen Struktur mit Orientierung) definiert werden; mathe-matisch sinnvoll ist es nur im Fall reeller drei-dimensionaler Vektorr¨aume mit Basis, auf den wir uns in diesem Unterkapitel beschr¨anken. Das Vektorprodukt wird von vielen Anwendern (Ingenieure, Physiker,. . . ) gerne benutzt.

Lemma 4.1.2.

Zusammen mit dem schon behandelten Skalarprodukt

hv, wi:=v₁w₁+v₂w₂ +v₃w₃

erf¨ullt das Vektorprodukt f¨ur alleu, v, u⁰, v⁰ ∈R³ und α, β ∈R die folgenden Identit¨aten:

1. Bilinearit¨at

(αv+βv⁰)×w=α(v×w) +β(v⁰×w) v×(αw+βw⁰) =α(v×w) +β(v ×w⁰)

2. Antisymmetrie

v×w=−w×v 3. Grassmann–Identit¨at

u×(v×w) =hu, wiv− hu, viw . 4. Jacobi-Identit¨at

u×(v×w) +v×(w×u) +w×(u×v) = 0 5. hu×v, wi=hu, v×wi

Beweis.

1.–3. durch einfaches Nachrechnen, ebenso 5. Wir zeigen, wie 4. aus 3. folgt:

u×(v×w) +v×(w×u) +w×(u×v)

=3. hu, wiv− hu, viw+hv, uiw− hv, wiu+hw, viu− hw, uiv = 0

Lemma 4.1.3 (Versch¨arfung der Cauchy–Schwarz’schen Ungleichung f¨ur den R³).

F¨ur allev, w∈R³ gilt

hv, wi² +kv×wk² =kvk²· kwk² . Beweis.

Wir rechnen:

kv×wk² =hv×w, v×wi

=hv, w×(v×w)i [wegen Lemma 4.1.2.5]

=hv,hw, wiv− hw, viwi [wegen Lemma 4.1.2.3]

=kwk² kvk²− hv, wi² .

Betrachtung 4.1.4.

• Aus der Antisymmetrie, Lemma 4.1.2.2, folgt v ×v = −v ×v = 0. Aus Lemma 4.1.2.5 folgt daher

hv, v×wi=hv×v, wi= 0 ,

also v⊥(v×w). ¨Ahnlich folgt auch w⊥(v×w). Der Vektor v×w steht also auf v und w senkrecht.

• Wir wollen auch die L¨ange des Vektors v×w berechnen. Mit Lemma 4.1.3 folgt:

kv×wk² =kvk²kwk² − hv, wi²

=kvk²kwk²(1−cos²α)

=kvk²kwk²sin²α .

kv×wk ist daher der Fl¨acheninhalt des von v, waufgespannten Parallelogramms:

w

v α

kwksinα

• Damit kennen wir L¨ange und Richtung des Vektorsv×w. Seine Orientierung wird durch die sogenannte “rechte Hand–Regel” angegeben: zeigt der Damen der rechten Hand in Richtung von v und der Zeigefinger in Richtung von w, so zeigt der Mittelfinger in Rich-tung vonv×w. Dies macht das Beispielv =e₁ undw=e₂ mit Vektorproduktv×w=e₃ deutlich.

v v×w

w

Definition 4.1.5

Sei (b₁, b₂, b₃) eine Basis von R³. Sei p∈R³. Dann heißt dieTeilmenge P ={p+αb₁+βb₂+γb₃|0≤α, β, γ ≤1} ⊂ R³ das von b₁, b₂ und b₃ aufgespannte Parallelotop oder Spat.

b₁ b₃

p

Satz 4.1.6.

Das Volumen des von den drei Vektoren b₁, b₂, b₃ ∈R³ aufgespannten Spats ist vol(P) = |hb₁×b₂, b₃i| .

Deshalb heißt das Vektorprodukt auch Spatprodukt.

Beweis.

Das Volumen ist bekanntermaßen “Grundfl¨ache mal H¨ohe”. Der Einheitsvektor n:= b1×b2

kb₁×b₂k

steht senkrecht auf den beiden Vektoren b₁ und b₂, die die Grundfl¨ache aufspannen. Die H¨ohe des Spats ist daher

h =|hn, b₃i|

Wir erhalten

V =F ·h ^4.1.4= kb₁×b₂k ·h=|hb₁×b₂, b₃i|.

Im Dokument Lineare Algebra Studienjahr 2018/19 Christoph Schweigert Universität Hamburg Department Mathematik Schwerpunkt Algebra und Zahlentheorie (Seite 119-124)