Statistische Auswerteverfahren

Die in den 28 Untersuchungsabschnitten experimentell ermittelten und auf sechs repräsen-tative Abschnitte stationärer Einbauzustände eingeengten Kenngrößen wurden mit Hilfe der nachfolgend aufgeführten und in den Anl. A.5.1 bis A.5.9 näher beschriebenen Metho-den unter Verwendung der für Untersuchungen im Straßenbau üblichen Irrtumswahr-scheinlichkeit α = 0,05 einer statistischen Beurteilung unterzogen. Auf methodenspezifisch bedingte Abweichungen von der gewählten statistischen Sicherheit wird hingewiesen.

Viele Verfahren der Statistik arbeiten dann gut, wenn eine Normalverteilung vorliegt, die es strenggenommen in der Empirie gar nicht gibt. Allerdings lassen sich viele mehr oder weniger symmetrisch-eingipfelig verteilte Beobachtungen approximativ normalverteilt auffassen, da gem. [176] „die Erfahrung mit großen Stichproben von Meßdaten hoher Qualität (…) häufig deutliche Abweichungen von der Normalverteilung in dem Sinne (zeigt), daß beide Verteilungsenden stärker besetzt sind.“ Da aber die meisten statistischen Kenngrößen durch Summierungen aus den Daten gewonnen werden, ist es folglich mög-lich, im Schutze großer Stichprobenumfänge statistische Testverfahren und Verfahren der Intervallschätzung auf der Grundlage einer Normalverteilung einzusetzen, weshalb in der induktiven Statistik häufig vom Zentralen Grenzwertsatz Gebrauch gemacht wird. Weitere Verallgemeinerungen erfordern noch nicht einmal identisch verteilte Zufallsvariablen (Grenzwertsatz von LJAPUNOFF) und nach [158] „muß nur gelten, daß die Merkmalsachse der Wahrscheinlichkeitsdichte der Variablen (…) außerhalb beliebiger endlicher Grenzen

zu Null wird – eine Annahme, die ohne Bedenken für alle physikalisch sinnvollen Variab-len, mit denen der Bauingenieur zu tun hat, als zutreffend vorausgesetzt werden kann“, s.

auch [9, 44, 176, 213]. Unter der Bedingung, daß keine Zufallsvariable einen derart hohen Beitrag zur Gesamtvarianz leistet, daß sie die anderen Zufallsvariablen dominiert, gilt:

Zna

∼ N(0,1) (47)

mit Zn standardisierte Summe,

a∼ approximativ,

N(0,1) Standardnormalverteilung.

Strukturgleichheit vorausgesetzt, sollen nach Möglichkeit Mittelwerte gleich großer Stich-probenumfänge verglichen werden, weil dann Abweichungen von der Varianzgleichheit und von der Normalverteilung weniger schwerwiegend sind [175], weshalb diese im Rah-men der vorgestellten Untersuchung unter symmetrischer Balancierung der kleinsten ein-gegrenzten Datenmenge angepaßt wurden.

Für die zu entwickelnden Modelle wurde für große Stichprobenumfänge n ≥ 100 apriorisch die Normalverteilung unterstellt, während für n < 100 die Güte der Anpassung an dieselbe mit Hilfe der Methoden gem. Anl. A.5.1 geschätzt wurde. Bei wenigen Datenpunkten kann das Vorhandensein einer Normalverteilung nie bewiesen, sondern lediglich die Aussage getroffen werden, daß die Daten nicht ganz extrem von einer solchen abweichen.

Nach Prüfung der von technischen Ausreißern bereinigten Daten auf das Vorliegen einer Normalverteilung wurde bei negativem Ergebnis mit Hilfe geeigneter Transformations-verfahren versucht, eine Annäherung an diese Verteilungsform zu erzielen, wofür sich u.a.

die Anwendung von Logarithmus-, Potenz- oder BOX-COX-Transformationen anbot (s.

Anl. A.5.2).

Im Fall des Vorliegens nichtnormalverteilter Werte (z.B. für die Einbaudicke in S_1.20 sowie für die Raumdichte in S2.20) konnte auch durch eine Datentransformation keine Verbesse-rung der AnnäheVerbesse-rung an eine Normalverteilung erreicht werden.

Bei einer einigermaßen symmetrischen, aber langschwänzigen Verteilung im Normal-Quantil-Plot führt eine Transformation nicht zum Erfolg: robuste Methoden sind dann die bessere Wahl.

Vor der weiteren statistischen Bearbeitung wurden an den Rohdatensätzen so lange vertei-lungsrelevante Ausreißertestverfahren durchgeführt (s. Anl. A.5.3), bis in den jeweiligen Stichproben keine statistischen Ausreißer mehr nachzuweisen waren.

Ob es sich tatsächlich um statistische Ausreißer handelte, wurde mit einem t-Test geprüft, der beim Weglassen dieser Werte Signifikanz zeigt, da durch Extremwerte Varianzen auf-gebläht werden (s. Anl. A.5.3). Zeigte der t-Test keine Signifikanz an, wurde der Meßwert nicht entfernt.

Nach Identifizierung etwaiger Ausreißer und deren ersatzloser Eliminierung wurden aus den verträglichen Meßwerten eines repräsentativen, homogenen Abschnittes gleichen Um-fangs das arithmetische Mittel und die zugehörige Standardabweichung gebildet. Konnten

keine Ausreißer mit signifikantem Einfluß auf die beiden Maßzahlen gefunden werden, wurden sämtliche Beobachtungen zur Mittelwertbildung herangezogen.

Unter Anwendung des F-Testes wurde der Frage nachgegangen, ob sich die Varianzen zweier Grundgesamtheiten unterscheiden oder ob die Annahme berechtigt war, daß alle Meßwerte aus einer Grundgesamtheit stammen (s. Anl. A.5.4).

In Verallgemeinerung des Testes nach FISHER kann zur Überprüfung der Annahme über die Gleichheit der Streuungen mehrerer Stichproben der BARTLETT-Test verwendet wer-den, der bei normalverteilten Daten im Zusammenhang mit der Varianzanalyse dem COCHRAN-Test vorgezogen wurde (s. Anl. A.5.4).

Nach der Prüfung auf Homogenität mehrerer Varianzen erfolgte bei Annahme der Null-hypothese anhand einer einfachen Varianzanalyse ein Vergleich der Mittelwerte ausreißer-bereinigter, normalverteilter Meßwerte einer Merkmalsgröße (s. Anl. A.5.5).

Zum Vergleich der Mittelwerte zweier Stichproben gleicher Varianz kam der t-Test (s.

Anl. A.5.5) zur Anwendung, der als zweiseitiger Test nach [175] unter der Bedingung n_1,2 > 10 und 0,25 ≤ (n₁/n₂) ≤ 4 als sehr robust gegenüber Abweichungen von der Normal-verteilung eingestuft wird.

Im Falle unterschiedlicher Varianzen wurde diese Teststatistik ebenfalls angewendet, allerdings die, nach WELCH zur Prüfung der Hypothese über die Gleichheit von k Mittel-werten benannte, modifizierte Form der Varianzanalyse (s. Anl. A.5.5), der in [176] „eine hervorragende Approximation“ bescheinigt wird.

Die Gleichheit mehrerer unabhängiger Stichprobengruppen wurde wiederum anhand der einfachen Varianzanalyse geprüft.

Zur Bewertung des Einflusses variierter Parameter werden üblicherweise multiple Va-rianzanalysen mit Kreuzklassifikation und festen Effekten der mehrfachen Klassifikation genutzt, um die Wechselwirkungen zwischen den Faktoren erkennen und quantifizieren zu können. Die im Rahmen dieses Projektes durchgeführten Versuche wurden so angelegt, daß stets eine Varianzanalyse mit Kreuzklassifikation und zwei Effekten (Vorlagehöhe und Mischguttemperatur) auf das gewonnene Datenmaterial angewendet werden konnte (s.

Anl. A.5.5).

Wurden Meßreihen mit unterschiedlichen Mittelwerten erkannt, konnte unter Anwendung des modifizierten LSD-Testes detektiert werden, welche Mittelwerte oder Gruppen von Mittelwerten sich unterscheiden (s. Anl. A.5.5).

Waren die Voraussetzungen für den F-Test auf Signifikanzprüfung nicht erfüllt, mußte zum Vergleich der lagespezifischen Mittelwerte auf einen parameterfreien Test zurück-gegriffen werden, womit sich unter der Bedingung einer gleichen Verteilungsform der auch bei ungleich besetzten Stichproben anwendbare H-Test nach KRUSKALUND WALLIS

empfahl, der im Vergleich mit der Varianzanalyse bei Vorliegen einer Normalverteilung eine Effizienz von 95 % aufweist. Lagen unterschiedliche Verteilungsformen vor, wurde der H-Test durch den erweiterten Median-Test ersetzt, dessen asymptodische Effizienz allerdings nur 64 % beträgt [122], s. Anl. A.5.6.

Da ein Vergleich mehrerer unabhängiger Stichproben anhand des H-Testes bei einem sig-nifikanten Befund keine Auskunft darüber gibt, zwischen welchen Stichproben ein be-zeichnender Unterschied vorliegt, wurden mit dem multiplen Test nach NEMENYI die ein-zelnen Mittelwerte miteinander verglichen (s. Anl. A.5.6).

Zur Detektierung einseitiger stochastischer Zusammenhänge fand die Regressionsanalyse (s. Anl. A.5.7) Anwendung, die in ihrer Verallgemeinerung auch die Abhängigkeit einer Zielgröße von mehrdimensional normalverteilten Einflußgrößen untersucht.

Zur Beurteilung stochastischer Zusammenhänge zwischen meßbaren Merkmalen wurde die Korrelationsanalyse genutzt, mit der die Abhängigkeit des Grades des Zusammenhanges zwischen zwei Variablen von mehreren anderen Variablen aufgedeckt werden kann (s.

Anl. A.5.8).

Unter Anwendung der Kreuzkorrelation wurde beurteilt, ob zwei Funktionen gegeneinan-der phasenverschoben sind (s. Anl. A.5.9).