Stabilit¨atsuntersuchung

Die bisher erzielten Ergebnisse, die die Entstehung verschiedener Defektkonfigurationen vorhersagen, wurden durch mehrere Versuche einer geeigneten Parameterwahl erzielt, die sich auf die Ergebnisse der Benetzung planarer Oberfl¨achen st¨utzten. Es soll daher nun versucht werden, eine gewisse Orientierung in dem von von S0, W und τ aufgespannten Parameterraum zu bekommen und ihn in Bereiche einzuteilen, in denen die uniaxiale Phase, die ”Boojum“-Konfiguration oder die Tetraeder-Konfiguration stabil ist. Dazu wurden f¨ur diskrete W-τ-Wertepaare verschiedene Betr¨age des negativen Parameters S0 abgetastet.

Es wurde hierzu mit dem Programm gearbeitet, das die Werte der Tensorkomponenten an der z-Achse mittels Interpolation bestimmt (s. Abschnitt 3.6). Abbildung 4.22 zeigt das Ergebnis. F¨ur geringe Betr¨age des negativen Paramters S₀ und f¨ur Werte der Veran-kerungsst¨arke W . 0,05, gehen die Ordnungsparameter-Tensoren in die uniaxial oblate Phase mit radialer Vorzugsrichtung ¨uber. Zwischen den eingezeichneten Fl¨achen ist die

”Boojum“-Defektkonfiguration stabil. Erh¨oht man den Betrag von S₀ weiter, wird eine tetraederf¨ormige Konfiguration bevorzugt. Bei kleinen Werten f¨ur die Verankerungsst¨arke

(W .0,03) findet ein starker Abfall der Werte f¨ur S0 statt, bei denen sich die

”Boojum“

bzw. die Tetraeder-Konfiguration ausbilden k¨onnen. Bei der Temperatur τ = 1,2 wurde bei den Werten W = 1 und W = 3 innerhalb des betrachteten Bereichs kein ¨Ubergang in die Tetraederkonfiguration mehr festgestellt.

Kapitel 5

Zusammenfassung und Ausblick

In den vorangehenden Kapiteln konnte gezeigt werden, dass innerhalb biaxialer Benet-zungsschichten in einem nematischen Fl¨ussigkristall die TetraedDefektkonfiguration er-zeugt werden kann, die in [18] durch die Berechnung der zweidimensionalen nematischen Ordnung vorhergesagt wurde.

Die zur L¨osung des Problems angewandten Theorien wurden im zweiten Kapitel erl¨autert.

Es wurde der tensorielle Ordnungsparameter eingef¨uhrt, der das Phasenverhalten eines nematischen Fl¨ussigkristalls sowie die Orientierungsordnung der Molek¨ule quantitativ er-fasst. Im Rahmen eines Exkurses in die Homotopietheorie wurde dargestellt, dass durch die verschiedenen Arten fl¨ussigkristalliner Ordnung, die durch den Ordnungsparameter-Tensor beschrieben werden, unterschiedliche Ordnungsparameterr¨aume, Homotopiegrup-pen und somit unterschiedliche Arten m¨oglicher topologischer Defekte definiert werden.

Daraufhin wurde eine thermodynamische Beschreibung des nematischen Fl¨ussigkristalls, der eine Kolloidoberfl¨ache umgibt, mit der Landau-de Gennes’schen freien Energiedichte im Volumen, einer freien Energiedichte f¨ur Deformationen und einem Oberfl¨achenpotential vorgestellt. Die Minimierung der gesamten freien Energie f¨uhrte auf die Euler-Lagrange-Gleichungen, deren L¨osungen thermodynamisch stabile Orientierungsordnungen des nema-tischen Fl¨ussigkristalls wiedergeben. Zum Abschluss wurden im ersten Kapitel verschiedene Benetzungsph¨anomene erkl¨art, wobei auf Arbeiten zu oberfl¨acheninduzierter Ordnung ein-gegangen wurde.

Im dritten Kapitel wurde dargestellt, dass es wegen der unterschiedlichen Geometri-en, die den Euler-Lagrange-Gleichungen zu Grunde lagGeometri-en, spezieller numerischer Metho-den bedurfte. Die Grundlage zur L¨osung der gekoppelten partiellen Differentialgleichungen lieferte das Newton-Gauß-Seidel-Verfahren. Es wurde mit Koordinatentransformationen kombiniert, die dem charakteristischen Abfallen der nematischen Ordnung Rechnung tru-gen. Um Schwankungen des Tensorfeldes besser aufzul¨osen, die bei Defektkernen auftreten, wurde die Methode des adaptiven Gitters eingesetzt. Die Singularit¨at des Azimutalwinkels φ an der z-Achse bei den sph¨arischen Euler-Lagrange wurde innerhalb unterschiedlicher Verfahren behandelt.

Anhand der Benetzung ebener Oberfl¨achen wurde in Kapitel 4 die Entstehung biaxialer Phasen untersucht. Diese beschreiben eine Vorzugsrichtung innerhalb der Oberfl¨ache und

erm¨oglichen somit die Ausbildung topologischer Defekte im Fall sph¨arischer Oberfl¨achen.

Zu Beginn wurden bei hom¨ootroper Verankerung Vorbenetzungs¨uberg¨ange identifiziert, die in ¨Ubereinstimmung stehen mit dem Phasendiagramm aus [32]. Nach dem Vorbild von [29] wurde daraufhin mit dem vereinfachten Oberfl¨achenpotential fs = −W S(z = 0) mit negativer Verankerungsst¨arke W, die einen negativen skalaren Ordnungsparameter S an der Oberfl¨ache und somit eine oblate Orientierungsordnung mit einer senkrecht zur Ober-fl¨ache stehenden Vorzugsachse induziert, eine biaxiale Orientierungsordnung erzeugt. Es wurde deutlich, dass die Struktur des Phasendiagramms aus [29] beim Verlassen der darin verwendeten N¨aherung f¨ur die elastische Konstante c1 = 0 verloren geht und die vorher-gesagte Phasen¨ubergangslinie zweiter Ordnung verschwindet. Bei den L¨osungen der Euler-Lagrange-Gleichungen, die aus der Minimierung nach den f¨unf unabh¨angigen Tensorkompo-nenten hervorgingen, wurden beim Verlauf des ¨Ubergangs von der uniaxialen in die biaxiale Phase ¨Ubereinstimmmungen mit den Ergebnissen von [12, 16, 27] festgestellt. Diese Studien wurden dann auf das allgemeine Oberfl¨achenpotentialfs = ^W₂ sp(Q−Q₀)² ausgedehnt, wo-bei hier die oblate Orientierungsordnung durch einen VorzugstensorQ₀ = ³₂S0(ez⊗e_z−¹₃1) induziert wurde. Mit diesem Oberfl¨achenpotential erweist sich die Entstehung biaxialer Phasen ebenfalls als m¨oglich. Der charakteristische Verlauf der in [12, 16, 27] berechnete-nen Phasen¨ubergangslinie bleibt dabei qualitativ erhalten.

Anhand der so gewonnenen Erkenntnisse wurde nach einer biaxialen Phase auf sph¨ari-schen Oberfl¨achen gesucht. Es stellte sich dabei heraus, dass die Kr¨ummung der Oberfl¨ache hierzu gr¨oßere Betr¨age des negativen ParametersS0 erfordert. In der biaxialen Phase wur-de dabei die in [18] beschriebene

”Boojum“-Konfiguration mit zwei gegen¨uberliegenden C0 Defekten identifiziert. Es traten dabei zwei Konfigurationen auf, die eine Orientie-rung der Ordnungsparameter-Tensoren entlang der L¨angen- bzw. entlang der Breitengrade beschreiben. Beim ¨Uberschreiten eines bestimmten Betrages des Parameters S0 kommt es zu einer Aufspaltung der beschriebenen Defekte, wodurch die Ausbildung der gesuch-ten Tetraeder-Konfiguration erm¨oglicht wird. Anhand der durch unterschiedliche Startbe-dingungen erzielten L¨osungen war ersichtlich, dass verschiedene Tetraeder-Konfiguration mit unterschiedlichen Orientierungsverteilungen der Ordnungsparameter-Tensoren gebildet werden k¨onnen. Es stellte sich außerdem heraus, dass die Biaxialit¨at nicht auf der Ober-fl¨ache selbst, sondern in einem Abstand von ca. r = 1,05a maximal wird und die Defekte an diesen Stellen somit deutlicher erkennbar sind. Zum Abschluss wurde ein Phasendia-gramm gezeigt, das den von der Verankerungsst¨arke, der Temperatur und dem Parameter S0 gebildeten Parameterraum in Bereiche einteilt, in denen die uniaxiale Phase mit oblater Orientierungsordnung und radialer Vorzugsrichtung, eine

”Boojum“-Defektkonfiguration oder eine Tetraeder-Defektkonfiguration bevorzugt werden.

Im Laufe der Arbeit ergaben sich eine Reihe interessanter Fragestellungen, die noch ge-nauer zu ergr¨unden w¨aren. Die beim Studium der Benetzung ebener Oberfl¨achen aufgestell-ten Phasendiagramme weisen einen trikritischen Punkt auf, an demein diskontinuierlicher Ubergang in einen kontinuierlichen ¨¨ Ubergang ¨ubergeht. Die Art dieser Phasen¨uberg¨ange, die vom Bild bekannter kontinuierlicher Phasen¨uberg¨ange abweichen, w¨are im Rahmen ei-ner genaueren Berechnung der freien Eei-nergie und ihren Ableitungen an diesen Stellen noch n¨aher zu untersuchen. Dabei m¨ussten genaugenommen auch Fluktuationen des

Ordnungs-parameters ber¨ucksichtigt werden, die nach Berezinskii, Kosterlitz und Thouless [10, 11]

zu einer Verschiebung der kontinuierlichen Phasen¨ubergangslinien in zweidimensionalen Systemen f¨uhren.

Die Berechnung der Ordnungsparameter-Tensorfelder auf sph¨arischen Oberfl¨achen war aus Zeitgr¨unden nur f¨ur einen festen Radius und ein festes Verh¨altnis der elastischen Kon-stanten ^c_c¹

2 m¨oglich. Der Einfluss dieser Gr¨oßen auf die Entstehung der verschiednenen Konfigurationen ist auf jeden Fall noch zu untersuchen. Es w¨are zu pr¨ufen, ob sich der in [32] vorhergesagte Unterschied zwischen großen und kleinen Radien, bei denen bei hom¨otro-per Verankerung Vorbenetzungslinien exisitieren bzw. verschwinden, in irgendeiner Form auf das Benetzungsverhalten bei planarer Verankerung und die Entstehung der biaxialen Phase auswirkt.

Kapitel 6 Anhang

6.1 Herleitung des Gradienten eines Tensors in krumm-linigen Koordinaten.

Der Tensor Q_ij l¨asst sich schreiben als:

Q=X

i,j

Qijei⊗ej (6.1)

Zur Herleitung der sph¨arischen Euler-Lagrange-Gleichungen wurde dieser bez¨uglich der Basis der sph¨arischen Einheitsvektoren, e_r, e_θ und e_φ

e_r =

dargestellt. Die Ableitungen der sph¨arischen Einheitsvektoren nach den sph¨arischen Koor-dinaten sind Der Gradient in Kugelkoordinaten hat die Form

∇=er

Die Bildung des Gradienten auf den Tensor erfolgt nun ¨uber das dyadische Produkt

Durch Einsetzen der Ausdr¨ucke f¨ur die Ableitungen der Basisvektoren erh¨alt man f¨ur die einzelnen Terme des Ausdrucks (6.4)

er

1 rsinθeφ

∂

∂φQ = 1 rer⊗h

Qrr,φ(er⊗er) +Qrr(sinθeφ⊗er+er⊗eφ) +Qrθ,φ(er⊗eθ) +Qrθ(sinθeφ⊗eθ−cosθer⊗eφ)

+Qrφ,φ(er⊗eφ) +Qrφ(sinθeφ⊗eφ−sinθer⊗er−cosθer⊗eθ) +Qθr,φ(eθ⊗er) +Qθr(cosθeφ⊗er+ sinθeθ⊗eφ)

+Qθθ,φ(eθ⊗eθ) +Qθθcosθ(−eφ⊗eθ−eθ⊗eφ)

+Q_θφ,φ(e_θ⊗e_φ) +Q_θφ(cosθe_φ⊗e_φ−sinθe_θ⊗e_r−cosθe_θ ⊗e_θ) +Qφr,φ(eφ⊗er) +Qφr(er⊗er−cosθeθ⊗er−sinθeφ⊗eφ)

+Qφθ,φ(eφ⊗eθ) +Qφθ(−sinθer⊗eθ−cosθeθ⊗eθ+ cosθeφ⊗eφ) +Qφφ,φ(eφ⊗eφ) +Qφφ

¡−sinθer⊗eφ−cosθeθ⊗eφ

−sinθeφ⊗er−cosθeφ⊗eθ

¢i

. (6.7)

Hieraus gewinnt man durch Koeffizientenvergleich die Komponenten des Tensorgradi-enten.

6.2 Numerische Ableitungen f¨ ur verschiedene