2.1.1 Eigennamen u n d Prädikate
Die Subjekt-Prädikat-Struktur der Sätze wollen w i r nicht i m gleichen Sinne beschreiben, wie das die Grammatik tut, d a es uns hier nicht auf sprachliche Eigentümlichkeiten, sondern auf logische Unter-scheidungen ankommt. W i r gehen aus v o n einfachen Sätzen, die keine Teilsätze enthalten (weder Nebensätze, noch mehrere Hauptsätze).
Solche einfachen Sätze sind z. B . 1) „Hans raucht".
2) „Die Zugspitze ist ein B e r g " .
3) „Die E r d e ist größer als der M o n d " . 4) „Richard liebt M a r i a " .
Als Eigennamen bezeichnen w i r einen sprachlichen Ausdruck, der einen Gegenstand bezeichnet, sei dieser konkret oder abstrakt. I n unseren Beispielsätzen kommen folgende Eigennamen v o r : „ H a n s " ,
„die Zugspitze", „die E r d e " , „der M o n d " , „Richard" u n d „Maria".
Hingegen sind Begriffswörter wie „Berg", die keine Gegenstände be-zeichnen sondern Eigenschaften v o n Gegenständen, keine Eigennamen.
W e n n wir n u n einen oder mehrere Eigennamen i n einem Satz streichen, so entsteht ein Ausdruck, den w i r als Prädikat bezeichnen.
Jeder Satz, der einen Eigennamen enthält, läßt sich also, ev. i n ver-schiedener Weise, i n Eigennamen u n d ein Prädikat zerlegen. A u s unseren Beispielsätzen erhalten w i r so die Prädikate:
T) „ raucht".
2') „ ist ein B e r g " . 3') „ ist größer als der M o n d " . 3") „Die Erde ist größer als
3"') „ ist größer als 4') „ liebt M a r i a " . 4") „Richard liebt
4"') „ liebt
W i r wollen n u n die Leerstellen i n diesen Prädikaten, die i n den zugehörigen Sätzen (1) bis (4) durch Eigennamen ausgefüllt waren, genauer kennzeichnen u n d damit einen ersten Schritt zur Symboli-sierung der Subjekt-Prädikat-Struktur t u n . D a z u können w i r Variable verwenden, d. h . Buchstaben wie z. B . ,,x", ,,y", „ z " , . . . , die w i r auch als Gegenstandsvariablen (kurz G V ) bezeichnen. D i e W a h l der G V soll dabei keine Rolle spielen, es sollen nur Leerstellen, die durch Streichung verschiedener Eigennamen i m gleichen Satz entstanden sind, auch durch verschiedene G V ausgefüllt werden. I m folgenden wollen w i r immer Prädikate mit Variablen schreiben, also statt (1') bis (4"') etwa:
V) ,,x raucht".
2') „x ist ein B e r g " . 3'") ,,y ist größer als z".
4'") „x liebt ytl usf.
Diese Schreibweise legt es nahe, Prädikate verschiedener Stellen-zahl z u unterscheiden: als StellenStellen-zahl eines Prädikates bezeichnen wir die Zahl der i n i h m vorkommenden (untereinander verschiedenen) G V .
So sind (1') u n d (2') einstellige, (3"') u n d (4'") zweistellige Prädikate.
Das Prädikat „x liebt x" ist ein einstelliges Prädikat, denn die beiden Vorkommnisse der G V „x" sind Vorkommnisse derselben G V .
Prädikate bezeichnet m a n auch als Satzformen, denn aus ihnen entstehen Sätze, wenn m a n für alle Variablen Eigennamen einsetzt.
Eine solche Einsetzung, bei der für alle Vorkommnisse der gleichen G V i m Prädikat immer der gleiche Eigenname einzusetzen ist, nennen wir auch Substitution. Werden für alle Variablen eines Prädikates Eigen-namen eingesetzt, so bezeichnen w i r das Resultat dieser Einsetzung als Instanz des Prädikates. E s bedeutet n u n für die Zwecke der Logik eine wesentliche Vereinfachung, wenn m a n fordert, daß alle Instanzen der Prädikate Sätze sind. Diese Forderung bezeichnen w i r auch als Totalitätsforderung für Prädikate. Sie ist i n der Umgangssprache nicht erfüllt. M a n wird solche Ausdrücke wie „77 raucht" oder „München hebt den M o n d " nicht als Sätze ansehen, weil die Prädikate „raucht"
u n d „ h e b t " n u r für Menschen erklärt sind, so daß m a n aus (1') u n d (4'") n u r dann Sätze erhält, wenn m a n für „x" u n d „j>" N a m e n v o n Menschen einsetzt. Aber m a n k a n n aus solchen unvollständig er-klärten Prädikaten immer auf einfache Weise total definierte Prädikate gewinnen, indem m a n festsetzt, daß alle ursprünglich bedeutungslosen Instanzen des Prädikates n u n falsche Sätze sein sollen. „77 raucht" u n d
„München liebt den M o n d " sind danach also als falsche Sätze anzusehen.
W i r haben bisher die Prädikate n u r insoweit semantisch charakteri-siert, als w i r sagten, daß ihre Instanzen Sätze sind. M a n k a n n aber den Prädikaten auch eine selbständige Bedeutung zuordnen, wie das dem üblichen Verständnis der Umgangssprache entspricht. M a n wird dann sagen: Prädikate bezeichnen Begriffe. Näherhin sagt m a n : einstellige Prädikate bezeichnen Eigenschaften: „x ist r o t " bezeichnet die Eigenschaft, rot z u sein, „x ist ein B e r g " bezeichnet die Eigenschaft, ein B e r g z u sein. M i t Verben drücken w i r momentane Eigenschaften aus: ,,x r a u c h t " bezeichnet die Eigenschaft, z u einem bestimmten Zeitpunkt (in dem die Aussage gemacht wird) z u rauchen (ein Rauchender zu sein), usw. Mehrstellige Prädikate bezeichnen Beziehungen zwischen Gegenständen, „x ist größer als y" bezeichnet die Beziehung, die zwischen einem ersten u n d einem zweiten Gegenstand besteht, wenn der erste größer ist als der zweite, die Beziehung des Größerseins also,
„x hebt y" bezeichnet die Beziehung der Liebe. Eigenschaften u n d Be-ziehungen fassen w i r zusammen unter dem Terminus „Begriff" u n d
Kutschera, Elementare Logik 8
unterscheiden so einstellige Begriffe (Eigenschaften) u n d mehrstellige Begriffe (Beziehungen).
W i e sich ein Satz zusammensetzt aus Prädikat u n d Eigennamen, so wollen wir auch sagen, daß sich die Proposition zusammensetzt aus einem Begriff u n d Gegenständen: genauer: die d u r c h einen Satz be-zeichnete Proposition setzt sich zusammen aus dem durch das Satz-prädikat bezeichneten Begriff u n d den durch die Eigennamen i m Satz bezeichneten Gegenstände. Die Satzbedeutung wird also determiniert durch die Bedeutung seiner Bestandteile.
W i e für die Aussagenlogik nur die Charakterisierung der Sätze als wahr oder falsch von Interesse war, nicht hingegen der Satzinhalt, die Proposition, so ist, wie wir später noch sehen werden, für die Prädikaten-logik nur der Umfang der durch die Prädikate bezeichneten Begriffe, nicht deren Inhalt von Interesse. Den Unterschied zwischen Inhalt u n d Umfang eines Begriffes können wir am Beispiel der beiden Prädikate ,,x ist ein Lebewesen m i t H e r z " u n d ,,x ist ein Lebewesen mit N i e r e "
veranschaulichen: Diese beiden Prädikate bezeichnen Begriffe ver-schiedenen Inhalts: die Eigenschaft, ein Lebewesen m i t Herz zu sein, ist verschieden von der Eigenschaft, ein Lebewesen m i t Niere zu sein.
Wenn die Erfahrung aber zeigt, daß alle Lebewesen, die ein Herz haben, auch eine Niere haben u n d umgekehrt, so fallen unter beide Begriffe die gleichen Gegenstände, ihr U m f a n g ist daher gleich.
Den Umfang des bezeichneten Begriffes nennt man auch Extension des Prädikates, seinen Inhalt bzw. den Begriff selbst die Intension des Prädikates.
M i t der Verwendung von G V z u m Ausdruck der Prädikate haben wir oben schon einen ersten Schritt zur Einführung eines prädikaten-logischen Symbolismus getan. Der Nutzen dieses Schrittes zeigte sich bei der Unterscheidung von Prädikaten verschiedener Stellenzahl ins-besondere dort, wo verschiedene Prädikate mit dem gleichen V e r b u m oder Attribut gebildet sind, wie bei der Unterscheidung der Prädikate
„x liebt y" und „x liebt x". Würde m a n hier die Variablen weglassen, so erhielte man beidesmal den Ausdruck ,,liebt", dem man nicht ansieht, ob er eine Eigenschaft oder eine Beziehung ausdrückt. N a c h dem Ge-danken der lingua char acteristica müssen aber solche Unterschiede i n der Bedeutung syntaktisch deutlich gemacht werden.
W i r wollen nun auch den Teil des Prädikates durch ein Symbol wiedergeben, der von den Variablen verschieden ist. D a z u verwenden wir die Buchstaben „ F " , , , G " , „ # " , . . . , die wir auch als
Prädikat-konstanten (kurz P K ) bezeichnen. In jedem K o n t e x t ordnen w i r einer solchen P K eine Stellenzahl z u : soll z. B . „ F " ein umgangssprachliches Prädikat symbolisieren, i n dem bei Ersetzung aller Eigennamen durch verschiedene G V n Vorkommnisse v o n G V enthalten sind, so nennen w i r
„ F " eine n-stellige P K . W i r bilden dann m i t „ F " ein Prädikat unserer Symbolsprache, indem w i r hinter den Buchstaben „ F " i n K l a m m e r n und durch K o m m a t a getrennt n G V anschreiben, also z. B .
„ F ( #7, . . . , xn)'(. So können w i r ,,x raucht" symbolisieren durch ,,G(x)", wo , , G " dann eine einstellige P K ist, „x liebt y(< durch „H(x,y)"t wo ,,Ht( eine zweistellige P K ist. Das Prädikat „x hebt x" ist dann durch
„H(xt x)" z u symbolisieren. A u c h hier ist „H" eine zweistellige P K , aber „H(x, x)" ist ein einstelliges Prädikat. W e n n w i r n u n Eigennamen durch die Buchstaben „&", „ c " , . . . abkürzen, so stellen sich die einfachen Sätze unserer Symbolsprache wie folgt d a r : „ F ( Ä7, . . . , a j " , ,,G(c)", tiH(b, c)", usw. D i e Buchstaben „ a " , „ 6 " , „ c " , . . . nennen w i r Gegenstandskonstanten (kurz G K ) . Sätze dieser Gestalt sind n u n unsere Atomsätze. A u s ihnen können w i r m i t Hilfe der aussagenlogischen Verknüpfungen komplexe Sätze bilden wie z. B . „—\G(a)<<, ,,H(a, b) A H(b, c) D H(a, c) v F ( c ) " usw. W e n n w i r i n solchen Sätzen n u n G K durch G V ersetzen, so erhalten w i r auch komplexe Prädikate, wie z. B .
„H{a, x) A H{x, y) D H{at y) v F{y)" oder „H(z, x) A H(x, y) D H(z, y) v F(y)", ,,H(a, b) A H(X, y) D H(a, y) v F ( c ) " usw. A u s vorgegebenen Grundprädikaten können w i r also m i t Hilfe der a.l. Verknüpfungen komplexe Prädikate erzeugen. Ihre Bedeutung ergibt sich aus der Bedeutung der Grundprädikate: bedeute ,,F(x)" die Eigenschaft, rot zu sein, ,,G(x)" die Eigenschaft, rund z u sein, so bedeutet ,,—\F(x)"
die Eigenschaft, nicht rot z u sein, ,,F(x) A G(x)t< die Eigenschaft rot u n d r u n d z u sein.
2.1.2 A l l - u n d Existenzsätze
W i e sich die A . L . auf die Theorie der a.l. Operatoren wie „nicht"
„ u n d " , „oder" usf. aufbaut, so gründet sich die Prädikatenlogik auf die Theorie der sogenannten p . l . Operatoren, die w i r umgangssprachlich d u r c h Wörter wie „alle" oder „jedes" u n d „einige" oder „es gibt e i n "
ausdrücken. W i r wollen zunächst die F u n k t i o n dieser Wörter i n der Umgangssprache untersuchen.
D i e Aussage: I) „Alle Dinge sind rot oder nicht r o t " steht ihrer grammatischen Gestalt nach i n enger Analogie z u der Aussage: II)
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„Diese Rose ist rot oder nicht r o t " . Danach liegt es zunächst nahe z u sagen: Der Ausdruck „alle D i n g e " verhält sich z u m Satz I ebenso wie der Ausdruck „diese R o s e " z u m Satz II, er ist also ein Eigenname, der einen Gegenstand bedeutet, von dem ausgesagt wird, er sei rot oder nicht rot. Diese Deutung erweist sich aber als undurchführbar. Z u -nächst kann „alle D i n g e " kein Eigenname sein, d a dieser Ausdruck keinen bestimmten Gegenstand, kein einzelnes D i n g bezeichnet. M a n k a n n auch nicht sagen, daß er die Gesamtheit aller Dinge, die Klasse aller Dinge bezeichnet, denn der Satz I besagt nichts über diese Klasse, sondern etwas über die Gegenstände, die ihr zugehören. Ferner läßt sich der Inhalt des Satzes I I auch wiedergeben durch den Satz:
II') „Diese Rose ist rot oder diese Rose ist nicht r o t " , II läßt sich ja als K u r z f o r m dieses Satzes auffassen. Hingegen ist der z u I I ' analoge S a t z : F) „Alle Dinge sind rot oder alle Dinge sind nicht r o t " m i t I nicht gleichbedeutend, da I wahr, F aber falsch ist.
Ebensowenig läßt sich auch der Ausdruck „einige D i n g e " z. B . i n dem Satz III) „Einige Dinge sind rot u n d nicht r o t " als Eigenname auffassen. D e n n „einige D i n g e " bezeichnet keinen bestimmten Gegen-stand u n d die Sätze III u n d : I I F ) „Einige Dinge sind rot u n d einige Dinge sind nicht r o t " sind nicht inhaltsgleich, da III falsch, I I F aber wahr ist.
W e n n n u n die Wörter „alle" u n d „einige" keine Eigennamen sind, w o r i n besteht dann ihre sprachliche F u n k t i o n ? U m uns z u diesem P u n k t einfacher ausdrücken z u können, wollen w i r die verschiedenen umgangssprachlichen Formulierungen der Sätze, die Ausdrücke wie
„alle", „jedes" bzw. „einige" oder „es gibt e i n " enthalten, immer i n eine feste F o r m umschreiben, für die w i r die beiden Formulierungen:
I V ) „Für jedes D i n g gilt: . . . " und V) „ E s gibt ein D i n g , für das gilt:
. . . " wählen. D a n n nehmen z. B . die Sätze „Alle Dinge sind r o t " u n d
„Einige Dinge sind r o t " die F o r m a n : „Für jedes D i n g gilt: es ist r o t " u n d „ E s gibt ein D i n g , für das gilt: es ist r o t " .
H a b e n wir nun ein einstelliges Prädikat, so können w i r daraus durch Voranstellen der Ausdrücke I V u n d V Sätze bilden, wenn wir die G V des Prädikates durch das W o r t „ e s " ersetzen. W i r können also sagen: die Ausdrücke I V u n d V sind Operatoren, mit denen wir aus einstelligen Prädikaten Sätze büden können. W i r wollen diese Opera-toren als All- bzw. ExistenzoperaOpera-toren bezeichnen, die m i t ihnen ge-bildeten Sätze als All- bzw. Existenzsätze oder auch als Generalisierungen bzw. Partikularisierungen der zugehörigen Prädikate.
Neben der syntaktischen F u n k t i o n dieser Operatoren müssen w i r auch ihre semantische F u n k t i o n betrachten. Diese F u n k t i o n läßt sich charakterisieren durch folgende beiden P r i n z i p i e n :
2.1.2.1 E i n Allsatz ist wahr genau dann, wenn der durch das generali-sierte Prädikat bezeichnete Begriff auf alle Gegenstände zutrifft, — er ist falsch, wenn es mindestens einen Gegenstand gibt, auf den dieser Begriff nicht zutrifft.
2.1.2.2 E i n Existenzsatz ist wahr, wenn es mindestens einen Gegen-stand gibt, auf den der durch das partikularisierte Prädikat bezeichnete Begriff zutrifft, — er ist falsch, wenn dieser Begriff auf keinen Gegen-stand zutrifft.
Diese Prinzipien spiegeln den umgangssprachlichen Gebrauch der Wörter ,,jedes" u n d „es gibt e i n " wider, denn w i r sagen, der Satz
„Für jedes D i n g gilt: es ist r o t " sei wahr, genau dann, wenn alle Gegen-stände die Eigenschaft ,rot' haben, u n d w i r sagen, der Satz „ E s gibt ein D i n g , für das gilt: es ist r o t " sei wahr, genau dann, wenn es minde-stens einen Gegenstand gibt, der die Eigenschaft ,rot' hat.
W i r haben zunächst nur die Zusammensetzung der Wörter „jedes"
und „es gibt e i n " m i t dem Prädikat „ D i n g " betrachtet. W i e steht es nun m i t solchen Zusammensetzungen wie „jeder M e n s c h " oder „es gibt einen P h i l o s o p h e n " bzw. den Sätzen der Gestalt „Für jeden Menschen gilt: . . . " oder „ E s gibt einen Philosophen, für den gilt:
" ? S i n d solche Zusammensetzungen v o n „jeder" u n d „es gibt e i n " m i t anderen Begriffsworten neue Operatoren, für die eigene se-mantische Prinzipien aufzustellen wären? D i e A n t w o r t darauf ergibt sich aus der Möglichkeit, solche A l l - u n d Existenzsätze auf die oben betrachteten zurückzuführen: W i r können etwa den Satz „Für jeden Menschen gilt: er ist sterblich" übersetzen i n den Satz „Für jedes D i n g gilt: wenn es ein Mensch ist, dann ist es sterblich". U n d w i r können den Satz „ E s gibt einen Philosophen, für den gilt: er ist E x i s t e n -t i a l i s -t " überse-tzen i n den Sa-tz „ E s gib-t ein D i n g , für das gil-t: es is-t ein Philosoph u n d es ist Existentialist". D a h e r kommen wir also m i t den Operatoren I V u n d V aus.
Bisher haben wir nur Zusammensetzungen der prädikatenlogischen Operatoren m i t einstelligen Prädikaten betrachtet u n d gesehen, daß diese Zusammensetzungen Sätze ergeben. M a n k a n n die Operatoren aber auch auf mehrstellige Prädikate anwenden, wie folgende Beispiele zeigen: A u s dem zweistelligen Prädikat ,,x ist m i t y identisch oder x
ist nicht mit y identisch" erhalten wir durch Voranstellen des A l l -operators das einstellige Prädikat: VI) „Für jedes D i n g gilt: es ist m i t y identisch oder es ist nicht mit y identisch". U n d aus dem drei-stelligen Prädikat „x liegt zwischen y u n d ztl erhalten wir durch P a r -tikularisierung das zweistellige Prädikat: V I I ) ,,Es gibt ein Ding, für das gilt: es liegt zwischen y und z".
W i r sehen also, daß die p . l . Operatoren auch auf mehrstellige Prädi-kate angewendet werden können und daß sie aus w-stelligen PrädiPrädi-katen für n > 1 (n — stellige Prädikate erzeugen. A u f diese (n — 7)-stelligen Prädikate müssen sich dann wieder p . l . Operatoren anwenden lassen. Aber der sprachliche Ausdruck solcher mehrfacher Generali-sierungen u n d PartikulariGenerali-sierungen macht i n vielen Fällen Schwierig-keiten und folgt in der Umgangssprache keinen einfachen Gesetzen.
A u s V I erhalten wir z. B . V I I I ) ,,Es gibt ein Ding, für das gilt: für jedes D i n g gilt: es ist mit i h m identisch oder es ist m i t i h m nicht identisch". Hier ist der Bezug des Pronomens „ihm" auf „ein D i n g "
u n d von „es" auf „jedes D i n g " noch deutlich. A b e r wenn wir aus V I I den Satz bilden: I X ) „ E s gibt ein Ding, für das gilt: es gibt ein Ding, für das gilt: es gibt ein Ding, für das gilt: es liegt zwischen i h m u n d i h m " so bleibt der Bezug der Pronomina völlig i m D u n k e l n , und damit auch der Sinn dieses Satzes. U m ihren Bezug auf die verschiedenen Operatoren deutlich werden z u lassen, empfiehlt es sich daher, i h n symbolisch hervorzuheben. Das kann z. B . durch die Verwendung v o n Variablen geschehen: wir verwenden G V statt der Pronomina u n d fügen die gleichen Variablen in die Operatoren ein. W i r schreiben also statt „Für jedes D i n g g i l t : " „Für jedes D i n g x g i l t : " , wo x eine G V ist.
U n d statt „Es gibt ein D i n g , für das g i l t : " schreiben wir „ E s gibt ein D i n g x, für das g i l t : " . D a n n wird aus dem Satz „Für jedes D i n g gilt:
es ist r o t " also „Für jedes D i n g x gilt: x ist r o t " und aus V I I I u n d I X entstehen die Sätze: „ E s gibt ein D i n g x, für das gilt: für jedes D i n g y gilt: x ist mit y identisch oder x ist nicht mit y identisch", und „ E s gibt ein D i n g x, für das gilt: es gibt ein D i n g y, für das gilt: es gibt ein D i n g z, für das gilt: x liegt zwischen y u n d z(.
D a m i t haben wir den ersten Schritt zur Symbolisierung der A l l -u n d Existenzsätze getan. W i r wollen diese Symbolisier-ung n-un ver-vollständigen :
Z u m Ausdruck der Generalisierung verwenden wir das Symbol „A"
und schreiben für „Für jedes D i n g x gilt: . . . " kurz „ A % ( . . . ) " und lesen diesen Ausdruck kurz „Für alle x gilt: . . . " . Z u m A u s d r u c k der
Par-tikularisierung verwenden w i r das S y m b o l „ V " und schreiben für ,,Es gibt ein D i n g xt für das gilt: . . . " kurz , , V # ( . . . ) " , wobei wir diesen Ausdruck lesen als ,,es gibt ein x, für das gilt: . . . " . Die Symbole , , A " und „ V " nennen w i r All- u n d Existenzoperator, die Ausdrücke Ax u n d Vx nennen wir All- u n d Existenzquantor.
Wenn wir nun die i m vorausgehenden Abschnitt besprochene Symbolik für Prädikate verwenden, so haben wir eine einfache und über-sichtliche Symbohk z u m Ausdruck p . l . Sätze, i n der A l l - bzw. Existenz-sätze gebildet werden durch Voranstellen eines Quantors vor das i n K l a m m e r n gesetzte Prädikat. E s steht also i)l\x(F(x))t< für „alle x haben die Eigenschaft F " , ,yx(-iAy(H(x,y)))<t für „ E s gibt ein x, so daß nicht alle y z u x in der Beziehung H stehen" usw.
Daß m a n ein besonderes Zeichen für die Allgemeinheit braucht und nicht einfach die G V z u m Ausdruck der Allgemeinheit verwenden kann, wie z. B . i n der Formulierung der Gleichung ,,(x + y)2 = x2 + 2xy + y2"
für den All-satz „Für alle Zahlen x u n d y gilt: (x -f- y)2 = x2 + 2xy + y2<<
ergibt sich schon aus der Notwendigkeit der Unterscheidung zwischen einer Verneinung der Allgemeinheit u n d der Allgemeinheit der Ver-neinung. In dem Satz „Alle Dinge haben die Eigenschaft n i c h t - F "
wird etwas anderes ausgesagt als i n dem Satz „Nicht alle Dinge haben die Eigenschaft F " , u n d beide können so verschiedene Wahrheitswerte haben. W e n n m a n aber die Allgemeinheit nur durch die Variable ,,#"
ausdrücken wollte, so wären beide Sätze symbolisch als ,,—iF(#)" zu schreiben, so daß ihr Bedeutungsunterschied verwischt würde.
D a w i r bereits oben für den F a l l der Quantifizierung, d. h . der Generalisierung oder der Partikularisierung mehrstelliger Prädikate, die Notwendigkeit hervorgehoben haben, nicht nur Operatoren, sondern Quantoren z u verwenden zur Kennzeichnung derjenigen Leerstellen eines Prädikates, auf die sich die A l l - , bzw. Existenzbehauptung bezieht, so ist damit die Zweckmäßigkeit unserer Symbolik hinreichend erwiesen.
D e r weitere U m g a n g mit dieser Symbolik wird den Blick für die E i n -fachheit u n d die Leistungsfähigkeit dieser Symbolik noch schärfen1.
D i e Verwendung v o n G V z u m Ausdruck der Quantifizierung macht n u n eine Unterscheidung notwendig: In dem Satz Ax(F(x)) dient die Variable x zur Andeutung der Allgemeinheit, nicht aber, wie i n dem Prädikat F(x), zur Hervorhebung der Leerstelle eines Prädikates u n d