Formalisierungen des natürlichen Schließens

Nachdem w i r i m letzten Abschnitt m i t dem Kalkül $ 1 bereits einen allen Ansprüchen der Präzision genügenden Kalkül der P . L . aufgebaut haben, bedarf es einer Begründung, wenn w i r i n diesem A b s c h n i t t noch weitere Formalisierungen der P . L . zur Darstellung bringen.

W^rir haben den Kalkül *ßl vorangestellt, weil er die gebräuchlichste Gestalt eines axiomatischen Kalküls hat, eine Gestalt, die sich wegen ihrer Einfachheit auch didaktisch zur Einführung i n die Formali-sierung der P . L . empfiehlt. D e r Kalkül ^31 bleibt aber i n einem P u n k t unbefriedigend: W e n n m a n v o n der Definition der P . L . , der Abgren-zung ihrer Theoreme u n d Schlüsse durch die semantischen Festlegungen nach 2.2 ausgeht, so ist der Übergang z u m Kalkül $ 1 m i t gerade diesen Axiomen u n d diesen Deduktionsregeln alles andere als zwingend. Tat-sächlich k a n n m a n sich j a neben $ 1 auch beliebig viele p . l . Kalküle mit anderen Axiomen u n d Deduktionsregeln einfallen lassen. In jedem F a l l ist die Adäquatheit eines solchen Kalküls nachzuweisen, bevor m a n ihn als Formalisierung der P . L . ansprechen kann. E i n solcher Adäquat-heitsbeweis ist i n keinem F a l l eine triviale Angelegenheit. So ist denn

auch erst gut 50 Jahre nach der Aufstellung eines axiomatischen Systems der P . L . v o n F R E G E i n [14] der erste p . l . Vollständigkeitsbeweis von G Ö D E L i n [26] geführt worden. Die Schwierigkeiten solcher V o l l -ständigkeitsbeweise rühren nun u . a. auch daher, daß zwischen den semantischen Regeln u n d den A x i o m e n u n d Deduktionsregeln des K a l -küls keine einfache u n d unmittelbare Beziehung besteht. Daher liegt der Gedanke nahe, einmal den Versuch zu machen, die semantischen Regeln direkt z u formalisieren u n d i n die Gestalt eines Kalküls zu bringen, so daß der Übergang von der Semantik z u m Kalkül zwingend und der Vollständigkeitsbeweis vereinfacht wird.

Die Kalküle, die w i r i n diesem Abschnitt angeben wohen, lassen sich als solche direkten Formalisierungen der Semantik auffassen. Sie stellen so die theoretisch befriedigendste Kalkühsierung der P . L . dar.

U n t e r dem Gesichtspunkt der Wiedergabe der semantischen Fest-setzungen durch Kalkülregeln kann m a n diese Systeme der P . L . auch als Formalisierungen des natürlichen Schließens ansprechen. M i t dieser Bezeichnung meint m a n zunächst das Schließen, wie es i m Alltag u n d in den Wissenschaften angewendet wird vor seiner wissenschaftlich-logischen Systematisierung. W e n n m a n die Methode dieses Schheßens allgemein charakterisieren will, so w i r d m a n nicht davon ausgehen können, daß gewisse Schlußmethoden besonders natürlich u n d evident sind, sondern m a n k a n n sagen: das natürhche Schheßen gründet sich darauf, daß die Gültigkeit v o n Schlüssen aus der logischen Struktur der Prämissen u n d Konklusionen u n d den semantischen Festlegungen über die logischen Operatoren gewonnen wird. Tatsächhch kann ja die Gültigkeit eines Schlusses nur v o n dem eingesehen werden, der die Sprache versteht, i n der die i m Schluß verbundenen Sätze formuhert sind — der Gebrauch der semantischen Festsetzungen ist also notwendig für das natürliche Schließen. U n d die semantischen Regeln sind i n Abwesenheit logischer Kalküle auch die einzigen logischen Gegeben-heiten, auf die sich ein Gültigkeitsbeweis stützen kann. Das natürhche Schließen orientiert sich also direkt an den semantischen Festsetzungen und eine Formalisierung des natürhchen Schließens muß daher die Gestalt einer Formahsierung der Semantik annehmen.

Für die A . L . spiegelt sich das Verfahren des natürhchen Schließens etwa i n der Methode der Wahrheitsentwicklung der Sätze nach 1.2.4 wider. Diese Methode schließt sich direkt an die Bedeutungsfestlegungen für die a.l. Operatoren durch die Wahrheitstabellen an u n d erscheint so i n t u i t i v besonders durchsichtig u n d natürlich. Für die P . L . hat zuerst

G E R H A R D G E N T Z E N i n [25] Kalküle des natürlichen Schließens auf-gestellt. Die p . l . Regeln seiner Kalküle N J u n d N K sind dann insbeson-dere von W . V . Q U I N E i n [56] u n d [59] der Idee des natürlichen Schlie-ßens noch besser angepaßt worden. Die eleganteste F o r m nehmen diese Kalküle jedoch an, wenn m a n zur Sequenzen-Schreibweise übergeht, wie das G E N T Z E N vorgezeichnet hat. E i n e zweite E n t w i c k l u n g s -reihe der Formalisierungen des natürlichen Schließens geht von der Methode der semantischen Tafeln v o n E . W . B E T H i n [4] aus. A u c h die Grundgedanken dieser Formalisierung lassen sich am besten i n der F o r m eines Sequenzenkalküls z u m A u s d r u c k bringen.

Im folgenden wollen w i r bei der Darstellung der Kalküle des natür-lichen Schließens aber nicht diesen historischen Entwicklungslinien folgen, sondern m i t der Formalisierung der B E r a s c h e n Gedanken i m Sequenzenkalkül Sß2 beginnen, der die Idee des natürlichen Schließens, wie wir sie oben formuliert haben, besonders klar z u m Ausdruck bringt.

Auf die Methode der semantischen Tafeln geht dann der Abschnitt 2.4.1.4 ein. I m A b s c h n i t t 2.4.2 gewinnen wir aus <ß2 direkt den G E N T Z E N -schen Sequenzenkalkül ^33, für den eine eigene semantische Begründung angegeben wird, die eine kurze Charakterisierung auch der intuitionisti-schen Logik ermöglichen soll. A u f den Kalkül N K von G E N T Z E N u n d seine Modifikation nach Q U I N E endlich k o m m e n wir i m Abschnitt 2.4.2.5 zu sprechen. I m Z e n t r u m unserer Aufmerksamkeit sollen aber vor allem die Sequenzenkalküle <p2 u n d $ 3 stehen, ihre semantische Begründung u n d die A n a l y s e ihres Beweisbegriffes. W e n n der U m g a n g mit solchen Sequenzenkalkülen auf den ersten B l i c k vielleicht kompli-zierter erscheinen m a g , als der U m g a n g mit Systemen wie <pi, so hoffen wir doch, daß der Leser an dieser Stelle schon die Scheu vor neuen Symbolismen verloren hat u n d sich der Mühe der Einarbeitung i n eine ungewohnte Ausdrucksform i m H i n b l i c k auf die theoretische und prak-tische Bedeutung solcher Sequenzenkalküle unterziehen wird.

2.4.1 Der Kalkül $ 2

2.4.1.1 Der Aufbau des Kalküls <p2. D e m Kalkül $2, den wir als eine erste Formalisierung des natürlichen Schließens zur Darstellung bringen wollen, liegt folgender Gedanke zugrunde: B e i der a.l. Methode der Wahrheitsentwicklung geht m a n aus von den möglichen Wahrheits-annahmen für die atomaren Bestandteile eines Satzes A , dessen a.l.

Wahrheit geprüft werden soll, u n d sucht zu zeigen, daß A für jede dieser Annahmen auf G r u n d der Bewertungsregeln den Wert w annimmt.

Ebenso hätte man ein indirektes Verfahren z u r Anwendung bringen können, bei dem m a n versucht, eine Bewertung z u konstruieren, die dem Satz A den W e r t f zuordnet. D a n n w i r d m a n v o n der Wahrheits-annahme f für A ausgehen u n d vermittels der Bewertungsregeln auf die Wahrheitswerte der Teilsätze v o n A zurückschließen u n d so eine W a h r -heitswertverteilung für die Atomsätze von A aufsuchen, die A den Wert f zuordnet u n d so zeigt, daß A nicht v o n allen Bewertungen erfüllt wird, also nicht a.l. wahr ist. Scheitert m a n bei diesem Versuch, eine Bewertung z u konstruieren, die A nicht erfüllt, so weiß m a n , daß es keine solche Bewertung gibt, daß also alle Bewertungen A erfüllen, und hat damit einen Beweis für die a.l. W a h r h e i t v o n A .

Dazu einige Beispiele:

I) W i r untersuchen die F o r m e l p v —\p auf ihre a.l. Wahrheit u n d gehen also von der A n n a h m e aus, es sei W(p v —\p) = f für eine Bewer-tung 5B. D a n n muß nach 1.3.2.1—c gelten 2B(/>) = f u n d 2B(-#) = f, nach 1.3.2.1—a also 2B(^>) = ro. N u n gibt es aber keine Bewertung 2B, die einer Formel zugleich die Werte ro u n d f zuordnet — eine Bewertung sollte ja eine F u n k t i o n sein u n d eine F u n k t i o n n i m m t für jedes A r g u -ment nur einen W e r t a n . E s k a n n also nicht gelten 2B(^>) = to u n d

%ß(p) = f, also ist die F o r m e l p v —\p logisch wahr.

II) W i r untersuchen die F o r m e l ((p Z)q)'Dp)Z)q u n d gehen v o n der Annahme aus, es sei 2B(((^> Z> q) Z> p) D q) = f. D a n n finden wir nach 1 . 3 . 2 . 1 - d : a) 2B((/> D q) Z>p) = ro u n d b) W{q) = f. A u s (a) folgt:

c) 2B(£ D q) = f oder d) 2B(£) = ro. A u s (c) folgt aber 2B(£) = ro u n d

%ß(q) = f. Eine Bewertung 3B, für die gilt 2B(/>) = ro u n d 3 % ) = f erfüllt also die Formel ((p D q) D p) Z) q nicht, d . h . diese F o r m e l ist nicht a.l. wahr.

III) W i r untersuchen nun die p . l . F o r m e l VxAyf(x, y) D AyVxf(x,y) und nehmen an, es sei %R(VxAyf(x, y) D AyVxf(x, y)) = f, wobei 2ß nun eine p . l . Bewertung sei. D a n n gilt $B(VxAyf(x, y)) = ro u n d %B(AyVx {{x^} y)) = f. Daraus folgt, daß es G V u u n d v gibt, so daß gilt

$B{Ayf(u, y)) = ro u n d 2B(V#/(#, v)) == f. Insbesondere muß dann auch gelten 2B(/(«, u)) = 9B(/(«, v)) = ro u n d 2B(/(«, v)) = 3B(/(v, v)) = f.

N u n gibt es aber keine Bewertung 2B, für die gelten könnte 9B(/(w, v)) = ro und 9B(/(w, v)) = f, u n d daher gibt es auch keine Bewertung, für die gilt ZB(VxAyf(x^f y) D AyVxf(x, y)) = f.

Dieses Verfahren ist auch dann anwendbar, wenn gezeigt werden soll, daß eine F o r m e l A logisch falsch ist — dann hat m a n v o n der A n -nahme $B(A) = tD auszugehen — oder allgemein, wenn gezeigt werden soll, daß ein Schluß A^v..., A^m B^v. . . , Bⁿ logisch gültig ist — d a n n hat man von der Annahme © ( A J = . . . = = 2B(A^m) == ro u n d 2B(B^X) =

. . . = 2B(Bⁿ) = f auszugehen.

Das bisher nur lose angedeutete Verfahren soll n u n z u einem formalen Beweisverfahren präzisiert werden i m Kalkül *ß2. D a b e i legen w i r i m folgenden die i n 2.2.2 dargestellte p . l . Bewertungssemantik zugrunde, für welche die Gedanken der Foimabsierung etwas durchsichtiger wer-den. A u s der Äquivalenz von Bewertungs- u n d Interpretationssemantik ergibt sich aber sofort auch die Übertragung der nachstehenden Über-legungen i n die Interpretationssemantik.

A u n d T seien i m folgenden immer Reihen v o n F o r m e l n , die durch K o m m a t a getrennt sind. Diese Reihen können evtl. nur eine F o r m e l enthalten oder auch gar keine. Ist ( A; T) das geordnete P a a r v o n F o r m e l -mengen, dessen erstes Glied die Menge der F o r m e l n aus A , dessen zweites Glied die Menge der Formeln aus T ist, so können w i r durch ( A ; T) eine Wahrheitsannahme 2B charakterisieren, die alle F o r m e l n aus A erfüllt, aber keine der Formeln aus !~.

Die Schritte unseres Beweisverfahrens bestehen n u n i n der E r z e u -gung von Wahrheitsannahmen aus Wahrheitsannahmen, also von Paaren ( A ; I") aus Paaren ( A ' ; P ) . E i n e Formalisierung dieses Ver-fahrens muß aber ein syntaktisches Verfahren ergeben, i n dem Aus-drücke aus AusAus-drücken erzeugt werden. Daher wollen w i r die Paare ( A ; T) durch Ausdrücke repräsentieren.

2.4.1.1.1 A l s Sequenz (kurz SQ) bezeichnen wir einen Ausdruck der Gestalt A^v..., A^m =>- B^v. . . , Bⁿ, wo A^v..., A^m, B^v. . . , Bⁿ F o r m e l n von

*P sind. Die Formeln A^v..., A^m bezeichnen w i r auch als Vorderformeln (kurz V F ) , die Formeln B^v. . . , Bⁿ als Hinterformeln (kurz H F ) der S Q . W i r lassen zu, daß entweder die Menge der V F oder die Menge der H F einer S Q leer ist. A u c h die Ausdrücke B^v. . . , Bⁿ u n d A^v. . . , A^m nicht aber das Zeichen sind also S Q .

2.4.1.1.2 W i r sagen, eine S Q A T repräsentiere eine Wahrheits-annahme <A'; P ) , wenn A m i t A ' u n d T m i t P identisch ist. U n d wir sagen, eine Bewertung 2B erfülle eine S Q E, wenn 2B alle V F von 27, aber keine H F von E erfüllt.

Welcher Sprache gehören nun die S Q als Ausdrücke an? Die S Q -Formeln, d. h . die V F und H F , gehören der Sprache $ an, nicht hin-gegen das Zeichen Also sind die S Q keine Ausdrücke von fy. W i r können aber z u <ß eine Sprache S$' bilden, deren Formeln gerade die S Q sind. ist dann die Objektsprache, auf die wir uns beziehen, wenn wir über S Q reden u n d SQ-Kalküle formulieren.

Die Reihenfolge u n d die Häufigkeit, mit der man die Elemente einer Menge nennt, spielt für die Abgrenzung dieser Menge keine Rolle. Daher gilt:

<A, A , B , A ' ; r> = < A , B , A , A ' ; T>, <A; f~, A , B , P> = ( A ; F~, B , A , P ) ,

<A, A , A ; T> - <A, A ; T> u n d <A; A , A , T> = <A; A , l~>. Hingegen be-wirkt eine Veränderung der Reihenfolge oder der Häufigkeit des Vor-kommens der Bestandteile eines Ausdrucks eine Veränderung des Ausdrucks selbst: so ist z. B . baabb ein anderer Ausdruck als ab. Daher gelten die analogen Identitäten für S Q nicht. I m Hinblick auf unsere Absicht, durch S Q Wahrheitsannahmen zu repräsentieren, werden wir demnach unter die Deduktionsregeln von S$2 folgende Regeln aufneh-men, die diese Diskrepanz zwischen Paaren von Formelmengen u n d S Q wieder aufheben:

V T : A , A , B , A ' P - A , B , A , A ' r (Regel der vorderen Vertauschung) H T : A + r, A , B , P h- A =*- T, B , A , P (Regel der hinteren Vertauschung) V B : A , A , A =>• r H A , A =>- V (Regel der vorderen Kontraktion) H R : A A , A , T r- A A , T (Regel der hinteren K o n t r a k t i o n )¹. Diese Regeln bezeichnen wir auch als Strukturregeln. W e n n man Anwendungen der Strukturregeln nicht explizit hervorhebt, wie wir das i m folgenden oft tun werden, so behandelt man S Q praktisch wie geordnete Paare von Formelmengen. D a d u r c h können keine U n k l a r -heiten entstehen. W i c h t i g ist es nur, i m Auge zu behalten, daß i n for-malen SQ-Kalkülen die S Q prinzipiell als Ausdrücke angesehen werden müssen.

W e n n w i r uns der Kürze wegen zunächst auf die Grundoperatoren beschränken, so erhalten wir aus den Bewertungsbedingungen i n 1.3.2 u n d 2.2.2 folgende Beziehungen:

2.4.1.1.3

a) W e n n 2ß die S Q A , -nA =*- V erfüllt, so auch die S Q A A , f.

1 ,,1—" ist nun das Ableitbarkeitssymbol für $2, das zwischen S Q steht.

b) W e n n 2B die S Q A - i A , T erfüllt, so auch die S Q A , A r.

c) W e n n 2ß die S Q A, A D B =>- T erfüllt, so auch die S Q A A , T oder A, B T.

d) W e n n 9B die S Q A A D B , T erfüllt, so auch die S Q A , A B , l~.

e) W e n n 2B die S Q A , A x A [ x ] =>- T erfüllt, so auch die S Q A, A [x/y] T für eine beliebige G V y.

f) W e n n die S Q A =>- A x A [ x ] , T erfüllbar ist, so auch die S Q A A [x/y], T, wobei y eine G V ist, die i n den Formeln aus A , T u n d in A x A [ x ] nicht frei vorkommt.

Anstelle der letzten Beziehung erhält m a n zunächst die B e d i n g u n g : W e n n 2ß⁷ die S Q A =>• A x A [ x ] , T erfüllt, so gibt es eine G V z, so daß 2B; die S Q A A [ x / z ] , T erfüllt. Ist z = y, so gilt also auch (f).

Ist z ^ y , so sei cp eine eineindeutige A b b i l d u n g der Menge V der G V von auf sich selbst, so daß gilt <p(x) — x für alle G V x, die frei i n den Formeln A , l~, A x A [ x ] vorkommen, u n d q>(y) = z. W i r definieren dann eine Bewertung 2B² durch 2 B²( f ( x¹, . . . , xⁿ)) = 2 B¹( f ( ^ ( x¹) , . . 9 ? ( xⁿ) ) ) für alle Atomformeln f ( x^x, . . . , xⁿ) . D u r c h Induktion nach d e m G r a d der Formeln A [ x^x, . . . , x j , i n denen x^v. . . , xⁿ jeweils die einzigen frei vorkommenden G V seien, sieht m a n dann sofort ein, daß allgemein gilt 2 B²( A [ x^x, . . . , x j ) = 2 B^X( A [ x^ f o ) , . .., xJ<p(x^Q)]). E s gilt i n unserem F a l l also insbesondere 2B²(A) — 2B^X(A) für alle F o r m e l n A aus A, r u n d 2B²(A[x/y]) = SB^Afx/z]) = f. 2B² erfüllt also die S Q A A [x/y], T¹.

Die Bedingungen 2.4.1.1.3 sollen n u n i n Deduktionsregeln unseres Kalküls S$2 übersetzt werden. I m F a l l der Bedingung (c) treten dabei zu einer Prämisse zwei Konklusionen auf. E i n e Beweiskonstruktion kann daher i n $ 2 etwa folgende Gestalt annehmen:

1 Im Rahmen der Interpretationssemantik hätte man hier so zu