1.1.1 Sätze
D a s Material einer Sprache bilden ihre Ausdrücke u n d diese Ausdrücke sind Folgen v o n Grundzeichen der Sprache. So sind die G r u n d -zeichen der gesprochenen Sprache die Laute, ihre Ausdrücke oder Wörter Lautfolgen. I m folgenden werden wir uns immer nur für die geschriebene Sprache interessieren, deren Äußerungen vor denen der gesprochenen Sprache den Vorteil der Dauer haben u n d so für wissenschaftliche Zwecke wesentlich besser geeignet sind. D i e Grundzeichen der Schriftsprache sind die graphischen Zeichen, die i m Alphabet aufgeführt werden, nebst den Interpunktionszeichen. A u s ihnen setzen sich die Ausdrücke oder Wörter der geschriebenen Sprache zusammen. A u s den Wörtern kann m a n dann wiederum Wortfolgen bilden, wie i m Satz, der aus mehreren Wörtern besteht. W e n n w i r i m folgenden v o n Ausdrücken sprechen, so wollen w i r der Kürze wegen auch immer Ausdrucksfolgen darunter befassen.
A u s den Grundzeichen lassen sich sinnlose Ausdrücke bilden, wie
„kitsrplk", „mopkrcc", „korryliert", „Phedat", ,,Der Phedat korryliert z y k l i s c h " usw., u n d sinnvolle Ausdrücke, wie „ H a u s " , „Friedrich",
„rot", „Friedrich hat rote H a a r e " usw. Sinnvolle Ausdrücke nennt m a n auch Namen. Sie bezeichnen etwas, drücken etwas aus, haben eine Bedeutung. E s ist n u n für die folgenden Darlegungen von grundsätzlicher Wichtigkeit, den Unterschied zwischen den N a m e n u n d ihren Bedeutun-gen klar vor AuBedeutun-gen z u haben, u n d so nicht etwa den Ausdruck „München"
als N a m e n m i t seiner Bedeutung, der Stadt München, z u verwechseln, das W o r t „ r o t " m i t der Eigenschaft, rot z u sein, oder den Satz „Wien ist größer als München" m i t der Tatsache, daß W i e n größer ist als München. U m auch i m T e x t klar hervorzuheben, ob von der Bedeutung eines Namens die Rede ist, oder von dem N a m e n selbst, setzen wir einen Ausdruck i n Anführungszeichen „ . . . " , wenn v o n i h m selbst u n d nicht von seiner Bedeutung die Rede sein soll. W i r sagen also z. B . :
1) München ist die bayerische Landeshauptstadt, aber 2) „München'1 ist ein zweisilbiges Wort, u n d
3) „München" bezeichnet München.
Falsch wäre es hingegen, z u sagen:
1') „München" ist die bayerische Landeshauptstadt — denn „München"
ist ein Ausdruck u n d keine Stadt,
2') München ist ein zweisilbiges Wort, oder
3') München bezeichnet München — denn München ist eine Stadt und kein W o r t oder Name.
Diese Unterscheidung zwischen einem N a m e n u n d seiner Bedeutung fällt leicht, wenn die Bedeutung nicht selbst wiederum ein W o r t ist.
Hingegen macht sie erfahrungsgemäß zunächst Schwierigkeiten, wenn von N a m e n v o n N a m e n u n d dgl. die Rede ist. D a z u zwei weitere Bei-spiele :
4) I n dem Satz „München ist die bayerische Landeshauptstadt"
kommt das W o r t „München", nicht aber München vor.
5) I n dem Satz „„München" ist ein zweisilbiges W o r t " kommt das W o r t „ „ M ü n c h e n " " als N a m e für „München", d. h . als N a m e für einen Namen, vor. D e r N a m e „München" k o m m t aber nicht i m Satz vor, da in i h m v o n dem W o r t „München", nicht aber v o n der Stadt München die Rede ist.
W i r wollen uns i m folgenden immer an diese Konvention über den Gebrauch der Anführungszeichen halten, wenn nicht der K o n t e x t oder eine Hervorhebung des Ausdrucks i m K o n t e x t schon deutlich macht, daß v o n diesem Ausdruck selbst die Rede ist u n d sich so die Setzung von Anführungszeichen erübrigt.
Untersuchungen, die sich auf sprachliche Ausdrücke beziehen u n d sich i n Absehung v o n deren Bedeutung nur auf ihre graphische Gestalt beschränken, nennt m a n syntaktische Untersuchungen. W i r d hingegen neben der Zeichenstruktur der Ausdrücke auch ihre Bedeutung be-trachtet, so spricht m a n v o n semantischen Untersuchungen. D a ß der Ausdruck „Sokrates ist ein Philosoph" vier Wörter m i t zusammen acht Silben enthält, ist also z. B . eine syntaktische Behauptung. D a ß dieser Ausdruck dasselbe bedeutet wie der Ausdruck ,,Socrates is a philosopher"
ist eine semantische Behauptung.
N a c h diesen Unterscheidungen können w i r nun den Grundbegriff der A . L . , den Begriff des Satzes oder der Aussage, wie folgt erklären:
1.1.1.1 E i n Satz ist ein sprachlicher Ausdruck, der entweder wahr oder falsch ist.
Sätze sind Ausdrücke, schriftsprachliche Sätze also Folgen graphi-scher Zeichen oder Zeichengruppen u n d nicht etwas, das diese Zeichen-gruppen bedeuten. Sätze sind ferner nur solche Ausdrücke einer Sprache, die wahr oder falsch sind. D a m i t ein Ausdruck wahr oder falsch sein kann, muß er zunächst einmal sinnvoll sein. Die Ausdrücke „Der P h e d a t
korryliert z y k l i s c h " u n d „ R o t bohrt n e u n " sind also keine Sätze. Aber auch nicht alle sinnvollen Ausdrücke sind Sätze. So sind z. B . die Prädi-kate „ r o t " u n d „ H a u s " sowie die Eigennamen „Friedrich" u n d „Wien"
sicher sinnvoll, bezeichnen sie doch Eigenschaften b z w . Gegenstände, aber sie lassen sich weder als wahr noch als falsch ansprechen. W a h r oder falsch sind nur solche Ausdrücke, die Sachverhalte bedeuten, wie
„Die E r d e ist r u n d " , „7 + 9 ist 16", „Wien hat mehr Einwohner als Innsbruck", „ E s gibt 19 Planeten", „Linz hegt i n P o m m e r n " oder
„2 • 2 ist 5 " . O b ein solcher Ausdruck wahr ist oder ob er falsch ist, läßt sich nicht allein durch die Kenntnis der Sprache entscheiden, i n der er formuliert ist. U m festzustellen, ob der Satz „Die Entfernung zwischen N e w Y o r k u n d Chicago beträgt 1100 K i l o m e t e r " wahr ist, genügt es nicht, diesen Satz z u verstehen, sondern m a n muß dazu Messungen vornehmen; u n d u m festzustellen, ob der Satz „37 529 + + 63 717 ist 439 238" wahr ist, muß m a n die A d d i t i o n der Zahlen 37 529 u n d 63 717 ausführen. U m aber festzustellen, ob diese Ausdrücke sinnvoll sind u n d ob sie Sachverhalte ausdrücken — gleich ob diese Sachverhalte tatsächlich bestehen oder nicht —, dazu bedarf es nur der Kenntnis der deutschen Sprache.
Der Satzbegriff ist nach der Erklärung 1.1.1.1 ein semantischer Begriff, denn ob ein Ausdruck ein Satz ist, hängt danach nicht nur v o n seiner Zeichengestalt ab, sondern auch v o n seiner Bedeutung. A l s Satz-bedeutungen bezeichnen w i r Sachverhalte oder Propositionen. Sätze als Namen u n d Propositionen als Bedeutungen sind also streng z u unter-scheiden. D e r Satz „Die Fische sind Wirbeltiere" bezeichnet den Sach-verhalt, daß Fische Wirbeltiere sind. Sachverhalte lassen sich aber nicht wie Sätze auf Papier schreiben, sind also keine Ausdrücke.
Die Redeweise, i n der w i r einen Satz als wahr oder falsch bezeichnen, nimmt sich vielleicht auf den ersten B l i c k etwas ungewöhnlich aus. E s läge näher, die Wahrheit u n d Falschheit v o n Propositionen auszusagen anstatt v o n Sätzen u n d so etwa die Formulierung z u wählen „ E s ist wahr, daß die E r d e r u n d i s t " anstelle v o n „Der Satz „Die E r d e ist r u n d "
ist w a h r " . Aber m a n kann ja unter Bezugnahme auf einen solchen Wahrheitsbegriff für Propositionen festlegen:
1,1.1.2 E i n Satz ist wahr genau dann, wenn die Proposition wahr ist, die er ausdrückt.
Nach dieser Erklärung kann m a n dann auch i n unserem Sinn v o n der Wahrheit u n d Falschheit v o n Sätzen sprechen.
Der Wahrheitsbegriff ist ferner mit einer Reihe v o n philosophischen Problemstellungen belastet, von denen wir hier aber gänzlich absehen können. U n s genügt das alltägliche Verständnis der W o r t e „wahr"
und „falsch" i n Anwendung auf Sätze. Tatsächlich verstehen w i r ja den Ausdruck „Der Satz „Köln liegt am R h e i n " ist w a h r " ebenso gut wie den Satz „Köln liegt am R h e i n " , denn er besagt nichts anderes als dieser.
Danach würde es n u n scheinen, als sei das Prädikat „wahr" — u n d damit auch „falsch" als gleichbedeutend m i t „nicht w a h r " — über-flüssig, da wir immer den Inhalt eines Satzes „Der Satz , , . . . " ist w a h r "
durch den Satz , , . . . " selbst wiedergeben könnten. Tatsächlich liegt auch die behauptende K r a f t eines Satzes nicht i n der Hinzufügung des Wortes „wahr", sondern i n der Struktur u n d dem Gebrauch des Satzes selbst. Trotzdem ist die Verwendung der Wörter „ w a h r " u n d „falsch", wie wir i m folgenden sehen werden, in vielen Zusammenhängen praktisch.
Als Postulat der Wahrheitsdefinüheit der Sätze bezeichnet m a n die Forderung:
1.1.1.3 Jeder Satz ist wahr oder falsch — eine dritte Möglichkeit gibt es nicht.
Diese Forderung des tertium non datiir ist nach der Erklärung 1.1.1.1 trivialerweise erfüllt, nach der wir einen Ausdruck eben nur dann als Satz ansprechen, wenn er wahr oder falsch ist. Das Postulat gewinnt denn auch seine Bedeutung erst dann, wenn m a n den Satzbegriff auf andere Weise erklärt, etwa indem man Sätze als Ausdrücke einführt, die Propositionen bezeichnen, sinnvolle Gedanken ausdrücken oder ähnliches.
Wie immer man den Satzbegriff aber einführt, so enthält 1.1.1.3 das wichtigste E x t r a k t , das m a n von diesem Begriff i n den folgenden Darlegungen benötigt1.
1.1.2 Satzstrukturen und Schlüsse
Wir wollen nun die Satzstrukturen, auf deren Betrachtung sich die Lehre von den a.l. Schlüssen stützt, zunächst i n der Umgangssprache — das ist für uns also die deutsche Sprache — studieren u n d die B i l d u n g von komplexen Sätzen mit Hilfe solcher Wörter wie „nicht", „und",
„oder" untersuchen.
1 Zur Präzisierung des hier verwendeten Wahrheitsbegriffes vgl. [ 7 3 ] sowie die ausführliche Darstellung und Diskussion in [70]. Zum Begriff der Proposition oder, wie F R E G E sagt, des Gedankens vgl. die klaren und scharf-sinnigen Ausführungen F R E G E S in [22].
1.1.2.1 Die Negation. W e n n m a n einen Satz veraeint oder negiert, d. h . an geeigneter Stelle das W o r t „nicht" einschiebt, so erhält m a n wiederum einen Satz, den w i r als Negation des ursprünglichen Satzes bezeichnen wollen. A u s dem Satz „ E s regnet" entsteht so der Satz „ E s regnet n i c h t " , aus „Hans ist b l o n d " entsteht „Hans ist nicht b l o n d " . W i r gebrauchen n u n das W o r t „nicht" so, daß der negierte Satz falsch ist, wenn der unnegierte Satz (der aus dem negierten Satz durch Fortlassung des „nicht" entstehende Satz) wahr ist u n d umgekehrt: N a c h 1.1.1.3 ist jeder Satz, der nicht wahr ist, falsch, so daß w i r auch sagen können:
„Hans ist nicht b l o n d " ist wahr genau dann, wenn „Hans ist b l o n d "
falsch ist. Formulieren w i r das als Prinzip der Negation:
1.1.2.1.1 D e r negierte Satz ist wahr genau dann, wenn der unnegierte Satz falsch ist.
Die doppelte Verneinung eines Satzes ergibt demnach einen Satz, der genau dann wahr ist, wenn der ursprüngliche Satz wahr ist. D a s ist der Inhalt des Prinzips duplex negatio est affirmatio. E s gilt also der
Schluß:
^ H a n s ist nicht nicht blond H a n s ist blond.
D e n n wenn „Hans ist nicht nicht b l o n d " wahr ist, so ist „Hans ist nicht b l o n d " nach 1.1.2.1.1 falsch, also ist „Hans ist b l o n d " nach 1.1.2.1.1 wahr. D i e Wahrheit der Prämisse „Hans ist nicht nicht b l o n d " hat also die Wahrheit der Konklusion „Hans ist b l o n d " zur Folge u n d das ist das Merkmal des gültigen Schlusses.
Ebenso k a n n m a n m i t 1.1.2.1.1 auch den Schluß
^ H a n s ist blond Hans ist nicht nicht blond rechtfertigen.
(I) u n d (II) sind einfache Beispiele aussagenlogischer Schlüsse.
N u n stoßen w i r bei der Untersuchung v o n Negationen i n der U m -gangssprache auf eine gewisse Schwierigkeit dadurch, daß sich keine einfachen syntaktischen Kriterien für die B i l d u n g negierter Sätze an-geben lassen: W i r bilden die Negation v o n Sätzen nicht n u r durch Einschieben des Wortes „nicht", sondern i n recht verschiedener Weise, wie die folgenden Beispiele zeigen:
Kutschera, Elementare Logik 2
,,Alle Mathematiker sind musikalisch", Negation: „Es gibt un-musikalische Mathematiker". — „Hans hat F r i t z ein B u c h gegeben", Negation: „Hans hat F r i t z kein B u c h gegeben".
Ferner stößt die B i l d u n g mehrfacher Negationen auf stilistische Schwierigkeiten, wie schon das Beispiel „Hans ist nicht nicht b l o n d "
zeigt. A n diesen Schwierigkeiten wollen wir uns aber i m Moment nicht einhängen, beim Übergang zur Verwendung einer Symbolsprache werden sie ohnehin verschwinden1.
1.1.2.2 Die Konjunktion. A u s zwei Sätzen kann man durch Zwischen-fügung des Wortes „und" einen neuen Satz bilden, den wir als Kon-junktion der beiden ursprünglichen Sätze bezeichnen. A u s „ E s regnet"
und „Es ist k a l t " entsteht so der Satz „Es regnet u n d es ist k a l t " . Das W o r t „und" wird dabei so gebraucht, daß die K o n j u n k t i o n wahr ist, wenn ihre Teilsätze, die Konjunktionsglieder, beide wahr sind; falsch, wenn mindestens eines der Konjunktionsglieder falsch ist. D . h . es gilt als Prinzip der K o n j u n k t i o n :
1.1.2.2.1 Eine K o n j u n k t i o n ist genau dann wahr, wenn beide K o n -junktionsglieder wahr sind.
Daher folgt aus der Wahrheit der K o n j u n k t i o n die Wahrheit der beiden Konjunktionsglieder:
E s regnet u n d es ist kalt E s regnet
E s regnet u n d es ist kalt E s ist kalt.
N a c h 1.1.2.1.1 u n d 1.1.2.2.1 ist ferner der Satz:
V) „Die Sonne scheint u n d die Sonne scheint n i c h t " falsch.
Denn nach 1.1.1.3 ist der Satz „Die Sonne scheint" entweder wahr oder falsch. Ist es wahr, so ist seine Negation „Die Sonne scheint n i c h t "
1 Für eine detaillierte Analyse der umgangssprachlichen Verneinung vgl. [23], F R E G E diskutiert dort auch die älteren philosophischen Thesen, nach denen es zwei Arten von Urteilen gibt, bejahende und verneinende, oder nach denen das Wesen der Verneinung in der Auflösung der Aus-sage besteht. Diese Diskussionen sind vor allem deswegen interessant, weil sie deutlich machten, welchen Schwierigkeiten eine Präzisierung selbst der einfachsten logischen Begriffe begegnete.
falsch, also ist ein Konjunktionsglied des Satzes u n d damit der Satz selbst falsch. Ist der Satz „Die Sonne scheint" aber falsch, so ist wiederu m ein Konjwiederunktionsglied falsch wiederu n d damit awiederuch die gesamte K o n -j u n k t i o n . Unabhängig davon, ob die Sonne scheint oder nicht, wissen wir also, daß der Satz (V) falsch ist aus rein logischen Gründen.
D a (V) falsch ist, ist
V I ) „Nicht: die Sonne scheint u n d die Sonne scheint n i c h t " wahr.
Dieser Satz ist eine A n w e n d u n g des allgemeinen Prinzips vom ausgeschlossenen Widerspruch, das besagt: es ist nicht möglich, daß das Gleiche (d. h . der gleiche Satz) zugleich gilt u n d nicht gilt.
A u c h die B i l d u n g umgangssprachlicher K o n j u n k t i o n e n folgt keinen einfachen Gesetzen, wie das Beispiel: „Hans ist blond u n d groß" an-stelle v o n „Hans ist blond u n d H a n s ist groß" zeigt. H i e r steht das „und"
nicht zwischen vollständigen Sätzen, sondern zwischen Prädikaten1, 1.1.2.3 Die Disjunktion. W i e durch Zwischenfügen von „und" ent-steht auch durch Einfügung v o n „oder" aus zwei Sätzen ein neuer
Satz, den w i r als Disjunktion bezeichnen. D i e durch „oder" verknüpften Sätze nennen wir Disjunktionsglieder. A u s „Die Sonne scheint" u n d
„ E s regnet" entsteht so der Satz „Die Sonne scheint oder es regnet".
W e n n w i r n u n i n Analogie zu 1.1.2.1.1 u n d 1.1.2.2.1 nach einem Prinzip suchen, das den Gebrauch des Wortes „oder" regelt, so finden wir, daß dieses W o r t i n zwei verschiedenen Weisen gebraucht wird, i m Sinn des ausschließenden u n d des nichtausschließenden „oder". — W e n n w i r etwa sagen:
V I I ) H a n s hat für seine T a t eine Geldstrafe oder eine Haftstrafe zu erwarten,
so wollen wir damit ausschließen, daß H a n s zugleich m i t einer Geld-und Haftstrafe belegt wird. W i r sagen dann auch: Hans hat entweder mit einer Geld- oder mit einer Haftstrafe z u rechnen". D e r Gebrauch dieses ausschließenden „oder" w i r d durch folgendes Prinzip geregelt:
1.1.2.3.1 E i n e ausschließende Disjunktion ist wahr dann u n d nur dann, wenn genau eines der beiden Disjunktionsglieder wahr ist.
Der Satz
V I I I ) Die Sonne scheint oder die Sonne scheint nicht