Die Aussage, daß eine Formel (genauer: ein Formel Vorkommnis) A SF vom Rang n ist, oder SF einer Formel B ist, bezieht sich also immer

auf das Vorkommnis von A in einer bestimmten SQ einer bestimmten Herleitung.

Z u m Zeichen für diese Restriktion kann m a n auch die B^xjy]-F o r m e l n der Konklusion von H A⁺ i n eckige K l a m m e r n setzen u n d diese K l a m m e r n erst dann fortlassen, wenn Deduktionsregeln auf nicht eingeklammerte Formeln nicht mehr angewendet werden können.

Deduktionsregeln sollen dann auf eingeklammerte F o r m e l n n i c h t an-gewendet werden.

3. M a n kann sagen, ein V o r k o m m n i s 21 einer F o r m e l A i n einer S Q E des Herleitungsastes 5 sei dasselbe V o r k o m m n i s wie ein V o r -kommnis 2t' von A i n einer S Q E' v o n g , wenn 21 u n d 21' zusammen-fallen, sofern man E gemäß den i n g zwischen E u n d E' hegenden Deduktionsschritten i n E' abändert. D a n n besagt die dritte F o r d e r u n g an normale Herleitungen $, daß i n einem Faden v o n £j dasselbe F o r m e l -vorkommnis nicht zweimal als Hauptformel auftreten soll. Z u m Zeichen dafür können wir die Hauptformeln i n den Konklusionen der D e d u k tionsregeln unterstreichen u n d festsetzen, daß auf unterstrichene F o r -meln Deduktionsregeln nicht mehr angewendet werden sollen.

D i e Gründe, die z u einer Speziahsierung auf normale Herleitungen führen, sollen weiter unten an H a n d von Beispielen anschaulich gemacht werden. D i e leitende Absicht ist jedenfalls, eine Strategie für den A u f -b a u v o n Herleitungen anzuge-ben, die immer z u einem Beweis führen, wenn die Anfangs-SQ überhaupt beweisbar ist. D a ß i n den definieren-den Bedingungen für normale Herleitungen eine solche Strategie z u m A u s d r u c k kommt, zeigen die folgenden drei Sätze.

2.4.1.3.2 Jede normale Herleitung, deren Äste nur m i t solchen S Q enden, die geschlossen sind, oder die nur atomare u n d unterstrichene F o r m e l n enthalten, ist vollständig.

A u s jeder S Q kann m a n eine normale Herleitung konstruieren.

D e r Satz besagt nun, daß m a n damit immer eine vollständige Her-leitung erhält, sofern man die normale HerHer-leitung nur hinreichend lang macht. „Hinreichend l a n g " kann dabei u . U . auch heißen, daß man die normale Herleitung unendheh lang machen muß. E i n e solche unendheh lange Herleitung kann m a n natürlich nicht anschreiben, das spielt aber für unsere Zwecke keine Rohe, da wir Herleitungen nicht als graphische Figuren, sondern als abstrakte SS-Folgen charakterisiert haben. A u s 2.4.1.3.2 folgt dann sofort der Satz 2.4.1.2.7, den wir zum Beweis der Vollständigkeit von $ß2 verwendet haben.

Z u m Beweis v o n 2.4.1.3.2 zeigen w i r :

1. D e r Abschnitt einer normalen Herleitung § v o n der ersten Regel-anwendung auf eine S F v o m R a n g n (n > 0) bis zur ersten Regelanwen-dung auf eine S F v o m R a n g n + 7 ist endlich. Sei E der SS v o n § , i n dessen Konstituenten nur mehr S F v o m R a n g n zur Regelanwendung offenstehen. E' sei ein Konstituent v o n E. D a n n ist die Summe der Grade der nichtunterstrichenen Formeln v o n E', die S F v o m G r a d < n sind, gleich 0. Ist s die Summe der Grade der nichtunterstrichenen S F v o m R a n g n, so erniedrigt sich s bei Konstruktion einer normalen Herleitung aus E' i n jedem Schritt außer bei Anwendung von V A⁺. D a n u r endlich viele vordere Allformeln als SF" v o m R a n g n auftreten können u n d d a die A n z a h l der i n der Herleitung aus E' auftretenden freien G V endlich sein muß, wird s nach endlich vielen Schritten gleich 0, d . h . nach endlich vielen Schritten erhält m a n aus E' einen SS, in dem n u r noch S F v o m R a n g n + 7 zur Regelanwendung offenstehen.

D i e Herleitung aus E', i n der Deduktionsregeln nur auf S F v o m R a n g n angewendet werden, ist also endlich. D a s gleiche gilt für die übrigen Konstituenten v o n E, so daß die Behauptung (1) bewiesen ist.

2. Sei 2f ein A s t v o n § , der keine geschlossene S Q enthält. D a n n gibt es z u jeder F o r m e l A v o n g eine Z a h l n, so daß A S F v o m R a n g n ist. A tritt dann nach den Voraussetzungen des Satzes über S u n d (1) nach endlich vielen Deduktionsschritten als Hauptformel auf. H a t A die Gestalt A x B [x] u n d ist A V F v o n gf, so tritt wegen der Verwendung der Regeln V A ⁺ u n d H A ⁺ anstelle v o n V A u n d H A z u jeder G V y , die i n den F o r m e l n v o n g frei vorkommt, die F o r m e l B [ x / y ] als V F v o n g auf, sei es als Nebenformel v o n V A ⁺ oder als S F v o n H A⁺.

§ ist also vollständig nach der Definition 2.4.1.2.6.

D a m i t ist auch der Adäquatheitsbeweis für S$2 vollständig er-bracht. A u s der Adäquatheit ergeben sich aber sofort die Sätze:

2.4.1.3.3 W e n n die S Q E i n <ß2 beweisbar ist, so ist jede vollständige Herleitung aus E ein Beweis für E.

Enthielte eine vollständige Herleitung aus E keinen geschlossenen SS, so wäre E nach 2.4.1.2.8 erfüllbar, also nach 2.4.1.2.4 nicht beweis-bar. D u r c h Kontraposition erhält m a n aus 2.4.1.3.3

2.4.1.3.4 Ist eine vollständige Herleitung aus E kein Beweis für E^y so ist E nicht beweisbar.

Nach diesen Sätzen k o m m t es bei der K o n s t r u k t i o n v o n Beweisen auf die Reihenfolge der Deduktionsschritte nicht an, sofern m a n n u r vollständige Herleitungen erzeugt. Bleibt m a n i m R a h m e n der nor-malen Herleitungen, so kann m a n also für jeden p . l . gültigen Schluß A T auf rein mechanischem Wege einen Beweis finden, indem m a n einfach eine hinreichend lange Herleitung aus A =>• T erzeugt. Das ist nun ein praktisch sehr wichtiger Vorteil des Kalküls ty2 gegenüber dem Kalkül Sßl, i n dem m a n beim Beweisen v o n Geschicklichkeit u n d Intuition abhängig ist.

N u n ist es zwar so, daß sich z u jedem formalen Kalkül ein rein mechanisches Beweisverfahren angeben läßt, aber diese Verfahren sind i m allgemeinen für praktische Zwecke unbrauchbar. So k a n n m a n z. B . in $ 1 die Beweise ihrer Länge nach u n d bei gleicher Länge i n irgend-einer Weise alphabetisch ordnen u n d hat dann, u m einen Beweis für eine i n S$l beweisbare Formel A z u finden, n u r die Reihe dieser Beweise zu durchlaufen. D i e Beweise v o n ^ßl lassen sich j a rein mechanisch erzeugen u n d man kann auch entscheiden, ob die E n d f o r m e l eines vor-gelegten Beweises die Formel A ist. Dies Verfahren ist aber höchst unhandlich u n d umständlich. Hingegen ist das mechanische Beweis-verfahren i n S$2 recht einfach u n d daher auch für praktische Zwecke gut geeignet.

Für solche praktische Zwecke empfiehlt es sich n u n , das Beweisverfahren, dessen Formulierung zunächst auf theoretische Zwecke z u -geschnitten war, etwas zu vereinfachen. W i r geben dazu einige Hinweise:

1. I m H i n b h c k auf die Sätze 2.4.1.3.2 bis 2.4.1.3.4 beschränken w i r uns auf die Konstruktion normaler Herleitungen. W i r verwenden also die Formelunterstreichung, u m anzudeuten, daß auf ein Formelvor-kommnis keine Deduktionsregeln mehr angewendet werden sollen, und die Formeleinklammerung, u m anzudeuten, daß Deduktionsregeln auf ein Formel Vorkommnis nicht angewendet werden sollen, solange noch nichteingeklammerte Formeln zur Regelanwendung offenstehen. U n d wir verwenden die Regeln V A ⁺ u n d HA"¹" anstelle v o n V A und H A . Der Vorteil dieses Verfahrens läßt sich an folgenden Beispielen ablesen:

a)

A , A = > B» r

A . A D B » A , T ; A , A = > B , B* r

A , A D B * A , A, r; A , A Z > B , B ~ A, r; A , A = > B , B » r

A . A D B * A , A, r; A , A Z ) B , B = * A , r; A , A D B , B » A, r; A , A D B , B , B» r

Hier haben w i r auf dasselbe Formelvorkommnis zweimal die Regel V I angewendet, wie das durch die Formelunterstreichung verboten wird.

Der Erfolg ist, daß wir einen S S gewonnen haben, der alle Konstituenten des SS der 2. Zeile enthält u n d aus dem man daher nur dann einen Be-weis gewinnen kann, wenn man einen BeBe-weis aus dem S S der 2. Zeile gewinnen k a n n . Allgemein ist eine Regelan Wendung unfruchtbar, wenn sie einen S S ergibt, der (bis auf Anwendungen der Strukturregeln) alle Konstituenten eines S S enthält, der i h m i n der Herleitung voraufgeht.

Solche unfruchtbare Regelanwendungen m u ß m a n vermeiden, wenn man Herleitungen ausschalten will, die unnötigerweise unendlich lang sind, u n d das ist j a gerade das Ziel einer vernünftigen Beweisstrategie.

Die Formelunterstreichung dient n u n dazu, dies Ziel z u erreichen.

Man kann sich das sehr leicht auch für den F a l l der Regeln V N , H N und H I klarmachen.

W i l l m a n allgemein die Hauptformeln i n den Konklusionen unterstreichen, so muß m a n offenbar i m F a l l der Regel V A besondere V o r -sicht walten lassen, damit m a n aus einer V F A x A [ x ] auch tatsächlich alle V F A [x/y] gewinnen kann, die m a n zur Beweiskonstruktion be-nötigt. M a n k a n n n u n auf rein syntaktischem Wege zeigen — dem Leser sei das als Übungsaufgabe empfohlen — daß eine Anwendung der Regel V A m i t einer G V y i n der Nebenformel A [x/y] nur dann einen Beweis ergibt, wenn auch die W a h l einer G V z anstelle von y einen Beweis ergibt, die i n den Formeln der H a u p t - S Q frei v o r k o m m t¹. D a -her k a n n m a n die Hauptformel A x A [x] i n der Konklusion unterstreichen, wenn m a n alle Formeln A f x / y J , . . A [ x / yⁿ] als Nebenformeln einsetzt für die G V y^v. . . , yⁿ, die i n den Formeln der H a u p t - S Q frei vorkom-men — w i r erhalten somit die Regel V A⁺ — u n d wenn m a n sicherstellt, daß bei Einführung einer neuen G V z als freier G V der Formeln eines Herleitungsastes, die V F A [ x / z ] nachgetragen wird. Eine freie G V t r i t t aber neu nur nach A n w e n d u n g der Regel H A auf. Ersetzt man also H A durch die Regel H A⁺, so ist die Unterstreichung der Formel A x A [ x ] i n der Konklusion von V A⁺ gerechtfertigt.

D a m i t ist auch die Verwendung der Regeln V A⁺ u n d H A ⁺ intuitiv plausibel geworden. Das folgende Beispiel illustriert die Sachlage noch e i n m a l :

1 Wir können uns hier für dieses Ergebnis auf die Sätze 2.4.1.2.8 und 2.4.1.3.2 stützen.

b) iAxA[x], AxA[x]

-- I A X A [ x ] , AxA [x], A[x/y^x] - V A +

AxA[x], A [ x / y^x] , -iAxA[x] » V T

AxA[x], A [ x / y j , - . A x A [x] AxA [x] V N AxA[x], A [ x /^{y i}] , -,AxA[x], A[x/y,] - A[x/y,], AxA[x] H A⁴ .

H ä t t e m a n i m letzten Schritt die Regel H A anstelle v o n H A⁺ angewendet, so würde m a n (sofern A [ x ] etwa eine Atomformel ist) nicht z u einem Beweis gelangen.

Die Bedeutung der Formeleinklammerung wird durch folgende B e i -spiele verdeutlicht, wobei w i r z u r Abkürzung die A n w e n d u n g der Strukturregeln nicht explizit hervorheben u n d die unterstrichenen F o r m e l n nicht anschreiben:

cl) - -,kx^hy{f(y)Z)f(x)) hx^hy{f(y)^f{x))

"W/bO =>/(*,))

-- Ay(/(y)D/(*,)) [^Ay(f(y)Z>f(z²))} ~ f(z²)Z>f(z,) [^y{f(y)z>f{z²))lf{z²) ~ f(^Zj)

tih) ~ /(*/). A*(/(y) =>/(**)) [-,Ay(f(y) 3 /(*,)], /fe) - /(*,), /fe) 3

[-.Ay(/(y) 3 /(*,)], /(*²), /fe) - /(*,). /(*²)

c2) » - T A * - T A y ( / ( y ) 3 / ( * ) ) AxihyVM^fix))

---Ay(/(y) =>/(**)) *

* Ay(/(y) 3/(*,)) [-.A^(/ty)3/(z²))] /(z²)3/(z^?)

* /(*²)D/(*^Ay(/(y)3/(*,)) [iAy(/(y) 3 /(%))] - /(*²) 3 /(*,). /(*,) 3 f(z²)

D a b e i soll i m weiteren Verlauf der Herleitung c2 nie die Regel H I angewendet werden unter Verletzung der Regel über die Formel-einklammerung. Während (cl) ein Beweis ist, ergibt (c2) auch bei beliebig langer Fortsetzung keinen Beweis. D i e Herleitung (c2) entspricht also nicht einer vernünftigen Beweisstrategie. U m solche Herleitungen wie (c2) z u vermeiden, erweist sich die Regel über die Formeleinklam-merung als hinreichend, wie die Sätze 2.4.1.3.2 bis 2.4.1.3.4 zeigen.

D a m i t ist die Auszeichnung normaler Herleitungen auch intuitiv durchsichtig geworden.

2. Z u r Vereinfachung des Beweisverfahrens i n ^32 empfiehlt es sich ferner, eine Anwendung der Strukturregeln nicht explizit hervorzu-heben u n d die S Q praktisch wie geordnete Paare von Formelmengen zu behandeln. Insbesondere ist es günstig, die K o n t r a k t i o n so oft wie möglich anzuwenden. M a n erreicht dadurch einen ähnlichen Vorteil, wie er oben für die Formelunterstreichung geltend gemacht wurde.

Die K o n t r a k t i o n v o n Formeln [A] und A ergibt dabei A .

M a n k a n n zur Abkürzung der S Q auch die unterstrichenen Formeln weglassen. D a n n muß m a n die Variablenbedingungen für die Regeln V A⁺ und H A ⁺ offenbar wie folgt umformulieren:

Für V A⁺: Dabei seien y^{l t}. . . , yⁿ genau die G V , die i n den Formeln des Herleitungsastes frei vorkommen, dem die H a u p t - S Q angehört. K o m m t dort keine G V frei vor, so ist n = 1 u n d y^x beliebig z u wählen.

Für H A⁺ : Dabei sei y eine G V , die i n den Formeln des Herleitungs-astes g nicht frei vorkommt, dem die H a u p t - S Q angehört. U n d die Formeln B^{[xjy] (i = l , . . . , s ) sollen solchen Formeln A x j B ^ x J ent-sprechen, die i n g als Hauptformeln der Regel V A⁺ aufgetreten sind.

D e r VoUständigkeits- u n d der Widerspruchsfreiheitsbeweis für $ 2 überträgt sich bei Verwendung der Regeln V A⁺ u n d H A⁺ i n der neuen F o r m sofort auf den F a l l der Regeln, i n denen die Hauptformeln i n den Konklusionen weggelassen werden. B e i diesen Beweisen haben w i r ja v o n der Mitführung der Hauptformeln nicht wesentlich Gebrauch gemacht. Daher ist die neue Formulierung des Kalküls $ 2 — nennen wir sie $ 2 * — mit der ursprünglichen Fassung äquivalent. Diesem semantischen Äquivalenzbeweis läßt sich auch ein syntaktischer gegen-überstellen :

Ist £ ein Beweis für die S Q E i n *ß2*, so erhält m a n daraus durch Hinzufügung der unterstrichenen Hauptformeln i n den Konklusionen einen Beweis für E i n $ 2 . Ferner gilt: A u s einer S Q , die bzgl. einer F o r m e l C v o m G r a d n (n > 0) geschlossen ist, läßt sich ein SS herleiten, dessen sämtliche Konstituenten bzgl. Formeln v o m G r a d < n geschlossen s i n d :

A , - n A - - T A , r A , - n A + A , - n A , r

A, A D B =>- A D B , r A, A D B , A - B , A D B , T

A , - i A , A ^ A , -nA, T A , A D B , A ^ A , B , A =) B , l~;

A , A D B , A , B + B , A 3 B , T A , A x A [ x ] ^ A x A [ x ] , T

A , A x A [ x ] - A [ x / yⁿ] , A x A [ x ] , r

A , A x A [ x ] , A [ x / y J A [ x / y J - A [ x / yⁿ] , A x A [ x ] , T

Ist C als V F oder als H F unterstrichen, so erhält m a n das gleiche Ergebnis, wenn man beachtet, daß i n der A n f a n g s - S Q d a n n auch die entsprechenden Nebenformeln z u C auftreten.

Gibt es also einen Beweis § für 27 i n *ß2, so läßt sich § zu einem Beweis verlängern, der einen SS enthält, dessen sämtliche Konstituenten bzgl. Atomformeln geschlossen sind. Läßt m a n i n diesem Beweis n u n die unterstrichenen Formeln weg, so erhält m a n einen Beweis für 27 in $ 2 * .

3. E s empfiehlt sich für praktische Zwecke endlich auch, die Beweise i n B a u m f o r m zu schreiben, nicht als Folgen von SS — dadurch ver-einfacht man sich die Schreibarbeit — u n d auch für die übrigen logischen Operatoren Deduktionsregeln anzugeben. W i r geben diese Regeln gleich für $ 2 * i n der F o r m an, wie man sie beim A u f b a u v o n Beweisen in B a u m f o r m verwendet u n d wo also die Prämisse nur aus der H a u p t

-S Q besteht:

V K : A , A A B ~ T t - A , A , B * T

H K : A =^ A A B , r i - A ^ A , T; A ^ B , T V D : A , A v B + Th- A , A + V; A , B T H D : A = ^ A v B , T I - A ^ A , B , T

V Q : A , A = B + T K A , A , B + T; A + A , B , f H Q : A * A = B , T h - A , A ^ B , T; A , B + A , T H E : A ~ V x A [ x ] , T h - A - A [ x / y , ] , . . . , A [ x / y J , l~.

Die Variablenbedingung für diese Regel ist die gleiche wie für V A⁺ i n $ 2 * .

V E : A , V x A [ x ] - T h - A , [ B ^ x j y ] ] , . . . , [B^s[x^s/y]], A [ x / y ] -[ C J z J y ] ] , . . . , -[ C^t[ z^t/ y ] ] , r

D a b e i seien die G V y u n d die Formeln B^xjy] (i = 1 , . . . , s) wie für die Regel H A⁺ i n <£2* gewählt. A u c h die Formeln C^k[ z^k/ y ] (k = 1 , . . . , t) bezeichnen wir als S F von V x A [ x ] . Sie sollen den Formeln V z^kC^k[ z , J entsprechen, die i n dem Herleitungsast, dem die H a u p t - S Q angehört, bereits als Hauptformeln von H E aufgetreten sind.

Verwendet m a n den Existenzoperator als Grundoperator, so ist die Regel H A⁺ i m H i n b l i c k auf die Regel H E wie folgt abzuändern:

H A + * : A - A x A [ x ] , A , [ B J x . / y ] ] , . . . , [B^s[x^s/y]] - A [ x / y ] , [ C x t z j y ] ] , . . . , [ C^t[ z^t/ y] ] , r

mit einer Zusatzbedingung wie für V E .

Die Ableitungsbeziehungen, die diese Regeln beinhalten, gewinnt man aus den Grundregeln v o n $ 2 * m i t den Definitionen D l bis D 4 aus 2.3.1. D a z u drei Beispiele:

V D : A , A v B ^ T

A, - i A D B =• T D l

A

~

- i A , r A , B

^

^{r V I}

A, A ^{^} r H N

H E : A — V x A [ x ] , T

A ~ - i A x - i A [ x ] , T D 4

A , A x - ! A [ x ] + r H N

A, ^ A [ x / y j , .. . , —iA [ x / y j - T VA+

A - A [ x / y j , . . . , A [x/yⁿ], T V N n m a l . V E : A , VxA[x] T

A, - i A x - i A [ x ] =>- r D 4

A ^ A X - T A [ X] , r V N

A, [ B ^ x j y ] ] , . . . , [B^s[x^s/y]], H C ^ / y ] ] , . . . ,

[-^C^t[z^t/y]] - - n A [ x / y] , r . H A + (Die F o r m e l n —iC^k[z^k/y] verstehen sich daraus, daß eine A n -wendung v o n H E auf V z^kC^k [z^k] einer Anwendung von V A⁺ auf A z^k - n C^k [z^k] entspricht.)

A ^ x . / y ] ] , . . . , [ B^s[ x^s/ y ] ] - - n A [ x / y ] , [ C¹[ z¹/ y ] ] , . . . , [ C^t[ z^t/ y] ] , r V N t m a l A . C B J X j / y ] ] , . . . , [ B^s[ x^s/ y ] ] , A [ x / y ] - [ C J z J y ] ] , . . . , [ C^t[ z^t/ y ] ] , T

H N

W i r wollen n u n unter Verwendung des nach (1) bis (3) abgekürzten Beweisverfahrens einige Beweise u n d Widerlegungen der p . l . Gültig-keit v o n Schlüssen angeben. W i r beginnen m i t den drei Beispielen von S. 169, a n denen w i r eingangs den Grundgedanken für den A u f -bau des Beweisbegriffes v o n $ 2 illustriert haben. Diese Beispiele sollen noch einmal k l a r machen, daß sich der Kalkül $ 2 als direkte Formalisierung dieses Gedankens darstellt.

I) p^v -yp H I ) =>. VxAyf(x^t y) => AyVxf(x, y)

=>- p, -vp H D VxAyf(x, y) + AyVxf(x, y) H I

p p H N tyf{z⁷,y) AyVxf(x,y) V E

II) * ( ( # D j ) D # ) D j Ay/(*„ y) - Vxf(x^t z²) H A (pz>q)Z>p ~ q H I / ( * „ *,), / ( * „ z²) - Vxf(x, z²) V A

~pz>q,q\ p + q V I f{z^pz^l)^ff{z^1>z²) + f(z^Pz²),f(z^2>z²) H E D a der Herleitungsast, der i m Beispiel (II) m i t der S Q p y endet, keine geschlossene S Q enthält u n d d a auf diese S Q weitere Deduktions-regeln nicht anwendbar sind, ist also die A n f a n g s - S Q =>• ((p D q) 3 p) D q nicht beweisbar u n d w i r können eine Bewertung angeben, die diese S Q erfüllt, nämlich irgendeine Bewertung, die p erfüllt u n d q nicht erfüllt. Allgemein läßt sich i m F a l l einer vollständigen Herleitung, die endlich ist u n d die kein Beweis ist, nach d e m Gedanken des Vollständig-keitsbeweises für ^32 immer eine Bewertung effektiv angeben, welche die A n f a n g s - S Q erfüUt u n d so ein Gegenbeispiel für die A n n a h m e der p.l. Gültigkeit des Schlusses ist, den sie repräsentiert. D a s Beweisverfahren v o n ty2 erlaubt also i m F a l l endlicher vollständiger H e r -leitungen immer eine Entscheidung darüber, ob die A n f a n g s - S Q p . l . gültig ist oder nicht. F ü r den F a l l der A . L . bildet so die K o n s t r u k t i o n einer vollständigen Herleitung immer die Anwendung eines Entschei-dungsverfahrens. D e n n wenn die F o r m e l n der Anfangs-SQ E n u r a.l.

Operatoren enthalten, so ist jede Herleitung aus E offenbar endlich, d a jede Anwendung einer Deduktionsregel die Summe der F o r m e l -grade i n den S S u m 1 erniedrigt.

A u c h i m F a l l unendlicher vollständiger Herleitungen kann m a n oft aus der Struktur eines vorhegenden Anfangsstückes der Herleitung auf das Entwicklungsgesetz der Gesamtherleitung schließen u n d damit zeigen, daß die Herleitung auch bei beliebig langer Fortsetzung keinen Beweis ergibt. A u c h i n solchen Fällen k a n n m a n also vermittels des Beweis Verfahrens i n S$2 z u einer Widerlegung der p . l . Gültigkeit eines Schlusses gelangen. D a z u ein einfaches Beispiel:

d) AxVyf(x,y) -Vyf{*i>y) ~

f(*i> *2>> Vyf(^z2> y) f{Zf>z²)>f(^z2>^z3)>vyf(^z3>y)

(n + l)-te f(z^l9 z²),..., f(zⁿ _ ^p zⁿ), Vy/(*^Ä, y)

Zeile :

H i e r sieht man unmittelbar, daß sich eine unendliche Herleitung ergeben muß, d. h . daß auch eine beliebig lange Fortsetzung der Herleitungs-konstruktion keinen Beweis ergeben kann. Aufgrund des Entwicklungs-gesetzes der Herleitung k a n n man wieder eine Bewertung effektiv an-geben, welche die A n f a n g s - S Q erfüllt.

Obwohl so das Beweisverfahren i n $ 2 ein recht starkes Hilfsmittel für die Feststellung der p . l . Gültigkeit v o n Schlüssen ist, hat es doch nicht den Charakter eines allgemeinen EntscheidungsVerfahrens. Denn wenn die Konstruktion einer normalen Herleitung aus einer S Q A =>- T nicht nach endlich vielen Schritten eine vollständige Herleitung ergibt, so haben wir keine allgemeinen und mechanisch anwendbaren Kriterien dafür, ob die weitere Fortsetzung der Herleitung zu einem Beweis für den Schluß A T führen wird oder nicht. N u r i n gewissen Fällen läßt sich mit metatheoretischen Mitteln, die von F a l l z u F a l l verschieden sein können, aus der Struktur des vorliegenden Anfangsstückes der Herleitung ermitteln, ob seine weitere E n t w i c k l u n g einen Beweis ergibt oder nicht.

D a die P . L . das Fundament für die Formalisierung v o n Theorien der verschiedensten Gegenstandsbereiche bildet, ist n u n die Frage nach der Existenz eines allgemeinen Entscheidungsverfahrens für die P . L . von größter Bedeutung. Diese Frage ist abschließend von A . C H U R C H in [8] beantwortet worden, dem es gelang zu zeigen, daß ein solches Entscheidungsverfahren nicht existieren kann. E i n e Darstellung dieses Beweises für die Unlösbarkeit des Entscheidungsprcblems können wir hier nicht bringen, da die E n t w i c k l u n g der erforderlichen Beweismittel den Rahmen dieses Buches bei weitem überschreiten würde. W i r müssen daher den Leser auf die einschlägige Literatur hinweisen¹. H i e r sei nur angemerkt, daß eine formale Präzisierung des von uns früher nur intuitiv charakterisierten Entscheidungsbegriffes eine wesent-liche Vorbedingung für einen solchen Beweis ist. Die Adäquatheit einer derartigen Präzisierung läßt sich naturgemäß nicht i n Strenge bewei-sen, tatsächlich haben sich aber alle heute vorliegenden Präzisierungs-vorschläge als untereinander äquivalent erwiesen, obwohl sie v o n ganz verschiedenen Ansatzpunkten ausgehen. Die Adäquatheit der Präzi-sierungen des Entscheidungsbegriffes u n d damit die Tragweite des Resultats von C H U R C H ist also gut gesichert².

Im Dokument Elementare Logik (Seite 187-197)