Eine Axiomatisierung der Aussagenlogik

W i r wollen nun eine strenge Formalisierung der A . L . i n Gestalt des Systems 511 angeben. Dieses System werden wir i n drei Schritten entwickeln: der Abschnitt 1.3.1 stellt die Sprache % dar, die wir dem System zugrunde legen, der Abschnitt 1.3.2 die semantische Deutung

dieser Sprache u n d i m Abschnitt 1.3.3 wird der Beweisbegriff für das System 91 definiert.

1.3.1 Die Syntax der Sprache %

1.3.1.1 Vorbereitende Unterscheidungen

Objekt- und Metasprache. W i e die bisher verwendete Symbolsprache bauen w i r die Sprache 51 als Kunstsprache auf. W i r bezeichnen sie auch als Objektsprache i m Gegensatz zur Umgangssprache. W e n n w i r über eine Objektsprache reden, über ihre Symbole, ihre Sätze, usf., so bedienen w i r uns dabei einer v o n dieser Objektsprache verschiedenen Sprache, die w i r auch als Metasprache bezeichnen. D i e Metasprache, i n der w i r über die Objektsprache 91 sprechen, ist die deutsche Umgangs-sprache. Allgemein ließe sich dazu aber auch jede behebige schon interpretierte Sprache verwenden, deren Ausdrucksmittel ausreichen zur Bezeichnung der objektsprachlichen Symbole u n d Symbolver-bindungen. Insbesondere k a n n m a n sich vorstellen, daß m a n als eine solche Metasprache wiederum eine (von der Objektsprache natürlich verschiedene) Symbolsprache benützt. In dieser Metasprache reden wir über die Objektsprache, über die Metasprache reden w i r i n einer anderen Sprache, die dann als Metasprache z u dieser Metasprache, oder als Metametasprache zur ursprünglichen Objektsprache z u bezeichnen ist. Diese Betrachtung k a n n m a n fortsetzen u n d k o m m t so z u immer höheren Metasprachen. W i c h t i g ist aber i m folgenden v o r allem die Unterscheidung v o n Objekt- u n d Metasprache, die Unterscheidung der Sprache, über die m a n spricht, u n d der Sprache, i n der m a n spricht.

Als Metasprache dient uns immer die deutsche Umgangssprache, er-weitert u m einige Symbole, wie z. B . die Zeichen ,,: = " u n d „ V , die wir früher schon verwendet haben.

Daß w i r diese Symbole oben als metasprachliche Zeichen verwendet haben, geht daraus hervor, daß z. B . „„pDq" := „—tp v q^lt" eine Abkürzung ist für ,,Der Satz „pD q" soll dasselbe bedeuten wie der Satz ^t)—\p v q"", u n d daß ,,p p v q^<( eine Abkürzung ist für ,,Aus dem Satz „p" folgt der Satz ,,p v q"". H i e r w i r d m i t Hilfe der Zeichen

„ : = " u n d „->-" über Sätze der Objektsprache gesprochen. W i r können also jetzt die Frage nach dem sprachlichen Status des Zeichens die w i r i n 1.2.7 gestellt hatten, dahingehend beantworten, daß dieses Zeichen der Metasprache zugehört.

Die Konkatenationsfunktion

W i r haben früher die Variablen „ A " , , , B " , , , C " , . . . für F o r m e l n d e r Objektsprache verwendet, u m allgemeine Aussagen über die S t r u k t u r von objektsprachlichen Sätzen machen zu können. So haben wir z. B . gesagt ,,Alle Konjunktionen haben die Gestalt A A B " oder ,,Alle

Schlüsse der Gestalt A A sind a.l. gültig". A u c h diese Variablen gehören der Metasprache an. Würde man statt dessen objektsprachliche S V verwenden, so erhielte m a n z. B . die Aussagen ,,Alle K o n j u n k t i o n e n haben die Gestalt p A q" oder ,,Alle Schlüsse der Gestalt p p sind a.l. gültig". Die erste Aussage ist aber falsch, d a der Satz p A q nur eine ganz bestimmte K o n j u n k t i o n ist, von der z. B . die K o n j u n k t i o n q A p schon verschieden ist. U n d auch die zweite Aussage verfehlt den intendierten Sinn, denn p p ist ein ganz bestimmter Schluß u n d kein Schlußschema.

W i e sind nun solche Satzschemata z u verstehen? W i r haben das oben anhand eines Beispiels erklärt, indem wir sagten: A A B ist der Ausdruck, der entsteht, wenn m a n den Ausdruck A anschreibt, dahinter das Zeichen , , A " gefolgt von B . U m die F u n k t i o n solcher Satzschemata allgemein und präzise festzulegen, führt m a n folgende F u n k t i o n e i n :

E s sei K(A, B) eine zweistellige F u n k t i o n , welche die Ausdrücke A und B der Objektsprache abbildet auf den Ausdruck der Objektsprache, der entsteht, wenn man diese Ausdrücke i n der angegebenen Reihen-folge hintereinander anschreibt. E s ist also K(^ttp^tf, „q") = ,,pq", K(„P A " , „q D Y") = ⁿp A p r", usw.

Die F u n k t i o n K(A, B ) bezeichnet m a n als Konkatenations- oder VeYkettungsfunktion.

W i r können n u n statt ^itK(A^v K(A², A³) ) " auch „K(A^V A², A³) "

schreiben, statt ,,K(A^lt A², i v ( A³, A⁴) ) " auch ,,K(A^V A², A³, A⁴) " , usf.

Ferner lassen w i r die Anführungszeichen u m objektsprachliche Aus-drücke fort u n d schreiben so z. B . ,,K(p, q)^(< statt , , i f ( , , ^ " , ,,q")", d a i m K o n t e x t der Konkatenationsfunktion ohnehin n u r v o n den Aus-drücken u n d nicht von ihren Bedeutungen die Rede ist.

Die Konkatenation ist n u n offenbar assoziativ, d . h . es gilt:

K(A^V K(A², A³)) = K(K(A^V A²) , A³) . Daher ist es unnötig, die A r g u -mente der F u n k t i o n durch K o m m a t a z u trennen, u n d m a n kann z. B . statt „K(A A , B ) " auch „K(A A B ) " schreiben. D e n n es ist K(A A , B) = K(A^y A B ) .

E n d l i c h können wir die Verabredung treffen, daß Ausdrücke, die zugleich meta- und objektsprachliche Ausdrücke enthalten, immer als

Argumente der Konkatenationsfunktion aufzufassen sind. D a n n können wir , , A A B " statt ,,K(A A B ) " schreiben u n d sind wieder bei unserer alten Schreibweise für Satzschemata, angelangt, für die w i r jetzt aber eine präzise D e u t u n g gewonnen haben.

Satzschemata bezeichnet m a n auch oft als Quasianführungen. Ihre Verwendung wurde zuerst v o n W . V . Q U I N E präzisiert, der für ,,K(A)^<<

die Schreibweise , ,^rAⁿ" eingeführt h a t¹. Zeichentyp und Zeichenvorkommnis

W e n n m a n v o n Zeichen oder Ausdrücken spricht, so muß m a n bei genauerem Zusehen unterscheiden zwischen dem Zeichen als einem materiellen Objekt, wie es etwa ein Aufdruck v o n Druckerschwärze auf Papier ist, u n d zwischen dem Zeichen als einer Gestalt, die ver-schiedene solche materielle Zeichen gemeinsam haben können. Das materielle Zeichen nennt m a n Zeichenvorkommnis oder Inschrift, die Zeichengestalt Zeichentyp. Demnach kann m a n also sagen, daß der

Satz ^>}p A q D q A p v p" drei Vorkommnisse des Zeichentyps „p" u n d

zwei Vorkommnisse des Zeichentyps , , g " enthält.

V o n dieser Unterscheidung haben w i r z. B . Gebrauch gemacht, als wir bei der Formulierung des Einsetzungstheorems M t l davon sprachen, daß alle Vorkommnisse eines Zeichentyps durch Vorkommnisse eines anderen Zeichentyps ersetzt werden. Terminologisch hält m a n diese Unterscheidung aber nicht immer streng aufrecht, u n d das ist i n der T a t auch überflüssig, wenn der K o n t e x t jeweils festlegt, ob v o n Zeichen-vorkommnissen oder v o n Zeichentypen die Rede ist. W i r werden i m folgenden statt ,,Zeichentyp" auch immer „Zeichen" sagen.

1.3.1.2 Formregeln. N a c h diesen vorbereitenden Bemerkungen legen wir n u n die S y n t a x der Sprache 51 fest.

Das Alphabet der Sprache 5t enthält:

1. D i e Satzvariablen „p", ,,q", , , r " , ,,s", , / ' ,

2. die logischen Symbole ,,—i", , , A " , , , v " , , , D " u n d , , = " . 3. A l s Hilfszeichen verwenden w i r die Klammerzeichen ,,(", ,,)"

u n d Ziffern.

1 Vgl. [58], S. 33ff.

U m einen hinreichend großen Vorrat von S V z u haben, legen w i r fest, daß auch der Ausdruck p^z eine S V v o n 91 ist, wenn p eine S V v o n 91 u n d z eine Folge v o n Ziffern ist.

Jedes Grundzeichen des Alphabets v o n 91 ist n u n ein A u s d r u c k v o n 91. U n d wenn A u n d B Ausdrücke v o n 91 sind, so ist auch K(A, B) ein Ausdruck v o n 91.

Unter den Ausdrücken von 91 zeichnen w i r nun die Sätze oder Formeln von 91 durch folgende Formregeln aus:

a) Jede S V v o n 91 ist ein (Atom-) Satz v o n 91.

b) W e n n A u n d B Sätze v o n 91 sind, so sind auch die Ausdrücke - . ( A ) , (A) A (B), (A) v (B), (A) => (B) u n d (A) = (B) Sätze v o n 91.

c) Sätze v o n 91 sind nur die nach (a) u n d (b) bestimmten Ausdrücke.

D u r c h diese Regeln w i r d der Formelbegriff induktiv definiert:

Bezeichnet man die Zahl der Vorkommnisse von logischen Operatoren in einem Ausdruck als Grad dieses Ausdrucks, so legt die Bestimmung (a) fest, welche Ausdrücke v o m Grad 0 Formeln sind, u n d die Regel (b) bestimmt, ob ein Ausdruck v o m Grad n + 1 eine F o r m e l ist, wenn schon bekannt ist, welche Ausdrücke v o m G r a d ^ n Formeln sind.

Gemäß unseren früheren Festsetzungen über die Einsparung v o n K l a m m e r n¹ wollen w i r i m folgenden Ausdrücke m i t reduzierten Klammergruppen als Abkürzungen für die Ausdrücke nach (a) u n d (b) auffassen.

Übungsaufgaben:

1. M a n beweise, daß jeder Satz v o n 91 ein Ausdruck v o n 91 ist!

2. M a n gebe ein Entscheidungsverfahren für den Begriff ,Satz v o n 91' an, also eine Methode, nach der sich für jeden A u s d r u c k v o n 91 fest-stellen läßt, ob er ein Satz v o n 91 ist oder nicht!

1.3.2 Die Semantik der Sprache 91

Der Semantik der Sprache 91 wollen w i r den Begriff der Bewertung zugrunde legen:

1 Vgl. S. 23., 33, 57.

1.3.2.1 A l s Bewertung bezeichnen w i r eine einstellige F u n k t i o n ^SIB, die auf der Menge der Sätze von 91 definiert ist, die jedem ihrer Argumente genau einen der beiden Wahrheitswerte to oder f zuordnet, und für die gilt:

a) 9B(—iA) = xo genau dann, wenn 2B(A) = f.

b) 2B(A A B ) = to genau dann, wenn 20(A) = xo u n d ^SIB(B) = xo.

c) 9B(A v B) = xo genau dann, wenn 2B(A) = tD oder 2B(B) = xo.

d) 9B(A D B ) = tu genau dann, wenn 3B(A) = f oder 2B(B) = to.

e) 2B(A = B ) = ro genau dann, wenn 2B(A) = 903(B).

Wenn gilt 2B(A) = xo, so sagen w i r , die Bewertung 2B erfülle den Satz A .

Es gilt n u n der Satz:

1.3.2.2 W e n n eine Bewertung definiert ist für alle Atomsätze von 51, so ist sie für alle Sätze v o n 91 überhaupt definiert.

W i r führen den Beweis für diesen Satz durch Induktion nach dem G r a d der Sätze.

Die Induktionsbasis ist schon i n der Voraussetzung des Satzes enthalten u n d bedarf daher keines eigenen Beweises. Denn die Sätze v o m G r a d 0 sind eben die Atomsätze, v o n denen i m Satz verlangt wird, daß für sie die Bewertung 2B definiert ist, d . h . daß 2B ihnen genau einen Wahrheitswert zuordnet¹. E s bleibt der Induktionsschritt:

W e n n 2B allen Sätzen v o m G r a d ^ n genau einen Wahrheitswert z u -ordnet, so ordnet 2B auch allen Sätzen v o m G r a d n + 7 genau einen Wahrheitswert z u . (Hier handelt es sich also u m eine Wert verlauf s-induktion.)

N u n hat jeder Satz v o m G r a d n + 1 eine der Gestalten - i A , A A B , A v B , A D B , oder A = B . D i e Sätze A u n d B sind dann offenbar v o m G r a d ^n. Ihnen ordnet 2B also nach Induktionsvoraussetzung genau einen Wahrheitswert z u . W e n n m a n aber dann die Bedingungen (a) bis (e) v o n 1.3.2.1 ansieht, so erkennt m a n , daß sie auch den ange-gebenen Sätzen v o m G r a d n + 7 für alle möglichen Verteilungen v o n

1 Für den Aufbau eines Induktionsbeweises vgl. 1.2.3. Es spielt offen-bar keine Rolle, ob man einem Induktionsbeweis die Zahlenreihe 7,2,...

oder die Zahlenreihe 0, 1,2,... zugrunde legt. Im letzteren Fall ist die Induktionsbasis gegenüber 1.2.3 wie im Beweis für 1.3.2.2 abzuändern.

Wahrheitswerten auf die Sätze A u n d B genau einen Wahrheitswert zuordnen. D a m i t ist die Behauptung bewiesen.

Als Wahrheitsannahme für gewisse S V haben w i r früher eine Ver-teilung v o n Wahrheitswerten auf diese S V bezeichnet. E i n e Bewertung ist demnach eine Wahrheitsannahme für alle S V v o n 5t. D a die Be-dingungen 1.3.2.1 die Festsetzungen der Wahrheitstabellen für die Operatoren —i, A , v , Z> u n d EE wiedergeben, so kann m a n wie den Satz 1.3.2.2 auch die Behauptung beweisen, daß jede Wahrheitsannahme einem Satz A genau einen W e r t zuordnet, wenn sie für alle S V v o n A erklärt ist — ein Resultat, das wir schon früher benutzt, aber nicht bewiesen hatten (vgl. 1.2.7).

In Entsprechung zu 1.2.2.3 u n d 1.2.2.4 können w i r n u n sagen:

1.3.2.3 W i r nennen einen Satz von 5t a.l. wahr, wenn jede a.l. Be-wertung i h n erfüllt, a.l. falsch, wenn keine a.l. BeBe-wertung i h n erfüllt.

Sätze von 5t, die weder a.l. wahr noch a.l. falsch sind, nennen w i r a.l.

indeterminiert.

1.3.2.4 W i r nennen einen Schluß A^v..., A^m B a.l. gültig, wenn jede a.l. Bewertung, die alle Sätze A^v..., A^m erfüllt, auch B erfüllt.

Danach erhalten wir wieder: E i n Schluß B ist a.l. gültig, wenn aUe Bewertungen B erfüllen, d. h . wenn B a.l. wahr ist, u n d ein Schluß A^v. . . , A^m ist a.l. gültig, wenn jede Bewertung mindestens eine der Prämissen nicht erfüllt.

E s gilt dann der Satz:

1.3.2.5 E i n Schluß der Gestalt A^v..., A^m B ist a.l. gültig genau dann, wenn der Satz A^x A . . . A A^m D B a.l. wahr ist. U n d ein Schluß der F o r m A^v..., A^m ist a.l. gültig genau dann, wenn der Satz A^± A . . . A A^m a.l. falsch ist.

Das ergibt sich direkt aus den Definitionen 1.3.2.3 u n d 1.3.2.4 sowie den Bedingungen (b) u n d (d) von 1.3.2.1.

Mit Hilfe der semantischen Regeln 1.3.2.1 können w i r nun auch einen detaillierten Beweis für das Ersetzungstheorem.

1.3.2.6 A = B + CQAJ = C p j

angeben¹. E s genügt dabei, den F a l l z u betrachten, daß C[£B]] aus

1 Vgl. Mt6 aus 1.2.6 und die Bemerkung zum Beweis für Mt6 in 1.2.7.

C[[A]] durch Ersetzung nur eines Vorkommens von A durch B entsteht, da m a n durch mehrfache Anwendung dieses Ergebnisses den allge-meinen F a l l 1.3.2.6 sofort erhält. F ü r diesen Spezialfall beweisen wir die Behauptung durch Induktion nach der Zahl n, dem G r a d von C[[A]]

minus dem G r a d von A . Für den F a l l n = 0 ist die Behauptung trivial, da dann C[[AJ| m i t A zusammenfällt. Sei die Behauptung für alle n <C Y bereits bewiesen und sei nun n = Y + 7, dann läßt sich C J A J darstellen i n der F o r m C[[A']], wo A ' i s t¹ u n d A ' = A'[[A]] das fragliche Vorkommnis v o n A enthält bzw. mit i h m identisch ist. E s ist dann C[[B]j — C[[A'[[B]]]] u n d nach Induktionsvoraussetzung gilt bei der Annahme A = B auch A'JA]] = A'p>]], d a der G r a d von A ' minus dem G r a d v o n A ^ Y ist. C J A ' J hat n u n eine der folgenden

Gestalten: -nA', A ' A D , D A A ' , A ' V D , D V A ' , A ' D D , D D A ' , A ' = D ,

D = A ' . W i r greifen nur einen F a l l heraus: C[[A']] = A ' D D . N a c h 1.3.2.1—d gilt dann wegen der Induktionsvoraussetzung A'[[A]j = A'JB]]

auch A'flA]] D D = A ' P ] ] 3 D . Denn wenn A'[[A]] = A'[[B]] wahr ist, so haben A'[[A]] u n d A ' P ] ] nach 1.3.2.1—e den gleichen Wahrheitswert und dann haben auch A'flA.]] D D u n d A ' P ] ] D D den gleichen W a h r -heitswert, der sich nach 1.3.2.1—d bestimmt, u n d dann gilt wegen 1.3.2.1—e auch A'flA]] D D = A ' P ] ] => D . Die übrigen Fälle erledigen sich ebenso einfach.

Wenn m a n zeigen will, daß aufgrund der Regeln 1.3.2.1 z. B . A v B durch —1(—iA A —IB) definiert werden kann, so muß gezeigt werden:

A v B läßt sich i n allen Kontexten durch —i(—iA A ~ I B ) ersetzen, ohne daß sich der Wahrheitswert der Kontexte ändert. N a c h dem Ersetzungs-theorem genügt es dafür, z u zeigen, daß gilt A v B E —i(-iA A - I B ) .

D a Negation u n d Implikation eine komplette Menge v o n W a h r -heitsfunktionen bilden, genügt es auch, die Operatoren —i u n d D als einzige logische Grundsymbole v o n 51 anzunehmen u n d die übrigen Operatoren durch Definitionen auf Negation u n d Implikation zurück-zuführen. A u s diesen Definitionen kann man dann mit den Bedingungen 1.3.2.1—a, d die Bedingungen 1.3.2.1— b, c, e beweisen.

Übungsaufgaben:

1. Beweise durch Induktion nach dem Formelgrad den Satz: W e n n zwei Bewertungen den S V einer Menge M die gleichen Wahrheitswerte

1 Das Zeichen ^ bedeutet soviel wie „ungleich". ,,C ^ A ' " besagt also, daß die Ausdrücke C und A ' verschieden sind.

zuordnen, so ordnen sie allen Sätzen die gleichen Wahrheitswerte z u , die nur S V aus M enthalten!

2. Beweise die Gültigkeit der Bedingungen 1.3.2.1—b, c, e aus den Bedingungen 1.3.2.1—a, d u n d den Definitionen d2, d7 u n d A v B : = - l A D B !

3. Leite m i t diesen Definitionen die Formregeln für die Ausdrücke A A B , A v B u n d A = B aus den Formregeln für —iA u n d A D B her!

1.3.3 Der Kalkül 911

I n diesem Abschnitt soll n u n ein Kalkül angegeben werden, i n d e m die a.l. wahren Sätze v o n 91 bewiesen werden können. Diesen Kalkül wollen w i r 911 nennen.

Als Kalkül bezeichnet man allgemein ein rein syntaktisches Ver-fahren zur Auszeichnung gewisser Ausdrücke, das durch ein System von Regeln definiert ist, durch deren Anwendung sich die fraglichen Ausdrücke erzeugen lassen. Einen solchen Kalkül bilden z. B . die 1 Formregeln für 91, durch die gewisse Ausdrücke v o n 91 als Formeln

ausgezeichnet werden.

Obwohl es i n der A . L . nach unseren früheren Festlegungen primär u m die Auszeichnung der a.l. gültigen Schlüsse geht, genügt es, einen Kalkül für die Auszeichnung der a.l. wahren Sätze anzugeben, denn aus diesen Sätzen kann m a n m i t Hilfe des Theorems 1.3.2.5 auch die a.l. gültigen Schlüsse gewinnen.

Angesichts der Vorzüge des i m Abschnitt 1.2.4 dargestellten E n t -scheidungsverfahrens läge es n u n nahe, den Kalkül als Präzisierung dieses EntscheidungsVerfahrens aufzubauen. D a eine solche Präzisierung aber keine neuen Gesichtspunkte ergäbe, wollen w i r hier einen anderen Weg einschlagen u n d den Kalkül 911 als axiomatischen Kalkül aufbauen.

Der T y p des axiomatischen Kalküls veranschaulicht auch i n exemplari-scher Weise die Anforderungen, die an ein strenges u n d rein syntakti-sches Beweisverfahren gestellt werden müssen, u n d i h m k o m m t zugleich eine so große wissenschaftstheoretische Bedeutung zu, daß w i r ihn hier ausführlich besprechen wollen.

D u r c h die Angabe eines axiomatischen Systems soll eine Menge von Sätzen ausgezeichnet werden. D i e Menge dieser Sätze, der Theoreme des Systems wird induktiv definiert

1. durch die Angabe v o n bestimmten Sätzen, die als Axiome aus-gezeichnet werden, u n d

2. durch die Angabe v o n rein syntaktisch formulierten Deduktions-oder Ableitungsregeln, die festlegen, wie aus bereits gewonnenen Theo-remen neue Theoreme erzeugt werden können.

1.3.3.1 A l s Axiome v o n 511 wählen w i r alle Sätze der F o r m : A I : A D ( B D A )

A 2 : ( A D ( B D C ) ) D ( ( A D B ) D ( A D C ) ) A 3 : ( — i A D —iB) D ( B D A )1.

Als Deduktionsregel v o n 511 wählen w i r die Regel:

R l : A u s den Sätzen A u n d A D B k a n n m a n i n 511 den Satz B gewinnen.

Diese Regel bezeichnet m a n auch als Abtrennungsregel oder Regel des modus ponens. D i e Sätze A u n d A D B sind die Prämissen, B ist die K o n k l u s i o n dieser Regel.

Sind die A x i o m e u n d Deduktionsregeln eines Kalküls 51 gegeben, so definiert m a n den Begriff, ,beweisbar i n 5V allgemein durch folgende Bedingungen:

1.3.3.2 a) Alle A x i o m e v o n R sind i n ft beweisbar.

b) W e n n die Prämissen einer Deduktionsregel v o n R i n 51 beweisbar sind, so ist auch deren K o n k l u s i o n i n 51 beweisbar.

c) I n R sind n u r die durch die Bedingungen (a) u n d (b) erfaßten Sätze beweisbar.

E i n Beweis für einen Satz A i n 51 läßt sich demnach z. B . als endliche Folge v o n Sätzen anschreiben, so daß A das letzte Glied dieser Folge ist u n d für alle Glieder der Folge gilt: sie sind A x i o m e v o n R oder sie entstehen aus vorangehenden Gliedern der Folge durch einmalige A n w e n d u n g einer der Deduktionsregeln v o n R.

E i n Beweis für den Satz p D p i n 511 läßt sich so wie folgt anschreiben:

1) pD((qDp)Dp) A I 2) (pD((qZ>p)Dp))Z>((pD(qDp))D(pz>p)) A 2

1 Dieses Axiomensystem wurde von L U K A S I E W I C Z in [51] als

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