1.Da die Zerlegbarkeit von Graphen in Komponenten bei vielen Anwen-dungen eine wichtige Rolle spielt, erfolgen in diesem Abschnitt einige erg¨anzende Bemerkungen. Wir beginnen mit ungerichteten Graphen. Als Beispiel wird folgender Graph mit 6 Knoten betrachtet:
1 3 2
4
5 6
Dieser Graph zerf¨allt offensichtlich in zwei Komponenten. Anhand der gra-phischen Darstellung erkennt man auch sofort, dass die Komponenten eine Partition der Knotenmenge bilden: Jeder Knoten geh¨ort zu genau einer Komponente, und zwischen jeweils zwei Komponenten gibt es keine Ver-bindung. Jetzt betrachten wir die zugeh¨orige Adjazenzmatrix, die folgen-dermaßen aussieht:10
Anhand dieser Matrix ist es jedoch nicht mehr offensichtlich, dass der Graph in zwei Komponenten zerf¨allt. Es ist deshalb oft zweckm¨aßig, die Knoten eines Graphen neu zu nummerieren, so dass diejenigen Knoten, die zu einer Komponente geh¨oren, zusammenh¨angende Knotennummern haben. In unserem Beispiel liegt es nahe, auf folgende Weise neue Knoten-nummern zu bilden:
vorher 1 2 3 4 5 6
hinterher 1 4 2 5 3 6
10Um zwischen den beiden Komponenten besser unterscheiden zu k¨onnen, werden die Kanten der ersten Komponente durch eine 1, die der zweiten Komponente durch eine 2 repr¨asentiert.
3.4 PERMUTATIONEN DER ADJAZENZMATRIX 43
Bildet man jetzt die Adjazenzmatrix mit den neuen Knotennummern, sieht sie folgendermaßen aus:
Jetzt erkennt man auch in der Adjazenzmatrix deutlich die beiden Kom-ponenten.11
2.Eine Matrix, die außerhalb ihrer Hauptdiagonalen nur Nullen enth¨alt, wirdDiagonalmatrix genannt. Wenn sie entlang der Hauptdiagonalen aus quadratischen Bl¨ocken besteht, so dass außerhalb der Bl¨ocke nur Nullen stehen, spricht man von einer Blockdiagonalmatrix. Offenbar ist B eine Blockdiagonalmatrix, die aus zwei Bl¨ocken besteht. Allgemein sieht eine Blockdiagonalmatrix mitmBl¨ocken folgendermaßen aus:
Dabei sindB1, . . . ,Bmquadratische Matrizen, die im allgemeinen aus un-terschiedlich vielen Zeilen und Spalten bestehen k¨onnen. Jede dieser qua-dratischen Matrizen wird auch als einBlock bezeichnet. Offensichtlich las-sen sich Bl¨ocke wiederum als Adjazenzmatrizen interpretieren, n¨amlich als Adjazenzmatrizen der Komponenten, aus denen der Gesamtgraph besteht.
3.Somit entsteht die Frage, wie man f¨ur eine beliebig vorgegebene Matrix eine Darstellung in Form einer blockdiagonalen Matrix finden kann. Dabei stellen sich zwei Probleme. Erstens muss man ermitteln, aus wie vielen Komponenten der Graph bzw. aus wie vielen Bl¨ocken die Adjazenzmatrix besteht. Zweitens muss man eine geeignete Umnummerierung der Knoten-nummern des Graphen bzw. der Indizes der Adjazenzmatrix finden, so dass zusammenh¨angende Bl¨ocke entstehen. Da dies bei gr¨oßeren Graphen bzw.
Matrizen sehr m¨uhselig ist, stellt TDA zur Berechnung den mpbu-Befehl zur Verf¨ugung, der f¨ur eine vorgegebene quadratische Matrix eine simulta-ne Permutation der Zeilen und Spalten findet, so dass eisimulta-ne blockdiagonale Matrix entsteht. Das Skript in Box 3.4.1 illustriert die Verwendung dieses Befehls f¨ur das eingangs angef¨uhrte Beispiel. Zuerst wird mit dem mdef-Befehl die Matrix definiert. Dann wird der mpbu-Befehl verwendet, um
11Es sei angemerkt, dass man innerhalb jeder Komponente beliebige Umnummerierun-gen der Knotennummern vornehmen kann.
Box 3.4.1 Skript zur Bildung einer blockdiagonalen Matrix.
mfmt = 1.0; # Format zur Zahlendarstellung mdef(A,6,6) = # Definition der Matrix A
0,0,1,0,1,0, mpr(B); # Ausdruck von B mpr(P); # Ausdruck von P mpr(N); # Ausdruck von N mpr(U); # Ausdruck von U
B P N U
aus der MatrixAneue Matrizen bzw. Vektoren zu erzeugen. Die MatrixB enth¨alt die durch simultane Permutation von Zeilen und Spalten entstan-dene blockdiagonale Matrix. Der Vektor P gibt die Permutation an. Der SkalarNenth¨alt die Anzahl der Bl¨ocke. Und schließlich wird noch ein wei-terer Vektor, in diesem Beispiel Ugenannt, erzeugt, dessen Koeffizienten angeben, in welchen Zeilen ein neuer Block beginnt.
4.Die bisherigen ¨Uberlegungen bezogen sich auf ungerichtete Graphen, deren Adjazenzmatrix symmetrisch ist. Jetzt betrachten wir gerichtete Graphen mit nicht-symmetrischen Adjazenzmatrizen. Wiederum kann ein solcher Graph aus einer oder aus mehreren Komponenten bestehen. Wenn es mehrere Komponenten gibt, kann man zwei F¨alle unterscheiden:
a) Es gibt keinerlei Verbindungen zwischen Knoten, die zu unterschied-lichen Komponenten geh¨oren. D.h., wenn die Knoten i und j zwei verschiedenen Komponenten angeh¨oren, gibt es weder einen Weg von i nachj noch vonj nachi.
b) Es gibt mindestens zwei Komponenten und mindestens einen Weg, der von einem Knoten i der ersten Komponente zu einem Knoten j der zweiten Komponente f¨uhrt. Es ist auch klar, dass es dann keinen Weg geben kann, der von j nach i f¨uhrt, denn andernfalls w¨urden beide Knoten zur gleichen Komponente geh¨oren.
Wir besprechen zuerst den Fall (a), dann den Fall (b). Es sei angemerkt, dass alle Berechnungen auch bei gerichteten Graphen bzw. unsymmetri-schen Matrizen mit dem mdbu-Befehl durchgef¨uhrt werden k¨onnen. Dies wird jedoch im folgenden nicht im einzelnen gezeigt.
5.Zur Illustration der ersten M¨oglichkeit wird folgender Graph betrachtet:
1
Wiederum gibt es zwei Komponenten und zu jeder Komponente eine Adja-zenzmatrix, die einen Block in einer blockdiagonalen Gesamtmatrix bildet.
Man kann z.B. folgender Umnummerierung der Knotennummern verwen-den:
1→3, 2→6, 3→1, 4→4, 5→2, 6→5
Eine simultane Permutation der Zeilen und Spalten der urspr¨unglichen Adjazenzmatrix liefert dann folgende blockdiagonale Matrix:
B =
Allgemein kann festgehalten werden: Wenn ein gerichteter Graph in ver-bindungslose Komponenten zerf¨allt, kann man stets eine Umnummerierung der Knoten (eine simultane Permutation der Zeilen und Spalten der Adja-zenzmatrix) finden, so dass die Adjazenzmatrix eine blockdiagonale Form bekommt. Die Bl¨ocke entlang der Hauptdiagonalen sind dann gerade die Adjazenzmatrizen der Komponenten.
6.Etwas anders verh¨alt es sich im Fall (b), wenn also zwischen mindestens zwei Komponenten eines gerichteten Graphen eine Verbindung besteht.
Zur Illustration betrachten wir folgenden Graphen:
1
Wie im vorangegangenen Beispiel gibt es zwei Komponenten, aber zus¨atz-lich einen Weg, der von der ersten zur zweiten Komponente f¨uhrt. Wenn
46 3 METHODEN DER DARSTELLUNG UND ANALYSE
man jetzt die gleiche Umnummerierung vornimmt wie zuvor, findet man folgende Adjazenzmatrix:
B =
0 1 0 3 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0
bei der es sich nicht mehr um eine blockdiagonale Matrix handelt. Nach wie vor befinden sich jedoch entlang der Hauptdiagonalen quadratische Bl¨ocke, und unterhalb dieser Bl¨ocke gibt es nur Nullen. Der Unterschied besteht nur darin, dass sich jetzt auch oberhalb der Bl¨ocke Koeffizienten befinden k¨onnen, die nicht Null sind. Man spricht deshalb von eineroberen Blockdiagonalmatrix.12
7.Allgemein kann wieder folgendes festgehalten werden: Die Adjazenz-matrix eines gerichteten Graphen, der in zwei oder mehr Komponenten zerf¨allt, kann durch simultane Zeilen- und Spaltenpermutationen stets in die Form einer oberen Blockdiagonalmatrix gebracht werden, wobei die Bl¨ocke entlang der Hauptdiagonalen die Adjazenzmatrizen der Kompo-nenten sind. Eine solche Darstellung hat dar¨uber hinaus eine weitere be-merkenswerte Eigenschaft. Gibt es entlang der Hauptdiagonalen die Bl¨ocke B1, . . . ,Bmund gibt es einen Weg, der von einem Knoten im BlockBizu einem Knoten in einem Block Bj f¨uhrt, dann ist i < j. Man erh¨alt also eine lineare Ordnung der Bl¨ocke.
12Ganz analog ist der Begriff einerunteren Blockdiagonalmatrixdefiniert. Dann m¨ussen alle Koeffizienten oberhalb der Bl¨ocke Null sein.
Kapitel 4
Beziehungen zwischen Unternehmen
In den folgenden Kapiteln besch¨aftigen wir uns mit Beziehungen zwischen Unternehmen. In den einleitenden Bemerkungen werden drei Aspekte, un-ter denen man solche Beziehungen betrachten kann, unun-terschieden. In den restlichen Abschnitten dieses Kapitels werden anhand eines exemplari-schen Datensatzes personelle Verflechtungen besprochen.
4.1 Einleitende Bemerkungen
1.Von besonderem Interesse sind Beziehungen zwischen Unternehmen, durch die sie einseitig oder wechselseitig voneinander abh¨angig sind. Drei Aspekte k¨onnen unterschieden werden:
a) Beziehungen, die darin bestehen, dass ein Unternehmen G¨uter verwen-det, die von anderen Unternehmen produziert werden (Vorleistungs-verflechtungen).
b) Beziehungen, die darin bestehen, dass ein Unternehmen mehr oder we-niger grosse Anteile am (Aktien-) Kapital eines anderen Unternehmens besitzt (Kapitalverflechtungen).
c) Beziehungen, die darin bestehen, dass Personen gleichzeitig in zwei oder mehr Unternehmen Einfluss aus¨uben (personelle Verflechtungen).
2.In allen drei F¨allen sind zur empirischen Erfassung relationale Daten er-forderlich, die sich in Gestalt eines Graphen darstellen lassen. Die jeweils erfassten Unternehmen bilden die Knoten und die zwischen ihnen erfas-sten Beziehungen die Kanten des Graphen. Im allgemeinen wird es sich um bewertete Graphen handeln, wobei die Bewertungen im ersten Fall G¨uterstr¨ome, im zweiten Fall anteiligen Kapitalbesitz und im dritten Fall die Anzahl von Personen, die gleichzeitig in den Unternehmen bestimmte Positionen haben, erfassen. In den ersten beiden F¨allen handelt es sich im allgemeinen um gerichtete Graphen, im dritten Fall k¨onnen sowohl gerich-tete als auch ungerichgerich-tete Graphen Verwendung finden.
3.Im weiteren werden wir folgendermaßen vorgehen. In diesem Kapitel besch¨aftigen wir uns mit personellen Verflechtungen zwischen Unterneh-men, wobei wir uns auf eine Erfassung ungerichteter Beziehungen be-schr¨anken, also Begriffsbildungen verwenden, die f¨ur ungerichtete Graphen definiert sind. Im n¨achsten Kapitel werden einige Aspekte von Kapitalver-flechtungen diskutiert und einige hierf¨ur entwickelte Analysem¨oglichkeiten
besprochen. In den dann folgenden Kapiteln wird ¨uberlegt, wie sich erfas-sen l¨asst, dass Unternehmen auch in ihrer G¨uterproduktion voneinander abh¨angig sind. Die ¨Uberlegungen beginnen mit einfachen ¨okonomischen Modellen; im Anschluss werden Grundz¨uge der Input-Output-Rechnung besprochen und anhand von Input-Output-Tabellen f¨ur die BRD illu-striert.