In den folgenden Abschnitten besch¨aftigen wir uns mit der Frage, wie sich nicht nur der direkte, sondern auch der indirekte Kapitalbesitz an Unternehmen erfassen l¨asst. Zuerst wird die Fragestellung erl¨autert, dann wird ein Rechenverfahren dargestellt, das sich auch f¨ur große Netzwerke eignet.
5.3.1 Fragestellung und Rechenmethode
1.Um die Fragestellung zu erl¨autern, betrachten wir zwei Varianten einer Kapitalverflechtung zwischen vier Unternehmen:
0.5
0.3
0.1
1 2 0.2
3 4
0.5
0.3
0.1 0.2
0.1
1 2
3
Graph A Graph B 4
Zuerst betrachten wir den Graphen A. Nr. 1 besitzt 50 % am Kapital von Nr. 2, Nr. 2 besitzt 10 % am Kapital von Nr. 3 und 30 % am Kapital von Nr. 4, und Nr. 4 besitzt 20 % am Kapital von Nr. 3. Dies sind die direk-ten Besitzverh¨altnisse. Dar¨uber hinaus kann man nachindirektem Besitz fragen. Z.B. kann man sagen, dass der Besitzanteil von Nr. 1 an Nr. 4 den Wert 0.5·0.3 = 0.15 und der Besitzanteil von Nr. 1 an Nr. 3 den Wert
0.5·0.1 + 0.5·0.3·0.2 = 0.08
hat. Berechnungen dieser Art sind offenbar unproblematisch, wenn der Ver-flechtungsgraph keine Zyklen aufweist. In Graph B gibt es jedoch Zyklen.
Wie kann man in diesem Fall den indirekten Kapitalbesitz berechnen?
2.Wir folgen im weiteren einem Vorschlag von Baldone, Brioschi und Pa-leari (1997). Ausgangspunkt ist ein gerichteter und bewerteter Kapitalver-flechtungsgraph mit n Knoten i = 1, . . . , n. Mit aij wird der Anteil des Kapitals des Unternehmensj bezeichnet, den das Unternehmen i direkt besitzt. Wir nehmen an, dass diese Anteile als Dezimalbr¨uche (0≤aij ≤1) gegeben sind, so dass gilt:
n
X
i=1
aij ≤ 1 (f¨urj= 1, . . . , n)
Gesucht ist nun eine sinnvolle Definition f¨ur Koeffizientenyij, die angeben,
welchen Anteil am Kapital von Unternehmenj das Unternehmenidirekt und indirekt besitzt. Der Vorschlag von Baldone, Brioschi und Paleari ori-entiert sich an folgender Buchf¨uhrungsgleichung:
yij = aij+X
k6=i
yikakj (5.3.1)
Der erste Summand soll den direkten, die dann folgende Summe den indi-rekten Kapitalbesitz erfassen.
3.Um eine L¨osung f¨ur das Gleichungssystem zu finden, ist es n¨utzlich, die Matrixschreibweise zu verwenden. Zun¨achst liefert eine ¨aquivalente Um-formung von (5.3.1) das Gleichungssystem
yij = (1−yii)aij+
n
X
k=1
yikakj
Es sei nunY = (yij), A= (aij) und I eine (n, n)-Einheitsmatrix. Dann erh¨alt man in der Matrixschreibweise folgende Formulierung f¨ur das Glei-chungssystem:
Y = (I− diag (Y))A +YA (5.3.2)
wobei diag (Y) die aus den Hauptdiagonalelementen vonYgebildete Dia-gonalmatrix
diag (Y) =
y11 0
. ..
0 ynn
bezeichnet. Im Anhang A.5 wird gezeigt, wie und unter welchen Bedin-gungen man f¨ur das Gleichungssystem (5.3.2) eine L¨osung finden kann.
Folgende Formel liefert das Ergebnis:
Y = diag (I−A)−1−1
A(I−A)−1 (5.3.3)
4.Zur Illustration verwenden wir die beiden eingangs angef¨uhrten Gra-phen A und B. Box 5.3.1 zeigt ein Skript, das die Matrix-Befehle vonTDA verwendet, um die Formel (5.3.3) zu berechnen. Zun¨achst wird die Ad-jazenzmatrix f¨ur den Graphen A definiert, dann werden die in der Box kommentierten Rechenschritte ausgef¨uhrt. Schließlich wird die MatrixY ausgedruckt. Die untere H¨alfte der Box zeigt das Ergebnis, das offensicht-lich mit den zu Beginn dieses Abschnitts durchgef¨uhrten Berechnungen
¨ubereinstimmt.
5.Box 5.3.2 zeigt die Berechnung f¨ur den Graphen B. Das Skript ist nat¨urlich im wesentlichen identisch mit dem in Box 5.3.1, nur die Defi-nition der Adjazenzmatrix wurde so ge¨andert, dass sie dem Graphen B
70 5 KAPITALVERFLECHTUNGEN
Box 5.3.1 Direkter und indirekter Kapitalbesitz im Graphen A.
mdef(A,4,4) = 0.0, 0.5, 0.0, 0.0, # Definition der A-Matrix 0.0, 0.0, 0.1, 0.3,
0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.2, 0.0;
mdefi(4,4,I); # Definition der Einheitsmatrix
mexpr(I - A, IA); # IA = I - A
mginv(IA,IAI); # IAI = Inverse von IA
mdiagd(IAI,IAIV); # IAIV = Diagonale von IAI
mdiag(IAIV,IAD); # IAD = diag(IAI)
minvd(IAD,IADI); # IADI = Inverse von IAD mmul(IADI,A,IAI,Y); # Y = IADI * A * IAI
mpr(Y); # Ausdruck
Ergebnis des Ausdrucks der Matrix Y:
0.0000 0.5000 0.0800 0.1500
0.0000 0.0000 0.1600 0.3000
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0000 0.0000 0.2000 0.0000
Box 5.3.2 Direkter und indirekter Kapitalbesitz im Graphen B.
mdef(A,4,4) = 0.0, 0.5, 0.0, 0.0, # Definition der A-Matrix 0.0, 0.0, 0.1, 0.3,
0.0, 0.1, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.2, 0.0;
mdefi(4,4,I); # Definition der Einheitsmatrix
mexpr(I - A, IA); # IA = I - A
mginv(IA,IAI); # IAI = Inverse von IA
mdiagd(IAI,IAIV); # IAIV = Diagonale von IAI
mdiag(IAIV,IAD); # IAD = diag(IAI)
minvd(IAD,IADI); # IADI = Inverse von IAD mmul(IADI,A,IAI,Y); # Y = IADI * A * IAI
mpr(Y); # Ausdruck
Ergebnis des Ausdrucks der Matrix Y:
0.0000 0.5081 0.0813 0.1524
0.0000 0.0160 0.1600 0.3000
0.0000 0.1000 0.0160 0.0300
0.0000 0.0202 0.2020 0.0061
entspricht. Die untere H¨alte der Box zeigt wieder die Koeffizienten der Matrix Y. Offenbar hat das Vorhandensein eines Zyklus im Graphen B dazu gef¨uhrt, dass sich einige Koeffizienten ver¨andert haben. Bemerkens-wert ist auch, dass jetzt yii bei den Knoten 2, 3 und 4 einen positiven Wert annimmt. Es sind dies genau diejenigen Knoten, die einen positi-ven Eingangsgrad haben und insofern von der durch den Zyklus bewirkten
”R¨uckkopplung“ betroffen sind.
5.3 DIREKTER UND INDIREKTER KAPITALBESITZ 71
5.3.2 Eine alternative Rechenmethode
1.Ein Nachteil des im vorangegangenen Abschnitt besprochenen Re-chenverfahrens besteht darin, dass die erforderlichen Rechenschritte stets f¨ur die gesamte Adjazenzmatrix des Kapitalverflechtungsgraphen durch-gef¨uhrt werden m¨ussen. Das kann auch zu Speicherplatzproblemen f¨uhren.
Als Beispiel kann man sich vorstellen, dass die Kapitalverflechtung bei 30000 Unternehmen erfasst wurde. Bereits die AdjazenzmatrixAhat dann 900 Mio. Zellen. Außerdem k¨onnen bei solchen sehr großen Matrizen leicht numerische Probleme bei der Matrixinversion auftreten. Es ist deshalb sinnvoll, alternative Rechenmethoden in Betracht zu ziehen.
2.Wir nehmen an, dass die Kapitalverflechtung zwischennKnoten (Un-ternehmen) in Form eines gerichteten und bewerteten GraphenG erfasst worden ist. Um auf die Knoten Bezug zu nehmen, werden die nat¨urlichen Zahlen 1, . . . , nverwendet. Die Knotenmenge ist alsoN :={1, . . . , n}. Die Kantenbewertungen seien durch die Koeffizienten einer Adjazenzmatrix A= (aij) gegeben, so wie dies im vorangegangenen Abschnitt besprochen wurde. Typischerweise handelt es sich, insbesondere wennn groß ist, um eine sehr schwach besetzte Matrix, in der nur wenige positive Koeffizienten auftreten. Infolgedessen ist es zweckm¨aßig, den Graphen nicht in Form ei-ner Adjazenzmatrix, sondern in Form eiei-ner Kantenliste zu speichern. Aber dies ist f¨ur die folgende ¨Uberlegung nicht wesentlich.
3.Sei nun i∈ N irgend ein Knoten, dessen direkten und indirekten Ka-pitalbesitz man untersuchen m¨ochte. Zur Notation verwenden wir wie im vorangegangenen Abschnitt die Koeffizienten yij, die angeben, welchen Anteil am Kapital des Knotensj der Knotenidirekt und indirekt besitzt (im Unterschied zum Koeffizientenaij, der nur den direkten Kapitalbesitz erfasst). Gesucht sind also die Werte vonyij f¨ur alle Knotenj= 1, . . . , n.
Nun ist jedoch unmittelbar einsichtig, dass yij nur dann einen positiven Wert annehmen kann, wenn es mindestens einen Weg gibt, der vonizuj f¨uhrt. Es ist deshalb zur Berechnung gar nicht erforderlich, den gesamten Verflechtungsgraphen zu betrachten, sondern nur diejenigen Knoten, die voni ausgehend durch mindestens einen Weg erreichbar sind. Die Menge dieser Knoten wird im folgendenNi genannt.
4.Die Definition umfasst zwei F¨alle. Wenn es keinen Weg gibt, der aus-gehend vom Knoten i wieder zu diesem Knoten zur¨uckf¨uhrt, dann ist i kein Element von Ni,2 und infolgedessen ist auch yii = 0. Wenn es an-dererseits mindestens einen beim Knotenibeginnenden Zyklus gibt, wird
2Wenn außerdem der Teilgraph mit der Knotenmenge{i} ∪ Ni linear ist, kann man den direkten und indirekten Kapitalbesitzyij auf einfache Weise dadurch ermitteln, dass man der Reihe nach alle Wege von i nachj verfolgt und die Kantenbewertun-gen innerhalb jedes Wegs multipliziert und am Schluß aufsummiert. Man vgl. die im vorangegangenen Abschnitt am Beispiel des Graphen A durchgef¨uhrte Berechnung.
Box 5.3.3 Algorithmus zur Berechung des direkten und indirekten Kapitalbe-sitzes f¨ur einen Knoteni.
(1) u←ai, y←0 (2) f¨ur allej∈ Ni:
f¨ur allek∈ Ej:
wennk=i, dann: yj←yj+aij
andernfalls: yj ←yj+ukakj
(3) wenn maxj{|uj−yj|} ≤, dann Ende;
andernfalls: u←y, y←0 und Fortsetung bei (2)
yii einen positiven Wert annehmen. (Wie bereits im vorangegangenen Ab-schnitt festgestellt wurde, wird angenommen, dassaii = 0 ist, so dass es keine Schlingen gibt.)
5.Jetzt besprechen wir eine Methode zur Berechnung vonyij, die in beiden F¨allen anwendbar ist. Box 5.3.3 zeigt in schematischer Form den Algorith-mus. Dabei werden folgende Notationen verwendet.Ni ist die Menge der Knoten, die durch mindestens einen Weg voniaus erreichbar sind.Ej ist die Menge der Knoten, von denen ausgehend eine Kante zum Knoten j existiert.ai ist diei-te Zeile der AdjazenzmatrixA. Schließlich sind
u = (u1, . . . , un) und y = (y1, . . . , yn)
zwei Zeilenvektoren der L¨angen. Die Koeffizienten des Vektorsyenthalten am Schluß die Werteyij (=yj); der Vektoruerfasst die zum Beginn jeder Iteration des Algorithmus verf¨ugbaren vorl¨aufigen N¨aherungswerte f¨ury.
6.Der Algorithmus funktioniert folgendermaßen: Zuerst wird der Vektor ai in den Vektor u kopiert und der Vektory gleich Null gesetzt.3 Dann werden der Reihe nach alle Knotenj ∈ Ni betrachtet und außerdem alle Kanten, die von irgendeinem Knotenk zum Knoten j f¨uhren. Dann gibt es zwei M¨oglichkeiten. Wenn k =i ist, wenn also eine Kante von i zu j f¨uhrt, wird der direkte Kapitalbesitz aij zu yj addiert; andernfalls wird das Produkt ukakj addiert, wobei uk den bisher ermittelten indirekten Kapitalbesitz voni anj enth¨alt. Nachdem auf diese Weise alle Knoten in Ni betrachtet worden sind, hat man neue Werte f¨ur den Vektor y, also eine bessere N¨aherung f¨ur die zu berechnenden Werte yij, und kann sie mit der bisherigen N¨aherung, die durch den Vektor u dargestellt wird, vergleichen. Dies geschieht im Schritt (3) des Algorithmus. Es wird der maximale Unterschied zwischen den Koeffizienten inu undy berechnet;
3Die Pfeile sollen andeuten, dass der Ausdruck auf der linken Seite die auf der rechten Seite angegebenen Werte bekommt.
Box 5.3.4 Skript zur Berechnung des integrierten Kapitalbesitzes mit dem gio-Befehl f¨ur den Graphen B.
nvar( # Einlesen der Kantenliste klist.b dfile = klist.b, # Name des Datenfiles
I = c1, # Variable I aus Spalte 1 J = c2, # Variable J aus Spalte 2 V = c3, # Variable V aus Spalte 3 );
gdd = I,J,V; # Definition des Graphen gio = gio.dat; # gio-Befehl
Inhalt des Files gio.dat
i ni nj a(i,j) y(i,j) N IT
---1 1 1 0.0000 0.0000 4 4
1 1 2 0.5000 0.5081 4 4
1 1 3 0.0000 0.0813 4 4
1 1 4 0.0000 0.1524 4 4
2 2 2 0.0000 0.0160 3 2
2 2 3 0.1000 0.1600 3 2
2 2 4 0.3000 0.3000 3 2
3 3 2 0.1000 0.1000 3 1
3 3 3 0.0000 0.0160 3 1
3 3 4 0.0000 0.0300 3 1
4 4 2 0.0000 0.0202 3 2
4 4 3 0.2000 0.2020 3 2
4 4 4 0.0000 0.0061 3 2
und wenn dieser maximale Unterschied kleiner als eine vorgegebene Ge-nauigkeitsschrankeist, kann man abbrechen. Andernfalls muss eine neue Iteration erfolgen, die in Schritt (3) dadurch vorbereitet wird, dass der Vektoru die Werte der besseren N¨aherungy bekommt und y hinterher gleich Null gesetzt wird. Wenn es ¨uberhaupt eine L¨osung gibt, konvergiert der Algorithmus meistens sehr schnell und liefert das gleiche Ergebnis wie das im vorangegangenen Abschnitt besprochene Rechenverfahren.
7.TDAstellt diesen Algorithmus in Form desgio-Befehls zur Verf¨ugung.
Zur Illustration verwenden wir diesen Befehl, um den integrierten (direkten und indirekten) Kapitalbesitz f¨ur den im vorangegangenen Abschnitt an-gegebenen Graphen B zu berechnen. Box 5.3.4 zeigt das hierf¨ur verwendete Skript. Zuerst wird das Datenfileklist.beingelesen, dass die Kantenliste f¨ur den Graphen B enth¨alt. Dann wird mit demgdd-Befehl ein gerichteter und bewerteter Graph definiert. Schließlich wird mit demgio-Befehl der Algorithmus zur Berechnung des integrierten Kapitalbesitzes ausgef¨uhrt.
Die untere H¨alfte der Box zeigt den Inhalt des durch dengio-Befehl er-zeugten Filesgio.dat. F¨ur jedes Knotenpaar (i, j) gibt es eine Zeile, wenn es einen Weg gibt, der vonizuj f¨uhrt, so dass man sagen kann, dass der Knoteni einen direkten und/oder indirekten Kapitalanteil am Knoten j
74 5 KAPITALVERFLECHTUNGEN
besitzt. Die ersten beiden Spalten geben die interne bzw. externe Nummer des Knotensian, die dritte Spalte die externe Nummer des Knotensj. In den n¨achsten beiden Spalten werden der direkte Kapitalanteil (aij) und der integrierte Kapitalanteil (yij) angegeben. Die dann folgende SpalteN zeigt, wie viele Knoten sich in der MengeNibefinden; und die letzte Spalte gibt an, wie viele Iterationen ben¨otigt wurden, um die vorgegebene Genau-igkeitsschranke zu erreichen.4Offenbar sind die Rechenergebnisse mit den in Box 5.3.2 angegebenen identisch.
4Die Voreinstellung ist= 0.0001. Sowohl diese Schranke als auch die maximale Anzahl der Iterationen kann jedoch beim Aufruf des Befehls angegeben werden.
Kapitel 6
Gesellschaftliche Produktion
In diesem Kapitel wird besprochen, wie man mithilfe einer relationalen Betrachtungsweise auch einige ¨okonomische Zusammenh¨ange verstehen kann.1Das Wort ‘ ¨Okonomie’ soll sich hierbei auf die Gesamtheit der T¨atig-keiten beziehen, durch die Menschen G¨uter produzieren und austauschen.2 In diesem Kapitel wird ein einfaches Modell der G¨uterproduktion bespro-chen. Von einem Modell wird gesprochen, um darauf hinzuweisen, dass es zun¨achst nicht um eine empirische Erfassung ¨okonomischer Sachverhalte geht, sondern um die Entwicklung eines Begriffsrahmens, um ¨uber ¨okono-mische Zusammenh¨ange nachzudenken. Wie man einen ¨ahnlichen gedank-lichen Ansatz f¨ur empirische Untersuchungen nutzbar machen kann, wird in Kap. 8 besprochen.