Wiederum befinden sich die Matrizen A1, . . . ,Am in der Hauptdiagona-len und gibt es unterhalb von ihnen nur NulHauptdiagona-len. Der Unterschied liegt nur darin, dass jetzt auch rechts neben den Bl¨ocken positive Koeffizien-ten auftreKoeffizien-ten k¨onnen, im Bild durch im allgemeinen rechteckige Matrizen B1, . . . ,Bm−1 symbolisiert.
5.Wichtig ist nun, dass die in Paragraph 3 skizzierte ¨Uberlegung in ab-geschw¨achter Form auch bei oberen Blockdiagonalmatrizen g¨ultig ist: Die Eigenwerte vonAsind mit den Eigenwerten der Bl¨ockeA1, . . . ,Am iden-tisch. Zwar erh¨alt man die zugeh¨origen Eigenvektoren mit dem in Para-graph 3 angegebenen Verfahren nur f¨ur den jeweils ersten BlockAi; denn bei den nachgelagerten Bl¨ocken sind außerdem die oberhalb der Hauptdia-gonalen vorhandenen MatrizenB1, . . . ,Bm−1 zu ber¨ucksichtigen. Die Ei-genwerte einer Matrix (im Unterschied zu ihren Eigenvektoren) ver¨andern sich jedoch nicht, wenn man simultan Zeilen und Spalten vertauscht (was einer Umnummerierung der Knoten des zugeh¨origen Graphen entspricht).
Somit kann man jeden Block an die erste Stelle bringen und dadurch zei-gen, dass seine Eigenwerte auch Eigenwerte von A sein m¨ussen.10 Also braucht auch bei oberen Blockdiagonalmatrizen nur vorausgesetzt zu wer-den, dass in allen KomponentenAider dominante Eigenwert kleiner als 1 ist. Dann ist auch dom(A)<1, und es folgt, dass (I−A) invertiertbar ist und die Inverse durch eine Reihe in der Form (A.1.1) dargestellt werden kann.
10Wenn man die Theorie der Eigenwerte mithilfe von Determinanten begr¨undet, was in der Literatur oft getan wird, kann man auch direkter argumentieren. Die Eigenwerte einer MatrixAk¨onnen dann als Wurzeln ihres charakteristischen Polynoms det(λI−A) definiert werden. Nun gilt aber f¨ur eine obere Blockdiagonalmatrix die Gleichung
det(λI−A) =
m
Y
i=1
det(λIi−Ai)
woraus man erkennt, dass die Eigenwerte vonA mit den Eigenwerten ihrer Bl¨ocke identisch sind.
A.4 BERECHNUNG VON BEISPIELEN 175
6.Das Gesamtergebnis kann folgendermaßen zusammengefasst werden:
WennAeine nicht-negative Matrix und der dominante Eigenwert in jeder Komponente vonAkleiner als 1 ist, dann existiert die Inverse von (I−A);
außerdem kann die Inverse in Form einer Reihe (I−A)−1 =
∞
X
k=0
Ak
dargestellt werden und ist selbst eine nicht-negative Matrix.
A.4 Berechnung von Beispielen
1.In diesem Abschnitt werden die theoretischen Ausf¨uhrungen der vor-angegangenen Abschnitte anhand einfacher Zahlenbeispiele illustriert. Zur inhaltlichen Interpretation stellen wir uns vor, dass durch die als Beispiele verwendeten Graphen bzw. Adjazenzmatrizen Kapitalverflechtungen zwi-schen Unternehmen erfasst werden. Als erstes Beispiel wird ein Graph mit vier Knoten (Unternehmen) betrachtet, deren Kapitalverflechtung in ei-ner zyklischen Kette verl¨auft: Nr. 1 h¨alt 40 % an Nr. 2, Nr. 2 h¨alt 40 % an Nr. 3, Nr. 3 h¨alt 40 % an Nr. 4, und Nr. 4 h¨alt 40 % an Nr. 1. Es handelt sich dann um einen Graphen, der nur aus einer Komponente besteht, so dass seine Adjazenzmatrix unzerlegbar ist. Sie sieht folgendermaßen aus:
A =
Box A.4.1 zeigt das Skript zur Berechnung von Eigenwerten und Eigen-vektoren.11 Im unteren Teil wird das Rechenergebnis dargestellt. Da im allgemeinen komplexe Werte auftreten k¨onnen, verwenden wir Klammern;
der vordere Teil gibt den Realteil, der hintere den Imagin¨arteil an. Der zu einem Eigenwert geh¨orige Eigenvektor ist jeweils unterhalb des Eigenwerts dargestellt. Man erkennt, dass es in diesem Beispiel zwei reelle Eigenwer-te gibt, zu denen auch jeweils ein reeller Eigenvektor geh¨ort, n¨amlich 0.4 und -0.4. Der dominante Eigenwert ist offenbar dom(A) = 0.4 (gleich dem Minimum und Maximum der Spaltensummen von A). Außerdem gibt es zwei komplexe Eigenwerte mit zugeh¨origen komplexen Eigenvektoren.12
11Wir verwenden den mev-Befehl, mit dem Eigenwerte und Eigenwerte f¨ur beliebige, nicht nur symmetrische quadratische Matrizen berechnet werden k¨onnen. Reelle Eigen-vektoren werden so normiert, dass ihre euklidische L¨ange = 1 ist.
12Nicht nur in diesem Beispiel, sondern generell gilt, dass bei jedem komplexen Eigen-wert die komplexe Konjugierte ebenfalls ein EigenEigen-wert ist. Beide unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen des Imagin¨arteils.
Box A.4.1 Skript zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.
mdef(A,4,4) =
0.0, 0.4, 0.0, 0.0, # Definition der A-Matrix 0.0, 0.0, 0.4, 0.0,
0.0, 0.0, 0.0, 0.4, 0.4, 0.0, 0.0, 0.0;
mev(A,ER,EI,EVR,EVI); # Berechnung von Eigenwerten u. Eigenvektoren mpr(ER); # Ausdruck Realteil der Eigenwerte
mpr(EI); # Ausdruck Imaginaerteil der Eigenwert mpr(EVR); # Ausdruck Realteil der Eigenvektoren mpr(EVI); # Ausdruck Imaginaerteil der Eigenvektoren Eigenwerte
( 0.4000, 0.0000) ( 0.0000, 0.4000) ( 0.0000,-0.4000) (-0.4000, 0.0000) Eigenvektoren
( 0.5000, 0.0000) ( 1.0000, 0.0000) ( 1.0000, 0.0000) ( 0.5000, 0.0000) ( 0.5000, 0.0000) ( 0.0000, 1.0000) ( 0.0000,-1.0000) (-0.5000, 0.0000) ( 0.5000, 0.0000) (-1.0000, 0.0000) (-1.0000, 0.0000) ( 0.5000, 0.0000) ( 0.5000, 0.0000) ( 0.0000,-1.0000) ( 0.0000, 1.0000) (-0.5000, 0.0000)
Das Beispiel zeigt auch, dass mehrere, in diesem Beispiel sogar alle Eigen-werte dem Betrage nach gleich sein k¨onnen. Jedenfalls ist der dominante Eigenwert und der zugeh¨orige Eigenvektor positiv.
2.Jetzt betrachten wir einen Graphen, der in zwei Komponenten zerleg-bar ist, zwischen denen es keine Verbindung gibt. Jeweils Nr. 1 und Nr. 2 und Nr. 3 und Nr. 4 halten wechselseitig Kapitalanteile, aber zwischen den beiden Komponenten gibt es keine Verbindung. Die Adjazenzmatrix sieht folgendermaßen aus:
Es handelt sich also um eine Blockdiagonalmatrix mit zwei jeweils un-zerlegbaren Bl¨ocken. Box A.4.2 zeigt die Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren. Man erkennt, dass in diesem Beispiel nur reelle Werte auf-treten. Der dominante Eigenwert ist 0.2828, also positiv, der zugeh¨orige Eigenvektor ist jedoch nur nicht-negativ. An diesem Beispiel l¨asst sich auch noch einmal das im vorangegangenen Abschnitt verwendete Argu-ment verdeutlichen: dass sich sich die Eigenwerte und Eigenvektoren einer Blockdiagonalmatrix aus den Eigenwerten und Eigenvektoren ihrer Bl¨ocke bilden lassen. F¨uhrt man gesonderte Rechnungen f¨ur die beiden Bl¨ocke
Box A.4.2 Skript zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.
mdef(A,4,4) =
0.0, 0.3, 0.0, 0.0, # Definition der A-Matrix 0.1, 0.0, 0.0, 0.0,
0.0, 0.0, 0.0, 0.4, 0.0, 0.0, 0.2, 0.0;
mev(A,ER,EI,EVR,EVI); # Berechnung von Eigenwerten u. Eigenvektoren mpr(ER); # Ausdruck Realteil der Eigenwerte
mpr(EI); # Ausdruck Imaginaerteil der Eigenwert mpr(EVR); # Ausdruck Realteil der Eigenvektoren mpr(EVI); # Ausdruck Imaginaerteil der Eigenvektoren Eigenwerte
(-0.1732, 0.0000) ( 0.1732, 0.0000) (-0.2828, 0.0000) ( 0.2828, 0.0000) Eigenvektoren
(-0.8660, 0.0000) ( 0.8660, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.5000, 0.0000) ( 0.5000, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) (-0.8165, 0.0000) ( 0.8165, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.5774, 0.0000) ( 0.5774, 0.0000)
aus, findet man folgende Eigenwerte:
f¨ur den Block A1: λ1=−0.1732 λ2= 0.1732 f¨ur den Block A2: λ3=−0.2828 λ4= 0.2828
Sie sind offenbar mit den zuvor gefundenen Eigenwerten identisch, und es gilt dom(A) = max{dom(A1),dom(A2)}= dom(A2). Eine gesonderte Berechnung der zugeh¨origen Eigenvektoren liefert
v1 =
Die Eigenvektoren vonAfindet man daraus durch Erweiterung mit Nullen, so wie dies im vorangegangenen Abschnitt beschrieben worden ist.
3.Jetzt erweitern wir das vorangegangene Beispiel durch eine Verbindung zwischen Nr. 2 und Nr. 3, so dass eine obere Blockdiagonalmatrix entsteht.
Die Adjazenzmatrix sieht folgendermaßen aus:
A =
178 A MATHEMATISCHE HILFSMITTEL
Box A.4.3 Skript zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.
mdef(A,4,4) =
0.0, 0.3, 0.0, 0.0, # Definition der A-Matrix 0.1, 0.0, 0.5, 0.0,
0.0, 0.0, 0.0, 0.4, 0.0, 0.0, 0.2, 0.0;
mev(A,ER,EI,EVR,EVI); # Berechnung von Eigenwerten u. Eigenvektoren mpr(ER); # Ausdruck Realteil der Eigenwerte
mpr(EI); # Ausdruck Imaginaerteil der Eigenwert mpr(EVR); # Ausdruck Realteil der Eigenvektoren mpr(EVI); # Ausdruck Imaginaerteil der Eigenvektoren Eigenwerte
(-0.1732, 0.0000) ( 0.1732, 0.0000) (-0.2828, 0.0000) ( 0.2828, 0.0000) Eigenvektoren
(-0.8660, 0.0000) ( 0.8660, 0.0000) ( 0.6975, 0.0000) ( 0.6975, 0.0000) ( 0.5000, 0.0000) ( 0.5000, 0.0000) (-0.6576, 0.0000) ( 0.6576, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.2325, 0.0000) ( 0.2325, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) (-0.1644, 0.0000) ( 0.1644, 0.0000)
Die beiden Bl¨ocke A1 und A2 sind mit denjenigen des vorangegangenen Beispiels identisch, jedoch gibt es zus¨atzlich eine Kante, die vom ersten zum zweiten Block f¨uhrt. Wie man aus Box A.4.3 erkennt, haben sich die Eigenwerte nicht ver¨andert. Auch an den Eigenvektoren f¨ur die Eigenwerte des ersten Blocks hat sich nichts ge¨andert. Wohl aber haben sich die Eigen-vektoren, die zu den Eigenwerten des zweiten Blocks geh¨oren, ver¨andert, da sie nicht durch einfache Erg¨anzung mit Nullen gebildet werden k¨onnen.
4.Zum Abschluss behandeln wir die beiden in Abschnitt 5.3.1 angef¨uhrten Beispiele. Wir beginnen mit dem Graphen B, der durch folgende Adjazenz-matrix beschrieben wird:
Der Graph bzw. die Matrix besteht aus zwei Komponenten:
A1 =
Beide Bl¨ocke sind unzerlegbar. Allerdings erf¨ullt der erste Block nicht un-sere anf¨angliche Forderung an nicht-negative Matrizen, dass es mindestens
A.4 BERECHNUNG VON BEISPIELEN 179
Box A.4.4 Skript zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren.
mdef(A,4,4) =
0.0, 0.5, 0.0, 0.0, # Definition der A-Matrix 0.0, 0.0, 0.1, 0.3,
0.0, 0.1, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.2, 0.0;
mev(A,ER,EI,EVR,EVI); # Berechnung von Eigenwerten u. Eigenvektoren mpr(ER); # Ausdruck Realteil der Eigenwerte
mpr(EI); # Ausdruck Imaginaerteil der Eigenwert mpr(EVR); # Ausdruck Realteil der Eigenvektoren mpr(EVI); # Ausdruck Imaginaerteil der Eigenvektoren Eigenwerte
( 0.0000, 0.0000) (-0.1000, 0.1414) (-0.1000,-0.1414) ( 0.2000, 0.0000)
Eigenvektoren
( 1.0000, 0.0000) ( 1.0000, 0.0000) ( 1.0000, 0.0000) ( 0.8980, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) (-0.2000, 0.2828) (-0.2000,-0.2828) ( 0.3592, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) ( 0.2000, 0.0000) ( 0.2000, 0.0000) ( 0.1796, 0.0000) ( 0.0000, 0.0000) (-0.1333,-0.1886) (-0.1333, 0.1886) ( 0.1796, 0.0000)
einen Koeffizienten geben soll, der gr¨oßer als Null ist; der einzige Eigen-wert von A1 ist 0. Dagegen erf¨ullt A2 die Voraussetzungen des Satzes von Frobenius und hat einen positiven dominanten Eigenwert, n¨amlich dom(A2) = 0.2. Box A.4.4 zeigt die Berechnung f¨ur die Gesamtmatrix A. Man erkennt, dass der dominante Eigenwert von A mit demjenigen von A2 identisch ist. Zu diesem dominanten Eigenwert geh¨ort auch ein reeller Eigenvektor. In diesem Beispiel ist er strikt positiv, was jedoch bei zerlegbaren Matrizen nicht garantiert ist. Die beiden komplexen Eigen-werte geh¨oren ebenfalls zur KomponenteA2, und man erh¨alt die gleichen Eigenwerte, wenn man f¨ur diese Komponente eine gesonderte Rechnung durchf¨uhrt.
5.Als letztes Beispiel betrachten wir den Graphen A (aus Abschnitt 5.3.1) mit der Adjazenzmatrix
Es handelt sich um einen linearen Graphen, und infolgedessen bildet jeder Knoten einen eigenen
”degenerierten“ Block. Man erkennt dies, wenn man die Nummern der Knoten 3 und 4 vertauscht; dann sieht die
Adjazenzma-trix folgendermaßen aus:
Es handelt sich um eine obere Blockdiagonalmatrix, bei der alle Bl¨ocke die Ordnung (1,1) haben und Null sind. Man kann insofern auch von einer obe-ren Dreiecksmatrixsprechen, bei der alle Elemente in der Hauptdiagonalen Null sind.13 F¨ur obere Dreiecksmatrizen gilt immer, dass ihre Eigenwerte mit den Koeffizienten in ihrer Hauptdiagonalen identisch sind; und somit gelangt man unmittelbar zu dem Ergebnis, dass in diesem Beispiel alle Eigenwerte gleich Null sind. Dies gilt im ¨ubrigen immer, wenn es sich um die Adjazenzmatrix eines linearen Graphen handelt. Umgekehrt gilt: Wenn ein Graph mindestens einen Zyklus aufweist, gibt es auch mindestens einen Eigenwert, der nicht gleich Null ist.14
6.Da in diesem Beispiel (wie ¨uberhaupt bei linearen Graphen) alle Eigen-werte Null sind, ist auch dom(A) = 0. Die in Abschnitt A.1 besprochenen Bedingungen f¨ur die Invertierbarkeit von (I−A) sind also sicherlich erf¨ullt;
außerdem ist die Inverse nicht-negativ, n¨amlich
(I−A)−1 =
1.In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie man zu der in Abschnitt 5.3.1 be-sprochenen L¨osung f¨ur den integrierten Kapitalbesitz gelangt. Ausgangs-punkt ist die bereits dort besprochene Matrizengleichung
Y = (I− diag (Y))A +YA (A.5.1)
Um eine L¨osung zu finden, werden zwei Voraussetzungen gemacht:
13Allgemein versteht man unter einer oberen Dreiecksmatrix eine Matrix, bei der alle Koeffizienten unterhalb der Hauptdiagonalen Null sind. Analog wird von einer unteren Dreiecksmatrix gesprochen, wenn alle Koeffizienten oberhalb der Hauptdiagonalen Null sind.
14Es gibt dann n¨amlich mindestens eine unzerlegbare Komponenten, die mindestens zwei Knoten enth¨alt. Infolgedessen zeigt der Satz von Frobenius, dass es dann einen positiven Eigenwert geben muss.
a) dom( diag (Y)) < 1 bzw. yii < 1 f¨ur i = 1, . . . , n. Bei inhaltlicher Interpretation bedeutet dies die Annahme, dass eine ¨okonomisch sinn-volle L¨osung impliziert, dass der integrierte Kapitalbesitz bei keinem Unternehmen 100 % betr¨agt.15
b) dom(A) < 1. Da auf jeden Fall angenommen werden kann, dass alle Spaltensummen vonAkleiner oder gleich 1 sind, bedeutet diese Vor-aussetzung, dass es in jeder Komponente mindestens ein Unternehmen gibt, bei dem die Summe der Kapitalanteile (gebildet ¨uber alle Kno-ten der Komponente) kleiner als 1 ist. Ausgeschlossen werden also z.B.
Komponenten, die aus zwei Unternehmen bestehen, die wechselseitig jeweils 100 % am Kapital des jeweils anderen Unternehmens besitzen.
Entsprechend den Ausf¨uhrungen in Abschnitt A.1 sind dann die Voraus-setzungen f¨ur die Invertierbarkeit von (I−diag (Y)) und (I−A) erf¨ullt, und es gelten die Darstellungen
(I− diag (Y))−1 =
2.Jetzt kann an die Gleichung (A.5.1) angekn¨upft werden. Subtrahiert man auf beiden SeitenYA, erh¨alt man
Y(I−A) = Y−YA = (I− diag (Y))A
und durch Linksmultiplikation mit (I−diag (Y))−1 und Rechtsmultipli-kation mit (I−A)−1 folgt daraus
(I− diag (Y))−1Y = A(I−A)−1 (A.5.2)
3.Um ein Zwischenresultat zu gewinnen, wird auf beiden Seiten dieser Gleichung nur die Hauptdiagonale betrachtet. Somit ergibt sich folgende Gleichung: Bringt manIvon der rechten auf die linke Seite, folgt
(I− diag (Y))−1 = I + diag A(I−A)−1
15Man beachte, dass bereits bei der Problemformulierung in Abschnitt 5.3.1 vorausge-setzt wurde, dassaii= 0 ist.