Optische Eigenschaften: Pockelskonstanten

Die immer weitergehende Miniaturisierung in der Halbleiter-Industrie macht f¨ur die verwendeten Lithografie-Systeme immer kleinere Wellenl¨angen des Lichts n¨otig. CaF2

erweist sich dabei dank seiner großen Bandl¨ucke als geeignetes Material zur Herstel-lung von Linsen f¨ur den fernen Vakuum-Ultraviolettbereich (VUV,≤200 nm) [Levi 03, Letz 04]. Desweiteren lassen sich CaF2-Kristalle leicht groß und homogen wachsen und sind perfekt kubisch, eine Voraussetzung f¨ur isotrope optische Eigenschaften.

F¨ur definierte Optiken ist nat¨urlich die Kenntnis der ¨Anderungen der optischen Eigenschaften wie des Brechungsindex mit z.B. Temperatur oder Volumen¨anderung unerl¨aßlich. An dieser Stelle kann an die Betrachtungen der vorhergehenden Abschnit-te angeschlossen werden. Die ¨Anderung des Volumens eines Kristalls ist nur eine Form von Verzerrung. Es k¨onnen weitere Verzerrungsformen gedacht werden, die je sowohl zu einer ¨Anderung der Frequenzen als auch der hochfrequenten dielektrischen Konstanten f¨uhren.

Allgemein werden die ¨Anderungen des Brechungsindex eines Kristalls bzw. der di-elektrischen Konstante oder Suszeptibilit¨at mit Verzerrung oder Spannung durch den Tensor der photo-elastischen Konstanten wiedergegeben. Er ist, wie der Tensor der ela-stischen Konstanten, ein Tensor vierter Stufe. Diese Pockelskonstantenpijklheißen auch opto-elastische oder elasto-optische Konstanten, mit jeweils verschiedener Normierung.

Ihre allgemeine Definition lautet:

δ²ij =−²²pijklekl, (4.9) wobei hier die Einsteinsche Summenkonvention Anwendung findet, d.h. ¨uber alle dop-pelt vorkommenden Indizes wird summiert.

Die Verzerrungeklist die Antwort des Kristalls auf einen ¨außeren Einfluß, die sich in der dielektrischen Konstanten ² ¨außert. Der allgemeine Verzerrungstensor ist gegeben durcheij = ∂ui

∂xj

, wobeiuidie Verschiebung an einem Punktxj ist. Die Diagonalelemen-te entsprechen Dehnungen und Stauchungen, die NebendiagonalelemenDiagonalelemen-te Scherungen.

Der symmetrische Teilηij = 1

2(eij+eji) des Tensors stellt Verzerrung dar, und der an-tisymmetrischen Anteil,ωij = 1

2(eij −eji), der in unserem Fall nicht vorkommt, w¨urde einer Rotation entsprechen. Es wird im folgenden davon ausgegangen, daß bei kleinen

Verzerrungen nur ein linearer Effekt betrachtet werden muß.

Die Pockelskonstantenpijklwerden im allgemeinen in der Voigtschen Notierung angege-ben, das heisst mit zwei Indizes. Gr¨oßen, die symmetrisch in den Indexpaaren (i,j) oder (k,l) sind, d.h. die sich bei Vertauscheni↔k,j ↔lnicht ¨andern, lassen sich einfacher indizieren, so daß sich insgesamt sechs unabh¨angige Komponenten ergeben [Ludw 70], siehe Tabelle 4.5.

Tabelle4.5:Die Voigtsche Notierung.

ij 11 22 33 23=32 31=13 12=21

1 2 3 4 5 6

In der kubischen Symmetrie m3m, zu der auch die Fluorite wie CaF₂ geh¨oren, gibt es nur drei unabh¨angige Komponenten p₁₁, p₁₂ und p₄₄ [Nye 69], die sich unter der vereinfachten Annahme, daß die Kubenachsen entlang der kartesischen Richtungen liegen, schreiben lassen als

p11 = pxxxx=pyyyy =pzzzz (4.10) p12 = pxxyy =pxxzz =pyyxx =. . . (4.11) p₄₄ = p_xyxy =p_xyyx=p_xzxz =. . . . (4.12) Dann gilt zum Beispiel:

− 1

²²_∞δ(²xx+²yy+²zz) = (p11+ 2p12)(exx+eyy+ezz) (4.13)

− 1

²²_∞δ(²xx−²yy) = (p11−p12)(exx−eyy) (4.14)

− 1

²²_∞δ²xz = 2p44exz. (4.15)

Entsprechend f¨ur alle anderen Komponenten.

Dr¨uckt man einen kubischen Kristall l¨angs einer Kubenachse und mißt die resultie-rende Doppelbrechung im rechten Winkel zur Spannungsachse, kann man (p11−p12) finden. Aus diesen Messungen der Doppelbrechung findet man allerdings immer nur die Differenzen von Konstanten. Dr¨uckt man den Kristall in [111]-Richtung, erh¨alt man

p44 [Nye 69].

Die Berechnungen verschiedener physikalischer Gr¨oßen im vorhergehenden Abschnitt entsprachen Berechnungen bei reinen Volumenverzerrungen. Mit Auswertung der da-bei erhaltenen DK kann (p11+ 2p12) nach Gleichung (4.13) berechnet werden. Es wur-den insgesamt folgende Rechnungen mit verschiewur-denen Verzerrungen um die Gleichge-wichtsform durchgef¨uhrt, aus denen dann die jeweilige dielektrische Konstante erhalten wurde:

1) und 2): Aus reiner Volumenausdehnung mit nur Eintr¨agen in den Diagonalelemen-ten des VerzerrungsDiagonalelemen-tensors erh¨alt man (p11+ 2p12) nach Gleichung (4.13).

3),4): Ebenso mit Gleichung (4.13) aus Verzerrung in [111], und zus¨atzlich dazu erh¨alt man p44, s. Gleichung (4.15). Dort sind alle Elemente des Verzerrungstensors belegt.

5), 6): Aus Streckung und Stauchung, also Verl¨angerung einer Achse und Verk¨urzung der anderen, erh¨alt man (p11 − p₁₂) nach Gleichung (4.14). Der Verzerrungstensor enth¨alt wieder nur Diagonalelemente, negativ oder positiv, je nach Verk¨urzung oder Verl¨angerung der Achse.

7): Verzerrung in [110] (wobei nur diexy- bzw.yx-Komponente des Verzerrungstensors belegt sind) ergibt p44 mit Gleichung (4.15),

und 8): eine Streckung in c-Richtung, d.h. nur die zz-Komponente des Verzerrungs-tensors enth¨alt einen Eintrag, liefert (p11+ 2p12) und (p11−p12), Gleichung (4.13) und (4.14).

Alle Berechnungen bis auf die letzten beiden wurden f¨ur gr¨oßere und kleinere Zell-ver¨anderungen ausgef¨uhrt.

In Tabelle 4.6 sind experimentelle Pockelskoeffizienten im Vergleich zu mit Abinit berechneten Werten angegeben. Die experimentellen Werte wurden durch Lichtdiffrak-tion erhalten [Shak 72] oder dem ¨Ubersichtsartikel von Veerabhadra et al. [Veer 70]

entnommen, die dort auf Basis dort zitierter Arbeiten berechnet wurden.

Der erste Wert f¨ur (p11+ 2p12) aus Fall 1) und 2) ergibt sich konsistent aus Rech-nungen mit verschiedenen VolumenausdehRech-nungen und weicht etwas vom gr¨oßeren Wert aus Verzerrung in [111]-Richtung (Fall 3) und 4)) ab. Bei letzterem (Fall 4)) wurde nur eine halb so große Verzerrung angelegt, so daß numerisches Rauschen eine gr¨oßere Rolle spielen und das Resultat verf¨alschen k¨onnte. Aus Streckung inc (Fall 8)) erh¨alt man den kleinsten Wert.

Aus Streckung und Stauchung (Fall5)und6))und aus Fall8)erh¨alt man (p11−p12),

Tabelle4.6:CaF2: Berechnete und experimentelle Pockelskoeffizienten.

Methode p11 p12 (p11+ 2p12) (p11−p12) p44

Exp.¹ 0.0443 0.276 0.5963 -0.2317 0.0287

Exp.² 0.0258 0.202 0.4298 -0.1762 0.0239

Exp.³ 0.0558 0.228 0.5118 -0.1722 0.0236

Abinit(HGH)⁴ 1), 2): 0.378

3): 0.514 0.0579

4): 0.570 0.0616

5): -0.224

6): -0.206

7): 0.0654

8): 0.223 -0.199

1Ref. [Shak 72].

2Ref. [Veer 70].

3Ref. [Nye 69].

4Diese Arbeit.

die f¨ur alle F¨alle gut ¨ubereinstimmen und im Bereich der experimentellen Werte liegen.

Die Berechnungen f¨urp44aus Fall3),4)und7)ergeben einen ca. doppelt so großen Wert wie er aus dem Experiment erhalten wird.

Levine et al. [Levi 03] erhielten mit Brechungsindizes aus verschiedenen Referenzen aus Doppelbrechungsmessungen ein p44 von 0.025 und (p11 − p22) von -0.185. Dutt et al. [Dutt 85b] erhalten aus verschiedenen experimentellen und theoretischen Daten Werte zwischen 0.428 und 0.591 f¨ur (p11+ 2p₁₂).

Die Abweichungen der Rechnungen vom Experiment liegen zum einen nat¨urlich daran, daß die hochfrequente dielektrische Konstante ²_∞ in unserer Rechnung einen anderen Wert als im Experiment aufweist, siehe dazu Tabelle 4.4. Desweiteren kann auch der nichtlineare Zusammenhang zwischen δ² und der Verzerrung e eine Rolle spielen. Alles in allem zeigen auch die experimentellen Werte untereinander Abwei-chungen, so z.B. die Werte f¨ur (p11+ 2p12), die insgesamt einen Bereich von 0.429 bis 0.596 umfassen, womit unsere Ergebnisse gut ¨ubereinstimmen. Auch f¨ur (p11 −p22) ergeben die Rechnungen gute Resultate. F¨ur die Abweichung der Konstanten p44 vom experimentellen Wert haben wir im Moment keine Erkl¨arung.