Faktorenextraktion und Bestimmung der

Beschreibung der latenten Variablen „Versorgungsbedarf“ nach Mittelbereichen dienen können. Die Grundannahme einer Faktorenanalyse ist dabei, dass sich je-der Beobachtungswert eines standardisierten Bedarfsindikators als Linearkombi-nation aus mehreren Faktoren beschreiben lässt, also dass sich der Variablenwert

aus einer gewichteten Summe aus Faktoren zusammensetzen lässt. Es gilt daher das Modell:

x FL FW FL FW_i = _{i1 1}+ _{i2 2}+ +… FL FW U_{ik k}+ _i (3) wobei

x_i = die beobachteten (standardisierten) Variablen,

FL_i = die Faktorladungen (also die Korrelation zwischen Variablen i und Fak-tor 1, 2, …, k),

FW_i = die Faktorwerte (Faktorwert des Mittelbereichs MB auf den Faktor 1, 2,

…, k) und

U_i = die spezifischen Faktoren der Ausgangsvariablen sind.

Die Modellannahme bei einer Faktorenanalyse ist dabei, dass die spezifischen Faktoren U_i untereinander und mit den Faktorwerten FW_i unkorreliert sind. Falls die Faktoren unabhängig sind, gilt:

R = A . A′ + U (4) wobei R die Korrelationsmatrix der standardisierten Ausgangsvariablen ist und A die Faktorladungsmatrix.

Das Ziel der Faktorenanalyse ist es, weniger Faktoren zu extrahieren als Aus-gangsvariablen vorhanden sind. Dabei gilt, dass je mehr Faktoren extrahiert werden, desto größer ist der Anteil der Gesamtvarianz, der durch diese Faktoren erklärt werden kann. Die Kommunalität bezeichnet das Ausmaß der Varianzer-klärung, den die extrahierten Faktoren gemeinsam für eine Ausgangsvariable liefern. Aufgrund der vorherigen Standardisierung der Ausgangsvariablen ist die maximal zu erklärende Varianz gleich 1 (Standardabweichung ist durch die Standardisierung = 1 und die Standardabweichung im Quadrat ist ebenfalls = 1).

Der Varianzanteil, der nicht mit den extrahierten Faktoren erklärt werden kann, wird als Einzelrestvarianz bezeichnet und setzt sich aus dem Varianzverlust auf-grund von Messfehlern und der spezifischen Varianz der Ausgangsvariablen, die mit keinem Faktor zusammenhängt, zusammen.

Die Wahl des Extraktionsverfahrens ist vor allem eine inhaltliche Frage. Wäh-rend bei der Hauptachsenanalyse angenommen wird, dass sich die Varianz der Ausgangsvariablen aus Kommunalitäten und Einzelrestvarianzen U_i zusammen-setzt, wird bei der Hauptkomponentenmethode unterstellt, dass eine Einzelrest-varianz nicht existiert. Bei der Hauptkomponentenmethode wird daher eine Kommunalität von 1 unterstellt, während die Kommunalität bei der Hauptach-senanalyse aufgrund inhaltlicher Überlegungen geschätzt werden muss. Dabei

wird häufig der höchste quadrierte Korrelationskoeffizient der Korrelationsma-trix verwendet.

Aufgrund der Annahme, dass sich die Varianz nicht vollständig durch die Faktoren erklären lässt, sondern nur in Höhe der Kommunalitäten der Faktoren, liegt der Fokus der Hauptachsenanalyse auf der kausalen Interpretation der Fak-toren. Es wird nach der Ursache gesucht, die für die Ladungen einer Variablen auf einen Faktor verantwortlich ist.

Bei der Hauptkomponentenmethode hingegen wird angenommen, dass die Varianz der Ausgangsvariablen vollständig durch die extrahierten Faktoren erklärt werden kann und z. B. Messfehler nicht auftreten. Im Fokus liegt kein kausaler Zusammenhang, sondern die Gruppierung von Variablen, die auf ei-nen Faktor hochladen, zu einem gemeinsamen Sammelbegriff. Dabei ergeben sich auch bei der Hauptkomponentenmethode Kommunalitäten kleiner als 1, da meist weniger Faktoren als Variablen extrahiert werden.

Da im vorliegenden Ausgangsdatensatz die Altersvariablen sehr stark mitein-ander korrelieren (Korrelationskoeffizienten zwischen 0,90 und 0,97) und auch der Zusammenhang zwischen sozioökonomischen Variablen wie Kehrwert der Einkommenssteuer und Arbeitslosenquote zum Teil sehr stark ausfällt (Korrela-tionskoeffizient 0,80), erscheint die Annahme der Kommunalität gleich 1 durch-aus realistisch.

Die Hauptkomponentenmethode wird als Extraktionsverfahren gewählt, da die Ausgangsvariablen, bei denen ein Zusammenhang mit dem Versorgungsbe-darf unterstellt wird, zu Sammelbegriffen zusammengefasst werden sollen, die miteinander kombiniert den Versorgungsbedarf einer Region beschreiben kön-nen. Eine kausale Interpretation über die Ursache, warum bestimmte Variablen gemeinsam auf einen Faktor laden, ist nicht Ziel der Analyse.

Mit der Hauptkomponentenmethode als Extraktionsverfahren sind die Kommunalitäten der Ausgangsvariablen insbesondere für die demografischen Bedarfsindikatoren und die Arbeitslosenquote sehr hoch (Tabelle 11). Der Be-darfsindikator der Anzahl Personen mit Unfallverletzungen, der als Schätzer für das regionale Risikoverhalten der Bevölkerung aufgenommen wurde, zeigt allerdings nur eine sehr geringe Kommunalität von 0,136, d. h. er wird nur in sehr geringem Umfang von den extrahierten Faktoren erklärt. Dies kann zu Er-gebnisverzerrungen führen. Daher wird der Faktor „bei Unfällen Verletzte je 1.000 EW“ von der Faktorenanalyse ausgeschlossen. Inhaltlich lassen sich die Effekte des höheren Risikoverhaltens in einzelnen Regionen auch über die wei-terhin enthaltenen sozioökonomischen Faktoren abbilden, für die nachweislich ein Zusammenhang mit risikohaften Gesundheitsverhalten besteht (z. B. besteht ein signifikanter negativer Zusammenhang mit der Arbeitslosenquote).

Tabelle 11: Kommunalitäten der Hauptkomponenten-Faktorenanalyse

Anfänglich Extraktion

Zscore: Durchschnittsalter Männer 1 0,957

Zscore: Durchschnittsalter Frauen 1 0,969

Zscore: Altersquotient 1 0,908

Zscore: Standardisierte Mortalitätsrate 1 0,411

Zscore: bei Unfällen Verletzte je 1.000 EW 1 0,136

Zscore: Kehrwert Einkommenssteuer je EW 1 0,810

Zscore: Kehrwert Gewerbesteuer je EW 1 0,379

Zscore: Arbeitslosenquote gesamt 1 0,735

Zscore: Bevölkerung ohne Wahlbeteiligung 1 0,557

Zscore: Abwanderungsquote 1 0,458

Quelle: eigene Berechnung und Darstellung

Neben der Kommunalität wird auch der Eigenwert als Gütekriterium bei der Faktorenanalyse betrachtet. Der Eigenwert eines Faktors beschreibt die durch den Faktor erklärte Varianz aller Ausgangsvariablen und wird als die Summe der quadrierten Faktorladungen aller Variablen auf den entsprechenden Faktor berechnet. Die Kommunalität beschreibt also den Varianzerklärungsanteil aller Faktorladungen im Hinblick auf eine Variable, während der Eigenwert den Vari-anzbeitrag eines Faktors im Hinblick auf alle Variablen beschreibt.

Der Eigenwert kann für die Bestimmung der Anzahl der zu extrahierenden Faktoren verwendet werden. Die Anzahl Faktoren, die zur Beschreibung der Daten benötigt werden, ist grundsätzlich geringer, je höher die Ausgangsvaria-blen miteinander korreliert sind. Ziel bei der Bestimmung der Faktorenanzahl ist immer, eine möglichst geringe Anzahl Faktoren im Modell zu belassen, die mit einem möglichst geringen Anteil an Verlust von Varianzerklärungskraft ein-hergeht.

Nach dem Kaiser-Kriterium entspricht die Zahl der zu extrahierenden Fakto-ren der Anzahl der FaktoFakto-ren mit Eigenwerten >1. Das Kaiser-Kriterium besagt, dass ein Faktor mit einem Eigenwert <1 weniger Varianz erklärt als eine einzelne Variable (eine standardisierte Ausgangsvariable hat einen Eigenwert von 1) und daher nicht zur Erhöhung der Varianzerklärung beitragen kann. In der vorliegen-den Faktorenanalyse können zwei Faktoren mit einem Eigenwert >1 ivorliegen-dentifiziert werden (vgl. Tabelle 12). Sie erklären zusammen rund 69 % der Gesamtvarianz.

Tabelle 12: Eigenwerte der Faktoren

Faktor Eigenwerte Varianzerklärung in % Kumulative Varianzerklärung in %

1 4,98 55,35 55,35

2 1,23 13,64 68,99

3 0,76 8,47 77,47

4 0,74 8,27 85,73

5 0,64 7,09 92,82

6 0,38 4,18 97,00

7 0,16 1,83 98,83

8 0,09 0,98 99,82

9 0,02 0,18 100,00

Extraktionsmethode: Hauptkomponentenmethode Quelle: eigene Berechnung und Darstellung

Ein Scree-Test, bei dem die Eigenwerte der Größe nach in einem Koordinaten-system angeordnet werden und bei dem meist nach einem steilen Abfall ein

„Knick“ (auch Ellenbogen genannt) die Stelle mit der größten Differenz der Ei-genwerte zwischen zwei Faktoren die Anzahl der zu extrahierenden Faktoren markiert, bestätigt die Auswahl von zwei Faktoren (Abbildung 4).

Abbildung 4: Scree-Test und Kaiser-Kriterium

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Eigenwert

Faktornummer

Kaiser-Kriterium Ellbogen

Quelle: eigene Berechnung und Darstellung