2.1 Spektroskopie an ¨ Uberschallstrahlen
2.1.1 Erzeugung von ¨ Uberschall-D¨usenstrahlen
Ein freier ¨Uberschallstrahl wird durch adiabatische Expansion ins Vakuum erzeugt. Man betrachtet ein Reservoir, in dem sich ein Gas mit relativ hohem Stagnationsdruckp0, der TemperaturT0und der inneren Energie pro MolU0 befindet (Abb. 2.1). Durch eine kleine Offnung, eine D¨use, mit dem Durchmesser¨ Dexpandiert das Gas in die Vakuumkammer, in der ein niedriger Hintergrunddruck p herrscht [9]. Die mittlere freie Wegl¨ange λ der Teilchen wird ¨uber den Druck des Gases eingestellt. Ist sie klein gegen¨uber D, finden w¨ahrend der Expansion viele St¨oße statt, und die thermische Energie des Gases im Reser-voir wird in die Translationsenergie einer gerichteten Molekularstr¨omung umgewandelt [10]. Dabei findet eine Abk¨uhlung der Teilchen statt. Blendet man den Gasfluss mit Hilfe von Aperturen ab, spricht man von einem ¨Uberschall-Molekularstrahl (engl. supersonic molecular beam). Erfolgt keine Kollimation, erh¨alt man einen ¨Uberschall-D¨usenstrahl (engl.supersonic free jet) [9].
Die thermodynamischen Verh¨altnisse werden hier zur Vereinfachung f¨ur das Modell ei-nes einatomigen idealen Gases und f¨ur einen kontinuierlichen Gasfluss beschrieben [10].
Gerade dabei werden die grunds¨atzlichen Aspekte und Eigenschaften eines D¨usenstrahls deutlich.
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6 Spektroskopische Untersuchungen an isolierten Molek¨ulen
Reservoir p0, T0
λD D
Vakuumkammer p p0
Teilchenfluss
Druck
0 z
Temperatur
0 z
z x
y
Abb. 2.1: Erzeugung eines ¨Uberschall-D¨usenstrahls durch Expansion eines Gases aus einem Reservoir durch eine kleine ¨Offnung ins Vakuum. Druck und Temperatur des Gases nehmen w¨ahrend dieses Prozesses stark ab (teilweise ¨ubernommen aus [11]).
Im atomaren Modell wird die Abnahme der Relativgeschwindigkeit des Gases durch St¨oße w¨ahrend der Expansion erkl¨art. Translationsenergie wird von schnelleren Ato-men auf langsamere ¨ubertragen bis die Relativgeschwindigkeit so gering ist, dass we-gen der abnehmenden Dichte des Gases keine weiteren St¨oße vorkommen. Die Vertei-lung der Relativgeschwindigkeit wird dabei stark eingeengt. Die VerteiVertei-lungsfunktion in Flussrichtung z folgt dabei einer Gaussverteilung, deren Standardabweichung gem¨aß σ=p
(kT)/(m) mit der Temperatur T verkn¨upft ist [10]:
p(z) =
r m
2πkT0 ·e−2kTm0·v2z (2.1) p(z) =
r m
2πkTtrans ·e−2kTmtrans·(vz−u)2 (2.2) Gleichung 2.1 beschreibt die thermische Maxwell-Boltzmann-Geschwindigkeitsverteilung der Atome im Reservoir. Nach der Expansion dient Gleichung 2.2 der Beschreibung der Einengung der Geschwindigkeitsverteilung um die Str¨omungsgeschwindigkeitu. Zur Ver-anschaulichung sind die zugeh¨origen Graphen in Abbildung 2.2 dargestellt. Die Breite der Geschwindigkeitsverteilung um die Flussgeschwindigkeit ist ein Maß f¨ur die Tempe-ratur und zeigt somit deutlich die Abk¨uhlung des Gases im ¨Uberschall-D¨usenstrahl im Laufe der Expansion.
2.1 Spektroskopie an ¨Uberschallstrahlen 7
vz
p(vz)
0 u
a)
b)
Abb. 2.2: Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen a) vor und b) nach der Expansion.
Da die Expansion adiabatisch abl¨auft, findet kein W¨armeaustausch mit Umgebung und D¨use statt und die Gesamtenergie von einem Mol Gas (Molmasse M) bleibt erhalten:
U0 +p0V0+ 1
2M u20 =U +pV + 1
2M u2 (2.3)
Dabei ist die Gesamtenergie jeweils die Summe aus innerer Energie U0 bzw. U, Kom-pressionsenergie p0V0 bzw. pV und kinetischer Energie 12M u20 bzw. 12M u2. Der Index 0 bezeichnet die Gr¨oßen im Reservoir vor der Expansion. Im Reservoir liegt ein thermisches Gleichgewicht vor, wenn die durch die ¨Offnung abfließende Gasmenge klein gegen¨uber der Gesamtmenge ist. Die Teilchen bewegen sich regellos, so dass die mittlere Geschwin-digkeit u0 = 0 gesetzt werden. Nach der Expansion ins Vakuum geht der Gasdruck p gegen Null. Mit diesen N¨aherungen vereinfacht sich Gleichung 2.3 zu:
U0+p0V0 =U + 1
2M u2 (2.4)
Aus Gleichung 2.4 ist ersichtlich, dass f¨ur eine hohe kinetische Energie der expandieren-den Str¨omung 12M u2 die innere Energie U stark abnimmt und idealerweise gegen Null geht, ebenso wie die TemperaturT. Dies resultiert in einem kalten ¨Uberschallstrahl. Na-hezu die gesamte EnergieU0+p0V0 des Gases im Reservoir wird w¨ahrend der Expansion in einen gerichteten Massefluss umgewandelt. Die Translationstemperatur f¨allt, w¨ahrend die Geschwindigkeit des Masseflussesu zunimmt. Dies ist anhand der Gleichung f¨ur die
8 Spektroskopische Untersuchungen an isolierten Molek¨ulen Cˆp = cMp mittlere spezifische W¨armekapazit¨at bei konstantem Druck
Cˆp = γ−γ1 · MR mittlere spezifische W¨armekapazit¨at f¨ur ein ideales Gas γ = CCp
v Poisson-Koeffizient
Ttrans bezeichnet die Translationstemperatur des Gases im D¨usenstrahl in z-Richtung.
Da im Laufe der ExpansionTtrans T0 wird, kannTtrans in Gleichung 2.5 vernachl¨assigt werden und man erh¨alt eine im D¨usenstrahl maximal erreichbare Geschwindigkeitumax:
umax = s
2· γ
γ−1· R·T0
M (2.6)
Die lokale Schallgeschwindigkeit a ist proportional zu T1/2 und f¨allt somit flussabw¨arts ab, so dass die Machzahl Ma≡u/agroß wird. Bei einer idealen Expansion gilt Ma= 1 am engsten Punkt der D¨use. W¨ahrend der Expansion steigtMa >1 an und die Teilchen bewegen sich mit ¨Uberschallgeschwindigkeit [13]. F¨ur einen kontinuierlichen Gasfluss kann die Machzahl als Funktion des Abstandes z von der D¨usen¨offnung berechnet wer-den:
Ma(z) =Az D
γ−1
(2.7) Dbezeichnet den Durchmesser der D¨use undAist eine Konstante, die vonγ abh¨angt und f¨ur ein ideales einatomiges Gas 3.26 betr¨agt. Auch die Temperatur-, Druck- und Dichte-verh¨altnisse im D¨usenstrahl k¨onnen mit Hilfe der isentropischen Zustandsgleichung als eine Funktion der Ausdehnung der Expansion beschrieben werden [9]:
Ttrans(z) und ρ(z) sind die gleichen Gr¨oßen im D¨usenstrahl. Eine Betrachtung der Bedingungen flussabw¨arts zeigt, dass die Machzahl ansteigt, w¨ahrend Temperatur, Druck und Dichte abnehmen. Da jedoch mit geringer werdender Dichte immer weniger und schließlich keine St¨oße mehr stattfinden, ist der Prozess der Energieumverteilung begrenzt. Die Zahl der Kollisionen ist endlich und damit auch die Machzahl und die Abk¨uhlung des Gases [13].
Die terminale Machzahl kann mit folgender Gleichung angen¨ahert werden:
MaT =ε(p0D)γ−1γ (2.9)
2.1 Spektroskopie an ¨Uberschallstrahlen 9
ε ist eine Konstante, die charakteristisch f¨ur ein bestimmtes Gas ist. Diese Berechnung von MaT geht davon aus, dass der Stoßquerschnitt unabh¨angig von der Translations-temperatur ist. Aufgrund der Abh¨angigkeit der terminalen Machzahl vonγ werden die niedrigsten Temperaturen im D¨usenstrahl bei der Verwendung von inerten einatomigen Gasen erreicht [14].
In der vorliegenden Arbeit wurde an gepulsten ¨Uberschallstrahlen experimentiert, nicht an kontinuierlichen Strahlen, wie hier zur Vereinfachung beschrieben. Das Ergebnis ist jedoch f¨ur gepulste Strahlen das gleiche: man erh¨alt kalte, isolierte Teilchen in der Gas-phase. Ein entscheidender Vorteil der Verwendung gepulster D¨usenstrahlen ist ein ver-minderter Gasfluss. Dadurch ben¨otigt man einerseits eine geringere Gas- und Substanz-menge, andererseits kann bei gleicher Pumpenleistung mit h¨oheren Stagnationsdr¨ucken gearbeitet werden, was eine effektivere K¨uhlung nach sich zieht. Eine ausf¨uhrliche Dis-kussion zu gepulsten D¨usenstrahlen ¨ubersteigt den Rahmen dieser Arbeit und kann in [15] nachgelesen werden.