Algebra käsitlus David Rootsmani (hiljem Taavet Rootsmäe) õpikuis

Kõik siinnimetatud konspektide autorid Hans Jürman, Karl Maasik ja Juhan Lang olid tol ajal õpetajad, hiljem direktorid Tartu koolides.

4.1.2. Algebra käsitlus David Rootsmani (hiljem Taavet Rootsmäe) õpikuis

D. Rootsmann andis välja kaks algebraraamatut, neist “Algeb­

raline analüüs ülesandeis koolidele ja iseõppijaile I” algab algebralise sümboolika kasutuselevõtuga. Siin saab ka teada, mis on algebraline avaldis ja mis on algebraline suurus. Need defineeritakse järgmiselt:

“ Mõne ülesande lahendamise viisi tähendamine kirjatähtede ja tehete märkide abil kutsutakse algebraliseks kirjutuseks ehk avaldu­

seks, sagedamini - vormuliks.”

“ Mõni täht, mis esineb üksinda ehk vormulis teiste tähtedega ühenduses, kutsutakse algebraliseks suuruseks, ...” ehk “Algebraline suurus on mõne tähe ehk ka vormuli arvsuuruste kogu.”

Arvude geomeetriliseks kujutamiseks kasutatakse sirgjoont, mi­

da nimetatakse arvjooneks. Selle iseloomustamiseks tuuakse joone kolm järgmist omadust:

“1° Iga täis- ja murdarvule vastab arvjoonel üksainus punkt.

Nähtavasti vastab ka mõnda punkti üks ainus arv.

2° Arvjoon on niisama otsatu, nagu loomulike arvude rida.

3° Iga arvjoone punkt kujutab seda suuremat arvu, mida kaugemal ta on algusest.”

Järgnevalt esitatakse nelja aritmeetilise tehte omadused ning tutvustatakse ka astendamist ja juurimist.

Ka võrduse ja võrratuse juurde kuuluvad vastavad omadused.

Võrratuse puhul on need järgmised:

“Kui a > 6, siis on 1) a + n > b -(- n;

2 ) a —n > b —n, a > n, b > n;

3) n — a < n - b, a < n, b < n;

4) an > 6n;

5) ; > š ; 6) I < I »

Siin tuleb lisada, et negatiivseid arve veel ei tunta.

Uks paragrahv vaadeldavas D. Rootsmanni raamatus kannab pealkirja “Algebraline diktaat ja õigekirjutus” . Siin jagatakse ka­

sulikke õpetusi avaldiste õigeks lugemiseks ja teksti järgi avaldiste üleskirjutamiseks.

Tehete juures üks- ja hulkliikmetega antakse järgmine huvitava sisuga vana aja ülesanne:

“Mõistata, missugusel seltskonna liikmeist, kellede arv kümnest vähem, on sõrmus ja missuguses sõrmes. Selleks on tarvis mõttes nummerdada isi­

kud ja sõrmed, näit. pahema käe pöidlast algades ja parema käe omaga lõpetades. Selle järel palutakse isiku järjenumber kahega kasvatada, teosele juurde lisada neh, summa viiega kasvatada ja veel juurde lisada sõrme num­

ber, milles sõrmus. Kui saadud summas, mida palutakse teatada, lahutada 20, siis tuleb arv, mille kümnete number tähendab isikut ja ühtede number - sõrme.

Seletada mõistatus algebralise vormuli abil ja näidata, kuidas teisenda­

da vormulit juhul, kui 1) isikute arv on kümnest enam ja kui 2) sõrmus on kümnendas sõrmes.”

Relatiivsete ehk suhteliste arvude käsitlemisel, kui jõutakse kor­

rutamiseni, antakse järgmine märkide seadus: “ Mõnda arvu nega­

tiivse arvuga kasvatada, tähendab teda selle arvu absoluutsuurusega kasvatada, ja saadud teose märk teha vastaseks.”

Algebralise murru käsitlemisel ja tehete tundmaõppimisel tut­

vustatakse ka nn. mitmekordseid murde ning antakse ülesandeid järgmiste ahelmurdude väärtuse leidmiseks:

^ 2 + г г Ь = '

J + \

Kui jõutakse võrdelise ja pöördvõrdelise sõltuvuseni, siis tutvus­

tatakse lugejat arvude väljadega; päriproportsionaalsuse puhul on üks selline väli esitatud kujul

_5; 8; 13; .18

10; 16; 26; 36

3 3? 5 55 ^{R2 *}83> 12,

mille juurde on lisatud: “ Niisugust “ arvude välja” vöiks igasse nelja külge lõpmata jätkata. Arvude välja teadmiseks on tarvis võtta:

1) üks ainus rida; ehk 2) igas vertikaalses veerus (nõnda, et ükski rida vahele ei jää, nagu alla kriipsutatud) vähemalt üks ainus arv ja teada proportsionaalsuse koeffitsiendid.”

Siin antakse ka seosed у — kx ja у =

Raamatus on võrde | = ^ juurde esitatud rida “tuletatud proportsioone” :

1 \ а - 6 _ с - d.

*) 5 - d ’

0\ а + 6 _ с + d.

а * с ’

o\ а - 6 _ с - d.

J ' а “ с ’ 4)

с\ та4- nc _ а _ с. 10а -j- 6 _ 10с ± d

' m$- + n 3 Б 3 ’ ' 106 + а lOd + с

Tõestatakse veel teoreem:

“Kui

1

> в >

b

süs on *) i > f ih r H >

V

Ja

o\ a ^ OX + by + cz ^ си 2 ) 3 > i x + Й T “Cz > TV

Raamat lõpeb esimese astme võrrandite lahendamisega. Sellest osast esitame paar võrrandi koostamise ülesannet:

“Ladus oli kuuse-, haava- ja kasepuid, kokku 44 sülda. Haavapuid cli 5 korda vähem kui kuusepuid ja kasepuid oli kolmandik sellest, kui palju kuusepuid oh enam kui haavapuid. Kui palju oh iga liiki puid?”

“Kaks õhulaeva tõuseb Stokholmis üles. Esimene neist jõudis Helsingi,

О

mis Stokholmist 396 km kaugel, teine, mille kiirus oh ^ esimese omast, jõudis Tallinna, mis Stokholmist 360 km kaugel, ja tarvitas selleks 1,7 tundi

enam kui esimene. Missugused ohd õhulaevade kiirused tunnis?”

D. Rootsmanni teise raamatu “Algebraline analüüs ülesandeis ja iseõppijaile II” algul on toodud autori arvamus ülesannete vas­

tuste etteandmise kohta: “ Näib ülearune anda raamatus võrranduse lahendused kostustena niisuguseil korril, kus iseseisev kontroll on võimalik. Võrranduse lahenduse järelkatse ei huvitaks enam pärast seda, kui õpilane on kostuse raamatust leidnud. Järelkatsumiseks peitub ka veel tähtis eetiline ja kasvatav moment, sisendav põhja­

likkust ja eneseusaldust. Elus ei ole meie ülesandeil kostused kunagi teada - ise peame neid leidma ja kontrollima.”

Teise raamatu esimeseks peatükiks on trükitud uuesti esimese raamatu viimane peatükk, s.o. esimese astme võrrandite lahendami­

ne.

Sealt jätkatakse võrrandisüsteemide lahendamisega. Tutvusta­

takse lineaarvõrrandisüsteemi lahendamise võtteid (liitmisvõte, asen- damisvõte). Ülesannetes minnakse ka enam kui kahe tundmatuga võrrandisüsteemide juurde. Toome näiteks järgmise viie tundmatuga viiest võrrandist koosneva võrrandisüsteemi:

' 625ж -j- 125j/ + 25z + 5u + v = 975 256x + 65 у + 16z + 4« + v = 453

< 81x + 27y + 9z + 3« + v = 179 16x + 8y + Az + 2« + v = 58

x + у + 2 + u + v = 15

Esitame ka paar selliste tekstülesannete näidet, mis rohkem nuputamist vajavad:

“Kolm masinat А, В ja С tõotavad. Olles tegevad ühel ajal, suudavad lõpule viia selle tõõ A ja В 12, В ja С 30 ning A ja С 15 päeva jooksul. Mitme päeva jooksul suudaks tõõ lõpetada iga masin eraldi ja kõik üheskoos?”

“ “Kui vana Teie olete?” M a olen nüüd niisama vana, kui vana olite Teie sel ajal, kui mina olin nii vana, kui vana olete Teie praegu; kui Teie aga saate nii vanaks, nagu mina praegu, siis puudub minul 20 aastat, et olla 2 korda vanem, kui Teie praegu. Kui vana on kumbki?

Mõneti omanäoline on selles õpikus tabelite ja graafikute käsit­

lemise hulgas antud aritmeetilise keskmise leidmise skeem. Esitame selle ka siinkohal:

“ Laua pikkuse neljakordsel mõõtmisel saadi järgmised väärtu­

sed:

Aj — 1387,3 — 1386 -f 1,3 — a0"f a2 = 1386,9 = 1386 + 0,9 = ao + c?2 03 — 1387,2 — 1386 + 1,2 = Oo + dg 04 = 1387,0 = 1386 + 1,0 = ao + ^4

Keskmine väärtus dm — = ao + =

i *

= Oo + - 4 - = 1386 + Y = 1386 + M = 1387,2.”

Mõõtmistulemuste hälbed leitud keskmise suhtes antakse süm­

boli “ Д ” abil. Nii on

A l = ai —

am

^{= +0,2 Д2 =}

a

²

— am =

^—0,2

A3 = a3 - a,n = + 0,1 A4 = a4 -

am

= - 0 , 1” Lineaarfunktsiooni tutvustamist valmistatakse ette mitme ha: a- t isega. Tehakse silmamõõtmise harjutusi, võrreldakse suurusi joon lõikude abil, kujutatakse graafiliselt empiirilisi funktsioone. Tuuakse temperatuuri ja sõiduplaani graafikud, tutvustatakse “treppkõverat”

ja “registeerimiskõverat” .

Lineaarfunktsiooni käsitlus algab punkti koordinaatide ning

sirgjoone võrrandi tutvustamisega. Alustatakse oma kujult lihtsa­

matega. Seega esitatakse nad järjekorras:

у = a, x = b, у — 0, x = 0, у = аж, у = а х + b, А х+ B y = C.

Ulesande kaudu tehakse kindlaks selle funktsiooni omadusi.

Näiteks.

“1) Tõendada, et kõik panktid, millede koordinaadid rahuldavad võr- randust у = kx -f m, asetsevad sirgjoonel.

2) Missugune on parameetrite (jäädavate) к ja m geomeetriline tähen­

dus?”

Lineaarfunktsiooni uurimine viib ka selle funktsiooni “ise­

äraliste väärtuste” juurde.

Vaatluse alla tulevad määramatust sisaldavad avaldised. Raa­

matust loeme:

“ Kuid, et võrdus lugeda maksvaks tähtede iga väärtuse koh­

ta, selleks on tarvis tema pahem külg lugeda arvu suuruseks, mille annab võrduse parem külg, kui tähtede asemele seada arv, mis muu­

dab määramatuks võrduse pahema külje. Niisugune arv kutsutakse murru peaväärtuseks sel korral, kui murru lugeja ja nimetaja muutu­

vad nullideks. Peaväärtuse tuletamine nimetatakse ebamäärase kuju avaldamiseks.”

Lõpuks toimub veel esimese astme võrrandite uurimine järgmise ülesande kaudu:

“Missugused peaksid olema а ja b väärtused võrranduses clx = 6, et oleks 1) x > 0, 2) x < 0, 3) x mõni täisarv, 4) x =0, 5) x = oo, 6) x - j}?*

* * *

Taaret Rootsmäe (1936. aastani David Rootsmann) (1885—

1959). Oppis H. Treffneri Gümnaasiumis ja Tartu Ülikoolis, mille lõpetas 1913. aastal. Tõõtas õpetajana Tallinnas ning alates 1919.

aastast oh Tartu Ülikooli astronoomiaprofessor. Kuni 1948. aastani oh ta Tartu Tähetorni direktor ning aastail 1944-1959 astronoomia kateedri juhataja (vt. ka IV, lk. lk. 71).

Täiendavalt loe näiteks:

O. Prinits. Professor Taavet Rootsmäe koolimatemaatikuna . Koolimatemaatika XII, Tartu, 1985, lk. 6-8.

4.1.3. Algebra käsitlus Viktor Passi

Im Dokument 1Tartu 1994$11щ (Seite 158-163)