klassikalise füüsika algus
6. Aksioomid ehk liikumisseadused
Need seadused, küll pisut tänapäevasemas sõnastuses, kuuluvad koolifüüsika raudvarasse.
I seadus: „Iga keha püsib kas paigal või ühtlases sirgjoonelises liikumises, kuni ja kuivõrd mõni jõud sunnib seda olekut muutma.“
(Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uni-formiter in directum, nisi quatenus a. viribus impressis cogitur statum illum mutare.)
Lühikeses kommentaaris selgitab Newton, et visatud kivi säili-taks oma liikumise, kui puuduksid õhutakistus ja kivi langema sun-div Maa raskusjõud. Teine näide käsitleb vurri pöörlemist, mille ühtlast kulgu rikub hõõrdumine ja õhutakistus. Päikesesüsteemi pla-neetide liikumisolek on äärmiselt püsiv, sest nende mass (inerts) on suur ja kuna nad liiguvad tühjuses, on takistus kaduvväike. Seega kommentaarides mõistab Newton liikumisolekut avaramalt kui sõ-nastatud seaduses.
II seadus: „Liikumise (liikumishulga) muutus on võrdeline ra-kendatud jõuga ja see toimub selle sirge sihis, milles jõud on raken-datud.“ (Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impres-sae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.)
Võrdelist sõltuvust selgitab Newton numbrilise näitega: kui min-gi jõud tekitab teatud liikumishulga, siis kaks korda suurem jõud
tekitab kaks korda suurema liikumishulga jne. Ta rõhutab, et tule-mus ei sõltu sellest, kas jõud rakendub korraga või järk-järgult. Vii-mane selgitus toob kaudselt sisse jõu impulsi ( ) mõiste.
III seadus: „Mõjule on alati olemas võrdne vastasmõju ehk tei-siti – kahe keha vastasmõjud on alati võrdsed ja vastassuunalised.“
(Actioni contrariam semper et aequalem esse reactionem: sive cor-porum duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi.)
Selgituses on toodud klassikaline näide: sõrm rõhub kivi ja kivi rõhub sõrme. Newton täpsustab, et mõju ja vastasmõju kutsuvad esile ühesuuruseid liikumishulga muutusi, kuid kiiruste muutused, mis on pöördvõrdelised kehade massidega, ei ole üldiselt võrdsed.
On huvitav, et ladinakeelne algtekst on kaudses kõneviisis, mis nagu omistaks neile seadustele kõrgema või jumaliku käsu varjundi.
Kaks aastat pärast Newtoni surma ilmunud ingliskeelses väljaandes (1729) on need seadused juba kindlas kõneviisis.
Newtoni seaduste sõnastus on olnud paljude hilisemate kom-mentaatorite arutlusaineks. Nii on püütud täiendada II seaduse sõnastust, et anda sellele matemaatiliselt adekvaatne kuju. Ühed asendavad Newtoni „liikumise“ „liikumishulgaga“; teised püüavad näidata, et Newton mõtles „muutuse“ all „muutumise kiirust“, s.t.
liikumishulga ajalist tuletist; kolmandad väidavad, et rakendatud jõudu käsitleb Newton rohkem „jõu impulsi“ mõttes (selle võima-luse kasuks kõneleb ka Newtoni kommentaar), mistõttu seadus tu-leks matematiseerida kujul
või d(mv&)=F&dt.
Hiljem taandusid eriarvamused veendumuseks, et Newton ka-sutas teadlikult meie meelest ebamäärast väljendit „liikumise tus“ (mutatio motus), sest ladina keeles tähendab mutatio nii muu-tumise protsessi kui ka selle resultaati. Eelistades esimest tähendust, omandab Newtoni sõnastus hoopis selgema mõtte.
Liikumisseaduste käsitlemisel osutas Newton, vastupidiselt oma tavale, tõsist tunnustust eelkäijatele. Ta märkis, et kasutades kahte esimest seadust ning jõudude liitmise kohta käivaid järeldusi, leidis Galilei, et vabal langemisel on teepikkus võrdeline aja ruuduga, ja visatud kehad liiguvad mööda parabooli (eeldusel, et õhutakistust
dt
pole vaja arvestada). Ning edasi, et nende kolme seaduse põhjal
„Christopher Wren, usuteaduse doktor John Wallis ja Christiaan Huygens, meie aja suurimad geomeetrid, tuletasid põrkumise ja kehade peegeldumise seadused ning informeerisid peaaegu ühe-aegselt sellest Kuninglikku Seltsi“, kusjuures nende tulemused olid omavahel kooskõlas. Toodud tsitaadi selgituseks tuleb lisada, et 1668. a. kuulutas Kuninglik Selts välja aastase tähtajaga konkursi parimale tööle põrgete kohta. Kõik kolm uurijat esitasid oma tööd.
Christopher Wren (1632–1723) ja Huygens käsitlesid elastseid põrkeid, John Wallis (1616–1703) mitteelastseid põrkeid.
Newtoni mehaanikale on omane jäävusseaduste kui looduse põhiseaduste puudumine. Tal puuduvad nii aine jäävuse kui ka Descartes’i formuleeritud liikumise jäävuse seadused. I seadus rää-gib küll keha võimest säilitada liikumisolekut, kuid Newtoni käsit-luses on inerts passiivne printsiip. Liikumise muutumine on või-malik vaid tänu rakendatud jõule ja seda reguleerib II seadus. Ta konstrueerib mõttelise katse, mis tema arvates räägib vastu Descar-tes’i liikumishulga jäävuse printsiibile.
7. „Printsiibid“ ja Newtoni saavutused matemaatikas
Nagu märkisime, ei kasutanud Newton „Printsiipide“ koostamisel neid matemaatilisi võtteid, eriti tema enese välja töötatud diferent-siaalarvutuse variante, mille abil ta oli saavutanud oma mehaanika- ja taevamehaanika-alased tähtsamad tulemused. Tulemusi teades pidi ta nende põhjendamise esitama tollase traditsioonilise mate-maatika vahenditega. Ta lisas sellele vaid mõned hädavajalikud uuendused: praegust piirprotsessi asendava „esimeste ja viimaste suhte meetodi“, praegust tuletist asendava „fluksioonide suhte“
mõiste ja ka „lemma“, mis sisuliselt kujutas jagatise diferentseeri-mise eeskirja. Moskva matemaatik Vladimir Arnold (Владимир Игоревич Арнольд, 1937–2010) avastas 1980. aastatel „Printsiipe“
uurides veel koha, kus Newton sisuliselt tõestas lause, mis 19. sajan-dil taasavastati Abeli integraalide transtsendentsuse teoreemina.
Newtoni matemaatikaharrastused algasid juba ülikooliõpingute lõpuaastail Cambridge’is. Talvel 1664–65 avastas ta binoomi astme üldise reaksarenduse ( Newtoni binoomvalemi) ning järgmiseks
sü-giseks olid loodud fluksioonide meetodi alused. Oktoobriks 1666 vormistas ta oma esimese matemaatikaalase käsikirjalise töö „To resolve problems by motion these following propositions are suffi-cient“ („Probleemide lahendamiseks liikumise abil piisab järgmis-test lausejärgmis-test“). Trükis avaldati see alles 300 aastat hiljem, aastal 1967, ent käsikirjalisena levis töö tollaste Inglise teadlaste kitsamas ringis. Laiemalt tuntuks sai teine käsikirjaline töö „De analysi per aequationes numero terminorum infinitas“ („Analüüsist lõpmatu arvu liikmetega võrrandite abil“), mis valmis 1669. a. ning mille üks eksemplar oli hoiul ka Kuninglikus Seltsis. Töö ilmus trükist aastal 1711. 1670–71 koostas Newton mahuka käsikirja „Methodus fluxionum et serierum infinitarum“ („Fluksioonide ja lõpmatute ridade meetod“), mis avaldati ingliskeelses tõlkes alles pärast New-toni surma 1736. a.
Esimesena tema matemaatilistest töödest nägid trükivalgust 1704. a. „Optika“ lisana ilmunud kaks artiklit „Traktaat joonte kvadratuurist“ ja „Kolmandat järku joonte liigitamine“, mis olid koostatud 1660. aastatel. 1707. a. ilmus Newtoni „Arithmetica uni-versalis“ („Üldine aritmeetika“), mis võttis kokku põhiosa tema Cambridge’i loengutest aastatel 1673–83.
„Üldises aritmeetikas“ esitas Newton tollaseid matemaatika, eriti algebra aluseid ja meetodeid ja täiendas neid mitmeti. Ta andis täieliku eluõiguse irratsionaalarvudele, nimetades neid „kurtideks“
(ld. surdus) arvudeks. Newtoni arvukäsituse aluseks on järgmine tees: „Arvu all mõistame mitte niivõrd ühikute hulka, kuivõrd mingi suuruse suhet teise sama liiki suurusesse, mis on võetud ühikuks.
Arve on kolme liiki: täisarv, murdarv ja kurt arv. Täisarv on see, mida mõõdetakse ühikuga, murdarv – ühiku osaga, kurt arv on ühi-kuga ühismõõduta“. Selline lähenemisviis võimaldas Newtonil, eri-nevalt Descartes’ist, jätta geomeetria algebra põhjendamisest täieli-kult välja. Algebra põhiülesandeks pidas Newton võrrandite lahen-dite arvutamist, mitte nende geomeetrilist konstrueerimist, nagu seni sageli tavaks olnud.
Töös „Kolmandat järku joonte liigitamine“ uuris ta võrrandiga ax3 + bx2 y + cxy2 + dy3 + ex2 + fxy + gy2 +hx + ky + 1 = 0
antud kolmandat järku jooni. Ta leidis, et neid jooni on 72 liiki, mis on koondatud nelja suurde rühma.
Kõige olulisemaks panuseks Newtoni matemaatilises loomin-gus on tema uus arvutus, mille abil ta asus uurima mehaanika liikumisülesandeid. Ta lähtus ajas muutuvatest suurustest, nime-tades neid voolavateks suurusteks ehk fluentideks (ld. fluens – voolav). Nende muutumise hetkkiirusi nimetas ta fluksioonideks (ld. fluxus – vool). Fluendi x fluksiooni tähistas ta x.
. Newton püs-titas kaks põhiülesannet: seostest fluentide vahel tuletada seos, mis sisaldab nende fluksioone (diferentseerimine); seostest, mis sisal-dab fluente ja nende fluksioone, tuletada seos fluentide endi vahel (diferentsiaalvõrrandi integreerimine). Üksikasjalikku elementaar-funktsioonide diferentseerimise reeglistikku Newton ei tuletanud, piirdudes enamasti astmefunktsioonidega ja keerukamatel juhtu-del kasutades funktsioonide arendamist astmeritta. Viimasega seo-ses esitas ta oma binoomvalemi. Tõestamaks, et planeedi trajek-toor on ellips, lahendas Newton teise põhiülesande osakese liikumise jaoks tsentraalsümmeetrilises jõuväljas (F ~ 1/r2).
Newtoni fluksioonide meetodi arsenalist on tänapäeva mate-maatikasse algkujul jäänud väga vähe. Eelkõige pärinevad siit para-meetri järgi võetud tuletiste tähistused x.
,x..
jne., mida kasutatakse eriti mehaanikas, kus parameetriks on aeg. Enamik tulemusi on tugevasti modifitseeritud ja saanud teise kuju. Alates 1673. aastast oli hakanud diferentsiaalarvutusega tegelema ka Saksa matemaatik ja filosoof Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), kes hakkas lõp-mata väikseid muutusi tähistama sümboliga d (differentia – erine-vus, vahe) ja seejärel integraali sümboliga ∫ (sõnast summa). 1676–
77 astus ta kirjavahetusse Newtoniga. Põhiliselt diskuteeriti funkt-siooni rittaarendamise meetodeid ning diferentseerimise (puutujate leidmise) pöördülesannet. Mõlemad mõistsid partneri käsitluse olemust, tunnetasid eesmärkide ja järelduste lähedust. Kahjuks kat-kestas Newton kirjavahetuse õige pea. Kirjavahetus ei kiirendanud ka tulemuste publitseerimist. Newtoni meetod jäi vaid vähestele kättesaadavatesse käsikirjadesse, kuid 1684. a. avaldas Leibniz lühi-kese (10 lk.) artikli „Nova methodus pro maximis et minimis, item-que tangentibus, qua nec fractas nec irrationales quantitates
mora-tur, et singulare pro illis calculi genus“ („Uus maksimumide, mii-nimumide ja samuti puutujate (leidmise) meetod, kus pole takistu-seks ei murrulised ega irratsionaalsed suurused, ning selleks koha-ne arvutus“). Artikkel ilmus ühe vanima teadusliku ajakirja, 1682. a.
Leipzigis ilmuma hakanud „Acta Eruditorum’i“ („Õpetlaste tööd“) oktoobrinumbris. Pärast seda võttis Newton oma meetodi alused kokku kirjades matemaatik John Wallisele, kes avaldas kirjade olu-lisemad osad oma teose „De algebra tractatus“ („Traktaat algeb-rast“) teises väljaandes, mis ilmus Oxfordis 1693. a. Kui 1711. aas-taks olid ilmunud ka Newtoni esimesed sellealased publikatsioonid, hakati Inglismaal mõistma, et Newton oli juba enne Leibnizit ära teinud midagi väga tähtsat. Newtoni ja Leibnizi pooldajate vahel algasid prioriteedivaidlused, millesse tõmmati ka mõlemad eakad teadlased.
Vahepeal olid Mandri-Euroopas hakanud juurduma Leibnizi ideed. Neist innustusid selle arvutuse jätkajad ja rakendajad, eel-kõige vennad Jacob ja Johann Bernoulli (vt. VI § 1.3). 1696. a. ilmus juba esimene õpik „Lõpmata väikeste suuruste analüüs kõverate uurimiseks“, autoriks Guillaume de l’Hôpital (vt. VI § 1.3). 1736. a., kui postuumselt ilmus Newtoni enese mahukas fluksioonide mee-todi esitus, avaldas Leonhard Euler oma kaheköitelise teose „Me-haanika“ (vt. VI § 2.1), milles Newtoni „Printsiipide“ põhisisu oli esitatud infinitesimaalarvutuse meetodiga, kuid Leibnizi vaimus.
Elegantse „rahulepingu“ kahe suurmehe, Newtoni ja Leibnizi vahel, sõlmis Prantsuse matemaatik Sylvestre François Lacroix (1765–
1843) oma diferentsiaal- ja integraalarvutuse õpikus 1797–98, ni-metades selle arvutuse ühe põhivalemi
Newtoni– Leibnizi valemiks, kuigi kummagi enese töödes see valem ei esine. Newtonil on küll olemas selle valemi sõnaline esitus, milles aga puudub termin algfunktsioon.
³
ab f(x)dx=F(b)−F(a)8. „Printsiibid“ ja teadusmaailma reageerimine sellele teosele
„Printsiipide“ ilmumine oli tollases teaduselus muljetavaldav sünd-mus. Selles töös oli lahendatud kaks olulist probleemi: dünaamika ja ülemaailmne gravitatsiooniseadus. Newtoni dünaamika, mida illustreerisid arvukad konkreetsed näited, erines põhimõtteliselt senistest mehaanikateooriatest. Teades liikumist tekitavaid või seda mõjustavaid tegureid (jõude), võis kindlaks teha liikumisoleku mis-tahes ajahetkel kas minevikus või tulevikus. Lahendatav oli ka pöördülesanne – määrata liikumise järgi seda põhjustav jõud. New-toni dünaamika taandas kõikvõimalikud liikumist mõjutavad tegu-rid mehaanilisele jõule. See oli tüüpiliselt fenomenoloogiline lähe-nemisviis, mis jättis teadlikult kõrvale jõudude füüsikalise olemuse.
Sellisena kujunes mehaanika kogu füüsikalise maailmapildi aluseks.
Muidugi, Newtoni dünaamika oli ülikeeruline, selle matemaatiline aparaat liiga ebatäiuslik ja algeline, et lahendada areneva tehnika tõstatatud inseneriülesandeid. Kaasaegsed küll imetlesid Newtoni matemaatilist geeniust, kuid suutmata tema mõttekäikudega kaasa minna, suhtusid tulemustesse kerge umbusu ja kohati otsese vastu-meelsusega. Hämmastaval kombel tekkis selline hoiak just Newtoni gravitatsiooniteooria suhtes, kuigi hilisemad füüsikute põlvkonnad näevad selles heliotsentrilise süsteemi dünaamilist põhjendust ja kogu Newtoni mehaanika ühte täiuslikumat ja järjekindlamat ra-kendust.
Newtoni gravitatsiooniteooria oli olemuselt fenomenoloogiline ja rahuldas täielikult Päikesesüsteemi astronoomia vajadusi, kuid ei pakkunud tollastele ideaalidele vastavat füüsikalist pilti. Loodus-nähtusi seletavate teoreetiliste mudelite poole püüeldi kaua enne Newtonit. Selle all mõisteti peamiselt nähtuste sisemist, meie pilgu eest varjatud mehhanismi, ning toetudes senisele kogemusele ja kasutades analoogiate meetodit, püüti kujutleda seda mehhanismi kõigis detailides. Kui sellist teoreetilist mudelit ei suudetud luua, siis toodi tihti sisse mateeria mõned varjatud poolmüstilised omadu-sed („sümpaatia“, „kiindumus“, „vastikus“). Tänu R. Descartes’ile ja F. Baconile hakati selliseid varjatud argumente pidama antiteadus-likeks, teadusvälisteks. Descartes selgitas: et mõista mingit loodus-nähtust, tuleb seda näitlikult esitada (me ütleme – modelleerida).
Niisugune näitlik mudel oli Descartes’i keeriste teooria, mille abil ta üritas seletada kõike – füsioloogilistest protsessidest Päikesesüs-teemi tekkelooni. Newtoni taevamehaanika oli võrreldamatult täius-likum Descartes’i keeriste teooriast, mis oli kvalitatiivne ega seleta-nud mitte ühtegi kvantitatiivset seadust. Kuid keeriste teooria alused tundusid olevat selged ja kaheldamatud. Newton tõi oma gravitat-siooniteooriasse kehade võime mõjutada üksteist kui tahes kaugelt, see tundus niisama müstiline nagu skolastikute „sümpaatia“ jt. Tõsi-sed teadusmehed ei süüdistanud Newtonit küll otseselt skolastikas, kuid nägid tema taevamehaanikas vaid tööhüpoteesi, mida on vaja sobitada Descartes’i keeristega. Sellisel seisukohal oli näiteks C. Huy-gens. Ta leidis, et keeriste abil saab seletada taevakehade ja isegi makrokehade vastastikust külgetõmmet, kuid mõttetu on omistada gravitatiivset vastastikmõju aine väikseimatele osakestele. Sellega pani Huygens kahtluse alla gravitatsiooni universaalse iseloomu.
Raskused gravitatsiooni mehaanilise mudeli loomisel andsid kle-rikaalidele aluse väita, et looduses on olemas jumalikke, mittema-teriaalseid põhjuseid. Sedalaadi ideid leidus isegi „Printsiipide“
teise väljaande eessõnas, kuigi selle autor, Newtoni üks õpilasi, matemaatik Roger Cotes rõhutas Newtoni käsitluse eeliseid Des-cartes’i keeriste ees.
Newtoni gravitatsiooniteooriat püüdis keeriste ideega ühitada ka Leibniz. 1689. a. avaldas ta töö, milles tahtis selgitada taevake-hade liikumist ühelt poolt Päikesele suunatud jõu ja teiselt poolt planeetidega koos liikuva vedeliku (keerise) ühismõjuga. Skeptili-selt suhtus Newtoni gravitatsiooniteooriasse Prantsuse Teaduste Akadeemia. Veel 1740. a., hinnates oma varem välja kuulutatud au-hinnatöid loodete seletamiseks, jättis ta premeerimata Newtoni käsitlusele tuginevad Daniel Bernoulli, Colin Maclaurini (1698–
1746) ja Leonhard Euleri matemaatilised uurimused ning auhinna sai jesuiidi abee Bonaventura Francesco Cavalieri (1598–1647), kelle käsitlus oli üsna kahvatu ja kvalitatiivne. Akadeemia premeeris ka kahte Johann Bernoulli artiklit „Descartes’i süsteemist ning pla-neetide orbiitide ja afeelide määramisest selle abil“ (1730) ja „Uue taevafüüsika visand“ (1734), mis mõlemad arendasid Descartes’i keeriste teooriat (vt. VI § 1.3).
Newtoni uus fenomenoloogiline lähenemisviis loodusseadus-tele oli küll Mandri-Euroopas valitseva kartesiaanliku mõtlemis-stiili jaoks harjumatu, kuid leidis ka siin innukaid pooldajaid ja propageerijaid. Hollandis olid nendeks matemaatik Willem Jacob ’s Gravesande (1688–1742) ja füüsik Pieter van Musschenbroek (1692–1761). Prantsusmaal avaldas Pierre de Maupertuis (vt. VI
§ 2.4) 1732. a. Newtoni gravitatsiooniteooriat toetava raamatu
„Kõned tähtede kujust“, kus rõhutas, et gravitatsiooniseadus on vaatlustele toetuv fakt, millele pole vaja otsida mingil mudelil ra-janevat põhjendust. 18. sajandi I poolel valitsevat olukorda kom-menteeris ta selliselt: „Kulus üle poole sajandi, enne kui kontinendi akadeemiad harjusid külgetõmbega. See oli suletud oma saarele;
niipea kui ta jõudis üle mere, osutus see teadlikult kõrvaleheide-tud monstrumiks. Varjakõrvaleheide-tud omaduste väljaajamine teadusest võeti vastu aplausiga ning nende võimalikku tagasitulekut kardeti seda-võrd, et kõik, millel oli vähegi sarnasust nende omadustega, ajas hirmu peale. Oldi nii võlutud analoogiale toetuvatest mehhanismi-dest, et kõrvale jäeti tõene mehhanism, seda isegi ära kuulamata.“
Newtoni loodusfilosoofilisi vaateid toetas ka vabameelne mõtleja Voltaire (1694–1778). Viibides Inglismaal 1726–28, külastas ta eakat õpetlast ning vestles ka Newtoni õetütre ja majapidajanna Catherine Bartoniga (1679–1739). Voltaire tõigi avalikkuse ette loo kukkuvast õunast, viidates õetütre jutustusele. Jääb ikkagi kahtlus, et tegemist on kauni perekondliku legendiga, sest Catherine sün-dis ligi 15 aastat pärast gravitatsiooniteooria loomist. 1738. a. aval-das Voltaire Newtoni õpetuse elementaarse käsitluse „Éléments de la philososophie de Newton“. Tema algatusel sai teoks ka „Printsii-pide“ tõlge prantsuse keelde, tõlkijaks markiis Émilie du Châtelet (1706–49), raamat ilmus küll alles 1759. a.
Huvitav on seegi, et ühena esimestest Euroopas luges aastatel 1693–97 Tartu ülikoolis matemaatikaprofessor Sven Dimberg (1661–1731) Newtoni gravitatsiooniõpetust ja selle alusel planee-tide liikumise teooriat.