U¨bungen zuMfI: AlgebraischeStrukturen TU Kaiserslautern
Jun.-Prof. Dr. CarolineLassueur Dipl.-Math. RuwenHollenbach
Abgabetermin:18.01.2019, 13 Uhr WS 2018/19
— Blatt 10 —
Aufgabe1. (a) Bestimmen Sie die Nullteiler vonZ/18.
(b) Seim∈Nkeine Primzahl. Geben Sie einen Nullteiler (ungleich 0) vonZ/man.
Aufgabe2.
Es seiidie imagin¨are Einheit inC.
(a) Zeigen Sie, dassZ[i]⊆Cein Integrit¨atsring ist.
(b) Es sei
d:Z[i]\ {0} →N, a+b·i7→a2+b2 1) Zeigen Sie, dass
d((a+b·i)·(e+ f ·i))=d(a+b·i)·d(e+ f·i).
2) Folgern Sie, dassZ[i]×={1,−1,i,−i}.
3) Zeigen Sie, dass (Z[i],d) ein euklidischer Ring ist. Hinweis: Berechnen Sie zur Division mit Rest vona+b·idurche+ f ·izun¨achst
a+b·i
e+ f ·i∈Q[i]. Aufgabe3.
SeiRein Integrit¨atsring.
(a) Zeigen Sie, dassR[X]× =R×. Hinweis: Benutzen Sie die Gradformel (siehe Beispiel 4.7.3 (d)).
(b) Zeigen Sie:
Rist endlich⇒Rist ein K ¨orper.
Aufgabe4.
Bestimmen Sie inQ[X]
(a) den ggT(X−1,X2+2X),
(b) eine L ¨osung der simultanen Kongruenz f(X)≡4 modX−1
f(X)≡X+8 modX2+2X., und (c) die Menge aller L ¨osungen dieser simultanen Kongruenz.
