Strahlungstransport in Sternatmosph¨aren

Strahlungstransport in Sternatmosph¨ aren

Strahlungstransport-Gleichung, entlang eines Sehstrahls:

dI_ν

ds = −ρκ_νI_ν + ρj_ν

Form f¨ur plan-parallele Geometrie:

µdI_ν(µ, x)

dx = −ρκ_νI_ν(µ, x) + ρj_ν(µ, x) (µ = cosθ)

Optische Tiefe:

dτ_ν = −κ_νρdx

Neue Form der Strahlungstransportgleichung:

− µ ρκ_ν

dI_ν(µ, x)

dx = I_ν(µ, x) − j_ν(µ, x) κ_ν µdI_ν(µ, τ_ν)

dτ_ν = I_ν(µ, τ_ν) − j_ν(µ, τ_ν) κ_ν

= I_ν(µ, τ_ν) − S_ν(µ, τ_ν)

Quellfunktion: S_ν(µ, τ_ν) = j_ν(µ, τ_ν) κ_ν LTE-N¨aherung: S_ν = B_ν(T)

Momente des Strahlungsfeldes

0. Moment – Mittlere Intensit¨at (^H µ⁰dω):

J_ν = 1 4π

I

I_νdω = 1 2

Z ₁

−1 I_νdµ

2

1. Moment – Fluß (^H µdω):

1

4F_ν = H_ν = 1 4π

I

I_νµdω = 1 2

Z ₁

−1 I_νµdµ 2. Moment – Strahlungsdruck (^H µ²dω):

K_ν = 1 4π

I

I_νµ²dω = 1 2

Z ₁

−1 I_νµ²dµ P_rad = 4πK_ν

c aber : κ_ν!

Momente der Strahlungstransport- gleichung:

0. Moment (^H dω):

1 2

Z ₁

−1 µdI_ν

dτ_νdµ = 1 2

Z ₁

−1 (I_ν − B_ν) dµ 1

4

dF_ν

dτ_ν = J_ν − B_ν Strahlungsgleichgewicht:

F =

Z _∞

0 F_νdν = const = σT_eff⁴ π oder dF

dτ = 0

1. Moment (^H µdω):

Z ₁

−1 µ²dI_ν

dτ_νdµ =

Z ₁

−1 (I_ν − B_ν) µdµ 4dK_ν

dτ_ν = F_ν

Diffusionsn¨aherung: Strahlungsfeld n¨aherungsweise Isotrop: I_ν = I_0,ν + µI_1,ν + µ²I_2,ν . . .

K_ν = 1 2

Z ₁

−1 I_νµ²dµ ≈ I_0,ν

3 = J_ν 3

=⇒ 4 3

dJ_ν

dτ_ν = F_ν

Eddington-N¨aherung: Quasie-Isotropie in der gesamten Atmosph¨are g¨ultig, insbesondere am Rand

J_ν(τ_ν = 0) = 1 2

Z ₁

0 I_ν(µ,0)dµ = 1 2I₀ F_ν(τ_ν = 0) = 2

Z ₁

0 I_ν(µ,0)µdµ = I₀

=⇒ J_ν(0) = 1

2F_ν(0)

4

Graue Atmosph¨ are

Annahme: keine frequenzabh¨angigen Opazit¨at etc., d.h. man braucht den Strahlungstrans- port nur f¨ur I, J, F . . .zu l¨osen.

dF

dτ = 0 =⇒ F(τ) = const = σT_eff⁴ π dJ

dτ = 3

4F =⇒ J(τ) = 3

4F τ + const Eddington-N¨aherung:

J(0) = 1

2F = const J(τ) = 3 4F ·

τ + 2 3

LTE-Atmopsh¨are im Gleichgewicht:

J = S = B(T) = σT⁴ π

"

T(τ) T_eff

#₄

= 3 4

τ + 2 3

Die Mitte-Rand-Verdunkelung

Strahlungstransport-Gleichung:

µdI

dτ = I − S

S bekannt =⇒ Lineare DGL 1. Ordnung mit konstanten Faktoren. Integrierender Faktor e^{−τ /µ}:

d^hIe^{−τ /µi}

dτ = −1

µSe^{−τ /µ}

Integration:

I(τ₁, µ) = I(τ₂, µ)e^{−(τ2−τ1)/µ}+1 µ

Z _τ2

τ₁ S(t)e^{−(t−τ1)/µ}dt

Emergenter Fluß der Atmosph¨are: τ₁ = 0, τ₂ = ∞

I(0, µ) =

Z _∞

0 S(t)1

µe^−t/µdt

= 3 4F

Z _∞ 0

t + 2 3

1

µe^−t/µdt

= 3 4F

µ + 2 3

6

Mitte-Rand-Verdunkelung der Sonne

Mitte-Rand-Variation:

I(0, µ) I(0,1) =

3

4F µ + ²

3

3

4F 1 + ²₃

= 3 5

µ + 2 3

7

L¨ osungsansatz Bedeckungsgrad

cos ^α₂ = ^t

2R

Fl¨ache des Kreissektors:

F_S = ^α₂R² Fl¨ache des halben Dreiecks:

F_D = ¹₂R² sin ^α₂ cos ^α₂ = ^R₄² sinα

Kreisabschnitt: F = F_S − 2F_D = ^R₂² (α − sinα)