24. Juli 2011

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Summenzeichen

Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik

Bettina Bieri

24. Juli 2011

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Inhaltsverzeichnis

1 Grundlagen: Summenzeichen 1

1.1 Der Aufbau des Summenzeichens . . . 1

1.1.1 Aufgaben . . . 3

1.2 Sonderf¨alle . . . 5

1.2.1 Die untere und die obere Summationsgrenze sind gleich. 5 1.2.2 Die obere Summationsgrenze ist kleiner als die untere. 5 1.2.3 Schreibweise mit Intervallen . . . 5

1.2.4 Unendliche Summen . . . 5

1.2.5 Aufgaben . . . 6

1.3 Rechenregeln f¨ur das Summenzeichen . . . 7

1.4 Ubungsmaterial . . . .¨ 7

2 Weiterf¨uhrung Summenzeichen 8 2.1 Indexverschiebung . . . 8

2.1.1 Indexverschiebung allgemein . . . 8

2.1.2 Regeln zur Indexverschiebung . . . 8

2.1.3 Aufgaben . . . 9

2.2 Doppelsummen . . . 10

2.2.1 Matrizen . . . 10

2.2.2 Doppelsummen . . . 11

2.2.3 Aufgaben . . . 12

3 Vollst¨andige Induktion und spezielle Summen 13 3.1 Beweise . . . 13

3.2 Vollst¨andige Induktion . . . 14

3.2.1 Allgemeines Vorgehen bei vollst¨andiger Induktion . . . 14

3.2.2 Beispiel . . . 14

3.3 Spezielle Summen . . . 15

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Kapitel 1

Grundlagen: Summenzeichen

Auch im Grundlagenfach werdet ihr dem Summenzeichen begegnen. Aller- dings wird dieses dort nur sehr oberfl¨achlich behandelt, daher werden wir uns in diesem Kurs etwas detaillierter damit befassen. Im Studium werden lange Summen nie ausgeschrieben - es wird immer das Summenzeichen verwendet.

Daher ist es wichtig, dass ihr mit dieser Schreibweise gut vertraut werdet.

1.1 Der Aufbau des Summenzeichens

Wenn man lange Summen aufschreiben will, benutzt man das Summenzei- chen.

Beispiel P4

i=1(2ⁱ−i) = (2¹−1) + (2²−2) + (2³−3) + (2⁴−4) = 1 + 2 + 5 + 12 Natürlich kann man bei diesem Beispiel die Summe auch ausschreiben. Wenn wir uns nun aber vorstellen, dass wir alle ungeraden Zahlen bis 99 summieren möchten, würde dies sehr mühsam. Mit dem Summenzeichen geht auch das sehr einfach:

P50

i=1(2i−1).

Allgemeine Definition

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Erkl¨arung Das P

ist ein grosser, griechischer Buchstabe und heisst Sigma. Wenn wir ihn aber wie oben beschrieben verwenden, nennen wir ihn Summenzeichen.

i=1 bedeutet, dass wir beim Summieren mit 1 beginnen. Danach wird das i bei jedem Summanden um eins erh¨oht, bis wir bei derjenigen Zahl angelangt sind, welche oberhalb des Summenzeichens steht. Dort h¨oren wir mit dem Summieren auf.

Die Summenzeichendarstellung besteht aus folgenden Elementen:

1. Bildungsgesetz der Summanden (im Beispiel: 2ⁱ−i)

2. Summationsvariable oder Laufindex mit Werten aus N(im Beispiel: i) 3. Summationsanfang oder untere Summationsgrenze (im Beispiel:i= 1) 4. Summationsende oder obere Summationsgrenze (im Beispiel: 4)

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1.1.1 Aufgaben

Aufgabe 1

Rechne die folgenden Ausdr¨ucke aus:

a) P3 i=1 4ⁱ b) P6

i=2 i c) P500

i=1 2i d) P2

i=1 log₂(i) e) P7

i=1(¹_i − _i+1¹ ) f) Pn

i=1 i g) Pn

i=0 i

Aufgabe 2

Schreibe die folgenden Summen mithilfe des Summenzeichens:

a) 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 b) 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21

c) −1 + 2−3 + 4−5 + 6−7 + 8 d) −¹₂ + ¹₄ −¹₈ +₁₆¹ − ₃₂¹

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1.2 Sonderf¨ alle

1.2.1 Die untere und die obere Summationsgrenze sind gleich.

In diesem Fall besteht die Summe aus nur einer Zahl:

Pj

i=j a_i =a_j.

1.2.2 Die obere Summationsgrenze ist kleiner als die untere.

In diesem Fall ist das Ergebnis der Summe 0:

F¨urn < j gilt: Pn

i=ja_i = 0.

1.2.3 Schreibweise mit Intervallen

Sei i ∈ I, I eine Teilmenge der ganzen Zahlen und ai, i ∈ I reelle Zahlen, dann ist

P

i∈I

die Summe aller Zahlen a_i, deren Index i in der Menge I enthalten ist.

Beispiel

Sei I ={1,2,3,4}. Dann gilt:

P

i∈I a_i =P4

i=1 a_i =a₁ +a₂+a₃+a₄.

1.2.4 Unendliche Summen

Eine Summe muss nicht immer eine obere Grenze haben. Es gilt:

P

i∈N a_i =P∞

i=1 a_i =a₁+a₂+a₃+....

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1.2.5 Aufgaben

Berechne die folgenden Summen:

a) P0 i=0 2 b) P9

i=10 1 i²−14i+8

c) P

i∈I i, I ={2,5,10,20}

d) P

i∈I 1

i², I ={k|k = 2n, n∈N, n <4}

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1.3 Rechenregeln f¨ ur das Summenzeichen

Seien a₁, ..., a_n, b₁, ..., b_n, c, d reelle Zahlen und n eine nat¨urliche Zahl. F¨ur das Summenzeichen gelten folgende Rechenregeln:

1. Assoziativit¨at der Addition:

Pn

i=1 a_i =Pk

i=1 a_i+Pn

i=k+1 a_i mit k ∈ {1, ..., n}

2. Distributivit¨at:

Pn

i=1(c·a_i) = c·(Pn i=1 a_i) 3. Kommutativit¨at der Addition:

Pn

i=1(ai +bi) =Pn

i=1 ai+Pn i=1 bi

4. Kombination aus Kommutativit¨at und Distributivit¨at:

Pn

i=1(c·a_i+d·b_i) = c·Pn

i=1 a_i+d·Pn i=1 b_i

Es handelt sich dabei nicht um etwas Neues, sondern um die bereits bekannten Regeln, welche f¨ur die Addition mit wenigen Summanden bestens bekannt sind.

1.4 Ubungsmaterial ¨

Falls ihr noch mehr ¨uben m¨ochtet, findet ihr Material auf verschiedenen In- ternetseiten. Zwei Beispiele gebe ich hier an.

Ein ¨Ubungsblatt mit L¨osungen gibt es unter:

https://home.zhaw.ch/ maz/Auf gaben/F olgenReihen/Summenzeichen.pdf (Sinnvoll f¨ur euch sind die Aufgaben bis und mit Aufgabe 4.)

Online-Aufgaben gibt es unter:

http://vilespc01.wiwi.uni−oldenburg.de/navtest/viles1

(Deskriptive Statistik, Einf¨uhrung und Grundlagen, Rechnen mit dem Sum- menzeichen)

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Kapitel 2

Weiterf¨ uhrung Summenzeichen

2.1 Indexverschiebung

Gelegentlich ist es n¨utzlich, die Summationsgrenzen zu verschieben. Wie dies funktioniert ist an folgendem Beispiel gut ersichtlich:

P2

i=1 a_i =a₁+a₂ =a3−2+a4−2 =P4

i=3 ai−2.

2.1.1 Indexverschiebung allgemein

Pn

i=1 a_i =Pn−1

i=0 a_i+1 =Pn+1

i=2 ai−1 =...

oder noch allgemeiner: F¨ur jede nat¨urliche Zahl k gilt:

Pn

i=1 a_i =Pn−k

i=1−k a_i+k =P1+k

i=1+k ai−k

2.1.2 Regeln zur Indexverschiebung

Bei einer Indexverschiebung sind folgende Regeln zu beachten:

1. Die obere und die untere Summationsgrenze werden um den selben Wert erniedrigt bzw. erh¨oht.

2. Der Summationsindex i wird in der Summation bei jedem Auftreten durch i+k bzw. i−k ersetzt. Dabei ist insbesondere auf Minuszeichen vor dem Index i zu achten (1−i wird zu 1−(i+k) = 1−i−k bzw.

zu 1−(i−k) = 1−i+k).

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2.1.3 Aufgaben

Berechne die folgenden Summen m¨oglichst einfach mithilfe einer Indexver- schiebung:

a) P4

i=1(i−1) b) P10

i=3(2i−3)−2P8

i=1 i−8 c) Pn

i=1(a_i −a_i−1)

(Diese Art von Summen werden als Teleskopsummen bezeichnet.)

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2.2 Doppelsummen

In der Praxis kommt es oft vor, dass man zwei Summenzeichen hintereinander hat. Wir sprechen dann von Doppelsummen. Um Doppelsummen machen zu k¨onnen, brauchen wir doppelindizierte Zahlen. Es handelt sich dabei um Zahlen, welche in einer sogenannten Matrix angeordnet sind.

2.2.1 Matrizen

Matrizen sind rechteckige Gebilde, in denen Zahlen angeordnet sind.

Definition: Matrix

Eine rechteckige Anordnung von m·n Zahlena_ik inm Zeilen undn Spalten wird (m×n)−Matrix (Mehrzahl Matrizen) genannt. Man schreibt:

A=







a₁₁ a₁₂ · · · a_1n a₂₁ a₂₂ · · · a_2n ... ... . .. ... ... ... . .. ... a_m1 a_m2 · · · a_mn





 .

Die Zahlen a_ik heissen Komponenten von A. Das Element a_ik bezeichnet das Element in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte von A. Oft wird dieses Element auch mit (A)_ik bezeichnet.

Beispiel

Sei die Matrix A =





1 5 2

−1 0 1 3 2 4



 gegeben. Dann gilt:

a₁₁= 1, a₁₂ = 5, a₁₃ = 2, a₂₁=−1,a₂₂= 0, usw.

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2.2.2 Doppelsummen

Wenn wir nun alle Zahlen der oberen Matrix summieren wollen, brauchen wir eine Doppelsumme:

P3 i=1

P3

j=1 a_ij =P3

i=1(a_i1+a_i2+a_i3)

= (a₁₁+a₁₂+a₁₃) + (a₂₁+a₂₂+a₂₃) + (a₃₁+a₃₂+a₃₃)

= (1 + 5 + 2) + (−1 + 0 + 1) + (3 + 2 + 4) = 17 Rechenregeln f¨ur Doppelsummen

Auch bei Doppelsummen gilt die Kommutativit¨at:

Seien n, m natürliche Zahlen und a_ij füri, j ∈N, i≤n, j≤m reelle Zahlen, dann gilt für die Doppelsumme:

Pm i=1

Pn

j=1 a_ij =Pn j=1

Pm i=1 a_ij.

Es spielt also keine Rolle, ob die Zahlen a_ij zunächst zeilenweise summiert werden und dann die Summe über die Zeilensummen gebildet wird, ober ob zunächst spaltenweise summiert wird und dann die Summe über die Spalten- summen gebildet wird.

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2.2.3 Aufgaben

Berechne die folgenden Doppelsummen:

a) P1 i=0

P3 j=2 aij

b) P2 i=1

P5

j=1(2ij) c) P2

i=0

P3

j=2(2^j·i)

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Kapitel 3

Vollst¨ andige Induktion und spezielle Summen

Einige spezielle Summen lassen sich durch einfachere Formeln ersetzen. Da in der Mathematik nichts verwendet werden sollte, das man nicht bewiesen hat, werden wir hier zuerst eine wichtige Beweistechnik kennenlernen, sodass wir danach die Formeln, welche zu den speziellen Summen geh¨oren, auch beweisen k¨onnen.

3.1 Beweise

Es gibt vier wichtige Beweistechniken.

1. Beweis durch Beispiel

Diese Art von Beweisen ist sehr einfach, klappt nur bei ganz bestimm- ten Aussagen. Z.B.: Aussage: Es gibt Zahlen, die nicht durch zwei teilbar sind. Beweis: 3 ist eine Zahl und nicht durch zwei teilbar.

2. Direkter Beweis

Beim direkten Beweis wird von bereits bekannten Dingen aus schritt- weise auf die Aussage geschlossen.

3. Indirekter Beweis

Beim indirekten Beweis nimmt man das Gegenteil der Aussage an und beweist, dass dieses nicht sein kann.

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3.2 Vollst¨ andige Induktion

Diese Beweistechnik wird immer dann angewendet, wenn man etwas f¨ur alle nat¨urlichen Zahlen beweisen will.

3.2.1 Allgemeines Vorgehen bei vollst¨ andiger Induktion

Nennen wir die für eine natürliche Zahl n gemachte Aussage A_n. Falls es gelingt zu zeigen, dassA1 wahr ist und dass für alle natürlichen Zahlen n die RichtigkeitA_n+1 aus der angenommenen Richtigkeit vonA_n gefolgert werden kann, dann ist der folgende Satz bewiesen: A_n ist wahr für alle natürlichen Zahlen n.

3.2.2 Beispiel

Behauptung

F¨ur alle nat¨urlichen Zahlen n gilt die folgende Formel:

Pn

i=1 i= ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ .

Solche Summen heissen arithmetische Summen.

Beweis

n=1 P1

i=1 i= 1 = ¹⁽¹⁺¹⁾₂ √

ny n+1

Wir können nun annehmen, dass die Behauptung für n gilt. Unter dieser Vor- aussetzung müssen wir nun beweisen, dass die Behauptung auch für n=n+1 richtig ist.

Es ist also noch zu zeigen:

Pn+1

i= (n+1)((n+1)+1)

.

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Dazu gehen wir folgendermassen vor:

Pn+1

i=1 i=Pn

i=1 i+ (n+ 1) = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ + (n+ 1) = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ +²⁽ⁿ⁺¹⁾₂ = n(n+1)+2(n+1) 2

= ⁿ²^+n+2n+2₂ = ⁿ²⁺³ⁿ⁺²₂ = ^(n+1)(n+2)₂ = (n+1)((n+1)+1)

2

(Das zweite Gleichheitszeichen ist korrekt, da wir ja annehmen d¨urfen, dass die Behauptung f¨ur n gilt.)

3.3 Spezielle Summen

Im folgenden Unterkapitel werden Formeln f¨ur bestimmte Summen angege- ben. Diese sollen auch gleich direkt oder mithilfe von vollst¨andiger Induktion bewiesen werden.

3.3.1 Aufgaben

Beweise folgende Formeln direkt oder mit vollst¨andiger Induktion:

a) Sei c∈R. Dann gilt∀n ∈N: Pn

i=1 c=n·c.

b) Sei c∈R. Dann gilt∀n, j ∈N: Pn

i=j c= (n−j + 1)·c.

c) Es gilt∀n ∈N: Pn

i=1 i² = n(n+1)(2n+1)

6 .

d) Sei c∈R. Dann gilt∀n ∈N: Pn

i=0 cⁱ = ^1−c_1−cⁿ⁺¹.

(Solche Summen heissen geometrische Summen. Diese beweisen wir nicht mit vollst¨andiger Induktion, sondern direkt mit einem Trick. Wir beginnen damit, dass wir uns die Summe (1−c)Pn

i=0 cⁱ anschauen.) e) Es gilt∀n ∈N:

Pn

k=1 k³ = (¹₂n(n+ 1))²

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3.4 Ubungsmaterial ¨

Falls ihr noch mehr ¨uben m¨ochtet, findet ihr Material auf verschiedenen In- ternetseiten. Drei Beispiele gebe ich hier an.

Erkl¨arungen der Theorie mit Beispielen findet ihr unter:

http://delphi.zsg−rottenburg.de/vollstind.html und unter:

http://www.mathematik.de/ger/f ragenantworten/erstehilf e/induktion /induktion.html.

Viele Aufgaben mit L¨osungen findet ihr unter:

http://www.emath.de/Ref erate/induktion−auf gaben−loesungen.pdf (Speziell die Aufgaben aus B entsprechen unserem Thema. Allenfalls kann es aber interessant sein, die Vollst¨andige Induktion auch an Aufgaben anzu- schauen, die nichts mit Summen zu tun haben.)

Literaturverzeichnis

E. Cramer, J. Ne˘slehov´a, Vorkurs Mathematik, Springer-Verlag, Berlin Hei- delberg, 2009

H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, B. G. Teubner, Stuttgard, 1990