Heilbronn, den 25.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Digitale Signalverarbeitung und Mustererkennung
Blatt 4
Zu bearbeiten bis 1.11.2021
Name: Matrikelnr.:
Aufgabe 1. Das Modulationstheorem der Fourier Transformation besagt f(t) cos(ˆωt) c s 1
2(F(ω−ω) +ˆ F(ω+ ˆω)).
Schauen Sie sich die Herleitung dieses Theorems an und zeigen Sie in gleicher Weise, dass
f(t) sin(ˆωt) c s 1
2j(F(ω−ω)ˆ −F(ω+ ˆω)).
Diese Theoreme kann man nutzen, um in einem Frequenzbandzweireelle Signalef(t) undg(t) gleichzeitig zu übertragen. Diese Methode nennt sich Quadraturamplitudenmodulation.
• Der Sender moduliertf(t) mit cos(ˆωt) undg(t) mit sin(ˆωt) und ad- diert beide Signale.
• Wenn der Empfängerf(t) erhalten möchte, demoduliert er mit cos(ˆωt).
• Wenn der Empfängerg(t) erhalten möchte, demoduliert er mit sin(ˆωt).
Dies sieht man wie folgt: Das Sendersignal sei
h(t) = f(t) cos(ˆωt) +g(t) sin(ˆωt).
• Zeigen Sie, dass h(t) cos(ˆωt) c s
1
2F(ω) +1
4(F(ω−2ˆω) +F(ω+ 2ˆω) +jG(ω−2ˆω)−jG(ω+ 2ˆω))
| {z }
Komponenten im 2ˆωBand
Nach Tiefpassfilterung und Multiplikation mit 2 erhält man somit f(t).
• Zeigen Sie, dass h(t) sin(ˆωt) c s
1
2G(ω) +1
4(−jF(ω−2ˆω) +jF(ω+ 2ˆω)−G(ω−2ˆω)−G(ω+ 2ˆω))
| {z }
Komponenten im 2ˆωBand
Nach Tiefpassfilterung und Multiplikation mit 2 erhält man somit g(t).
1
Aufgabe 2. In der Vorlesung wurde die Fourier Transformierte Fp(ω) von fp(t) = f(t)p(t) mit Hilfe des Frequenzverschiebungssatzes der Fourier Transformation hergeleitet:
fp(t) =f(t)p(t) c s 1 Ts
∞
X
k=−∞
F(ω−kωs) =Fp(ω).
Alternativ hätte man Fp(ω) auch unter Verwendung des Faltungssatzes der Fourier Transformation im Frequenzbereich herleiten können.
f(t)p(t) c s 1
2π(F∗P)(ω).
In einer früheren Aufgabe wurde P(ω) = ωs
∞
X
k=−∞
δ(ω−kωs)
berechnet. Führen Sie nun die Faltung (F ∗P)(ω) durch und zeigen Sie, dass in der Tat
Fp(ω) = 1
2π(F∗P)(ω).
Aufgabe 3. (Änderung der Abtastfrequenz)Mit der in der Vorlesung her- geleiteten Formel
f(t) =
∞
X
n=−∞
fnsinc(n−t/Ts)
kann aus den Abtastwertenfn das analoge Signalf(t) exakt rekonstruiert werden.
Dies kann auch dazu benutzt werden, um die Abtastfrequenz eines Signals f(t) zu ändern. Leiten Sie eine Formel her, mit der aus den Abtastwerten fn mit Abtastfrequenz ωs neue Abtastwerte fn0 des selben Signals f(t) mit Abtastfrequenzω0sberechnet werden können. Sie dürfen voraussetzen, dass f(t) bandbegrenzt mit Grenzfrequenz ˆω ist und die alte und neue Abtastfrequenzωs undω0sgrößer als 2ˆω ist.
Wählen Sie eine geeignete Approximation um die unendliche Summe in eine endliche Summe zu überführen und programmieren Sie eine Funktion für die Änderung der Abtastfrequenz. Die Funktion soll als Input eine end- liche Folgefn sowie die alte und neue Abtastfrequenzωsbzw.ωs0 nehmen und die neue Folge von Abtastwertenfn0 zurückgeben.
Verifizieren Sie Ihr Programm anhand einer einfachen Funktion wie z.B.
f(t) = cos(ˆωt) undωs, ω0s>2ˆω. Die Abtastwerte sind dann f` = f(`Ts)
= cos(ˆω`Ts).
Die Abtastwerte mit neuer Abtastfrequenzω0smüssen dann f`0 ≈ f(`Ts0)
= cos(ˆω`Ts0) sein.
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Aufgabe 4. (Digitaler Tiefpass)In der Vorlesung wurde folgendes gezeigt:
Seif(t) ein bandbegrenztes Signal mit Grenzfrequenz ˆω. Für die Abtast- frequenzωs gelteωs>2ˆω. Seip(t) der Impulszug mit Periodendauer Ts
und
fp(t) = f(t)p(t).
SeiG(ω) die Übertragungsfunktion des Tiefpassfilters mit Cutoff Frequenz ωs/2 und VerstärkungsfaktorTs, d.h.
G(ω) =
Ts falls|ω|< ωs/2 0 sonst.
Dann gilt
F(ω) = Fp(ω)G(ω).
Für die Impulsantwortg(t) gilt
G(ω) s c g(t)
= sinc(t/Ts) und damit
f(t) = (fp∗g)(t)
=
∞
X
n=−∞
fnsinc(t/Ts−n)
für allet. Man kann also das analoge Signalf(t) aus den Abtastwertenfn
durch Faltung mitg(t) rekonstruieren. Der Tiefpassfilterg(t) wird daher auch Rekonstruktionsfilter genannt.
Es soll nun ein Tiefpass Filter u(t) mit Cutoff Frequenz ωc berechnet werden wobeiωc <ω. Die Übertragungsfunktion istˆ
U(ω) =
1 falls|ω|< ωc
0 sonst.
Skizzieren SieU(ω) undG(ω) in einem Bild und zeigen Sie, dass U(ω)G(ω) = TsU(ω).
Für die Tiefpassfilterung mit Cutoff Frequenzωc im Frequenzbereich gilt somit
F(ω)U(ω) = Fp(ω)G(ω)U(ω)
= Fp(ω)TsU(ω).
Um die Tiefpassfilterung im Zeitbereich durchführen zu können, müssen Sie nun folgende Schritte durchführen:
• Berechnen Sieu(t) durch inverse Fourier Transformation ausU(ω).
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• Berechnen Sie das Tiefpass gefilterte Signal h(t) durch Faltung im Zeitbereich mit
h(t) = (f∗u)(t)
= Ts(fp∗u)(t)
• Falls die Cutoff Frequenzωc des Tiefpassfiltersu(t) genau gleich der Cutoff Frequenz ωs/2 des Rekonstruktionsfilters g(t) ist, muss das Tiefpass gefilterte Signal h(t) gleich dem Originalsignal f(t) sein.
Verifizieren Sie dies.
• Berechnen Sie die Abtastwertehn mit Abtastfrequenzωs aush(t).
• Falls die Cutoff Frequenzωc des Tiefpassfiltersu(t) genau gleich der Cutoff Frequenzωs/2 des Rekonstruktionsfiltersg(t) ist, müssen die Abtastwertehndes Tiefpass gefilterten Signals gleich den Abtastwer- ten des Originalsignalsfn sein. Verifizieren Sie dies.
• Implementieren Sie die Tiefpassfilterung in einer Funktion, die als Ar- gument eine Folge vonN Abtastwertenfnnimmt und die Folge von den entsprechenden N Tiefpass gefilterten Abtastwertenhn zurück- gibt. Sie dürfen hierbei annehmen, dass die Folge der Abtastwertefn nach links und rechts mit unendlich vielen Nullen fortgesetzt ist und aus Aufwandsgründen die Folge un der Impulsantwort für betrags- große Werte von nmit Null approximieren.
• Wichtig: Berechnen Sie die Funktionswerte der sinc-Funktion nur einmal vorab und nicht neu für jeden Abtastwert. Der Rechenauf- wand wird sonst exorbitant.
Aufgabe 5. SeiF(ω) die Fourier Transformierte vonf(t). Überlegen Sie sich, wie sich die folgenden Operationen und Eigenschaften vonf(t) qualitativ aufF(ω) auswirken.
• f(t) wird mit einemTs-periodischen Impulszug multipliziert.
• f(t) istT0-periodisch.
• f(t) ist bandbegrenzt mit Grenzfrequenz ˆω.
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