Heilbronn, den 18.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Digitale Signalverarbeitung und Mustererkennung
Blatt 2
Zu bearbeiten bis 25.10.2021
Name: Matrikelnr.:
Aufgabe 1. Berechnen Sie die komplexen Fourier Koeffizientenzk derT = 2- periodischen Funktionf, die definiert ist durch
f(t) =e|t| für−1< t≤1
undf(t+ 2) =f(t) für alle t. Vereinfachen Sie den Term für zk so weit wie möglich.
Aufgabe 2. Die Funktion
f(t) =|sin(t)|
istT periodisch für T =π. Berechnen Sie die komplexen Fourier Koeffi- zientenzk fürf(t). Sie können die Integrale ohne Rechner lösen mit Hilfe der Gleichung
sin(t) = im(ejt) = 1
2j(ejt−e−jt).
Aufgabe 3. Berechnen Sie die Fourier KoeffizientenzkderT-periodischen Funk- tion
f(t) = 3 + cos(ωt)−4 cos(3ωt+ 2) + sin(ωt) + 2 sin(4ωt) mitω= 2π/T. Hinweis: Sie müssen hierzu nicht integrieren.
Aufgabe 4. Berechnen Sie die komplexen Fourier KoeffizientenzkderT-periodischen Sägezahn Funktionf, die definiert ist durch
f(t) = t für 0≤t < T f(t+T) = f(t) sonst
Lösen Sie die Integrale ohne Rechner. Sie benötigen hierfür Produktinte- gration.
Aufgabe 5. Berechnen Sie die komplexen Fourier Koeffizientenzk derT = 2- periodischen Funktionf, die definiert ist durch
f(t) =
t+ 1 falls−1< t <0 1 falls 0≤t≤1
undf(t+ 2) =f(t) für alle t. Lösen Sie die Integrale ohne Rechner. Sie benötigen hierfür Produktintegration.
Aufgabe 6. Berechnen Sie die komplexen Fourier Koeffizienten zk der π- periodischen Funktion
f(t) = sin(t)2.
Hinweis: Stellen Sie zunächstf(t) als Summe von komplexene-Funktionen dar.
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Aufgabe 7. Sei
f(t) c s F(ω) unda∈Rmit a >0. Zeigen Sie, dass dann gilt
f(at) c s 1 aFω
a
.
Aufgabe 8. Seif ∈R→Rund
f(t) c s F(ω).
Zeigen Sie, dass dann
f(−t) c s F(ω).
Aufgabe 9. Sei
f(t) =
t falls 0≤t≤1 0 sonst.
Berechnen Sie die Fourier TransformierteF(ω) vonf(t).
Aufgabe 10. Zeigen Sie mit Hilfe der Rechengesetze der Fourier Transforma- tion, dass
ftˆ∗g = (f∗g)ˆt
wobei der Index ˆtan einer Funktion die Verschiebung der Funktion um ˆt bedeutet, d.h.
ftˆ(t) = f(t−ˆt) für allet.
Der Beweis ist sehr kurz.
Aufgabe 11. Berechnen Sie die Fourier Transformierte von f(t) = sin(t+ 1).
Sie dürfen alle Eigenschaften der Fourier Transformation aus der For- melsammlung im Skript verwenden.
Aufgabe 12. Zeigen Sie mit Hilfe der Rechengesetze der Fourier Transforma- tion, dass
f−∗g = (f ∗g−)−
wobei das hochgestellte Minus die Zeitumkehr bedeutet, d.h.
f−(t) = f(−t).
Der Beweis ist sehr kurz.
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Aufgabe 13. Seif ∈R→Rund
f−(t) = f(−t)
für allet. Die AutokorrelationsfunktionfA vonf ist definiert durch fA = f∗f−.
• Zeigen Sie, dass
fA(0) = Z ∞
−∞
f(t)2dt.
• Zeigen Sie unter Verwendung vonf−(t)c sF(ω) und dem Faltungs- satz, dass
fA(t) c s |F(ω)|2.
• Die inverse Fourier Transformation von |F(ω)|2 ist
|F(ω)|2 s c 1 2π
Z ∞
−∞
|F(ω)|2ejωtdω.
Daraus folgt
fA(t) = 1 2π
Z ∞
−∞
|F(ω)|2ejωtdω.
Zeigen Sie, dass hieraus für den Spezialfallt= 0 die sog. Parsevalsche Gleichung
Z ∞
−∞
f(t)2dt = 1 2π
Z ∞
−∞
|F(ω)|2dω
folgt.
Aufgabe 14. Berechnen Sie die Fourier Transformierte der Funktion cos(2t) sin(3t)
auf folgende 3 Arten:
• Unter Verwendung von komplexene-Funktionen für die Cosinus- und Sinusfunktion.
• Unter Verwendung des Modulationssatzes
f(t) cos(ˆω)t c s 1
2(F(ω−ω) +ˆ F(ω+ ˆω)).
• Unter Verwendung des Faltungssatzes im Frequenzbereich f(t)g(t) c s 1
2π(F∗G)(ω).
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