Übungen zu Digitale Signalverarbeitung und Mustererkennung mit Musterlösungen

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Heilbronn, den 1.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Digitale Signalverarbeitung und Mustererkennung mit Musterlösungen

Blatt 5

Aufgabe 1. Lösen Sie die Projektaufgabe bis auf die schnelle Faltung. Ersetzen Sie die schnelle Faltung, die Sie für die Tiefpass Filterung brauchen, durch eine Faltung im Zeitbereich.

Lösung von Aufgabe 1. Programmieraufgabe.

Aufgabe 2. Die Impulsantwort des idealen Tiefpassfilters ist unendlich lang.

Folglich ist die ideale Tiefpassfilterung praktisch nicht realisierbar. Durch ein Rechteckfenster kann die Impulsantwort in einen endlichen Bereich ausgeschnitten werden.

• Das Rechteckfenster fürt=−ˆt . . .tˆist im Zeitbereich definiert durch r(t) =

0 falls|t| ≥tˆ 1 sonst.

Die Multiplikation mit dem Rechteckfenster im Zeitbereich entspricht einer Faltung im Frequenzbereich. Berechnen Sie die Fourier Trans- formierte R(ω). Der Ergebnisterm vereinfacht sich, wenn Sie die si- Funktion verwenden.

• Die Fehler, die durch die Fensterung entstehen, lassen sich durch das Hammingfenster reduzieren. Das Hammingfenster für t=−ˆt . . .ˆtist im Zeitbereich definiert durch

˜ r(t) =

0 falls|t| ≥ˆt

a+bcos(πt/ˆt) sonst

wobei a = 0.54 und b = 0.46. Skizzieren Sie das Hammingfenster im Zeitbereich und berechnen Sie seine Fourier Transformierte ˜R(ω).

Der Ergebnisterm wird übersichtlicher, wenn man si-Funktionen ver- wendet undωˆt durchxabkürzt. Vergleichen SieR(ω) und ˜R(ω).

Lösung von Aufgabe 2.

1

(2)

• Rechteckfenster. Fürω6= 0 gilt R(ω) =

Z ∞

−∞

r(t)e^−jωtdt

= Z ^ˆt

−ˆt

e^−jωtdt

= 1

−jω

e^−jωt^ˆ^t

−ˆt

= −2 ω

1 2j

e^−jω^ˆ^t−e^jω^ˆ^t

= 2

ω 1 2j

e^jω^ˆ^t−e^−jω^t^ˆ

= 2

ωsin(ωˆt)

= 2ˆtsin(ωˆt) ωtˆ

= 2ˆtsi(ωt).ˆ Fürω= 0 ist

R(ω) = Z ^ˆt

−ˆt

e⁰dt = 2ˆt = 2ˆtsi(0ˆt).

Damit ist

R(ω) = 2ˆtsi(ωt)ˆ für alleω∈R.

• Hammingfenster.

R(ω)˜ = Z ∞

−∞

r(t)e˜ ^−jωtdt

= Z t^ˆ

−ˆt

(a+bcos(πt/ˆt)e^−jωtdt

= a Z ^ˆt

−tˆ

e^−jωtdt+b Z t^ˆ

−ˆt

cos(πt/ˆt)e^−jωtdt.

Aus dem vorigen Teil der Aufgabe erhält man a

Z t^ˆ

−ˆt

e^−jωtdt = a2ˆtsi(ωˆt) = aR(ω).

2

(3)

Weiter ist b

Z t^ˆ

−ˆt

cos(πt/t)eˆ ^−jωtdt = b 2

Z ^ˆt

−ˆt

e^jπt/ˆ^t+e^−jπt/ˆ^t

e^−jωtdt

= b

2 Z ^ˆt

−ˆt

e^{−j(ω−π/}^ˆ^t)t+e^−j(ω+π/^t)t^ˆ dt

= b

−2j(ω−π/ˆt) h

e^{−j(ω−π/}^ˆ^t)ti^ˆ^t

−tˆ

+ b

−2j(ω+π/ˆt)

he^−j(ω+π/^t)t^ˆ i^ˆ^t

−ˆt

= − b

ω−π/tˆ 1 2j

e^{−j(ω−π/}^ˆ^t)ˆ^t−e^j(ω−π/^ˆ^t)ˆ^t

− b

ω+π/ˆt 1 2j

e^{−j(ω+π/ˆ}^t)ˆ^t−e^j(ω+π/ˆ^t)ˆ^t

= bˆt ωˆt−π

1 2j

e^j(ω^ˆ^t−π)−e^−j(ω^ˆ^t−π) + bˆt

ωˆt+π 1 2j

e^j(ω^ˆ^t+π)−e^−j(ω^t+π)^ˆ

= bˆt

ωˆt−πsin(ωˆt−π) + btˆ

ωˆt+πsin(ωˆt+π)

= bˆtsi(ωtˆ−π) +bˆtsi(ωˆt+π).

Damit ist

R(ω)˜ = a2ˆtsi(ωˆt)

| {z }

R(ω)

+btˆsi(ωˆt−π) +bˆtsi(ωˆt+π).

Mit der Abkürzungx=ωtˆerhält man

R(ω)˜ = ˆt(2asi(x) +bsi(x−π) +bsi(x+π)).

Da die si-Funktion Vorzeichenwechsel bei ganzzahligen Vielfachen von πhat, bewirken die umπverschobenen si-Funktionen si(x−π) und si(x+π), dass die Nebenkeulen von si(x) bei geeigneten Ge- wichtsfaktoren a, b weitgehend verschwinden. Das Kriterium beim Hammingfenster ist

a+b = 1

2asi(x) +bsi(x−π) +bsi(x+π) = 0 fürx= 5π/2 und man erhält

a=25

46 ≈0.54, b=21

46 ≈0.46.

3

(4)

x

−2π −π π 2π 3π

si(x−π) si(x)

2asi(x) +bsi(x−π) +bsi(x+π)

x

5π/2

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