Das skalare Feld φ und die dazugeh¨orige konjugierte Impulsdichte π k¨onnen mit Hilfe von Erzeugungs- und Vernichtungoperatoren f¨ ur die einzelnen Fourierkomponenten in der Form

PD Dr. M. Buballa Institut f¨ ur Kernphysik

Einf¨ uhrung in die Quantenfeldtheorie

SS 2011, 3. ¨ Ubungsblatt

6. Mai 2011 Aufgabe 6:

Das skalare Feld φ und die dazugeh¨orige konjugierte Impulsdichte π k¨onnen mit Hilfe von Erzeugungs- und Vernichtungoperatoren f¨ ur die einzelnen Fourierkomponenten in der Form

φ(x) =

Z d ³ p (2π) ³

1 p 2ω p

a _p + a ^† _−p e ^ip·x

π(x) =

Z d ³ p (2π) ³ (−i)

r ω _p 2

a _p − a ^† _−p e ^ip·x

dargestellt werden. Leiten Sie unter Verwendung der Kommutationsrelation f¨ ur die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren,

h a p , a ^† _p

i

= (2π) ³ δ ⁽³⁾ (p − p ^′ ) , a p , a _p

= h a ^† _p , a ^† _p

i

= 0 , die Kommutationsrelation [φ(x), π(x ^′ )] = iδ ⁽³⁾ (x − x ^′ ) ab.

Aufgabe 7:

Wie in der Vorlesung gezeigt wurde, ist die Hamiltondichte f¨ ur ein freies skalares Feld durch H = 1

2 h

π ² + ( ∇φ) ~ ² + m ² φ ² i

gegeben. Zeigen Sie, dass sich die Hamiltonfunktion unter Verwendung der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren als

H =

Z d ³ p (2π) ³ ω _p

a ^† _p a _p + 1 2

h

a _p , a ^† _p i

schreiben l¨asst.

Aufgabe 8:

Zeigen Sie, dass sich der Korrelator D(x − y) des freien skalaren Feldes φ(x) ≡ φ(t, x) (Heisenberg-Bild!) in der Form

D(x − y) = h0|φ(x)φ(y)|0i =

Z d ³ p (2π) ³

1

2E _p e ^{−ip·(x−y)} darstellen l¨asst.

1

Aufgabe 9:

Zeigen Sie, dass

φ(t, ~ x) = e ^{−i ~ P ·~ x} φ(t, 0) e ^{i ~ P ·~ x}

gilt. Gehen Sie dazu analog zur in der Vorlesung diskutieren Zeitentwicklung im Heisenberg- Bild vor.

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