u0 = 13 1 u+2u x 2

Analysis II: L¨osung zu Aufgabe 7: ¨Ubungsblatt DGL 1. Ordnung 7a)y⁰= x²+ 5y²

3x y = ¹₃^x_y + ⁵_3x^y 1. Verfahren: Substitution

u= y

x =⇒ f(u) = 1 3 1 u +5

3u Einsetzen in Formel:

u⁰ =

1 3 1 u+⁵₃u−u

x

=⇒ u⁰ = ¹₃

1 u+2u

x

2. Trennung der Variablen

du

dx = ¹₃

1 u+2u

x

=⇒ ^R ₁^du

u+2u = ¹₃^{R dx}_x

=⇒ ^R ₁^12u

2+u²du = ¹₃^{R dx}_x

=⇒ ¹₄ln¹₂+u² = ¹₃(ln|x|+ ln|C|)

=⇒ ln¹₂ +u² = ⁴₃ln|Cx|

=⇒ ln¹₂ +u² = ln|Cx|⁴³

=⇒ ¹₂+u² = (C^∗x)⁴³

=⇒ u² = (C^∗x)⁴³ −¹₂ 3. R¨ucksubstitution

y²

x² = (C^∗x)⁴³ −¹₂

=⇒ y² = Kx¹⁰³ −¹₂x²

y1= r

Kx¹⁰³ −1

2x², y2 =− r

Kx¹⁰³ −1 2x²

7b) xy⁰−y=x² cosx, AB:y(π) = 2π Verfahren: Variation der Konstanten

Normalform der linearen Differentialgleichung:

y⁰−y

x =x cosx 1. L¨osung der homogenen Differentialgleichung

y⁰_h− ^y_x^h = 0

=⇒ y_h = Ce⁻ R(−¹

x)dx

=⇒ yh = Ce^ln|x|

=⇒ y_h = Kx

2. Variation der Konstanten (a) y =K(x)x

(b) Ableiten und Einsetzen:

y⁰ = K⁰(x)x+K(x)

=⇒ x(K⁰(x)x+K(x))−K(x)x = x²cosx

=⇒ x²K⁰(x) = x²cosx

=⇒ K⁰(x) = cosx

(c) Integrieren

K(x) = Z

cosxdx= sinx+C (d) Allgemeine L¨osung

y= (sinx+C)x=xsinx+Cx Anfangsbedingung:

y(π) = 2π

=⇒ πsinπ+Cπ = 2π

=⇒ Cπ = 2π

=⇒ C = 2

Spezielle L¨osung:

y_s=xsinx+ 2x

7c)y⁰−4y = 5 sinx

Verfahren: Aufsuchen der partikul¨aren L¨osung (Var. der Konstanten w¨are auch mglich)

1. L¨osung der homogenen Differentialgleichung

y_h =Ke^4x 2. Aufsuchen der partkul¨aren L¨osung

(a) Ansatzfunktion

yp = C1sinx+C2cosx y⁰_p = C₁cosx−C₂sinx

(b) Einsetzen

C₁cosx−C₂sinx−4(C₁sinx+C₂cosx) = 5 sinx

=⇒ (C1−4C2) cosx(−4C₁−C2) sinx = 5 sinx (c) Koeffizientenvergleich

C1−4C2 = 0

−4C₁−C2 = 5

=⇒ C₁ =−20

17, C₁ =− 5 17 (d) Partikul¨are L¨osung

yp =−20

17sinx− 5 17cosx 3. Allgemeine L¨osung

y=yh+yp =Ke^4x−20

17sinx− 5 17cosx

7d) y⁰sinx=ylny, AB: y(^π₂) = 1 Verfahren: Trennung der Variablen

y⁰ = ^y_sin^ln_x^y

=⇒ ^dy_dx = ^y_sin^ln_x^y

=⇒ ^R _y^dy_lny = ^R _sin^dx_x

=⇒ ln|ln|y|| = ln|tan^x₂|+ ln|C|

=⇒ ln|ln|y|| = ln|Ctan^x₂|

=⇒ ln|y| = Ktan^x₂

=⇒ y = ±e^Ktanx2

aus der AB folgt:

=⇒ y = +e^Ktanx2 Anfangsbedingung:

y(^π₂) = 1

=⇒ e^Ktanπ4 = 1

=⇒ K = 0

Spezielle L¨osung:

y_s= 1

7e) _dt^di + (2 sint)i = sin(2t), AB: i(0) = 0 Verfahren: Variation der Konstanten

1. L¨osung der homogenen Differentialgleichung

di

dt+ (2 sint)i = 0

=⇒ ih = Ke⁻

R2 sintdt

=⇒ i_h = Ke^{2 cost}

2. Variation der Konstanten (a) i =K(t)e^{2 cost}

(b) Ableiten und Einsetzen:

di

dt = K(t)e˙ ^{2 cost}+K(t)(−2 sint)e^{2 cost}

=⇒ K(t)e˙ ^{2 cost}+K(t)(−2 sint)e^{2 cost}+ (2 sint)K(t)e^{2 cost} = sin(2t)

=⇒ K(t)e˙ ^{2 cost} = sin(2t)

=⇒ K(t)˙ = sin(2t)e^{−2 cost}

(c) Integrieren (Verfahren Substitution mitu=−cost)

K(t) = ^R sin(2t)e^{−2 cost}dt= 2^Rsintcost e^{−2 cost}dt

= −2^R ue^2udu= (−2)(^e2u₂ u−^e2u₄ ) +C

= e^{−2 cost}cost+¹₂e^{−2 cost}+C (d) Allgemeine L¨osung

i = (e^{−2 cost}cost+1

2e^{−2 cost}+C)e^{2 cost}= cost+ 1

2+Ce^{2 cost} Anfangsbedingung:

i(0) = 0

=⇒ cos 0 + ¹₂ +Ce^{2 cos 0} = 0

=⇒ 1 +¹₂ +Ce² = 0

=⇒ Ce² = −³₂

=⇒ C = −³₂e⁻²