7. L¨osung weitere ¨ Ubungsaufgaben Statistik II WiSe 2019/2020
1. Aufgabe: Die durchschnittliche t¨agliche Verweildauer im Internet wurde bei 60 Studierenden (30 M¨anner und 30 Frauen) erfragt. Die Studierenden geh¨oren zu den Studieng¨angen B&L, BWL und WiW. Dabei waren es je 10 Frauen und 10 M¨anner pro Studiengang. Die Verweildauern wurden wie folgt ausgewertet:
Table of Least Squares Means for Verweildauer
Level Count Mean
GRAND MEAN 60 62,4
Geschlecht
m 30 77,2
w 30 47,6
Fach
B&L 20 56,5
BWL 20 62,9
WiW 20 67,8
Geschlecht by Fach
m,B&L 10 70,1
m,BWL 10 79,9
m,WiW 10 81,8
w,B&L 10 42,9
w,BWL 10 46,0
w,WiW 10 53,8
Analysis of Variance for Verweildauer - Type I Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS
A:Geschlecht 13185,5 1 13185,5 144,05 0,0000
B:Fach 1284,06 2 642,032 7,01 0,0020
INTERACTIONS
AB 133,501 2 66,7505 0,73 0,4870
RESIDUAL 4942,93 54 91,5357
TOTAL (CORRECTED) 19546,0 59
All F-ratios are based on the residual mean square error.
L¨osung:
a) Xijk - durchschnittliche t¨agliche Verweildauer, αi - Effekt vom Geschlecht Gr¨oße βj - Effekt vom Faktor Studiengang, γij - Wechselwirkungseffekt
µ- allgemeiner Erwartungswert, εijk - zuf¨alliger Fehler.
Modellgleichung:
Xijk =µ+αi+βj +γij +εijk
i= 1, . . . ,2(=p) j = 1, . . . ,3(=q) und k = 1, . . . ,10(=n) b) H0A : αi = 0 f¨ur alle i gegen HAA: αi 6= 0 f¨ur mindestens ein i
p= 0,0000<0,01 =α =⇒ H0A wird abgelehnt.
H0B : βj = 0 f¨ur alle j gegen HAB : βj 6= 0 f¨ur mindestens ein j p= 0,0020<0,01 =α =⇒ H0B wird abgelehnt.
H0AB : γij = 0 f¨ur alle (i, j) gegen HAAB : γij 6= 0 f¨ur mindestens ein (i, j) p= 0,4870>0,01 =α =⇒ H0AB wird angenommen.
D.h. es gibt signifikante Effekte durch das Geschlecht und durch den Studiengang, aber nicht durch Wechselwirkungen zwischen Geschlecht und Studiengang .
c) Wechselwirkungseffekt: m, BWL ˆ
γ12 = 79,9−77,2−62,9 + 62,4 = 2,2
2. Aufgabe: In einer Firma fallen t¨aglich zwei gleiche Aufgaben an. Eine der Aufgaben muss der Angestellte X erledigen und die andere der Angestellte Y. Um zu erfahren welche der Aufgaben dauerhaft welchem der beiden Angestellten zuzuordnen ist, wurde folgende Untersuchung gemacht.
In der ersten Woche hat der Angestellte X die Aufgabe 1 erledigt und der Angestellte Y die Aufgabe 2. In der zweiten Woche wurden die Aufgaben getauscht.
Die t¨aglich ben¨otigten Zeiten (in min) wurden gemessen und wie folgt ausgewertet:
Analysis of Variance for Zeit - Type I Sums of Squares
Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS
A:Aufgabe 3175,2 1 3175,2 266,82 0,0000
B:Angestellte 0,8 1 0,8 0,07 0,7987
INTERACTIONS
AB 924,8 1 924,8 77,71 0,0000
RESIDUAL 190,4 16 11,9
TOTAL (CORRECTED) 4291,2 19 All F-ratios are based on the residual mean square error.
a) Wie lautet die Modellgleichung?
L¨osung:
Xijk - ben¨otigte Zeit (in min), αi - Effekt vom FaktorAufgabe βj - Effekt vom FaktorArbeiter, γij - Wechselwirkungseffekt µ- allgemeiner Erwartungswert, εijk - zuf¨alliger Fehler.
Modellgleichung:
Xijk =µ+αi+βj +γij+εijk i= 1, ..,2, j = 1, ..,2 und k = 1, ..,5 FaktorAufgabe:p−1 = 1 =⇒ p= 2
FaktorArbeiter:q−1 = 1 =⇒ q= 2
N−1 = 19 =⇒ N = 20 =p·q·n =⇒ n= 5
b) Welche Hypothesen werden in der obigen Tabelle getestet und wie lauten die Testentscheidungen und Testergebnisse beiα= 0,01?
Die Testentscheidung trifft man durch die jeweiligen p-Werte aus der ANOVA- Tabelle:
pA= 0,0000<0,01 =α=⇒H0A ablehnen pB = 0,7987>0,01 =α=⇒H0B annehmen pAB = 0,0000<0,01 =α =⇒H0AB ablehnen
D.h. der Einflussfaktor Angestellter hat keinen signifikanten Einfluss auf die ben¨otigte Zeit. Der Einflussfaktor Aufgabe hat einen signifikanten Einfluss.
Zudem besteht ein signifikanter Einfluss durch einen Wechselwirkungseffekt zwischen den Einflussfaktoren.
c) Sch¨atzen Sie aus folgender Tabelle die Wechselwirkungseffekte beim Ange- stelltenX.
AnovaTable of Least Squares Means for Zeit
Level Count Mean
GRAND MEAN 20 91,2
Aufgabe
1 10 78,6
2 10 103,8
Angestellte
X 10 91,0
Y 10 91,4
Aufgabe by Angestellte
1,X 5 71,6
1,Y 5 85,6
2,X 5 110,4
2,Y 5 97,2
L¨osung:
Die Sch¨atzer f¨ur die Werteγij berechnen sich durch die Formel ˆ
γij = X¯ij•−X¯i••−X¯•j•+ ¯X•••
Hier:
ˆ
γ1X = 71,6−78,6−91 + 91,2 =−6,8 ˆ
γ2X = 110,4−103,8−91 + 91,2 = 6,8
d) Betrachten Sie den Interaction Plot.
Interaction Plot
Aufgabe 71
81 91 101 111 121
Zeit
1 2
Angestellte X Y
Sie wollen langfristig jedem der beiden Angestellten eine der beiden Arbeiten zuordnen. Welchem Angestellten w¨urden Sie welche Aufgabe zuordnen?
L¨osung:
Man sollte dem Arbeiter X die Aufgabe 1 und dem Arbeiter Y die Aufgabe 2 zuordnen, da Sie diese Aufgabe jeweils schneller bearbeiten als der jeweils andere Arbeiter.
3. Aufgabe: In einer Studie soll der Einfluss der Gr¨oßenklasse und des Typs des Abgasfilters auf den Ger¨auschpegel von PKW untersucht werden. Dazu wurden die Modelle nach ihrer Gr¨oße in die 3 Klassen ”klein“,
”mittel“ und
”groß“ eingeteilt.
Außerdem gibt es 3 Typen des Abgasfilters.
Analysis of Variance for Geräuschpegel - Type I Sums of Squares Source Sum of Squares Df Mean Square F-Ratio P-Value MAIN EFFECTS
A:Größe 3381,09 2 1690,55 138,52 0,0000
B:Type 401,066 2 200,533 16,43 0,0000
INTERACTIONS
AB 169,345 4 42,3362 3,47 0,0149
RESIDUAL 549,212 45 12,2047
TOTAL (CORRECTED)
4500,71 53
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a) Wie lautet die Modellgleichung?
L¨osung:
Xijk - Ger¨auschpegel, αi - Effekt vom Faktor Gr¨oße βj - Effekt vom Faktor Type, γij - Wechselwirkungseffekt µ- allgemeiner Erwartungswert, εijk - zuf¨alliger Fehler.
Modellgleichung:
Xijk =µ+αi+βj +γij+εijk i= 1, ..,3, j = 1, ..,3 und k = 1, ..,6 Faktor Gr¨oße:p−1 = 2 =⇒ p= 3
Faktor Type:q−1 = 2 =⇒ q = 3
N−1 = 53 =⇒ N = 54 =p·q·n =⇒ n= 6
b) Welche Hypothesen werden in der obigen Tabelle getestet und wie lauten die Testentscheidungen beiα= 0,03?
L¨osung:
H0A : αi = 0 f¨ur alle i gegen HAA: αi 6= 0 f¨ur mindestens ein i p= 0,0000<0,03 =α =⇒ H0A wird abgelehnt.
H0B : βj = 0 f¨ur alle j gegen HAB : βj 6= 0 f¨ur mindestens ein j p= 0,0000<0,03 =α =⇒ H0B wird abgelehnt.
H0AB : γij = 0 f¨ur alle (i, j) gegen HAAB : γij 6= 0 f¨ur mindestens ein (i, j) p= 0,0149<0,03 =α =⇒ H0AB wird abgelehnt.
D.h. es gibt signifikante Effekte durch die Gr¨oße und durch den Typ und durch Wechselwirkungen zwischen Gr¨oße und Typ.
c) Sch¨atzen Sie aus folgender Tabelle den Effekt der Gr¨oßenklasse”groß“ und den Wechselwirkungseffekt zwischen der Gr¨oßenklasse ”groß“ und dem Filtertyp 3.
Table of Least Squares Means for Geräuschpegel
Level Count Mean
GRAND MEAN 54 787,4
Größe
klein 18 794,4
mittel 18 791,6
groß 18 776,4
Type
1 18 784,5
2 18 791,1
3 18 786,7
Größe by Type
klein,1 6 790,0
klein,2 6 798,6
klein,3 6 794,6
mittel,1 6 787,6
mittel,2 6 794,1
mittel,3 6 793,1
groß,1 6 776,0
groß,2 6 780,6
groß,3 6 772,5
L¨osung:
ˆ
α3 = 776,4−787,4 = −11 ˆ
γ33 = 772,5−776,4−786,7 + 787,4 =−3,2 d) Betrachten Sie den Interaction Plot.
Interaction Plot
Größe 770
775 780 785 790 795 800
Geräuschpegel
klein mittel groß
Type 1 2 3
