Potsdam, 12.11.2000
Mathematik für Biologen
Kontrollfragen zur Prüfungsvorbereitung
1. Was sind lineare Funktionen, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen und deren Umkehrfunktionen? Geben Sie die Graphen für die genannten Funktionen an! Geben Sie Beispiele für die Anwendung solcher Funktionen bei der Modellierung an! Gehen Sie dabei auf die Parameteranpassung und auf die Ausgleichsrechnung ein!
2. Was sind Zahlenfolgen und wozu dienen sie? Erläutern Sie den Begriff der Konvergenz.
Geben Sie Kriterien für die Konvergenz und einschlägige Grenzwertsätze an! Was versteht man unter einer Reihe? Wann heißt eine Reihe konvergent bzw. divergent? Wie lässt sich die Zahl e definieren, und was ist die Exponentialreihe?
3. Wie ist die Ableitung einer Funktion f an einer Stelle x0 definiert? Was versteht man unter der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x0? Was bedeutet „Linearisierbarkeit im Kleinen“ (WEIERSTRASSsche Zerlegungsformel), und welche Anwendungen kennen Sie?
4. Geben Sie notwendige bzw. hinreichende Bedingungen für das Vorliegen eigentlicher lokaler Extremwerte von differenzierbaren Funktionen an! Wie kann man mit Hilfe der Differentialrechnung eine Funktion auf Monotonie bzw. auf Konvexität/ Konkavität prüfen? Wie erkennt man „exponentielles Wachstum“ bzw. „gedämpftes Wachstum“ an den Ableitungen?
5. Geben Sie die Taylorentwicklung einer in einer Umgebung von x0 n-mal differenzierbaren Funktion f an. Wann heißt eine Funktion f analytisch in x0? Geben Sie die Taylorreihendarstellung für f(x) = ex, g(x) = sin x an.
6. Erläutern Sie die Begriffe „bestimmtes Integral“, „Stammfunktion einer Funktion f “ und
„unbestimmtes Integral von f “! Geben Sie den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an! Erläutern Sie das Verfahren der partiellen Integration! Geben Sie Beispiele für Anwendungen der Integralrechnung an!
7. Wie sind die trigonometrischen Funktionen am Kreis definiert? Geben Sie Eigenschaften für trigonometrische Funktionen an! Was versteht man allgemein unter einer periodischen Funktion? Erläutern Sie das Verfahren der Fourieranalyse/ Synthese einer 2π – periodischen Funktion f und geben Sie Beispiele für die Anwendung des Satzes an!
8. Erläutern Sie die Herleitung der Wachstums- bzw. Zerfallsgleichung. Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems y' = ky, y(x0) = y0 an! Geben Sie weitere Prozesse an, die sich durch Differentialgleichungen modellieren lassen! Was versteht man unter einer stationären Lösung? Geben Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y’=ky-a (mit a=konstant) an! Was versteht man unter der logistischen Gleichung (auch Verhulst-Gleichung genannt)? Erläutern Sie die Modellierung der Populationsdynamik zwischen Räuber- und Beutetieren und interpretieren Sie die Ergebnisse.
9. Was versteht man unter einer Funktion von zwei Variablen, wie lässt sie sich darstellen?
Wie ist die partielle Ableitung von f nach x bzw. y im Punkt P(x0, y0) definiert? Wie lässt sie sich geometrisch deuten? Was versteht man unter der Tangentialebene an f im Punkt P(x0, y0, f(x0, y0)) ? Was versteht man unter dem Gradienten von f in P(x0, y0) ? Bemerkung: Halten Sie zu allen Themen geeignete einfache Beispiele bereit.
