Übungen zur Vorlesung Dynamische Systeme Lösungen von Aufgabenblatt 3

Prof. Roland Gunesch Wintersemester 2005-06

Übungen zur Vorlesung Dynamische Systeme Lösungen von Aufgabenblatt 3

Aufgabe 1:

a)Seifein Diffeomorphismus mit einem Fixpunktx.Zeigen Sie:{x}ist eine hyperbolische Menge genau dann, wennxhyperbolischer Fixpunkt ist. Finden Sie die Hyperbolizitäts- konstantenCundλ,so dass für allev ∈E^sund allen ∈Ngilt

kdfⁿvk ≤Cλⁿkvk und so dass für allev ∈E^u und allen ∈Ngilt

kdf⁻ⁿvk ≤Cλⁿkvk.

Lösung:

{x}ist hyperbolische Menge genau dann, wenn{x}invariant ist (also Fixpunkt) und für xgilt:TxM =E^s⊕E^u,und es gilt für allen∈N, v ∈E^s:

kdfⁿvk ≤Cλⁿkvk und analog für allen∈N, v ∈E^u :

kdf⁻ⁿvk ≤Cλⁿkvk.

Dies gilt genau dann, wenn es keinen Eigenwert von Betrag 1 gibt. Also genau dann, wenn

dfx hyperbolisch ist.

b)Wann ist ein periodisches Orbit von einem Diffeomorphismus eine hyperbolische Men- ge? Finden Sie hinreichende und notwendige Bedingungen.

Lösung:

Ein periodisches Orbit

(x0, x1 =f(x0), x2 =f(x1), . . . , xn=f(xn−1) =x0)

ist eine periodische Menge genau dann, wenndf_xⁿ_i hyperbolisch ist (d.h. keine Eigenwerte mit Betrag 1 hat) für ein i.Denn eine invariante Menge ist das periodische Orbit sowie- so, und genau dann, wenn es keine Eigenwerte von Betrag 1 gibt, zerlegt sich Tx_iM in invariante UnterräumeE^s, E^u, so dass in der Operatornorm gilt:

kdf_xⁿ_i|E^sk<1, kdf_x⁻ⁿ_i |E^uk <1.

Diese Bedingung ist übrigens unabhängig von i, denndf_xⁿ_i unddf_xⁿ_j sind zueinander kon- jugiert mit der Konjugationsabbildungdf_x^j−i_i , welche nicht vonnabhängt.

Aufgabe 2:

Sei Λ eine hyperbolische Menge von f : U → M, wobei M eine kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit ist. Für die zum (riemannschen) Skalarprodukt h., .i gehörige Normk.k seien C undλ die Hyperbolizitätskonstanten. Sei h., .i^′ ein anderes Skalarprodukt auf M

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und k.k^′ die zugehörige Norm. Zeigen Sie: Bezüglichh., .i^′ istΛ auch eine hyperbolische Menge, und zwar mit demselbenλ.

Lösung:

Wegen Stetigkeit vonk.kundk.k^′ (in beliebigen Koordinatenumgebungen) und positiver Definitheit des Skalarprodukts ist

ϕ(x) := max

kvk=1maxkvk^′, max

kvk^′=1kvk

wohldefiniert, endlich, und stetig, also nimmtϕwegen Kompaktheit vonM ein Maximum an und ist insbesondere beschränkt durch eine KonstanteK.

(Bemerkung: Die naheliegende Argument “alle Normen im Rⁿ sind äquivalent” reicht noch nicht, denn für jeden Punkt x ∈ M ergibt sich so eine von xabhängige Konstante, die a priori keinerlei Stetigkeit hat, also nicht beschränkt ist.)

Damit gilt für allen ∈N, v ∈E^s :

kdfⁿvk^′ ≤Kkdfⁿvk ≤KCλⁿkvk ≤K²Cλⁿkvk^′ =:C^′λⁿkvk^′ und analog für allen∈N, v ∈E^u :

kdf⁻ⁿvk^′ ≤K²Cλⁿkvk^′.

Aufgabe 3:

Zeigen Sie: WennΛ1eine hyperbolische Menge fürf1 :U1 →M1ist undΛ2eine hyperboli- sche Menge fürf2 :U2 →M2, dann istΛ1×Λ2eine hyperbolische Menge für die Produkt- abbildungf1×f2 :U1 ×U2 →M1 ×M2,definiert durch(f1×f2)((x, y)) := (f1(x), f2(y)).

Lösung:

Mittels

k(v1, v2)k:=

q

kv1k²₁+kv2k²₂

wird aus den Normenk.k1,k.k2aufTx₁M1 undTx₂M2eine auf dem Produktraum T(x₁,x₂)(M1 ×M2),

so dass bezüglich dieser Norm die RäumeTx₁M1undTx₂M2senkrecht aufeinander stehen.

Mittelsλ:= max(λ₁, λ₂)undC :=p

C₁²+C₂²gilt dann für allen ∈N, v ∈E^s:=E₁^s⊕E₂^s: kdfⁿvk² = kdfⁿvk²₁+kdfⁿvk²₂

≤ C₁²+C₂²

λ²ⁿ kvk²₁+kvk²₂

= C²λ²ⁿkvk²

und analog für allen∈N, v ∈E^u :=E₁^u⊕E₂^u :kdf⁻ⁿvk ≤Cλⁿkvk.

Aufgabe 4:

Zeigen Sie: Die RotationRα aufS¹ hat nicht die Beschattungseigenschaft. D.h. es gibt ein ε > 0, so dass für alleδ > 0 ein δ-Pseudo-Orbit (xn)n∈Z existiert, so dass für jedes echte Orbit(yn)n∈Zgilt: Es gibt einn ∈Zmitd(xn, yn)> ε.

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Lösung:

Fürβ ∈(α, α+δ)ist jedes Orbit vonRβ einδ-Pseudo-Orbit vonRα,aber nach n=

1 2(β−α)

Schritten sindRⁿ_α(x)undR_βⁿ(x)weit auseinander; z.B. fürβ ∈ {α+ 2/k|k ∈N}ist dieser

Abstand= 1/2, also> δ.

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