Prof. Roland Gunesch Sommersemester 2010
Übungen zur Vorlesung
Einführung in Dynamische Systeme Aufgabenblatt 2
Aufgabe 1:
a)Zeigen Sie: Für alle Anfangsdaten(u0,t0) ∈R×Rhat das Anfangswertproblem du(t)
dt =
tan
1
2010 tan (sinu)29 4
!!2011
2009
u(t0) =u0 eine auf ganzRdefinierte Lösung.
b)Bestimmen Sie für alle Anfangsdaten(u0,t0) ∈ R2das asymptotische Verhalten dieser Lösung, d.h. finden Sie limt→∞u(t) und limt→−∞u(t).
Aufgabe 2:
Konstruieren Sie eine Abbildung f : R×R→R, so dass gilt:
(i) Für jeden Anfangswert(u0,t0) ∈R×Rhat das Anfangswertproblem du
dt = f(u,t), u(t0) = u0 eine eindeutige Lösung mit den Eigenschaften
tlim→∞u(t) ∈ {2i|i ∈ N} und lim
t→−∞u(t) ∈ {2i|i∈ N}.
(ii) Für jedes i ∈ N gibt es Anfangswerte (u0,t0) ∈ R×R, so dass für die zugehörige Lösung ugilt: limt→∞u(t) = 2i und limt→−∞u(t) = 2i+1.
Aufgabe 3:
a)Lösen Sie das Anfangswertproblem dudt =u2+2, u(0) = u0. b)Finden Sie das maximale Existenzintervall dieser Lösung.
c)Finden Sie das Verhalten dieser Lösung am Rand des maximalen Existenzintervalls.
Aufgabe 4:
Finden Sie zu jedem der folgenden Flüsse eine Differentialgleichung, deren Lösungen die Flussorbits sind:
(1) ϕt((x1, . . . ,xn)) = (ea1tx1, . . . ,eantxn) (2) ϕt((x1,x2)) = (x1,x2+atx1)
(3) ϕt((x1,x2)) = (x1cost+x2sint,x2cost−x1sint).
Abgabe: Donnerstag, 29.4.2010, in der Vorlesung
