Übungen zur Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme II Aufgabenblatt 4

Prof. Roland Gunesch Wintersemester 2008-09

Übungen zur Vorlesung

Gewöhnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme II Aufgabenblatt 4

Aufgabe 1:

SeiA∈SL(n,Z)undf auf demn-Torus definiert durchf([x]) = [A·x].

Formulieren und beweisen Sie eine Bedingung an das Spektrum vonA, die äquivalent zur Expansivität vonf ist.

Aufgabe 2:

Seif :U →M eine invertierbareC¹-Abbildung undΛeine kompaktef-invariante Menge.

Zeigen Sie:Λist hyperbolisch genau dann, wenn gilt: es gibtµ > 1, es gibt eine Aufspal- tungT^ΛM =A^s⊕A^u, und es gibtγ =γ(x)>0, so dass für die Bündel von Kegeln

K^s ={v ∈T^xM|x∈Λ, v =v^s+v^u, v^s∈A^s, v^u ∈A^u, ||v^u|| ≤γ||v^s||}

K^u ={v ∈T^xM|x∈Λ, v =v^s+v^u, v^s∈A^s, v^u ∈A^u, ||v^s|| ≤γ||v^u||}

gilt, dass Df · K^u im Inneren von K^u enthalten ist, dass Df⁻¹ ·K^s im Inneren von K^s enthalten ist, und so dass gilt

||Df|^Ku||> µ, ||Df⁻¹|^Ks||> µ.

Aufgabe 3:

a)Zeigen Sie: Der 2-dimensionale Cantor-StaubΛ =C×C(mit der Standard-Cantormenge C) ist eine hyperbolische Menge für die G-förmige Hufeisen-Büroklammer f : U → M, mit

f =

((3x, y/3) x≤4/10 (3x−2, y/3 + 2/3) x≥6/10,

U =offene ₁₀¹-Umgebung von[0,1]×([0,1/3]∪[2/3,1]), undM =R². b)IstΛlokal maximal? (Beweis oder Widerlegung)

Aufgabe 4:

Zeigen Sie: Eine lokal maximale hyperbolische MengeΛ, welche minimal ist (jedes Orbit vonx∈Λist dicht inΛ), besteht aus genau einem periodischen Orbit.

Abgabe: 5.12.2008 in der Vorlesung