3.2 Harmonischer Oszillator und Hermite-Polynome

Name Dienstag, 1. M¨arz 2016

Repetitorium zur

Einf¨ uhrung in die Quantenmechanik und Statistik Blatt 3

3.1 Einleitungsfragen

(Ohne Zuhilfenahme von Aufzeichnungen zu l¨osen)

(a) Was ein markanter Unterschiede zwischen dem Energiespektrum des harmonischen Os- zillators und des unendlich hohen Potentialtopfs?

(b) Was macht den harmonischen Oszillator so interessant?

(c) Was ist ein klassisches (also nicht quantenmechanisches) Beispiel f¨ur einen harmonischen Oszillator?

3.2 Harmonischer Oszillator und Hermite-Polynome

Die Schr¨odingergleichung f¨ur den harmonischen Oszillator lautet

−~²

2m∂_x²+mω² 2 x²

=E_nΨ_n , was man mit der Substitution

Ψ_n(x) = C_nΦ_n(y)e^−y

2

2 mit y = x

x₀, x₀ = r

~ mω zu einer Differentialgleichung in Φ_n(y) ¨uberf¨uhrt:

Φ⁰⁰_n(y)−2yΦ⁰_n(y) + 2nΦ_n(y) = 0 . (1) Da uns nur quadratintegrable L¨osungen interessieren, m¨ussen die Eigenwerte notwendiger- weise nur diskrete Werte annehmen, was dem Fall n ∈N0 entspricht.

Somit E_n =~ω(n+ 1/2), n∈N0.

Damit handelt es sich bei (1) um eine hermitesche Differentialgleichung, dessen L¨osung die Hermite-Polynome H_n(x) sind.

F¨ur Ψ_n(x) erhalten wir damit die L¨osung

Ψ_n(x) =C_nH_n(x/x₀)e⁻

x2 2x2

0

(a) (F¨ur den Schluss, wenn Zeit bleibt) Wir definieren

H_n(x) = (−1)ⁿe^x2 dⁿ dxⁿ

e^−x2

n∈N0 . Zeige, dass f¨urn ≥1 folgende Rekursionsrelationen gelten:

Hn+1 = 2xHn−2nHn−1, H_n⁰ = 2nHn−1

Zeigen Sie nun unter Verwendung der Rekursionsrelationen, dass die so definierten Po- lynome die hermitesche Differentialgleichung erf¨ullen.

Hinweis: Nehmen Sie z.B. f¨ur den ersten Teil an, dass die Erf¨ullung DGL bereits bis H_n(x) bewiesen worden ist und beweisen Sie im zweiten Teil die DGL f¨ur H_n+1 (→

Induktion)

(b) Zeigen Sie, dass man ¨aquivalent die Hermite-Polynome auch ¨uber eine erzeugende Funk- tion definieren kann:

e^−t2+2tx =

∞

X

n=0

H_n(x)

n! tⁿ oder H_n(x) =∂_tⁿh

e^−t2+2txi

t=0

(c) Nun wollen wir die wichtigen Eigenschaften der Orthogonalit¨at und Vollst¨andigkeit von Ψ_n(x) ¨uberpr¨ufen.

Hinweise: Zeigen und nutzen Sie Z ∞

∞

dy e^−(x+y)2 =√ π e^−x2 = 1

√π Z ∞

∞

dt e^−t2+2itx H_n(x) = 1

√π(−2i)ⁿe^x2 Z ∞

∞

dt tⁿe^−t2+2itx