Aufgabe H3.2: Harmonischer Oszillator 1 (10 Punkte)

Grundlagen der Quantenmechanik und Statsitik

Ubungen: Dr. Fabian Bos¨

Ubungsblatt H3 ¨

Aufgabe H3.1: Heisenbergsche Unsch¨ arferelation (10 Punkte)

Gegeben sei folgender Hamiltonoperator:

Hˆ = pˆ²

2m +V(x) = pˆ²

2m+β|x|^α, α∈R (1)

(a) Sch¨atzen Sie die Grundzustandsenergie mithilfe der Heisenbergschen Unsch¨arferelation

∆x∆p≥ ~

2 (2)

ab. Nutzen Sie hierf¨ur die folgende N¨aherung:

h |x|^αi ≈ x²α/2

(3) (b) F¨ur welchesα ist die Absch¨atzung f¨ur die Grundzustandsenergie tats¨achlich exakt?

Aufgabe H3.2: Harmonischer Oszillator 1 (10 Punkte)

In der Vorlesung wurde der Hamilton-Operator mit Hilfe von Erzeugungs- (a^†) und Vernichtungsop- eratoren (a) ausgedr¨uckt. Der Besetzungszahloperator wird durch die Erzeugungs- (a^†) und Vernich- tungsoperatoren (a) ausgedr¨uckt: ˆn=a^†a. Damit ergibt sich der Hamiltonoperator zu:

Hˆ =~ω

a^†a+1 2

=~ω

ˆ n+1

2

. (4)

Der Besetzungszahloperator ˆn ist hermitesch, seine Eigenwerte sind daher reell. Die Eigenzust¨ande

|ni nehmen wir als normiert an. Also gilt:

ˆ

n|ni=n|ni. (5)

Zeigen Sie nun die folgenden Behauptungen f¨ur den Besetzungszahloperator ˆn:

(a) Die Eigenwerte nsind nicht-negativ.

(b) Mit|ni sind aucha|ni unda^†|ni Eigenzust¨ande mit den Eigenwertenn−1 und n+ 1.

Jetzt nehmen Sie an, dass die Eigenwerte von ˆn nicht entartet sind. Daraus folgt: a^†|ni =

√n+ 1|n+ 1i und a|ni=√

n|n−1i.

(c) Der kleinste Eigenwert von ˆnist nmin= 0.

(d) Das Eigenwertspektrum von ˆnist nach oben unbeschr¨ankt.

(e) Eigenzust¨ande|ni mit nicht-ganzzahligem ngibt es nicht.

Geben Sie nun klassisch und quantenmechanisch die niedrigste Energie an und diskutieren Sie in einem Satz die Unterschiede.

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Aufgabe H3.3: Harmonischer Oszillator 2 (10 Punkte)

In dieser Aufgabe werden nun die L¨osungen des harmonischen Oszillators mit Hilfe der Hermite- Polynome diskutiert.

(a) Bestimmen Sie die Grundzustandswellenfunktion φ0(x). Beachten Sie dabei, dass a|0i = 0 und damit auchhx|a|0i= 0 gilt. Die Erzeugungs- (a^†) und Vernichtungsoperatoren (a) sind dabei wie folgt gegeben:

a= 1

√2

x+ d dx

; a^†= 1

√2

x− d dx

mit (6)

dx= rmω

~ dq; d

dq = rmω

~ d

dx (7)

(b) Berechnen Sie nun die ¨ubrigen Eigenfunktionenφ_n(x) =hx|ni.

(c) Stellen Sie die L¨osungen mit Hilfe der Hermite-Polynome dar.

(d) Zeigen Sie, dass f¨ur die Hermite-Polynome folgende Relation gilt:

2xHn(x) =Hn+1(x) + 2nHn−1(x). (8)

(e) Berechnen Sie mit Hilfe dieser Relation φ₀(x), φ₁(x) und φ₂(x). Stellen Sie diese L¨osungen in einer Skizze dar.

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