18. Harmonischer Oszillator

Institut f¨ur Theoretische Physik der Prof. Dr. Joachim Krug Universit¨at zu K¨oln, Sommersemester 2018 Benjamin Schmiegelt

Theoretische Physik II (Lehramt)

5. ¨ Ubung

http://www.thp.uni-koeln.de/~schmiegb/sose18/

Abgabe: Dienstag, 15. Mai 2018 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

16. Kommutatoren

10+10=20 Punkte

Der Kommutator zweier linearer Operatoren ˆA und ˆB ist definiert durch [ ˆA,Bˆ] = ˆABˆ−BˆA.ˆ a) Zeigen Sie f¨ur beliebige lineare Operatoren ˆA, ˆB und ˆC und λ∈C:

i) Linearit¨at:

1) [ ˆA+ ˆB,C] = [ ˆˆ A,C] + [ ˆˆ B,C]ˆ 2) [λA,ˆ B] = [ ˆˆ A, λB] =ˆ λ[ ˆA,Bˆ] ii) Antisymmetrie: [ ˆA,Bˆ] =−[ ˆB,A]ˆ

iii) Produktregel: [ ˆAB,ˆ C] = ˆˆ A[ ˆB,C] + [ ˆˆ A,C] ˆˆ B und [ ˆA,BˆC] = ˆˆ B[ ˆA,C] + [ ˆˆ A,B] ˆˆ C iv) Jacobi-Identit¨at: [ ˆA,[ ˆB,C]] + [ ˆˆ B,[ ˆC,A]] + [ ˆˆ C,[ ˆA,B]] = 0ˆ

b) Der Kommutator kann nicht nur f¨ur lineare Operatoren auf dem Hilbertraum gebildet wer- den, sondern auch f¨ur andere mathematische Objekte. F¨ur Skalare (d.h. komplexe oder reelle Zahlen) ist der Kommutator immer null. F¨ur Matrizen ist dies aber nicht generell der Fall.

Betrachten Sie die folgenden reellen Matrizen:

A=

1 0 0 −1

B =

−1 0 0 −1

C =

0 −1

1 0

D=

0 1

−1 0

Welche geometrischen Transformationen in der Ebene stellen diese Matrizen dar?

Bilden Sie f¨ur alle Paare aus den vier Matrizen den Kommutator und interpretieren Sie die Ergebnisse geometrisch.

17. Hermitesche Operatoren

6+14=20 Punkte a) Gegeben seien die Eigenzust¨ande|ψiund|φieines hermiteschen Operators ˆAzu den Eigen- wertenaund b. Zeigen Sie, dass die beiden Eigenzust¨ande zueinander orthogonal sind, falls a6=b. Verwenden Sie, dass die Eigenwerte hermitescher Operatoren immer reell sind.

b) Verifizieren Sie die Aussage in a) am Beispiel der Eigenzust¨andeun(x) des Kastenpotentials von ¨Ubungsblatt 3. Um die auftretenden Integrale zu l¨osen, schreiben Sie die Sinus- und Kosinusfunktionen mithilfe von Euler’s Formel als komplexe Exponentialfunktionen.

18. Harmonischer Oszillator

Pr¨asenzaufgabe In der Vorlesung wurde gezeigt, dass die Grundzustands-Wellenfunktion u⁽⁰⁾ des eindimensio- nalen harmonischen Oszillators durch die Gleichung ˆau⁽⁰⁾ = 0 bestimmt ist, wobei ˆa den Ab- steigeoperator bezeichnet. Durch Einf¨uhrung der dimensionslosen Ortskoordinateξ =xp

mω/~ lautet diese Gleichung explizit

√1 2

ξ+ d

dξ

u⁽⁰⁾(ξ) = 0. (1)

a) Zeigen Sie, dass eine Gauss-Funktion A e^−βξ2 eine L¨osung von Gleichung (1) ist. Bestimmen Sie ihre Breiteβ und die Normierungskonstante A.

b) Weitere Eigenfunktionenu⁽ⁿ⁾ lassen sich durch Anwenden des Aufsteigeoperators ˆ

a^†= 1

√2

ξ− d dξ

auf u⁽ⁿ⁻¹⁾ gewinnen. Bestimmen Sie auf diese Weise u⁽¹⁾ und u⁽²⁾. Verifizieren Sie f¨ur die beiden Beispiele, dass u⁽ⁿ⁾ von der Formu⁽ⁿ⁾(ξ)∼Hn(ξ)u⁽⁰⁾(ξ) ist, wobeiHn ein Polynom vom Grad nist.