Nichtlineare Integro-Differentialgleichungen aus der mathematischen Physik

Integro-Differentialgleichungen aus der mathematischen Physik

Dissertation

zur Erlangung des akademischen Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) vorgelegt von Patrick Kurth

an der

Mathematisch-Naturwissenschaftliche Sektion Fachbereich Mathematik und Statistik

Tag der mündlichen Prüfung: 10. Juli 2013 Referenten:

Prof. Dr. Reinhard Racke (Universität Konstanz) Prof. Dr. Robert Denk (Universität Konstanz)

Konstanzer Online-Publikations-System (KOPS) URL: http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:352-242114

Die vorliegende Arbeit entstand am Fachbereich Mathematik und Statistik der Universität Kon- stanz im Rahmen der Forschungsinitiative „Analysis and Numerics of Evolution Equations in the Sciences” (Ceveq), deren Ziel die Untersuchung von Evolutionsgleichungen war, die zur Beschrei- bung von Systemen in Natur, Wissenschaft und Technik herangezogen werden.

Ich möchte mich an dieser Stelle ganz besonders bei Herrn Prof. Dr. Reinhard Racke bedanken.

Ich habe Herrn Prof. Dr. Racke während meines Mathematikstudiums als Dozent der Grund- und Hauptstudiumsveranstaltungen in der Analysis kennengelernt. Die Entwicklung meines Interesses an den Themen der Analysis im Allgemeinen und an der Theorie gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen im Speziellen, ist eng mit seiner Person verknüpft. Ich danke ihm für die Möglichkeit der Mitarbeit in der oben erwähnten Forschungsinitiative und für die Heranführung an das spannende Promotionsthema. Darüberhinaus danke ich Herrn Prof. Dr. Racke für die Finanzierung meiner Mitarbeiterstelle, seinen Bemühungen um meine fachliche Entwicklung, der ausgezeichneten Betreuung meiner Arbeit und der angenehmen Arbeitsatmosphäre. Ich werde die Tätigkeit an seinem Lehrstuhl als sehr glückliche Zeit in Erinnerung behalten.

Ebenso bedanke ich mich bei Herrn Prof. Dr. Robert Denk für die Übernahme des Koreferats und für das gute Arbeitsklima auf F5. Zum Arbeitsklima beigetragen haben ebenso meine Kollegen und Freunde Dr. Michael Pokojovy, Marco Ritter, Martin Saal, Alexander Schöwe, Tim Seger, Johannes Schnur, Karin Borgmeyer und Thomas Hermann. Ich danke ihnen für eine schöne Zeit auch abseits des Arbeitsplatzes. Mit einschließen möchte ich auch Vanessa Fitzner und Lisa Fischer für die netten Besuche auf F5 und für die regelmäßige Versorgung mit Kuchen und Gebäck.

Weiter bedanke ich mich bei Frau Baumann, Frau Cassola und Herrn Janßen für ihren Einsatz für den Fachbereich und unserer Arbeitsgruppe sowie Herrn Prof. Dr. Matthias Fuchs und seiner Arbeitsgruppe für ihren Beitrag zum Forschungsprojekt.

Einen ganz besonderen Dank möchte ich meiner Mutter Angela Kurth und Erhard Wolf aussprechen, ohne deren Hilfe und Fürsorge ein erfolgreicher Abschluss meines Studiums der Mathematik nicht möglich gewesen wäre. Ein ebenso großer Dank gilt meiner Freundin Bettina Fricke und ihren Eltern Bernd und Regine Fricke, die mich während des Studiums und der Promotion wunderbar unterstützt haben.

Konstanz, im April 2013 Patrick Kurth

Einleitung 1

1 Hilfsmittel und Notationen 5

2 Beschränkte Kernfunktionen 15

3 Monotone Kernfunktionen 19

3.1 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen . . . 19

3.2 Asymptotik . . . 22

3.3 Bemerkungen . . . 31

3.4 Blow-up-Lösungen . . . 33

4 Kernfunktionen unter Kleinheitsbedingungen 38 4.1 Polynomiale Kernfunktionen . . . 38

4.2 Linear wachsende Kernfunktionen . . . 50

5 Mehrparametrige Kernfunktionen 54 5.1 Monotone Kernfunktionen . . . 55

5.2 Kernfunktionen unter Kleinheitsbedingungen . . . 65

6 Systeme reell- und komplexwertiger Integro-Differentialgleichungen 71 7 Partielle Integro-Differentialgleichungen 77 7.1 Ortsunabhängige Kernfunktionen . . . 77

7.1.1 Vorbemerkungen . . . 77

7.1.2 Existenz und Asymptotik . . . 79

7.2 Ortsabhängige Kernfunktionen . . . 97

7.2.1 Vorbemerkungen . . . 97

7.2.2 Lineares Problem . . . 105

7.2.3 Existenz und Asymptotik . . . 107

7.2.4 Beispiel . . . 113

7.2.5 Bemerkungen . . . 114

Literaturverzeichnis 116

Beim Abkühlen einer Flüssigkeit beobachtet man in den meisten Fällen einen Übergang des Materials in einen Festkörper, z. B. den Übergang in einen geordneten Kristall. Dieser Übergang der Gleichgewichtszustände findet bei einer hinreichend niedrigen Temperatur als Reaktion auf eine äußere Störung abrupt statt, beispielsweise als Reaktion auf feste Partikel in der Flüssigkeit¹ oder als Reaktion auf Erschütterungen. Neben dem Übergang in einen Festkörper sind noch weitere Übergänge möglich. Eine sehr reine Flüssigkeit kann unter ihren Gefrierpunkt abgekühlt werden, ohne dass diese ihren Aggregatzustand ändert. Bei einer solchen sogenannten unterkühlten Flüssigkeit kann man beobachten, wie mit sinkender Temperatur die Viskosität stetig zunimmt. Dabei steigt die strukturelle Relaxationszeit² kontinuierlich an und kann bei gewissen Flüssigkeiten Grenzen überschreiten, die sie experimentell nicht mehr messbar macht.

Ein Material dieser Art verharrt scheinbar in einem nicht-kristallinen Zustand und wirkt auf den Betrachter wie ein Festkörper. Man spricht in diesem Fall von einem Glas, den stetigen Prozess in diesen Zustand bezeichnet man als Glasübergang³ ([16], [21], [22], [36]).

Eine analystische Beschreibung des Glasübergangs einer unterkühlten Flüssigkeit basierend auf der Modenkopplungstheorie ist durch folgendes Anfangswertproblem einer gewöhnlichen nichtlinearen Integro-Differentialgleichung gegeben⁴

τφ(t) +˙ φ(t) +

t

Z

0

F(φ(t−s)) ˙φ(s)ds= 0, φ(0) = 1 (1) (siehe [22]), wobei φ eine sogenannte Korrelationsfunktion ist, die statistische Aussagen über die Zeitentwicklung von Dichteschwankungen liefert ([36]). Die Zahl τ > 0 ist ein Relaxations- parameter,F wird als Kernfunktion bezeichnet und ist beispielsweise von polynomialer Gestalt F(x) =v1x+v2x², mit v1, v2 ≥ 0. Die Kernfunktion hängt sowohl vom betrachteten Material als auch von den Zustandsvariablen Temperatur und Druck ab.

Von physikalischer Bedeutung ist in erster Linie das Langzeitverhalten von Lösungen von (1), d. h., falls der Grenzwert limt→∞φ(t) existiert und verschieden von Null ist, findet ein Glasübergang statt, im Fall limt→∞φ(t) = 0 bleibt das Material flüssig bzw. zähflüssig ([36]).

1Solche Partikel werden auch als Kristallisationskeime bezeichnet.

2Damit wird die Zeit bezeichnet, nach der das Material nach einer äußeren Störung in einen Gleichgewichts- zustand zurückkehrt.

3In der Physik spricht man bei einer unterkühlten viskosen Flüssigkeit von einem Glas, wenn ihre Viskosität den Wert10¹³Poise überschreitet, oder alternativ über die strukturelle Relaxationszeit, wobei hier der Grenzwert bei etwa100sfestgelegt wird.

4φ˙ bezeichnet die Ableitungsfunktion vonφ.

1

Weitere Modelle, die Scherraten berücksichtigen, wurden in [10], [18] und [26] vorgestellt und können durch Probleme folgender Art beschrieben werden

τφ(t) +˙ φ(t) +

t

Z

0

F(φ(t−s), t−s, s) ˙φ(s)ds= 0, φ(0) = 1, (2) d. h., zusätzliche Zeitabhängigkeiten treten in den Kernfunktionen auf, beispielsweise in Form von Faktoren der Gestalt e^−γ(t−s) oder _1+γ2¹(t−s)², wobei mit γ ∈ R die Scherrate bezeichnet wird. Im Gegensatz zu den Problemen (1) und (2) sind auch komplexwertige Kernfunktionen möglich, wie in folgendem Modell gekoppelter Gleichungen aus [19]⁵

φ˙1(t) +ω1φ1(t) +ω1 t

Z

0

f1(φ1(t−s), φ2(t−s))

1−ip₁ φ˙1(s)ds= 0, φ1(0) =φ⁰₁∈C, φ˙2(t) +ω2φ2(t) +ω2

t

Z

0

f2(φ2(t−s),<φ₁(t−s)) 1 +p2

φ˙2(s)ds= 0, φ2(0) =φ⁰₂∈R,

(3)

wobei f1 eine komplexwertige und f2 eine reellwertige Kernfunktion, ω1 ∈ C, ω2 ∈ R und p1, p2∈Rseien.

Die mathematische Struktur der Probleme (1), (2) und (3) ist dadurch charakterisiert, dass in jeder Gleichung neben einem linearen Diffferentialgleichungsanteil erster Ordnung, ein Gedächtnisterm in Form einer Faltung auftritt, wobei beide Faltungsanteile von den Lösungen der Probleme abhängen. Insbesondere die spezielle Struktur der Faltungsterme unterscheidet die Probleme (1) bis (3) von Integro-Differentialgleichungen, wie sie in der Literatur u. a. in [4], [5], [6] und [7] untersucht wurden, bei denen mindestens einer der Faktoren im Integral lösungsunabhängig ist.

Es kann auch ein Zusammenhang zu reinen Integralgleichungen ohne Differentialgleichungsanteil hergestellt werden. Integriert man die Gleichung aus (1) bezüglicht, so erhält man

φ(t) =f(t) +

t

Z

0

g(φ(t−s))h(φ(s))ds, (4)

wobeif(t) = 1−t,g(x) = 1−x, undh(x) = 1 +F(x). Auch bei dieser Gleichung hängen beide Faktoren des Faltungsintegrals von der Lösung der Gleichung ab. Integralgleichungen, bei denen höchstens ein Faktor lösungsabhängig ist, wurden in der mathematischen Literatur umfassend untersucht, beispielsweise in der Theorie zu Volterra-Intergalgleichungen in [11], [12], [20], [30]

usw.

Gleichungen mit Faltungstermen, bei denen beide Faktoren lösungsabhängig sind, fanden im Gegensatz dazu bislang nur wenig Beachtung, genauer sind zwei Arbeiten zu diesem mathematischen Feld bekannt. Zum einen wurde in [23] das Problem (1) behandelt, jedoch unter der Einschränkung absolut monotoner Kernfunktionen, d. h., es wurde vorausgesetzt, dass

5Den Realteil einer komplexen Zahlz∈Cbezeichnen wir mit<z, den Imaginärteil mit=z.

die verwendete Kernfunktion auf einem Intervall der Art [0,1 +δ)⊆R für einδ >0 unendlich oft stetig differenzierbar ist und die Funktion und all ihre Ableitungen auf dem betrachteten Intervall monoton wachsend sind. Zum anderen wurden in [33] Integro-Differentialgleichungen behandelt, deren Gedächtnisterme von gleicher Struktur sind, wie in den Problemen (1)–(3), deren Differentialgleichungsanteile jedoch von zweiter Ordnung sind⁶.

Die erstgenannte Arbeit ([23]) deckt eine gewisse Klasse physikalisch relevanter Probleme vom Typ (1) ab, nicht jedoch die Probleme (2) und (3). Darüberhinaus wird bei Problem (1) F⁰(0) < 1 einschränkend gefordert, d. h., physikalisch relevante Kernfunktionen der Art F(x) = x +v2x² mit v2 ∈ [0,1] werden nicht abgedeckt. In der zweiten Arbeit ([33]) wurde massgeblich ausgenutzt, dass die Gleichungen von semilinearer Struktur sind, was bei den Gleichungen in (1)–(3) dagegen nicht der Fall ist.

Ausgehend von den Erkenntnissen aus den genannten Arbeiten bleiben offene Fragen. So- wohl vom physikalischen als auch vom mathematischen Standpunkt aus betrachtet, ist eine Erweiterung der Klasse der Kernfunktionen aus [23] von Interesse, z. B. auf Funktionen der Art F(x) =v₁x+v₂x² mit Koeffizientenv₁= 1 bzw.v₁, v₂ <0, oder auf eine Funktionenklasse, die neben den physikalisch relevanten polynomialen Funktionen auch Funktionen wieF(x) = sin(x) und F(x) = ln(1 + x) umfasst. Weiter steht eine analytische Betrachtung der Probleme (2) und (3) aus, d. h., Antworten auf Fragen nach Wohlgestelltheit der Probleme und dem Langzeitverhalten von Lösungen. Neben Fragen nach der Existenz globaler Lösungen, stellt sich die Frage, ob es Kernfunktionen zum Problem (1) derart gibt, dass zugehörige Lösungen auf einem beschränkten Intervall [0, T) unbeschränkt sind, d. h., nicht über dieses Intervall hinaus fortgesetzt werden können. Die Suche nach der Existenz solcher sogenannter „Blow-up- Lösungen” war bereits Gegenstand von Untersuchungen zu Volterra-Integralgleichungen (vgl.

[12]).

In [33] wurden neben Anfangswertproblemen gewöhnlicher Integro-Differentialgleichungen zu- sätzlich gewisse Klassen partieller Integro-Differentialgleichungen betrachtet, d. h., Gleichungen, deren Lösungen sowohl von einer Zeitvariablen t als auch von einer Ortsvariablen x abhängen, mit Faltungen in der Zeit. Diese Probleme beschreiben nach aktuellem Stand keine bekannten physikalischen Phänomene, jedoch stellen sie eine neue mathematische Problemklasse dar.

Ausgehend von den betrachteten gewöhnlichen Integro-Differentialgleichungen, werden in der genannten Arbeit partielle Gleichungen betrachtet, die in der Zeitvariablen von semilinearer Struktur sind, d. h., Gleichungen in denen Terme zweiter Ordnung ∂²_tu auftreten⁷. In Analogie zu den Problemen (1) bis (3) stellt sich somit die Frage, ob folgende Anfangsrandwertprobleme partieller Integro-Differentialgleichung behandelt werden können:

∂_tu(t, x)−∂_x²u(t, x) +

t

R

0

F(u(t−s, x))∂_tu(s, x)ds = 0, (t, x)∈[0,∞)×G, u(0, x) = u₀(x), x∈G,

u(t, x) = 0, (t, x)∈[0,∞)×∂G,

(5)

wobei G ⊆ R ein beschränktes offenes Intervall und u₀ : G → R eine gegebene An- fangswertfunktion ist. Die Anfangs- und Randbedingungen passen zu Problemen partieller Differentialgleichungen parabolischen Typs, wie der linearen und nichtlinearen Wärmelei- tungsgleichung (vgl. [15], [17], [31], [32]). Partielle Integro-Differentialgleichungen fanden in

6Zugehörige Anfangswertprobleme werden ebenfalls zur Untersuchung glasbildender Systeme herangezogen (siehe [21], [22]).

7∂tubezeichnet die partielle Ableitung vonubezüglicht, entsprechend∂xudie Ableitung bezüglichx.

der mathematischen Literatur u.a. in [37], [38], [39] und [40] Beachtung, jedoch weisen auch hier sämtliche betrachteten Gleichungen Faltungsterme auf, bei denen mindestens ein Faktor lösungsunabhängig ist.

In dieser Arbeit werden wir die Resultate aus [21] zu Wohlgestelltheit und Asymptotik von (1) auf eine größere Klasse von Kernfunktionen erweitern und auf die Probleme (2) und (3) übertragen. Dazu werden wir in Kapitel 2 zunächst ein Resultat zur Wohlgestelltheit von (1) unter der starken Annahme beschränkter Kernfunktionen präsentieren, was jedoch den Vorteil bietet, ohne Monotonieeigenschaften der Kernfunktion auszukommen. Aufbauend darauf werden wir in Kapitel 3 die Resultate aus [21] von absolut monotonen Kernfunktionen auf stetig differenzierbare monotone Kernfunktionen erweitern. Dabei werden wir in Bezug auf die Wohlgestelltheit methodisch anders vorgehen, was neben der Erweiterung der Funktionenklasse den Vorteil bietet, die Ergebnisse auf mehrparametrige Probleme wie (2) zu übertragen, was in Kapitel 5 präsentiert wird. Die Techniken zu monotonen Kernfunktionen lassen sich jedoch nicht auf das Problem (3) übertragen⁸. Darüberhinaus weisen gewisse Kernfunktionen zum Problem (2) keine Monotonieeigenschaften mehr in der Zeitvariablen t auf, z. B. die Kernfunktion F(x, t) = _1+γ^v1x+v_2sin²2^x(ωt)² aus [9] (v₁, v₂ ≥0,γ, ω∈R). Diese offenen Probleme sind die Motivation zu einem neuen Ansatz, wie er in Kapitel 4 vorgestellt wird. Wir werden Wohlgestelltheit und Asymptotikresultate zu (1) unter gewissen Kleinheitsbedingungen an die Kernfunktion präsentieren. In Kapitel 5 werden wir die oben genannten Methoden aus den Kapiteln 3 und 4 auf mehrparametrige Probleme wie (2) übertragen. Das Problem (3) wird in Kapitel 6 behandelt.

Neben den Fragen nach Wohlgestelltheit der Probleme und dem asymptotischen Verhalten der Lösungen unter gewissen Einschränkungen an die Kernfunktionen, werden wir uns in Kapitel 3 zusätzlich mit Blow-up-Phänomenen befassen und die Existenz von Blow-up-Lösungen nachweisen.

In Kapitel 7 werden wir uns mit gewissen Klassen partieller Integro-Differentialgleichungen befassen. In Abschnitt 7.1 werden wir zunächst Kernfunktionen, die nur von der Zeitvariablen t abhängen, behandeln. Zusätzliche x Abhängigkeiten der Kernfunktion führen zu zusätzlichen technischen Schwierigkeiten. Dazu werden zu Beginn von Kapitel 7.2 verschiedene Hilfsmittel vorgestellen, die eine Erweiterung auf das Problem (5) möglich machen werden. Wir werden das Problem (5) auf höherdimensionale Fälle G⊆Rⁿ verallgemeinern. Der Differentialoperator

−∂_x² geht dann zum Laplace-Operator−4 bzw. zu allgemeinen elliptischen Operatoren der Art A=−Pn

i,j=1∂iai,j(·)∂_j+a(·), mit Funktionen ai,j, a:G→Rüber.

Wir werden in Kapitel 1 zunächst einige Sätze und Begriffe vorstellen, die in dieser Arbeit mehrfach Anwendung finden werden.

8Eine Zerlegung in Real- und Imaginärteil der komplexen Gleichung ist nicht zielführend.

Hilfsmittel und Notationen

Definition 1.1 (Zahlentupel). Seiβ = (β1, . . . , βn)∈Nⁿ₀. Wir definieren

|β|:=

n

X

i=1

β_i, β! :=

n

Y

i=1

β_i!.

Auf Nⁿ₀ lässt sich folgende Ordnungsrelation erklären (β, γ∈Nⁿ₀) β ≤γ ⇔ β_i ≤γ_i (i= 1, . . . , n).

Für β, γ∈Nⁿ0 mitγ ≤β sei

β γ

:= β!

γ!(β−γ)!.

Definition 1.2 (Ableitungsnotation). SeienG⊆Rⁿ offen undf ∈C^m(G)¹ für einm∈N. Wir definieren für i∈ {1, . . . , n}

∂if := ∂f

∂xi

die partielle Ableitung von f nach der i-ten Variablen, entsprechend für k∈N0 höhere Ableitun- gen durch

∂_i^kf := (∂_i)^kf.

Wir definieren für β = (β₁, . . . , β_n)∈Nⁿ₀ mit |β| ≤m

∂^βf :=∂^β₁¹· · ·∂_n^βnf.

Im Fall n= 1 schreiben wir statt ∂1f nur f⁰,f˙oder _dt^df.

1C^mbezeichnet den Raum derm-fach stetig differenzierbaren Funktionen mit Werten inRoderC.

5

Definition 1.3 (L^p-Räume (Definitionen gemäß [1])).

(i) Seien G ⊆Rⁿ ein Gebiet und p ∈R mit p ≥1. Wir definieren den Raum L^p(G) als den Raum aller messbaren Funktionen f :G→R(C) mit

Z

G

|f(x)|^pdx <∞.

Auf L^p(G) definieren wir eine Äquivalenzrelation ∼ durch f ∼g ⇔ f =g fast überall in G.

Damit definieren wir L^p(G) :=L^p(G)/∼ als den Raum der Äquivalenzklassen bezüglich ∼ und schreiben statt [f]∈L^p(G) ² der Einfachheit halber nur f ∈L^p(G). Durch

kfk_p :=



 Z

G

|f(x)|^pdx





1 p

wird eine Norm auf L^p(G) definiert undL^p(G)ist im Fallp≥1 bezüglich dieser Norm ein Banachraum. Im Fall p= 2 definiert

hf, gi:=

Z

G

f(x)g(x)dx

ein Skalarprodukt auf L²(G) und L²(G) ist diesbezüglich ein Hilbertraum. In diesem Fall schreiben wir statt k · k₂ der Einfachheit halber k · k.

(ii) Der Raum L^∞(G) ist definiert als die Menge aller messbaren Funktionenf :G→Rmit³

N∈Lninf,λn(N)=0 sup

x∈G\N

|f(x)|<∞.

In Analogie zu oben wird durch L^∞(G) :=L^∞(G)/∼ zusammen mit kfk_∞= inf

N∈Lⁿ,λn(N)=0 sup

x∈G\N

|f(x)|

ein Banachraum definiert.

Lemma 1.4 (Hölder-Ungleichung (vgl. [1] Korollar 2.6)).

Seien n∈Nund p₁, . . . , p_n, q∈(0,∞]derart, dass 1 q =

n

X

i=1

1 p_i. Weiter seienui∈L^pi(G) (i= 1, . . . , n). Dann ist

n

Q

i=1

ui ∈L^q(G) und es gilt

n

Y

i=1

u_i q

≤

n

Y

i=1

ku_ik_pi.

2[f]bezeichnet die Äquivalenzklasse zuf.

3Lnbezeichnet die Menge aller Lebesgue-messbaren Teilmengen vonRⁿundλndas Lebesgue-Maß.

Definition 1.5 (Sobolevräume (Definitionen gemäß [1])).

Seien p∈[1,∞]⁴ und m∈N. Der Sobolevraum W^m,p(G) ist definiert als

W^m,p(G) :={f ∈L^p(G)|D^αf ∈L^p(G) für alle α∈Nⁿ0 mit |α| ≤m},

wobei mit D^αf die schwachen Ableitungen von f bezeichnet werden (vgl. [1]), d. h., es gilt für u ∈ C^m(G): D^αu = ∂^αu. Der Einfachheit halber werden wir in dieser Arbeit die schwachen Ableitungen von f ebenfalls mit ∂^αf bezeichnen. Zusammen mit

kfk_W^m,p :=



 X

|α|≤m

k∂^αfk^p_p





1 p

ist W^m,p(G) ein Banachraum und es gilt mitC^m(G) ={f ∈C^m(G)|kfk_Wm,p <∞ } W^m,p(G) =C^^m(G)^m,p,

wobei f· ^m,p die Vervollständigung bezüglich k · k_W^m,p ist.

Im Fall p= 2 wird durch

hf, gi_H^m := X

|α|≤m

h∂^αf, ∂^αgi

ein Skalarprodukt aufW^m,2(G) definiert und dieser Raum ist diesbezüglich ein Hilbertraum. Wir schreiben im Fallp= 2stattW^m,2(G)zur VerdeutlichungH^m(G)und für die Norm entsprechend k · k_H^m statt k · k_Wm,2.

Eine wichtige Rolle spielt folgender Untervektorraum H₀¹(G) :=C^₀^∞(G)^1,2. Es gilt (vgl. [27])⁵

H₀¹(G) =

f ∈H¹(G)

∃g∈ L²(G)n

∀φ∈ C¹(G)n

∩ L²(G)n

,divφ∈L²(G) : Z

G

f(x)divφ(x)dx=− Z

G

hg(x), φ(x)i_ndx







, (1.1) d. h., H₀¹(G) verallgemeinert Dirichlet-Randbedingungen.

Satz 1.6 (Auswahlsatz von Rellich (vgl. [14, Satz 16.21])). Sei G ⊆Rⁿ offen und beschränkt.

Dann besitzt jede Folge (xn)n∈N ⊆ H₀¹(G), die bzgl. k · k_H1(G) beschränkt ist, eine in L²(G) konvergente Teilfolge.

Definition 1.7 (Fréchet-Ableitung (Definition gemäß [32])). Seien (X,k · k_X) und (Y,k · k_Y) Banachräume und sei x₀ ∈X sowie U ⊆X eine Umgebung von x₀. Eine Funktion F :U →Y heißt in x0 Fréchet-differenzierbar, wenn eine lineare stetige Abbildung A :X →Y und eine in x0 stetige Funktion G:U →Y existieren mit

F(x) =F(x0) +A(x−x0) +G(x)kx−x0k_X (x∈U).

F⁰(x₀) :=A heißt Fréchet-Ableitung von F in x₀.

4Auchp=∞ist zulässig.

5Für φ = (φ1, . . . , φn)⁰ ∈ C¹(G)n

ist divφ :=

n

P

i=1

∂iφi. h·,·in bezeichnet das Standardskalarprodukt in Rⁿ(Cⁿ).

Lemma 1.8. Seien (Y,k · k_Y) ein Banachraum undF : [0,∞)→Y mit

F(t)−F(0) =

t

Z

0

f(x)dx,

für eine stetige Funktionf : [0,∞)→Y. Dann istF in(0,∞)Fréchet-differenzierbar mitF⁰=f.

Beweis. Es gilt für allet0 ∈(0,∞)und alle t∈[0,∞)\ {t₀} F(t) = F(t0) +f(t0)(t−t0) +

t

R

t0

f(x)dx−f(t0)(t−t0)

!

= F(t0) +f(t0)(t−t0) +

t

R

t0

f(x)−f(t₀)

|t−t0| dx

!

|t−t0|.

Es gilt

Rt t0

f(x)−f(t₀)

|t−t₀| dx Y

o.E.t>t0

≤ Rt t0

kf(x)−f(t₀)k_Y

|t−t₀| dx

∃τ∈(t₀,t)

= kf(τ)−f(t0)k_Y ^t→t−→⁰ 0, d. h.,G(t) :=







t

R

t0

f(x)−f(t0)

|t−t₀| dx, t6=t₀

0, t=t0







ist int0 stetig.

Bemerkung 1.9. Mit Hilfe von Definition 1.7 lassen sich Räume wie C¹([0,∞), H²(G)) und C¹([0,∞), L²(G))charakterisieren.

Lemma 1.10 (Lemma von Gronwall).

(i) Seien a > 0, ϕ, h : [0, a]→ R stetig, h ≥0 und g : [0, a]→ R monoton wachsend und es gelte für alle t∈[0, a]

ϕ(t)≤g(t) +

t

Z

0

h(r)ϕ(r)dr.

Dann gilt für allet∈[0, a]

ϕ(t)≤g(t)e

t

R

0

h(r)dr

.

(ii) Seien a >0,g, h: [0, a]→Rstetig und ϕ: [0, a]→R stetig differenzierbar mit ϕ⁰(t)≤g(t)−h(t)ϕ(t)

für alle t∈[0, a]. Dann gilt für alle t∈[0, a]

ϕ(t)≤ϕ(0)e

−

t

R

0

h(s)ds

+

t

Z

0

e

−

t

R

s

h(r)dr

g(s)ds.

Beweis.

(i) Siehe [31]: Lemma 4.1.

(ii) Wir definierenf(t) :=g(t)−h(t)ϕ(t)−ϕ⁰(t). Dann gilt fürt∈[0, a]

ϕ⁰(t) +h(t)ϕ(t) =g(t)−f(t).

Variation der Konstanten liefert ϕ(t) = ϕ(0)e

−

t

R

0

h(s)ds

+e

−

t

R

0

h(s)ds t

R

0

e

s

R

0

h(r)dr

(g(s)−f(s))ds

f≥0

≤ ϕ(0)e

−

t

R

0

h(s)ds

+

t

R

0

e

−

t

R

s

h(r)dr

g(s)ds.

Lemma 1.11 (Produktformel). Seien n∈N, ai, bi ∈R (i= 1, . . . , n). Dann gilt⁶

n

Y

i=1

ai−

n

Y

i=1

bi=

n

X

i=1

"

(ai−bi)

i−1

Y

k=1

bk n

Y

k=i+1

ak

# .

Beweis. Die Aussage gilt trivialerweise fürn= 1. Wir nehmen an, die Aussage ist für ein n∈N erfüllt, dann gilt

n+1

Q

i=1

ai−

n+1

Q

i=1

bi = an+1

n

Q

i=1

ai−bn+1 n

Q

i=1

bi

= an+1

_n Q

i=1

ai−

n

Q

i=1

bi

+ (an+1−bn+1)

n

Q

i=1

bi Induktionsvor.

= an+1

n

P

i=1

"

(ai−bi)

i−1

Q

k=1

bk n

Q

k=i+1

ak

#

+ (an+1−bn+1)

n

Q

i=1

bi

=

n+1

P

i=1

"

(ai−bi)

i−1

Q

k=1

bk n+1

Q

k=i+1

ak

# .

Mit Induktion beweist man leicht folgendes

Lemma 1.12 (Produktregel). Seien U ⊆R offen undf_i :U →R differenzierbar (i= 1, . . . , n).

Dann gilt für f = Qn i=1

f_i

f⁰ =

n

X

i=1

f_i⁰

n

Y

k=1,k6=i

f_k.

6Man beachteQ0

j=1aj:= 1.

Lemma 1.13 (verallgemeinerte Kettenregel). Seien G ⊆ Rⁿ offen, F ∈ C^m(R,R) und u ∈ C^m(G). Dann gibt es für alleβ ∈Nⁿ₀ mit1≤ |β| ≤m, alle k∈ {1, . . . ,|β|},γ ∈N^|β|₀ mit|γ|=k und P|β|

j=1jγ_j =|β|und p∈

1, . . . ,(k+ 1)^|β|−1 nichtnegative Konstanten C_k,γ,p≥0, so dass⁷

∂^βF(u) =

|β|

X

k=1

F^(k)(u) X

γ∈N^|β|0 ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγj=|β|

(k+1)^|β|−1

X

p=1

C_k,γ,p

|β|

Y

i=1 γi

Y

l=1

∂^αil,pu,

wobei α_l,pⁱ =αⁱ_l,p(γ)∈Nⁿ0 mit αⁱ_l,p≤β und |αⁱ_l,p|=i.⁸

Beweis. Wir führen einen Induktionsbeweis. Der Induktionsanfang m = 1 ist klar, denn dann ist ∂^β =∂_k für eink∈ {1, . . . , n} und die Aussage ist mitC_1,1,1 = 1 und ∂^α11,1 =∂_k erfüllt. Wir nehmen an, die Aussage sei für einm∈Nerfüllt. Seiδ∈Nⁿ0 mit|δ|=m+1. Ohne Einschränkung gelte∂^δ=∂₁∂^β für einβ ∈Nⁿ₀ mit|β|=m. Unter Anwendung der Induktionsvoraussetzung gilt dann

∂₁∂^βF(u)

= ∂1











|β|

P

k=1

F^(k)(u) P

γ∈N^|β|0 ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγj=|β|

(k+1)^|β|−1

P

p=1

C_k,γ,p

|β|

Q

i=1 γi

Q

l=1

∂^αil,pu











=

|β|

P

k=1

F^(k+1)(u)∂1u P

γ∈N^|β|0 ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγj=|β|

(k+1)^|β|−1

P

p=1

C_k,γ,p

|β|

Q

i=1 γi

Q

l=1

∂^αil,pu

+

|β|

P

k=1

F^(k)(u) P

γ∈N^|β|0 ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγj=|β|

(k+1)^|β|−1

P

p=1

C_k,γ,p∂1

|β|

Q

i=1 γi

Q

l=1

∂^αil,pu

!

=

|β|

P

k=1

F^(k+1)(u)∂₁u P

γ∈N^|β|₀ ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγj=|β|

(k+1)^|β|−1

P

p=1

C_k,γ,p

|β|

Q

i=1 γi

Q

l=1

∂^αil,pu

+

|β|

P

k=1

F^(k)(u) P

γ∈N^|β|₀ ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγj=|β|

(k+1)^|β|−1

P

p=1

C_k,γ,p

|β|

P

i=1

"

∂_{1 γi}

Q

l=1

∂^αil,pu |β|

Q

k=1,k6=i γk

Q

l=1

∂^αkl,pu

#

7Wir definieren

0

P

i=1

ai:= 0und P

i∈∅

ai:= 0.

8Die Abhängigkeit der Tupelαⁱ_l,p von den Tupelnγ werden wir aus Gründen der Übersichtichkeit nicht zu- sätzlich kennzeichnen.

=

|β|

P

k=1

F^(k+1)(u)∂1u P

γ∈N^|β|0 ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγj=|β|

(k+1)^|β|−1

P

p=1

C_k,γ,p

|β|

Q

i=1 γi

Q

l=1

∂^αil,pu

+

|β|

P

k=1

F^(k)(u) P

γ∈N^|β|0 ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγj=|β|

(k+1)^|β|−1

P

p=1

C_k,γ,p

|β|

P

i=1













γi

P

q=1

∂1∂^αiq,pu

γi

Q

k=1,k6=q

∂^αik,pu

!

·

|β|

Q

k=1,k6=i γk

Q

l=1

∂^αkl,pu













= F⁰(u)

2^|β|−1

P

p=1

C1,(0,...,0,1),p∂₁∂^α

|β|

1,pu

+

|β|

P

k=2

F^(k)(u)











|β|

P

i=1

P

γ∈N^|β|0 ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγj=|β|,γi6=0

(k+1)^|β|−1

P

p=1 γi

P

q=1











C_k,γ,p∂₁∂^αiq,pu

γi

Q

k=1,k6=q

∂^αik,pu

·

|β|

Q

k=1,k6=i γk

Q

l=1

∂^αkl,pu











+ P

γ∈N^|β|0 ,|γ|=k−1,

|β|

P

j=1

jγj=|β|

k^|β|−1

P

p=1

Ck−1,γ,p∂₁u

|β|

Q

i=1 γi

Q

l=1

∂^αil,pu











+F^(m+1)(u)∂₁u

(m+1)^m−1

P

p=1

Cm,(m,0,...,0),p m

Q

l=1

∂^α1l,pu.

Zui∈ {1, . . . ,|β|} undγ ∈N^|β|₀ mit γi6= 0 definieren wirΓ¹_i(γ)∈N^|β|+1₀ durch

Γ¹_i(γ)

j =











γj, j6=i, i+ 1,|β|+ 1 γ_i−1, j=i

γ_i+ 1, j=i+ 1 0, j=|β|+ 1











(j= 1, . . . ,|β|+ 1),

d. h., es gilt |Γ¹_i(γ)| = |γ| und

|β|+1

P

j=1

j Γ¹_i(γ)

j =

|β|

P

j=1

jγ_j

!

+ 1. Zu γ ∈ N^|β|₀ definieren wir Γ²(γ)∈N^|β|+1₀ durch

Γ²(γ)

j :=







γ1+ 1, j= 1

γ_j, 1< j <|β|+ 1 0, j=|β|+ 1







(j = 1, . . . ,|β|+ 1),

d. h., es gilt |Γ²(γ)|=|γ|+ 1und

|β|+1

P

j=1

j Γ²(γ)

j =

|β|

P

j=1

jγ_j

! + 1.

Damit definieren wir zui∈ {1, . . . ,|β|}

A_i :=

( Γ¹_i(γ)

γ ∈N^|β|₀ ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγ_j =|β|, γ_i 6= 0 )

⊆ (

˜

γ ∈N^|β|+1₀

|˜γ|=k,

|β|+1

P

j=1

jγ˜_j =|β|+ 1 )

und zuγ ∈A_i

N_i(γ) :=n

(p, q)∈N²

p= 1, . . . ,(k+ 1)^|β|−1, q= 1, . . . , γ_io .

Γ¹_i ist eine Bijektion von (

γ ∈N^|β|₀

|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγ_j =|β|, γ_i 6= 0 )

nachA_i, mit (Γ¹_i)⁻¹ bezeich- nen wir die Umkehrabbildung. Es folgt

|β|

P

i=1

P

γ∈N^|β|₀ ,|γ|=k,

|β|

P

j=1

jγj=|β|,γ_i6=0

(k+1)^|β|−1

P

p=1 γi

P

q=1

C_k,γ,p∂1∂^αiq,pu

γi

Q

k=1,k6=q

∂^αik,pu

|β|

Q

k=1,k6=i γk

Q

l=1

∂^αkl,pu

!

=

|β|

P

i=1

P

γ∈A_i

P

(p,q)∈N_i(γ)

C˜_k,γ,p

i−1

Q

k=1 γk

Q

l=1

∂^αkl,pu

γi

Q

l=1

∂^α˜il,pu

γi+1

Q

l=1

∂^α˜i+1l,p u

|β|+1

Q

k=i+2 γk

Q

l=1

∂^αkl,pu

! , wobei zu γ ∈Ai

˜ αⁱ_l,p:=

α_l,pⁱ , l= 1, . . . , q−1 α_l+1,pⁱ , l=q, . . . , γi

,

˜ αⁱ⁺¹_l,p :=

αⁱ⁺¹_l,p , l= 1, . . . , γ_i+1−1 αⁱ_q,p+ (1,0, . . . ,0), l=γ_i+1

und

C˜_k,γ,p:=C_k,(Γ1

i)⁻¹(γ),p. Durchläuft man folgende Summe in der Reihenfolge

X

γ∈A1∪···∪A_|β|

{. . .}= X

γ∈A1

{. . .} · · · X

γ∈A_|β|

{. . .}

und numeriert die Elemente folgender Mengen durch n

(i, p, q)∈N³

i= 1, . . . ,|β|, p= 1, . . . ,(k+ 1)^|β|−1, q= 1, . . . , γ_io

=n

z₁ⁱ, . . . , z_k(k+1)ⁱ |β|−1

o ,

so lässt sich die Summe

|β|

P

i=1

P

γ∈Ai

P

(p,q)∈N_i(γ)

{. . .}umschreiben zu

X

γ∈A₁∪···∪A_|β|

k(k+1)^|β|−1

X

p=1

{. . .}.

Weiter betrachten wir folgende Menge B :=

( Γ²_i(γ)

γ ∈N^|β|₀ ,|γ|=k−1,

|β|

P

j=1

jγ_j =|β|

)

⊆ (

˜

γ ∈N^|β|+1₀

|˜γ|=k,

|β|+1

P

j=1

jγ˜_j =|β|+ 1 )

und halten fest, dass Γ² eine Bijektion von (

γ ∈N^|β|₀

|γ|=k−1,

|β|

P

j=1

jγ_j =|β|

)

nach B ist.

Erneut bezeichnen wir mit (Γ²)⁻¹ die zugehörige Umkehrabbildung und erhalten mit α˜¹_l,p = α_l,p¹ + (1,0, . . . ,0)und mit

C˜_k,γ,p=

C_k−1,(Γ²₎⁻¹_(γ),p, p= 1, . . . , k^|β|−1

0, p=k^|β|−1+ 1, . . . ,(k+ 1)^|β|

folgende Darstellung

P

γ∈N^|β|0 ,|γ|=k−1,

|β|

P

j=1

jγj=|β|

k^|β|−1

P

p=1

Ck−1,γ,p∂1u

|β|

Q

i=1 γi

Q

l=1

∂^αil,pu

= P

γ∈B (k+1)^|β|

P

p=1

C˜_k,γ,p

γ1

Q

l=1

∂^α˜il,pu

|β|+1

Q

i=2 γi

Q

l=1

∂^αil,pu.

Insgesamt erhalten wir unter Neubezeichnung der Variablen

∂1∂^βF(u) = F⁰(u)

2^|β|−1

P

p=1

C1,(0,...,0,1),p∂1∂^α

|β|

1,pu +F^(m+1)(u)∂1u

(m+1)^m−1

P

p=1

Cm,(m,0,...,0),p m

Q

l=1

∂^α1l,pu +

|β|

P

k=2

F^(k)(u) P

γ∈A₁∪...,A_|β|∪B (k+1)^|β|

P

p=1

C_k,γ,p

|β|+1

Q

i=1 γi

Q

l=1

∂^αil,pu

=

|β|+1

P

k=1

F^(k)(u) P

γ∈N^|β|+1₀ ,|γ|=k,

|β|+1

P

j=1

jγj=|β|+1 (k+1)^|β|

P

p=1

C_k,γ,p

|β|+1

Q

i=1 γi

Q

l=1

∂^αil,pu,

wobei fürk= 2, . . . ,|β|undγ ∈ (

γ∈N^|β|+1₀

|γ|=k,

|β|+1

P

j=1

jγ_j =|β|+ 1 )

\(A₁∪ · · · ∪A_|β|∪B) C_k,γ,p:= 0,

für k= 2, . . . ,|β|und(γ, p)∈(A1∪ · · · ∪A|β|)× {k(k+ 1)^|β|−1+ 1, . . . ,(k+ 1)^|β|} Ck,γ,p:= 0,

für p= 2^m−1+ 1, . . . ,2^m

C1,(0,...,0,1),p= 0 und fürp= (m+ 1)^m−1+ 1, . . . ,(m+ 1)^m

Cm,(m,0,...,0),p= 0.

Damit ist alles gezeigt.

Definition 1.14 (Banachalgebra (Definition im Sinne von [1])). Ein Banachraum (X,k · k_X) mit einer multiplikativen Verknüpfung ·:X×X →X derart, dass X zusammen mit dieser und der üblichen Addition eine assoziative Algebra ist, heißt Banachalgebra, falls

∃C >0 ∀u, v∈X:ku·vk_X ≤Ckuk_Xkvk_X.

Satz 1.15 (Schauderscher Fixpunktsatz). Seien X ein normierter Raum undC ⊆X nichtleer, beschränkt, abgeschlossen und konvex. Weiter seif :C→C stetig und kompakt, d. h.,f(K)⊆C ist für alle beschränkten MengenK ⊆Crelativ kompakt⁹inC. Dann besitztf (mindestens) einen Fixpunkt in C.

Beweis. Dieser Satz ist eine äquivalente Formulierung von Satz 230.4 aus [25].

Satz 1.16 (Banachscher Fixpunktsatz (vgl. Satz 5.16 aus [13])). Seien (X, d) ein vollständiger metrischer Raum und f :X → X eine kontrahierende Abbildung. Dann besitzt f genau einen Fixpunkt x∈X.

9K⊆Cheisst relativ kompakt, falls der AbschlussK¯ ⊆C kompakt.

Beschränkte Kernfunktionen

Wir behandeln folgendes Anfangswertproblem einer nichtlinearen Integro-Differentialgleichung Φ(t) + ˙Φ(t) +

t

Z

0

F(Φ(t−s)) ˙Φ(s)ds= 0, t∈[0,∞), Φ(0) = 1, (2.1) wobeiF :R→Rbeschränkt und lokal Lipschitz-stetig sei.

Ziel dieses Kapitels ist die Formulierung eines Existenz- und Eindeutigkeitsresultats für (2.1).

Wir interessieren uns für LösungenΦ∈X:=C¹([0, N],R) (N >0), wobei X versehen mit der Norm

kfk_X := max{kfk_∞,kf⁰k_∞} ein Banachraum ist.

Das Problem (2.1) ist äquivalent zu folgendem Fixpunktproblem

Φ(t) =TΦ(t), t∈[0,∞), (2.2)

wobei

T :X→X, Φ7→TΦmit TΦ(t) := 1 +

t

Z

0

F(Φ(s))−Φ(s)−Φ(t−s)F(Φ(s))ds.

Definition 2.1. i) Für m >0 und f ∈X definieren wir kfk_m := max

( sup

0≤x≤N

e^−mx|f(x)|, sup

0≤x≤N

e^−mx|f⁰(x)|

) . Es gilt für m >0, f ∈X: e^−mNkfk_X ≤ kfk_m ≤ kfk_X.

ii) Für a, k >0 sei M_a,k :=n

f ∈X :f(0) = 1,|f(x)| ≤ae^kx,|f⁰(x)| ≤ae^kx,0≤x≤No .

15

Lemma 2.2. Es gilt T(M_a,k)⊆M_a,k füra, k hinreichend groß.

Beweis. SeiC := sup_x∈R|F(x)|.

Es gilt

f ∈Ma,k ⇔ e^−kx|f(x)| ≤a, e^−kx|f⁰(x)| ≤a, für 0≤x≤N.

Wir betrachten für Φ∈M_a,k (a, k >0zunächst beliebig)

e^−kt|TΦ(t)|=e^−kt

1 +

t

Z

0

F(Φ(s))−Φ(s)−Φ(t−s)F(Φ(s))ds

≤e^−kt+e^−kt Zt

0

C+|Φ(s)|+C|Φ(t−s)|ds

≤e^−kt+e^−kt

t

Z

0

C+|Φ(s)|e^−kse^ks+C|Φ(s)|e^−kse^ksds

≤e^−kt+e^−ktN C+a

t

Z

0

e^k(s−t)ds+aC

t

Z

0

e^k(s−t)ds

=e^−kt+e^−ktN C+ 1

ka(1−e^−kt) + 1

kaC(1−e^−kt)

≤1 +N C+ 1 ka+ 1

kaC.

Setzen wir a:= 2 +N C und k:= 2a+ 2aC, so gilt e^−kt|TΦ(t)| ≤afür 0≤t≤N. Weiter gilt

e^−kt

d

dt(TΦ)(t)

=e^−kt

−Φ(t)−

t

Z

0

Φ(t˙ −s)F(Φ(s))ds

=e^−kt

−

t

Z

0

Φ(s) + ˙˙ Φ(t−s)F(Φ(s))ds−1

≤e^−kt

t

Z

0

|Φ(s)|e˙ ^−kse^ksds+e^−ktC

t

Z

0

|Φ(s)|e˙ ^−kse^ksds+e^−kt

≤a

t

Z

0

e^k(s−t)ds+aC

t

Z

0

e^k(s−t)ds

= (a+aC)1

k(1−e^−kt) +e^−kt+e^−kt

≤(a+aC)1

k + 1 = 3 2 < a.

Insgesamt gilt also TΦ∈M_a,k.

Lemma 2.3. Seien a, k wie im Beweis zu Lemma 2.2.

Für α > 0 hinreichend groß ist T auf (Ma,k, dα+k) eine Kontraktion, wobei dα+k die von der Norm k · k_α+k induzierte Metrik ist.

Beweis. SeienC := sup_x∈R|F(x)|und L eine Lipschitzkonstante vonF|_[−aekN,ae^kN]. SeienΦ₁,Φ₂∈M_a,k, so gilt für ein α >0beliebig

e^−(α+k)t|TΦ1(t)−TΦ2(t)|=e^−(α+k)t

t

Z

0

F(Φ1(s))−F(Φ2(s)) + Φ2(s)−Φ1(s)+

+ Φ₂(t−s)F(Φ₂(s))−Φ₁(t−s)F(Φ₁(s))ds+

+

t

Z

0

Φ1(t−s)F(Φ2(s))−Φ1(t−s)F(Φ2(s))ds

≤e^−(α+k)t

L+ 1 +C+ae^kNL

t

Z

0

|Φ₁(s)−Φ₂(s)|e^−(α+k)se^(α+k)sds

≤

L+ 1 +C+ae^kNL

kΦ₁−Φ₂k_α+k Zt

0

e^{(α+k)(s−t)}ds

≤k₁(α)kΦ₁−Φ₂k_α+k, wobeik₁(α) := _α+k¹ L+ 1 +C+ae^kNL

. Weiter gilt e^−(α+k)t

d

dt(TΦ1)(t)− d

dt(TΦ2)(t)

=e^−(α+k)t

t

Z

0

Φ˙2(s)−Φ˙1(s) + ˙Φ2(t−s)F(Φ2(s))−Φ˙1(t−s)F(Φ1(s))ds+

+

t

Z

0

Φ˙1(t−s)F(Φ2(s))−Φ˙1(t−s)F(Φ2(s))ds

≤

1 +C+ae^kNL

kΦ₁−Φ₂k_α+k

t

Z

0

e^{(α+k)(s−t)}ds

≤k2(α)kΦ₁−Φ2k_α+k, wobeik2(α) := _α+k¹ 1 +C+ae^kNL . Wählen wir nunα >0so groß, dass

k_i(α)<1 (i= 1,2), (2.3)

dann istT auf(Ma,k, dα+k) eine Kontraktion.

Satz 2.4. SeiF :R→ R beschränkt und lokal Lipschitz-stetig. Dann besitzt das Problem (2.1) eine eindeutige stetig differenzierbare Lösung Φ∈C¹([0,∞),R).

Beweis. i) Wir zeigen zunächst eindeutige Lösbarkeit des Fixpunktproblems (2.2) in X = C¹([0, N],R) für N > 0 beliebig. Seien a, k wie im Beweis zu Lemma 2.2 und α > 0 groß genug, dass (2.3) erfüllt ist. Die Menge M_a,k versehen mit der Metrik d_α+k aus Lemma 2.2 ist ein vollständiger metrischer Raum und nach Lemma 2.2 invariant unter T. Mit Lemma 2.3 und dem Banachschen Fixpunktsatz erhalten wir die Existenz einer Lösung Φ∈X, die inM_a,k eindeutig ist.

ii) Die Eindeutigkeitsaussage aus i) ist auch in jeder Menge M_¯a,¯k erfüllt, für die ¯a > a und ¯k > k gilt. Seien zwei Lösungen Φ1,Φ2 ∈ C¹([0, N],R) von (2.1) gegeben und setzen wir

¯

a > a,¯k > k groß genug, dass Φ₁,Φ₂ ∈M_¯a,k¯, so folgt damitΦ₁ = Φ₂ inM_a,¯¯k⊆X.

Da N > 0 beliebig war und da die Probleme (2.1) und (2.2) äquivalent sind, ist damit alles gezeigt.

Korollar 2.5. Ist F :R→R lokal Lipschitz-stetig, nicht notwendigerweise beschränkt, so liefert der Beweis zu Satz 2.4 die Eindeutigkeit einer Lösung von (2.1).