Numerische Methoden in der Physik
HD DR. JENS TIMMER
Aufgabenblatt Nr. 2
Ubung 2:¨
Bias und Varianz bei der L¨osung schlecht-gestellter inverser Probleme Ein h¨aufig auftauchende schlecht-konditionierte Matrix (siehe Kap. Nicht- lineare Modellierung) ist die Hilbert-Matrix:
W¨ahle:
! "
$#&%
$##('
)'+*,*+*,'
Produziere: -
. / 0
1
243
*
Addiere Rauschen zu den
-.
s:
.
/ -.
657 ' 7
aus8:9<;!=<>@?
#
F¨uhre eine Singul¨arwert-Zerlegung (svdcmp()) von
durch.
Bestimme die Konditionszahl.
Sch¨atze die
s aus den .
s mit Hilfe der Invertierung von
basierend auf der Singul¨arwert-Zerlegung,
BA
3
DCFEHG
JILK
$%NM
#PORQTS (svbksb()).
Untersuche den Effekt der Operation U%NM
V
f¨ur die kleinen M
s in svbksb()f¨ur verschiedene , verschiedene Varianzen des addierten Rau- schens (5 ) und verschiedene Regularisierungen (Wahl der maximalen Kon- ditionszahl) und f¨ur mehrere unabh¨angige Realisierungen des Rauschens.
W¨ahle u.a.:
XW
, 5 YV *V)V und die F¨alle: keine Regularisierung, resp. Regularisie- rung mit maximaler Konditionszahl = 10000.
DZ
,5
V[A[\
und die F¨alle: Max. Konditionszahl =
V)V
'+
V)]
'+
V
3^3
W_
, 5 `V und die F¨alle: Maximale Konditionszahl = V@V '+ VL] '+ V
3^3
