Vorbemerkungen

wobeiG⊆Rⁿ ein beschränktes Gebiet,u: [0,∞)×G→R,F(u) : [0,∞)→Rvonu abhängige Kernfunktion, u0 :G → R und A =

n

P

i,j=1

−∂_iaij(·)∂_j +a(·) mit aij, a ∈L^∞(G) ein elliptischer Operator seien.

Wir werden die Methoden aus Kapitel 4 zu gewöhnlichen Integro-Differentialgleichungen mit kleinen Kernfunktionen auf das Problem (7.1) übertragen.

7.1.1 Vorbemerkungen

Wir beginnen mit einer Definition des OperatorsA. Seienaij, a∈L^∞(G), (i, j = 1, . . . , n). Wir betrachten folgende Bilinearform

B(u, v) :=

n

X

i,j=1

ha_ij(·)∂_ju, ∂ivi+ha(·)u, vi, u, v∈H₀¹(G),

wobei wir mith·,·idas Skalarprodukt aufL²(G)bezeichnen und kanonisch mitk·kdie zugehörige L²-Norm. Wir definieren

D(A) :=

u∈H₀¹(G) | ∃f_u∈L²(G) ∀v∈H₀¹(G) :B(u, v) =hf_u, vi und damit

A:D(A)→L²(G)

u7→fu. (7.2)

77

Im Folgenden sei (a_ij(·))_ij symmetrisch, d. h., a_ij(·) =a_ji(·), und es gelte d. h.,(aij(·))_ij ist gleichmäßig positiv definit.

Weiter seiB streng koerzitiv, d. h.,

∃q >0∀u∈H₀¹(G) :<B(u, u)≥qkuk²_H1.

Unter obigen Voraussetzungen ist A selbstadjungiert, und es gilt für das Spektrum vonA (vgl.

[27])

σ(A)⊆[q,∞).

Mittels Spektralsatz ([35, Satz VII.3.2]) lassen sich Operatorene^−tAvonAfürt∈[0,∞)erklären.

Bemerkung 7.1. Es gilt fürt∈[0,∞), u∈D(A) orthonor-males System in L²(G) von Eigenfunktionen vonA seien ([27]). Aus dieser Darstellung folgt für alle t∈[0,∞)

e^−tA

L(L²)≤e^−qt, (7.3)

wobei k · k_L(L2) die Operatornorm für Operatoren auf L² bezeichne.

Es gilt für u∈D(A),t, t0 ∈[0,∞) (ohne Einschränkung gelte t0< t)

Aist als selbstadjungierter Operator abgeschlossen und der DefinitionsbereichD(A)ist bezüglich der Normk · k_D(A):=k · k+kA· kein Banachraum. Wir interessieren uns für int starke und in x schwache Lösungen von (7.1), d. h.,

u∈C¹([0,∞), L²(G))∩C⁰([0,∞), D(A)), mit ut+Au+F(u)∗ut

L²(G)

= 0, u(0)^D(A)= u0, (7.5)

wobei u₀ ∈ D(A) und F ∈ C⁰(L²(G),R). Die Integro-Differentialgleichung ist in L²(G) sinnvoll gestellt, denn es gilt F(u) ∗ ut ∈ C⁰([0,∞), L²(G)), wobei für f ∈ C⁰([0,∞),R), u∈C⁰([0,∞), L²(G))

(f∗u)(t) = Zt

0

f(t−s)u(s)ds, t∈[0,∞).

Fürw∈D(A) gilt k∇wk² =

Z

G

|∇w(x)|²dx≤ Z

G

1 p

n

X

i,j=1

aij(x)∂iw(x)∂jw(x)dx= 1 p

n

X

i,j=1

ha_ij(·)∂_jw, ∂iwi

= 1 p

* _n X

i,j=1

−∂_ia_ij(·)∂_jw, w +

= 1

phAw, wi.

Daraus folgt

kwk_H1 = kwk²+k∇wk²¹₂

≤

kwk²+1

phAw, wi ¹₂

≤C(kwk+kAwk) =Ckwk_D(A), wobeiC := maxn

1,¹_po

. Somit gilt füru∈C⁰([0,∞), D(A)) u∈C⁰ [0,∞), H₀¹(G)

. (7.6)

DaA:D(A)⊆L²(G)→L²(G)abgeschlossen und dicht definiert mit0∈ρ(A)¹ ist, gilt für alle n∈N(vgl. [3, Theorem 1.2.1 (S. 256)])

D Aⁿ⁺¹dicht bzgl.k·k_D(An)

,→ D(Aⁿ), (7.7)

d. h., es gilt wegen (7.4) insbesondere D A³

⊆D(A) dicht bezüglich der Graphennormk · k_D(A). (7.8) 7.1.2 Existenz und Asymptotik

Eindeutigkeit

Wir zeigen zunächst die Eindeutigkeit von Lösungen von (7.5).

1ρ(A) =C\σ(A)bezeichnet die Resolventenmenge vonA.

Satz 7.2. Sei F ∈ C⁰(L²(G),R), mit F ◦u ∈ C¹([0,∞),R) für alle u ∈ C¹([0,∞), L²(G)).

Weiter sei F lokal Lipschitz-stetig. Dann gibt es für alle u0 ∈ D(A) höchstens eine Lösung u∈C¹([0,∞), L²(G))∩C⁰([0,∞), D(A)) von (7.5). da F lokal Lipschitz-stetig ist.

Weiter gilt mitw:=u₁−u₂ für t∈[0, N]

Mit partieller Integration bezüglicht erhalten wir w_t+ (A+F(u₀))w+

Muliplikation dieser Gleichung mitw(t) inL² ergibt 1

wobeiC >0 von F,u₁,u₂ und N abhängt, indem man im letzten Schritt die lokale Lipschitz-stetigkeit vonF sowie die Stetigkeit vonu1t und vonF ◦u2 ausnutzt (man beachte t∈[0, N]).

Die Koerzitivität von B liefert zusammen mit der Poincaréschen Ungleichung h(A+F(u0))w(t), w(t)i ≥κkw(t)k²,

mit κ:=q(1 +_d¹2) +F(u0), wobeiddie gebietsabhängige Poincaré-Konstante sei. Daraus folgt d

dtkw(t)k² ≤(1−2κ)kw(t)k²+C

t

Z

0

kw(s)k²ds.

Integration liefert kw(t)k² ≤(1−2κ)

t

Z

0

kw(s)k²ds+C

t

Z

0 s

Z

0

kw(r)k²drds≤(1−2κ+CN)

t

Z

0

kw(s)k²ds.

Aus dem Lemma von Gronwall folgt u₁(t) ^L

2(G)

= u₂(t) für alle t ∈ [0, N], woraus u₁ = u₂ in C⁰([0,∞), D(A))∩C¹([0,∞), L²(G))folgt, daN >0 beliebig war.

Lineares Problem

Für die später betrachtete Selbstabbildung ist eine Untersuchung von folgendem Anfangsrand-wertproblem einer linearen partiellen Integro-Differentialgleichung notwendig:

ut(t, x) +Au(t, x) +

t

Z

0

m(t−s)ut(s, x)ds= 0, (t, x)∈[0,∞)×G, u(t, x) = 0, (t, x)∈[0,∞)×∂G,

u(0, x) =u₀(x), x∈G,

(7.9)

wobeim: [0,∞)→R. Wir beweisen den folgenden

Satz 7.4. Seien m ∈ C¹([0,∞),R) mit m(0) > −q. Dann gibt es für alle u0 ∈ D(A²) eine eindeutige Lösung u∈C¹([0,∞), D(A))∩C²([0,∞), L²(G))von (7.9).

Beweis. Formales Differenzieren von (7.9) nacht führt zu

z_t+ ˜Az+

t

Z

0

m⁰(t−s)z(s)ds= 0, z(0) =z₀:=−Au₀, (7.10)

wobeiz=ut,A˜=A+m(0). FürN >0definieren wir

XN :=C⁰([0, N], D(A))∩C¹([0, N], L²(G)),

wobei wirXN mit der Norm

ein Banachraum ist, ist XN bezüglich k · k_N ebenfalls ein Ba-nachraum.

Wir interessieren uns für Lösungen u ∈ XN von (7.10). In diesem Fall ist das Problem (7.10) äquivalent zu folgendem Fixpunktproblem (Variation der Konstanten, vgl. [32, Kapitel 11.4.4])

z∈XN :z=T z, T z(t) :=e^−tA˜z₀−

Wir definierenw(s) :=

s

Wir zeigen nun, dassT eine Kontraktion aufXN ist, wobei wir für einp >0, das später bestimmt wird, mit der zuk · k_N äquivalenten Norm

kzk^p_N := max

≤2Kkz₁−z2k^p_Ne^−pt

t

Z

0

e^{−λ1(t−s)}

s

Z

0

e^prdrds

≤ 2K

p(λ₁+p)kz₁−z₂k^p_N. Weiter gilt fürt∈[0, N]

e^−pt

d

dtT z1(t)− d dtT z2(t)

≤e^−pt

t

Z

0

|m⁰(t−s)|kz₁(s)−z2(s)kds

+e^−pt

t

Z

0

e^{−λ1(t−s)}

s

Z

0

|m⁰(s−r)|kAz₁(r)−Az₂(r)kdrds

≤e^−pt

t

Z

0

Ke^ps+e^{−λ1(t−s)}

s

Z

0

Ke^prdrdskz₁−z₂k^p_N

≤2K

p kz₁−z₂k^p_N. Wählt man p > 0 derart, dass _p(λ^2K

1+p) < 1 und ^2K_p < 1, so ist T eine Kontraktion auf XN

bezüglichk · k^p_N.

Nun folgt aus dem Banachschen Fixpunktsatz die Existenz eines eindeutigenz∈XN, das (7.11) erfüllt. u:=u₀+Rt

0z(s)dsist die gesuchte Lösung von (7.9).

Es sind auch Lösungen höherer Regularität möglich, wie das folgende Korollar zeigt (Beweis analog).

Korollar 7.5. Seien m∈C¹([0,∞),R) mit m(0)>−q.

Dann gibt es für alle u₀ ∈D(A³) eine eindeutige Lösung

u∈C¹([0,∞), D(A²))∩C²([0,∞), D(A)) von (7.9).

Lemma 7.6. Seien m ∈C¹([0,∞),R) mit m(0)>−q und |m⁰(t)| ≤ ke^−c1t für alle t∈[0,∞), wobei c1 > λ1 mit λ1 =q+m(0)und k >0 derart, dass

k < λ₁(c₁−λ₁).

Weiter gelte lim

t→∞m(t) = 0.

Dann gilt für die Lösung u von (7.9) zuu0∈D(A²) nach Satz 7.4 für alle t∈[0,∞) ku_t(t)k ≤ ku₀k_D(A)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

und ku(t)k ≤ ku₀k_D(A) λ₁−c₁ k−λ₁(c₁−λ₁)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

. Beweis. Differenzieren von (7.9) nacht liefert fürz:=u_t

z_t+ ˜Az+

t

Z

0

m⁰(t−s)z(s)ds= 0,

wobei erneut A˜=A+m(0). Dies ist äquivalent zu folgender Fixpuntgleichung

z(t) =e^−tA˜z0−

t

Z

0

e^{−(t−s) ˜A}

s

Z

0

m⁰(s−r)z(r)drds, t∈[0,∞) mit z₀ :=−Au₀. Daraus folgt

kz(t)k ≤e^−λ1tkz₀k+ Zt

0

e^{−λ1(t−s)} Zs

0

|m⁰(s−r)|kz(r)kdrds, t∈[0,∞),

woraus durch Vertauschen der Integrationsreihenfolge und mit den Voraussetzungen an m e^λ1tkz(t)k ≤ ku₀k_D(A)+k

t

Z

0 t

Z

r

e^λ1(s−r)e^−c1(s−r)dse^λ1rkz(r)kdr, t∈[0,∞) folgt. Mit dem Lemma von Gronwall erhalten wir damit

e^λ1tkz(t)k ≤ ku₀k_D(A)e

k c1−λ1t

, t∈[0,∞), worausweshalb

ku_t(t)k ≤ ku₀k_D(A)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

, t∈[0,∞) gilt. Da lim

t→∞m(t) = 0, folgt analog zu Lemma 4.2 für t∈[0,∞) ku(t)k ≤ ku₀k_D(A) −(c₁−λ₁)

k−λ₁(c₁−λ₁)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

.

Bemerkung 7.7. Die Bedingungen an die Funktionmimplizieren unter Verwendung des Haupt-satzesk≥c1m(0) =c1(λ1−q)(vgl. Bemerkung 4.5). Vor dem Hintergrund nachfolgender Resul-tate können wir ohne Einschränkungq ≤1 annehmen, und es folgt darausk≥(λ₁−1)(c₁−λ₁), woraus wiederum _k−λ^λ1−c1

1(c1−λ1) ≥1 folgt.

Analog beweist man das folgende

Korollar 7.8. Fallsu0∈D(A³), so gilt unter den selben Voraussetzungen wie in Lemma 7.6 für die Lösung u von (7.9) nach Korollar 7.5 für alle t∈[0,∞)

ku_t(t)k_D(A) ≤ kAu₀k_D(A)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

und ku(t)k_D(A)≤ kAu₀k_D(A) λ₁−c₁ k−λ1(c1−λ1)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

. Existenz und Asymptotik

Wir kommen nun zum nichtlinearen Problem (7.5). Seien dazu zunächst u0 ∈ D(A³), F ∈ C⁰(L²(G),R) lokal Lipschitz-stetig mitF◦u∈C¹([0,∞),R)für alleu∈C¹([0,∞), L²(G))und F(u₀)>−q. Weiter seien λ₁ :=q+F(u₀),c₁> λ₁ undv₂, β >0 positive Konstanten.

i) Seik >0 derart, dass k < λ₁(c₁−λ₁), Wir betrachten folgende Teilmenge von X

C :=

Es ist C ⊆X beschränkt, abgeschlossen, konvex und nichtleer, denn die Lösung nach Korollar 7.5 zur Kernfunktion m(t) := (λ₁ −q)e^−c1t ist wegen (iv), Lemma 7.6 und Korollar 7.8 ein

Lemma 7.9. T ist stetig. L²(G) kompakt, d. h., die lokale Lipschitz-Stetigkeit von F liefert ein L > 0 unabhängig von u₁, u₂ derart, dass für allet∈[0,∞) Differenzieren von (7.9) zu m:=F ◦ui (i= 1,2) nachtund Variation der Konstanten liefern

T ut(t) =e^−tA˜z0−

Mit dem Lemma von Gronwall folgt daraus

kT u_1t(t)−T u2t(t)k ≤2t²L1Cku₁−u2k_Xe

Mit (7.9) zu m:=F ◦u_i (i= 1,2) erhält man kAT u₁(t)−AT u2(t)k ≤ kT u_1t(t)−T u2t(t)k+

t

R

0

|F(u1(t−s))−F(u2(t−s))|kT u₁(s)kds +

t

R

0

|F(u₂(t−s))|kT u₁(s)−T u₂(s)kds

u2∈C

≤ kT u_1t(t)−T u2t(t)k+CtLku₁−u2k_X +C

t

R

0

kT u₁(s)−T u2(s)kds

s.o.≤ h

2t²L₁Ce

1 λ1Ct

+CtLi

ku₁−u₂k_X +C

t

R

0

kT u₁(s)−T u₂(s)kds.

MitD:= maxn

C,¹_qCo

folgt insgesamt

kT u₁(t)−T u₂(t)k_D(A)+kT u_1t(t)−T u_2t(t)k ≤h

4t²L₁Ce^λ11Ct+CtLi

ku₁−u₂k_X +D

t

Z

0

kT u₁(s)−T u2(s)k_D(A)+kT u_1t(s)−T u2t(s)kds.

Mit dem Lemma von Gronwall folgt daraus

kT u₁(t)−T u2(t)k_D(A)+kT u_1t(t)−T u2t(t)k ≤h

4t²L1Ce

1 λ1Ct

+CtL i

e^Dtku₁−u2k_X. Sei nunε >0beliebig. Weiter sei t0 >0derart, dass

2kAu₀k_D(A) λ₁−c₁ k−λ₁(c₁−λ₁)e

k−λ1(c1−λ1)

c1−λ1 t0+ 2ku₀k_D(A)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t0

< ε, dann gilt fürt > t0

kT u₁(t)−T u2(t)k_D(A)+kT u_1t(t)−T u2t(t)k< ε.

Sei nunδ >0, so dass

h

4t²₀L1Ce

1 λ1Ct0

+Ct0L i

e^Dt0δ < ε, so gilt für alle u1, u2∈C, mit ku₁−u2k_X < δ

ku₁−u2k_X,2 := sup

t∈[0,∞)

ku₁(t)−u2(t)k_D(A)+ku_1t(t)−u2t(t)k< ε.

Die so definierte Norm aufX ist äquivalent zuk·k_X und es folgt somit die Stetigkeit vonT. Lemma 7.10. T ist kompakt.

Beweis. SeienB ⊆C beschränkt und(un)n∈N⊆T(B). Wir zeigen, dass diese Folge eine inC konvergente Teilfolge besitzt. Es gilt

∀n∈N∃v_n∈B:u_n(t) =e^−tAu₀−

t

Z

0

e^−(t−s)A

s

Z

0

F(v_n(s−r))u_nt(r)drds.

Weiter gilt für allen∈Nund allet∈[0,∞)

< ∞ unabhängig vonn.

Der Auswahlsatz von Rellich liefert

∀t∈[0,∞) : (u_n(t))n∈N⊆D(A) ist relativ kompakt.

Mit dem Satz von Arzelà-Ascoli folgt

∃(ufn)n∈N⊆(un)n∈N: (ufn)n∈N konvergiert in C⁰([0, N], D(A)).

d. h., mit dem Auswahlsatz von Rellich folgt

∀t∈[0,∞) :

Es gilt für t, t₀∈[0, N]mit der Definition vonT

ku_nt(t0)−unt(t)k ≤ ku_n(t0)−un(t)k_D(A) +

t0

R

0

|F(v_n(t₀−s))−F(v_n(t−s))|ku_nt(s)kds +

t0

R

t

|F(v_n(t−s))|ku_nt(s)kds

F lok. l-stetig

≤ ku_n(t₀)−u_n(t)k_D(A) +

t0

R

0

Lkv_n(t₀−s)−v_n(t−s)kku₀k_D(A)ds +

t0

R

t

v₂ku₀k^β+1_D(A)

λ1−c1

k−λ₁(c1−λ₁)

β

ds

MWS≤ ku_n(t₀)−u_n(t)k_D(A) +|t₀−t|ku₀k²_D(A)LN +|t₀−t|v₂ku₀k^β+1_D(A)

λ1−c1

k−λ₁(c1−λ₁)

β (un)n∈N gleichgr. stetig

−→ 0für t→t0 unabhängig vonn, d. h., es folgt mit dem Satz von Arzelà-Ascoli

∃(u_n)n∈N⊆(uf_n)n∈N: (u_nt)n∈Nkonvergiert in C⁰([0, N], L²(G)).

DaN >0beliebig war, folgt somit

∃(u¹_n)n∈N⊆(un)n∈N: (u¹_n)n∈N konvergiert in C⁰([0,1], D(A))∩C¹([0,1], L²(G)).

Weiter gilt

∃(u²_n)n∈N⊆(u¹_n)n∈N: (u²_n)n∈N konvergiert in C⁰([0,2], D(A))∩C¹([0,2], L²(G)).

So lassen sich für alle N ∈ N iterativ Teilfolgen (u^N_n)n∈N ⊆ (u^N−1_n )n∈N wählen, die in C⁰([0, N], D(A))∩C¹([0, N], L²(G))konvergieren.

Wir definieren für n ∈ N w_n := uⁿ_n. (w_n)n∈N konvergiert somit in C⁰([0, N], D(A)) ∩ C¹([0, N], L²(G))für alleN ∈N, d. h., es gibt einen punktweisen Grenzwertw∈C von(w_n)n∈N. Wir zeigen, dass (wn)n∈N bezüglichk · k_X gegenw konvergiert.

Sei dazuε >0beliebig. Sei N₁ ∈N derart, dass

∀t > N₁: 2kAu₀k_D(A) λ1−c1

k−λ1(c1−λ1)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

< ε, dann gilt fürt > N₁ kw_n(t)−w(t)k_D(A)< ε. Sei nunn₁ ∈N derart, dass

∀n≥n₁ : sup

t∈[0,N₁]

kw_n(t)−w(t)k_D(A)< ε.

Sei weiter N2∈Nderart, dass

∀t > N₂ : 2ku₀k_D(A)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

< ε,

dann gilt fürt > N₂ kw_nt(t)−w_t(t)k< ε. Sei weiter n₂∈Nderart, dass

∀n≥n₂ : sup

t∈[0,N₂]

kw_nt(t)−w_t(t)k< ε.

Insegsamt gilt für alle n≥n0(ε) := max{n₁, n2}

kw_n−wk_X < ε,

d. h.,(w_n)n∈N⊆(u_n)n∈N konvergiert in C, also ist T(B)⊆C relativ kompakt.

Mit dem Fixpunktsatz von Schauder erhalten wir somit die Existenz eines Fixpunktsu∈C von T, der wegen Satz 7.2 eindeutig ist, d. h., wir haben den folgenden Satz bewiesen.

Satz 7.11. Seien u0 ∈ D(A³) und F ∈ C⁰(L²(G),R) lokal Lipschitz-stetig mit F ◦ u ∈ C¹([0,∞),R) für alle u ∈ C¹([0,∞), L²(G)) und F(u₀) > −q. Weiter seien λ₁ := q+F(u₀), c1 > λ1 und v2, β >0 positive Konstanten.

i) Sei k >0 derart, dass k < λ₁(c₁−λ₁),

ii) seien α₁, α₂ >0 derart, dass (α₁+α₂)^k−λ_c^1(c1−λ1)

1−λ1 ≤ −c₁, iii) sei v₁ >0 derart, dass v₁ku₀k^α_D(A)^1+α2

λ1−c1

k−λ₁(c1−λ₁)

α1

≤k.

Weiter gelte

(iv) |F(u)| ≤v2kuk^β,|F(u0)| ≤ _c^k

1,

(v)

_dt^dF(u(t))

≤v₁ku(t)k^α1ku_t(t)k^α2 für alle u∈C¹([0,∞), L²(G)), (vi) ∃L₁>0 ∀u₁, u2∈C¹([0,∞), L²(G))mit ku_i(t)k ≤ ku₀k_D(A)k−λ^λ1−c1

1(c1−λ1) und ku_it(t)k ≤ ku₀k_D(A) für alle t∈[0,∞), i= 1,2:

d

dtF(u₁(t))− d

dtF(u₂(t))

≤L₁(ku₁(t)−u₂(t)k+ku_1t(t)−u_2t(t)k), t∈[0,∞).

Dann besitzt das Problem (7.5) zu F eine eindeutige Lösung u ∈ C⁰([0,∞), D(A)) ∩ C¹([0,∞), L²(G)), mit

ku(t)k ≤ ku₀k_D(A) λ₁−c₁ k−λ1(c1−λ1)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

und ku_t(t)k ≤ ku₀k_D(A)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

für alle t∈[0,∞).

Für den Beweis von Satz 7.11 wurde u0 ∈ D(A³) einschränkend vorausgesetzt, was für die Anwendung des Auswahlsatzes von Rellich nötig war. Dies wollen wir im Folgenden verbessern.

Dazu zeigen wir stetige Abhängigkeit der Lösungen von den Anfangsdaten.

Lemma 7.12. Sei u₀ ∈D(A) und F zu u₀ wie in Satz 7.11. Weiter seien u₀₁, u₀₂ ∈D(A) und u1, u2 ∈X zugehörige Lösungen von (7.5) zu F mit

ku_i(t)k ≤M₁ und ku_it(t)k ≤M₂

für ein M₁>0, ein M₂>0 und für alle t∈[0,∞), i= 1,2. Zusätzlich gelte

∃L₁ =L1(M1, M2, F)>0 ∀t∈[0,∞) :

d

dtF(u₁(t))− d

dtF(u₂(t))

≤L₁ ku₁(t)−u₂(t)k_D(A)+ku_1t(t)−u_2t(t)k

, t∈[0,∞).

Dann gibt es für alle N >0 ein C >0, das nur von N,M₁, M₂ und F abhängt, so dass ku₁−u₂k_N ≤Cku₀₁−u₀₂k_D(A).

Beweis. SeienN >0 beliebig,M := max{M₁, M2}. Aus (7.5) folgt für alle t∈[0, N] kAu_i(t)k ≤ ku_it(t)k+

t

Z

0

|F(ui(t−s))|ku_it(s)kds≤M +v2M^β+1N <∞,

d. h., es gibt einK >0, so dass für allet∈[0, N] u₁(t), u₂(t)∈n

f ∈H₀¹(G) :kfk_H1

0(G)≤Ko

=:N.

Mit dem Auswahlsatz von Rellich folgt die Kompaktheit von N^L2(G) ⊆ L²(G). Da F lokal Lipschitz-stetig ist, gibt es ein L >0, das von M undN abhängt, so dass für allet∈[0, N]

|F(u₁(t))−F(u₂(t))| ≤Lku₁(t)−u₂(t)k.

Seip >0, dann gilt für t∈[0, N]

e^−ptku₁(t)−u₂(t)k ≤e^−tqe^−ptku₀₁−u₀₂k +e^−pt

t

Z

0

e^−(t−s)q

s

Z

0

|F(u1(s−r))|e^pre^−prku_1t(r)−u2t(r)kdrds

+e^−pt

t

Z

0

e^−(t−s)q

s

Z

0

|F(u1(s−r))−F(u2(s−t))|ku_2t(r)kdrds

≤e^−tqe^−ptku₀₁−u02k +e^−pt

t

Z

0

e^−(t−s)q

s

Z

0

|F(u1(s−r))|e^pre^−prku_1t(r)−u2t(r)kdrds

+e^−pt

t

Z

0

e^−(t−s)q

s

Z

0

Le^−p(s−r)e^p(s−r)ku₁(s−r)−u₂(s−r)k

· ku_2t(r)kdrds

Daraus folgt

Weiter gilt mit (7.11) e^−ptku_1t(t)−u2t(t)k

ku_2t(t)kdrds

≤ ku₀₁−u02k_D(A)

Daraus folgt

e^−ptkAu₁(t)−Au2(t)k ≤ ku₀₁−u02k_D(A)

+ 1

p(λ1+p)v1M^α1+α2 sup

t∈[0,N]

e^−ptku_1t(t)−u2t(t)k

+ 1

p(λ1+p)L1M sup

t∈[0,N]

e^−ptku₁(t)−u2(t)k_D(A)

+ 1

p(λ1+p)L1M sup

t∈[0,N]

e^−ptku_1t(t)−u2t(t)k +1

pLM sup

t∈[0,N]

e^−ptku₁(t)−u2(t)k.

(7.16)

Betrachten wir wieder die zu k · k_N äquivalente Normk · k^p_N aus dem Beweis von Satz 7.4, dann folgt aus (7.14)–(7.16)

sup

t∈[0,N]

e^−ptku₁(t)−u₂(t)k_D(A)≤2ku₀₁−u₀₂k_D(A)+ 1

p(p+q)K₁ku₁−u₂k^p_N +1

pK₂ku₁−u₂k^p_N, sup

t∈[0,N]

e^−ptku_1t(t)−u2t(t)k ≤ ku₀₁−u02k_D(A)+ 1

p(λ1+p)K3ku₁−u2k^p_N, wobei

K₁ :=v₂M^β+LM+v₁M^α1+α2 + 2L₁M, K₂ :=LM, K₃ :=v₁M^α1+α2+ 2L₁M.

Wählt manp >0 derart, dass K:= max

1

p(p+q)K1,1

pK2, 1

p(λ₁+p)K3

< 1 2, so folgt

ku₁−u2k^p_N ≤2ku₀₁−u02k_D(A)+ 2Kku₁−u2k^p_N, woraus

ku₁−u₂k^p_N ≤Cku₀₁−u₀₂k_D(A)

mitC:= _1−2K² folgt. Da die Normenk · k_N undk · k^p_N äquivalent sind, ist damit alles gezeigt.

Nun können wir folgenden Satz beweisen.

Satz 7.13. Seien u0 ∈ D(A) und F ∈ C⁰(L²(G),R) lokal Lipschitz-stetig mit F ◦ u ∈ C¹([0,∞),R) für alle u ∈ C¹([0,∞), L²(G)) und F(u₀) > −q. Weiter seien λ₁ := q+F(u₀), c₁ > λ₁ und v₂, β >0 positive Konstanten.

i) Seik >0 derart, dass k < λ1(c1−λ1),

ii) seienα₁, α₂>0 derart, dass(α₁+α₂)^k−λ_c^1(c1−λ1)

1−λ₁ <−c₁, iii) sei v₁>0 derart, dassv₁ku₀k^α_D(A)^1+α2

λ1−c1

k−λ₁(c1−λ₁)

α1

< k.

Weiter gelte

(iv) |F(u)| ≤v₂kuk^β, |F(u₀)| ≤ _c^k

1, (v)

_dt^dF(u(t))

≤v1ku(t)k^α1ku_t(t)k^α2 für alle u∈C¹([0,∞), L²(G)), (vi) ∃ε >0 ∃L₁>0 ∀u₁, u2∈X mit ku_i(t)k ≤ ku₀k_D(A)k−λ^λ1−c1

1(c1−λ1) +ε und ku_it(t)k ≤ ku₀k_D(A)+ε für alle t∈[0,∞), i= 1,2 :

_dt^dF(u1(t))−_dt^dF(u2(t))

≤L1 ku₁(t)−u2(t)k_D(A)+ku_1t(t)−u2t(t)k

, t∈[0,∞).

Dann besitzt das Problem (7.5) zu F eine eindeutige Lösung u ∈ C⁰([0,∞), D(A)) ∩ C¹([0,∞), L²(G)), mit

ku(t)k ≤ ku₀k_D(A) λ1−c1

k−λ1(c1−λ1)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

und ku_t(t)k ≤ ku₀k_D(A)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

für alle t∈[0,∞).

Beweis. Aus (7.8) folgt

∃(u_0n)n∈N⊆D(A³) :ku₀−u0nk_D(A)^n→∞−→ 0.

Da F stetig ist und somit q+F(u) stetig von u ∈L²(G) abhängt, gibt es ein n₀ ∈N, so dass für alle n≥n0 das Problem (7.5) zuF und u0n nach Satz 7.11 eine eindeutige Lösung un∈X besitzt, mit

ku_n(t)k ≤ ku_0nk_D(A)k−λ^λn−c1

n(c1−λn)e

k−λn(c1−λn) c1−λn t

und ku_nt(t)k ≤ ku_0nk_D(A)e

k−λn(c1−λn) c1−λn t

(7.17) für alle t∈[0,∞) undn≥n0, wobeiλn:=q+F(u0n) für n≥2.

Wir setzen M1 := ku₀k_D(A)k−λ^λ1−c1

1(c1−λ₁) +ε, M2 := ku₀k_D(A)+ε, dann gibt es ein n1 ≥ n0, so dass für allen≥n1 und allet∈[0,∞) ku_n(t)k ≤M1 undku_nt(t)k ≤M2. Mit Lemma 7.12 folgt (un)n∈N⊆XN ist für alleN >0 eine Cauchyfolge. Daraus folgt

∃u∈X ∀N >0 :ku−unk_N ^n→∞−→ 0.

Mit Grenzübergang n→ ∞ von (7.5) und (7.17) folgt, dass u eine Lösung von (7.5) zuF und u0 ist mit

ku(t)k ≤ ku₀k_D(A) λ₁−c₁ k−λ1(c1−λ1)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

und ku_t(t)k ≤ ku₀k_D(A)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

für alle t∈[0,∞), die nach Satz 7.2 eindeutig ist.

Bemerkung 7.14. Die hier vorgestellte Theorie lässt sich auch auf inhomogene Probleme der Art

u_t(t) +Au(t) +

t

Z

0

F(u)(t−s)u_t(s)ds=f(t), u(0) =u₀ übertragen, wobei f ∈ C¹ [0,∞), D A²

. Die Konstruktion einer entsprechenden Selbstabbil-dung wie (7.12) kann analog unter den zusätzlichen Voraussetzungen

kf⁰(t)k_D(A)≤M e^−dt, lim

t→∞kf(t)k_D(A)= 0,

erfolgen, wobeiM ≥0 und d >0 mit d(c₁−λ₁)> k falls d < λ₁. Die Kleinheitsbedingungen an die KernfunktionF hängen in diesem Fall zusätzlich von M und dab (vgl. Bemerkung 4.15)

Beispiele

In diesem Kapitel werden Beispiele von Kernfunktionen vorgestellt, welche die Voraussetzungen von Satz 7.13 erfüllen.

In folgendem Satz werden wir sogenannte radialsymmetrische Funktionen betrachten.

Satz 7.15. Seien u₀ ∈ D(A) und f ∈ C¹([0,∞),R) mit f(ku₀k) > −q und f⁰ lokal Lipschitz-stetig.

Weiter seienλ1 :=q+f(ku₀k),c1> λ1 und v2, β >0.

(i) Seik >0 mit k < λ1(c1−λ1).

(ii) Seiα₁≥1 mit(α₁+ 1)^k−λ_c^1(c1−λ1)

1−λ₁ <−c₁. (iii) Seiv₁ >0 mit v₁ku₀k^α_D(A)¹⁺¹

λ1−c1

k−λ₁(c1−λ₁)

α1

< k.

Weiter gelte für alle x∈[0,∞) (iv) |f(x)| ≤v2|x|^β,|f(ku₀k)| ≤ _c^k

1, (v) |f⁰(x)| ≤v1|x|^α1.

Dann besitzt das Problem (7.5) zu F, definiert durch F(u) := f(kuk) für u ∈ L²(G), eine eindeutige Lösung u∈C⁰([0,∞), D(A))∩C¹([0,∞), L²(G)), mit

ku(t)k ≤ ku₀k_D(A) λ1−c1

k−λ1(c1−λ1)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

und ku_t(t)k ≤ ku₀k_D(A)e

k−λ1(c1−λ1) c1−λ1 t

für alle t∈[0,∞).

Beweis. Offensichtlich istF stetig. Weiter istF◦ufür alleu∈C¹([0,∞), L²(G))differenzierbar

mit d

dtF(u(t)) =f⁰(ku(t)k)d

dtku(t)k.

Eine einfache Rechnung ergibt d

dtku(t)k= ( D

1

ku(t)ku(t), ut(t) E

, u(t)6= 0 ku_t(t)k, u(t) = 0 , d. h., es gilt mitα₂:= 1 und(v)

d

dtF(u(t))

≤f⁰(ku(t)k)ku_t(t)k ≤v₁ku(t)k^α1ku_t(t)k^α2.

Falls t₀ ∈[0,∞) eine isolierte Nullstelle von u ist, dann gilt für t6= t₀ mit |t−t₀| hinreichend klein

1

ku(t)ku(t) = 1

ku(t)−u(t0)k(u(t)−u(t₀))^t→t−→⁰ 1

ku_t(t0)ku_t(t₀) (Konvergenz inL²(G)).

Damit gilt

wobeiLε eine Lipschitzkonstante vonf⁰ auf[−M_ε, Mε]sei. Hierbei wurde ausgenutzt, dass Nun folgt alles aus Satz 7.13.

7.2 Ortsabhängige Kernfunktionen

In diesem Kapitel untersuchen wir Probleme der Art u_t(t, x) +Au(t, x) +

t

Z

0

F(u(t−s, x))u_t(s, x)ds= 0, (t, x)∈[0,∞)×G, u(0, x) =u0(x), x∈G,

u(t, x) = 0, (t, x)∈[0,∞)×∂G,

(7.18)

wobeiG⊆Rⁿ ein beschränktes Gebiet, u: [0,∞)×G→R,F :R→R,u₀ :G→ Rund A ein elliptischer Operator wie in Kapitel 7.1.

7.2.1 Vorbemerkungen

Definition 7.16 (C^k-Rand, vgl. [15, S. 710]). Sei G⊆ Rⁿ offen und beschränkt. G hat einen C^k-Rand ∂G, falls für jedes x0 ∈ ∂G ein r > 0 und eine C^k-Funktion γ : Rⁿ⁻¹ → R derart existieren, dass

U ∩B(x0, r) ={x∈B(x0, r) :xn> γ(x1, . . . , xn−1)}.

Im Folgenden sei G⊆Rⁿ ein beschränktes Gebiet, das einen C^k-Rand besitzt, wobei k für die nachvolgenden Resultate hinreichend groß gewählt sei. Der OperatorAsei definiert wie in (7.2).

V 1. Sobolevscher Einbettungssatz ([1, Theorem 4.12]): Es gilt

H^j+m(G),→C^j(G), (stetige Einbettung) (7.19) falls j∈N0 und m∈Nmit 2m > n.

V 2. Gagliardo- Nirenberg Ungleichung ([17, Theorem 10.1], [31, Theorem 4.4]): Seien r ≥1, q≤ ∞, m∈N, h∈ {0, . . . , m} und s >0, mit

1 s = h

m 1 q +

1− h

m 1

r. Dann gilt

∃C >0 ∀u∈W^m,q(G)∩L^r(G) ∀β∈Nⁿ₀ mit|β|=h:k∂^βuk_Ls(G)≤Ckuk

h m

W^m,q(G)kuk¹⁻

h m

L^r(G). V 3. Seien k ∈ N, aij ∈ C^2k−1(G) für i, j = 1, . . . , n und a ∈ C^2k−2(G). Dann gilt für u ∈ D(A^k)∩C^2k(G)

A^ku= X

β∈Nⁿ0,|β|≤2k

P_β(∂^γ1a_ij, ∂^γ2a; i, j= 1, . . . , n, |γ₁| ≤2k−1, |γ₂| ≤2k−2)·∂^βu,

wobei die Polynome P_β vom GraddegP_β ≤ k seien, wie man per Induktion nach |β| mit (7.2) und partieller Integration leicht zeigen kann.

V 4. Elliptische Regularität: Seien k ∈ N, a_ij, a ∈ C^2k−1(G) für i, j = 1, . . . , n. Nach [15, Rechnung wie in [31, Beweis zum Lemma 4.7]

k∂^β(F(u))k ≤

Mit der Ungleichung von Gagliardo-Nirenberg (V2.) erhalten wir mit h =i, m =|β|, s= ^2|β|_i , q= 2 und r=∞

Daraus folgt im Fall kuk_D(Ak)≤1

V 7. Seik∈Nderart, dass4k > n. Weiter seienF ∈C^2k(R,R) mitF^(2k) lokal Lipschitz-stetig

wobei Lµ>0 eine Lipschitzkonstante von F^(µ) auf

ist. Weiter gilt

Analog zeigt man Daraus folgt mit V4. und V6.

∃K =K(C₀, C₁, F, k, M)>0 ∀u₁, u₂ ∈D(A^k)∩C^∞(G) mitku_ik_D(Ak) ≤M (i= 1,2) : kF(u1)−F(u2)k_D(Ak) ≤Kku₁−u2k_D(Ak).

V 8. Leibniz-Regel [15, Theorem 1 (S. 261)]: Seien u, v ∈ C^s(G) für ein s ∈ N, dann gilt für β ∈Nⁿ₀ mit |β|=s

∂^β(uv) = X

r∈Nⁿ0,r≤β

β r

∂^ru∂^β−rv,

wobei β

r

:= _r!(β−r)!^β! .

V 9. Seien k∈Nderart, dass 4k > nund u, v∈D(A^k)∩C^∞(G). Weiter sei F ∈C^(2k)(G) mit F⁽ⁱ⁾(0) = 0 für i∈ {0, . . . ,2(k−1)}. Dann gilt insbesondere mit V4. und V5. u, v ∈H^2k(G)∩ C^∞(G)undF(u)∈H^2k(G)∩C^2k(G), woraus nach [1, Theorem 4.39]F(u)v∈H^2k(G)∩C^2k(G) folgt. Es gilt mit V3. und V8. fürm∈ {0, . . . , k}

A^mF(u)v= X

β∈Nⁿ0,|β|≤2m

X

r∈Nⁿ0,r≤β

P_β β

r

∂^rF(u)∂^β−rv.

Wie in V6. kann man F(u)v∈D(A^k) zeigen.

Analog gilt F(u)vw∈D(A^k) füru, v, w∈D(A^k)∩C^∞(G).

V 10. Seien u1 ∈ D(A^k), u2 ∈ H^2k(G) mit u1 H^2k

= u2. Da D(A) = H₀¹(G)∩H²(G) (vgl.

[15, Theorem 4 (S. 334)]), folgt: u₂ ∈ D(A). Falls für ein m ∈ {1, . . . , k−1}: u₂ ∈ D(A^m), so gilt wegen u₁ ^H=^2k u₂ und V4.: u₁ ^D(A

m)

= u₂, d. h., A^mu₁ ^L=² A^mu₂. Da A^mu₁ ∈ D(A) = H₀¹(G)∩H²(G), folgt A^mu2 ∈D(A), d. h. u2 ∈D(A^m+1). Iterativ folgt u2 ∈D(A^k) und wegen V4.: u₁ ^D(A

k)

= u₂.

V 11. Wir zeigen, dass D A^k

∩C^∞( ¯G) ⊆ D A^k

dicht bezüglich k · k_D(Ak) ist. Seien dazu u0 ∈D A^k

und ε >0. In (7.4) haben wir gezeigt, dass einD≥1 derart existiert, dass

∀m∈N∀u∈D(A^m) :kuk_D(Am)≤Dkuk_D(Am+1). Wir definieren

bn:=ε 1

2D n

fürn∈N. Da für alle m∈ND A^m+1

dicht in D(A^m) (vgl. (7.7)), gilt

∃u₁ ∈D

A^k+1

:ku₁−u0k_D(Ak)< b1,

∃u₂ ∈D A^k+2

:ku₂−u₁k_D(Ak+1)< b₂,

∃u₃ ∈D

A^k+3

:ku₃−u2k_D(Ak+2)< b3, ...

etc.

Seij ∈N0, dann erhalten wir für i≥j und p≥0

. Daraus folgt

∀j∈N0 ∃w_j ∈D

Damit haben wir gezeigt, dass T

j∈N0D A^k+j

dicht in D A^k

. Mit V4. erhalten wir damit, dass D A^k T

j∈NH^2(k+j)(G) dicht in D A^k

ist. Die gewünschte Dichtheitsaussage folgt nun mit V1.

V 13. V11. angewandt auf V4. liefert (man beachte, dass die erste Ungleichung aus V4. bereits füru∈D(A^k) gilt)

∃C₁, C₂>0 ∀u∈D(A^k) :u∈H^2k(G) mitC₁kuk_H2k(G) ≤ kuk_D(Ak)≤C₂kuk_H2k(G). V 14. Sei k ∈ N derart, dass 4k > n. Weiter sei F ∈ C^2k(R,R) mit |F⁽ⁱ⁾(x)| ≤ v₁|x|^α für i= 0, . . . ,2k mitv₁, α >0. V11. und V12. angewandt auf V6. liefert

∃C₄ >0 ∀u∈D(A^k) :F(u)∈D(A^k) mitkF(u)k_D(Ak) ≤

( C₄v₁kuk^α

D(A^k), kuk_D(Ak)≤1, C4v1kuk^α+2k_D(Ak), kuk_D(Ak)>1.

V 15. Sei k∈N derart, dass 4k > n. Weiter sei F ∈C^2k(R,R) mitF^(2k) lokal Lipschitz-stetig und F⁽ⁱ⁾(0) = 0für i= 0, . . . ,2(k−1). V11. und V12. angewandt auf V7. liefern

∀M >0 ∃K >0 ∀u₁, u2∈D(A^k) mit ku_ik_D(Ak)≤M (i= 1,2) : kF(u₁)−F(u₂)k_D(Ak) ≤Kku₁−u₂k_D(Ak).

V 16. Sei k ∈ N derart, dass 4k > n. Weiter seien F ∈ C^2k(R,R) mit F^(2k) lokal Lipschitz-stetig, F⁽ⁱ⁾(0) = 0 für i = 0, . . . ,2(k−1) und u, v ∈ D(A^k), dann existieren nach V11. und V12. Folgen (un)n∈N,(vn)n∈N ⊆D(A^k)∩C^∞(G) mit un

D(A^k)

−→ u, vn D(A^k)

−→ v, F(un)^D(A

k)

−→ F(u) und F(v_n)^D(A

k)

−→ F(v). Es gilt (H^2k(G) ist nach [1, Theorem 4.39] eine Banachalgebra)F(u)v∈ H^2k(G), mit

kF(u)v−F(un)vnk_H2k ≤CkF(u)−F(un)k_H2kkvk_H2k+CkF(un)k_H2kkv−vnk_H2k

n→∞,V4.

−→ 0.

Weiter gilt mit V4.

kF(un)vn−F(um)vmk_D(Ak)

≤ C₂CkF(u_n)k_H2kkv_n−v_mk_H2k+C₂CkF(u_n)−F(u_m)k_H2kkv_mk_H2k

V7.≤ C2CkF(un)k_H2kkv_n−vmk_H2k+ ^C2_C^CK

1 ku_n−umk_D(Ak)kv_mk_H2k

n,m→∞,V4.

−→ 0.

Daraus folgt mit V4.

∃z∈D(A^k) :F(un)vn D(A^k)

−→ z, woraus sichF(un)vn

H^2k

−→z sowie F(u)v^H

2k

= z ergibt. Mit V10. folgt F(u)v∈D(A^k). Weiter gilt mit V4.

kF(u)vk_D(Ak)≤C₂kF(u)vk_H2k ≤C₂CkF(u)k_H2kkvk_H2k ≤ C₂C

C₁² kF(u)k_D(Ak)kvk_D(Ak)

=:C3kF(u)k_D(Ak)kvk_D(Ak).

Analog zeigt man F(u)vw∈D(A^k) für u, v, w∈D(A^k).

V 17. Lösungsbegriff:

Seien k ∈N mit 4k > n, G⊆Rⁿ ein beschränktes Gebiet mit C^2k-Rand (vgl. Definition 7.16), F ∈ C⁰(R,R) lokal Lipschitz-stetig und u0 ∈ D A^k

. Wir interessieren uns für Lösungen u ∈ C⁰([0,∞), D(A^k))∩C¹([0,∞), D(A^k−1)) von

ut(t) +Au(t) +

t

Z

0

F(u(t−s))ut(s)ds^L

2(G)

= 0, u(0)^D(A

k)

= u0.

(7.20)

Das Problem (7.20) ist sinnvoll formuliert, denn es gilt für t∈[0,∞), s₁, s₂∈[0, t]

kF(u(t−s1))ut(s1)−F(u(t−s2))ut(s2)k

≤ kF(u(t−s1))k_∞ku_t(s1)−ut(s2)k+kF(u(t−s1))−F(u(t−s2))k_∞ku_t(s2)k

V1., V13.

≤ Mku_t(s₁)−u_t(s₂)k+Lku(t−s₁)−u(t−s₂)k∞ku_t(s₂)k

V1., V13.

≤ Mku_t(s1)−ut(s2)k_D(Ak−1)+LM2C0

C1ku(t−s1)−u(t−s2)k_D(Ak) s2→s₁

−→ 0, wobei M := max_x∈^hC0

C1M1,^C_C⁰

1M1

i|F(x)|mit M1:= max_s∈[0,t]ku(s)k_D(Ak), M₂ := max

s∈[0,t]ku_t(s)k_D(Ak−1), L > 0 eine Lipschitzkonstante von F auf h

−^C_C⁰

1M₁,^C_C⁰

1M₁i und C₀>0 die Konstante aus der Einbettung (7.19) bezeichnen.

Bemerkung 7.17. Die geforderte Regularität des Randes in V17. ist für einige der verwende-ten Hilfsmittel zu stark. Der Sobolevsche Einbettungssatz V1. gilt bereits in Gebieverwende-ten, welche die strenge lokale Lipschitzbedingung (vgl. [1, Definition 4.9]) erfüllen, der Spuroperator in V6. exi-stiert in beschränkten Gebieten mitC¹-Rand undH^2k(G) ist eine Banachalgebra (vgl. V9.), falls G ein Gebiet ist, das die Kegelbedingung (vgl. [1, Definition 4.6]) erfüllt. Die elliptische Regu-larität des Operators A in V4. macht die Forderung nach einem C^2k-Rand nötig, was sämtliche hier erwähnten Glattheitsbedingungen impliziert (vgl. [1, S. 83-84]).

7.2.2 Lineares Problem

Im Folgenden seienn∈N,k∈N derart, dass4k > n und G⊆Rⁿ ein beschränktes Gebiet mit C^2k-Rand. Weiter seiq >0mitσ(A)⊆[q,∞) wie in Kapitel 7.1.1. Wir untersuchen, für welche Funktionen m: [0,∞)→L²(G) folgendes lineares Problem

u∈C⁰([0,∞), D(A))∩C¹([0,∞), L²(G)) : ut(t) +Au(t) +

t

Z

0

m(t−s)ut(s)ds= 0, t∈(0,∞), u(0) =u₀ ∈D(A),

(7.21)

inL²(G) wohlgestellt ist.

Satz 7.18. Seien m ∈C¹([0,∞), D(A^k)) mit m(0)(x) ≥ −q+ε für ein ε > 0 und alle x ∈G und u₀ ∈D(A^k+1). Darüberhinaus gelte m_t(t)v∈D(A^k) für alle t∈[0,∞) und allev∈D(A^k).

Dann existiert eine eindeutige Lösung u∈C¹([0,∞), D(A^k))∩C²([0,∞), D(A^k−1)) von (7.21).

Bemerkung 7.19. Die Bedingung m(0)(x)≥ −q+ε ist wegen V1. und V13. sinnvoll gestellt.

Beweis von Satz 7.18. Fürt∈[0,∞) und u∈C¹([0,∞), D(A^k))definieren wir

w(t) :=

t

Z

0

mt(t−s)ut(s)ds.

Analog zu V16. gilt für allet∈[0,∞)und alle s∈[0, t]

km_t(t−s)ut(s)k_D(Ak)≤C3km_t(t−s)k_D(Ak)ku_t(s)k_D(Ak). Damit erhalten wir

w∈C⁰([0,∞), D(A^k)).

Der weitere Beweis erfolgt unter Verwendung von V16. analog zum Beweis von Satz 7.4, wobei man statt mit λ₁ mit εarbeitet, und die Normen k · k_D(A) und k · k_L2(G) durch k · k_D(Ak) und k · k_D(Ak−1) ersetzt.

Wir beweisen folgendes Resultat zur Asymptotik von Lösungen von (7.21).

Lemma 7.20. Seien u₀ ∈ D(A^k+1) und m ∈ C¹([0,∞), D(A^k)) mit m(0)(x) ≥ −q +ε für ein ε > 0 und alle x ∈ G. Darüberhinaus gelte mt(t)v ∈ D(A^k) für alle t ∈ [0,∞) und alle v ∈ D(A^k). Weiter gelte km_t(t)k_D(Ak) ≤ ωe^−c1t und lim

t→∞km(t)k_D(Ak) = 0, wobei c₁ > ε und ω >0 derart, dass

C₃ω < ε(c₁−ε) und C₀ C1

ω < ε(c₁−ε).

Dann gilt für die Lösung von (7.21) zu u0 gemäß Satz 7.18 ku_t(t)k_D(Ak) ≤ kAu₀k_D(Ak)e

C3ω−ε(c1−ε) c1−ε t

und ku(t)k_D(Ak)≤ kAu₀k_D(Ak)

ε−c₁ C3ω−ε(c1−ε)e

C3ω−ε(c1−ε) c1−ε t

sowie ku_t(t)k ≤ ku₀k_D(A)e

C0

C1ω−ε(c1−ε) c1−ε t

und ku(t)k ≤ ku₀k_D(A) ε−c1 C0

C1ω−ε(c1−ε)e

C0

C1ω−ε(c1−ε) c1−ε t

.

Beweis. Differenzieren von (7.21) nach t liefert einen Operator Ae := A+m(0,·), für dessen Spektrum σ(A)e ⊆[ε,∞) gilt. Der weitere Beweis geht unter Verwendung der Vorbemerkungen V1., V13. und V16. im Wesentlichen analog zum Beweis von Lemma 7.6.

Bemerkung 7.21. Ähnlich zu vorangegangenen Kapiteln sind auch hier Resultate mit höherer Regularität möglich, doch setzt dies in diesem Fall eine höhere Regularität der Kernfunktion voraus, was für die weitere Theorie nicht wünschenswert ist.

7.2.3 Existenz und Asymptotik

Seien ähnlich wie im vorangegangen Kapitel X := 7.20 ein Element vonC. Wir definieren

T :C →C, v7→Tv:=u_v, (7.22)

wobeiu_v Lösung von (7.21) zum:=F◦v. Wir zeigen, dass T wohldefiniert ist. Sei dazuv∈C. Mit V15. folgt m ∈ C⁰ [0,∞), D A^k

. Da v in [0,∞) Fréchet-differenzierbar ist, gibt es für

alle t∈[0,∞) eine im Nullpunkt stetige Funktion r₁ : (−t,∞)→D A^k

mit r₁(0) = 0, so dass für alle h∈(−t,∞)

v(t+h)^D(A

k)

= v(t) +v_t(t)h+r₁(h)|h|.

Wegen V1. gilt die Gleichheit in C⁰(G). Insbesondere ist die Abbildung t 7→ v(t, x) für alle x ∈ G differenzierbar und es gilt _∂t^∂F(v(t, x)) = F⁰(v(t, x))vt(t, x) in G. Da F⁰(v)vt ∈ C⁰ [0,∞), D A^k

(wegen V15. und V16.), existiert

F(v(t))−F(u₀)^f.ü.=

t

Z

0

F⁰(v(s))v_t(s)ds∈D A^k

und wegen V10. gilt diese Gleichung bereits inD A^k

. Daraus folgt, dassF(v)inD A^k

Fréchet-differenzierbar ist (vgl. Lemma 1.8) mit

d

dtF(v(t))^D(A

k)

= F⁰(v(t))v_t(t).

Somit gilt m∈C¹ [0,∞), D A^k

. Weiter gilt m(0)(x) =F(v(0, x)) =F(u0(x))>−q+εfür alle x ∈ G. Wir definieren K(x) :=

α, kxk_D(Ak) ≤1 α+ 2k, kxk_D(Ak) >1

(x ∈ D A^k

). Mit V16. folgt Mt(t)w∈D A^k

für alle t∈[0,∞) und allew∈D A^k

. Es gilt für t∈[0,∞) km_t(t)k_D(Ak) = kF⁰(v(t))v_t(t)k_D(Ak)

V16.≤ C₃kF⁰(v(t))k_D(Ak)kv_t(t)k_D(Ak) (v),V14.

≤ C3C4v1kv(t)k^K(v(t))

D(A^k) kv_t(t)k_D(Ak) v∈C

≤ C₃C₄v₁kAu₀k^K(v(t))+1

D(A^k)

ε−c1

C3ω−ε(c₁−ε)

K(v(t))

e(K(v(t))+1)^C3ω−ε(c_c ^1−ε)

1−ε t (iii),(iv)

≤ ωe^−c1t. Weiter gilt

km(t)k_D(Ak) = kF(v(t))k_D(Ak)

V14.≤ C4v1kv(t)k^α_D(Ak)

v∈C

≤ C4v1kAu₀k^α_D(Ak)

ε−c₁ C3ω−ε(c1−ε)

α

e^α

C3ω−ε(c1−ε) c1−ε t (i),(ii)

−→ 0 für t→ ∞.

Nun folgt mit Satz 7.18 und Lemma 7.20 Tv∈C.

Bemerkung 7.22. Die Anwendung des Schauderschen Fixpunktsatzes für die Abbildung T ist in diesem Fall nicht zielführend, da die Anwendung des Auswahlsatzes von Rellich (vgl. Fall der ortsunabhängigen Kernfunktionen) eine höhere Regularität von Tv für v ∈ C erfordert, was aufgrund der Invarianz der Menge C bezüglich T jedoch nicht gegeben ist (vgl. Bemerkung 7.21). Auch die Anwendung des Banachschen Fixpunktsatzes ist problematisch, denn dies macht das Arbeiten auf beschränkten Zeitintervallen der Art [0, N](N >0) nötig (vgl. z. B. Beweis zu Satz 7.4). Bei entsprechender Anpassung der MengeC auf beschränkte Intervalle stellt sich jedoch die Frage, ob diese Menge ebenfalls invariant unter T ist. Dafür betrachten wir eine Funktion

u∈CN mit

Zur Gewinnung der in CN auftretenden Abschätzungen für Tu ist das Verhalten der Kernfunk-tionm=F◦u von (7.21) für große t entscheidend und es ist daher nötig, nach der Möglichkeit der Fortsetzbarkeit von u in die Menge

C˜:=

zu fragen. Wie man leicht sehen kann, ist die konstante Funktion u ≡ Au_0C ^ε−c1

3ω−ε(c1−ε)e

C3ω−ε(c1−ε) c1−ε N

ein Element aus CN, jedoch lässt sich u nicht zu einer Funk-tion aus C˜fortsetzen. Wir werden jedoch sehen, dass die Gewinnung eines Fixpunktes von T in C durch eine Übertragung der Beweistechnik² des Banachschen Fixpunktsatzes möglich sein wird.

Seien u⁰ ∈C beliebig, uⁿ:=Tuⁿ⁻¹ ∈C für n∈N. Sei für N >0:XN :=C¹ [0, N], D A^k , versehen mit der Norm

kuk_N := max Wir werden im nachfolgenden Lemma mit einer äquivalenten Norm

kuk_X^p

(p >0) arbeiten.

Lemma 7.23. Es gilt für alleN >0: (uⁿ)n∈N⊆XN ist eine Cauchyfolge.

d. h., es gilt insbesondere Tuⁿ(t)^D(A

SeienN >0,n∈N,t∈[0, N]undp >0.

Wir erhalten mitM := max

Differenzieren von (7.23) nacht und Variation der Konstanten liefern

(Tuⁿ)_t(t)^D(A

Wählen wir nunp >0 derart, dass

(i) _p(q+p)^K1 ≤ ¹₂, (ii) _p(q+p)^K2 ≤ ¹₄, (iii) _p(ε+p)^K3 ≤ ¹₄, (iv) _p(ε+p)^K4 ≤ ¹₂, dann folgt aus obigen Rechnungen für alle n∈N

kTuⁿ−Tuⁿ⁻¹k_X^p

N ≤ 1

2kTuⁿ−Tuⁿ⁻¹k_X^p

N +1

4kuⁿ−uⁿ⁻¹k_X^p

N, d. h.,

kTuⁿ−Tuⁿ⁻¹k_X^p

N ≤ 1

2kuⁿ−uⁿ⁻¹k_X^p

N. Daraus folgt für allen∈N

kuⁿ⁺¹−uⁿk_X^p

N =kTuⁿ−Tuⁿ⁻¹k_X^p

N ≤ 1

2kuⁿ−uⁿ⁻¹k_X^p

N ≤

1 2

n

ku¹−u⁰k_X^p

N, d. h., es gilt fürn, m∈N

ku^n+m−uⁿk_X^p

N ≤

m−1

X

i=0

kuⁿ⁺¹⁺ⁱ−uⁿ⁺ⁱk_X^p

N ≤

m−1

X

i=0

1 2

n+i

ku¹−u⁰k_X^p

N

≤ 1

2 n ∞

X

i=0

1 2

i

ku¹−u⁰k_X^p

N = 1

2 n−1

ku¹−u⁰k_X^p

N

n→∞−→ 0, unabhängig vonm.

Demnach ist(uⁿ)n∈N⊆XN für alle N >0eine Cauchyfolge.

Aus Lemma 7.23 folgt für alle N > 0 die Existenz eines u_N ∈ XN mit kuⁿ−u_Nk_N ^n→∞−→ 0.

Damit definieren wir fürt∈[0,∞)u(t) :=uN(t), fallst≤N. Es gilt für N1 > N2 >0 kuⁿ−uN2k_N2 ^n→∞−→ 0, kuⁿ−uN1k_N1 ^n→∞−→ 0

sowie

kuⁿ−u_N1k_N2 ^n→∞−→ 0.

Die Eindeutigkeit der Grenzwerte liefert uN1

XN2

= uN2, d. h.,u∈X ist wohldefiniert und es gilt kuⁿ−uk_N ^n→∞−→ 0für alleN >0. Daraus folgtu∈C. Grenzübergang von (7.23) liefertTu=u, d. h., u ist eine Lösung von (7.20). u ist eindeutige Lösung von (7.20) in X, wie der folgende Satz zeigt.

Satz 7.24. Seien u0 ∈D A^k

undF ∈C¹(R,R) mit F(u0(x))>−q+εfür einε >0 und alle x∈G. Dann gibt es höchstens eine Lösung u∈C¹ [0,∞), D A^k

von (7.20) zu F undu₀. Beweis. SeienN >0,u₁, u₂ ∈C¹ [0,∞), D A^k

Lösungen von (7.20) zum selben Anfangswert u₁(0) =u₂(0) =u₀∈D A^k

. Dann gilt wegen V1. und V13.:

∃M >0∀t∈[0, N]∀x∈G:|u_i(t)| ≤M, i= 1,2.

Sei L >0 eine Lipschitzkonstante von F auf [−M, M] und M₁ := max

Daraus folgt mit partieller Integration w_t+ (A+F(u₀))w+

Muliplikation mitw(t)inL² führt zu

1

Aus dem Lemma von Gronwall folgt nun analog zum Beweis von Satz 7.2 u₁ = u₂ in C¹ [0,∞), D A^k

, wobei hier κ=ε.

Damit haben wir folgenden Satz bewiesen.

Satz 7.25. Seien k∈N derart, dass 4k > n, G⊆Rⁿ ein beschränktes Gebiet, das einen C^2k

iv) Seiv₁ >0 derart, dass

Weiter erfülleF die Kleinheitsbedingungen v)

von (7.20) mit ku(t)k_D(Ak)≤ kAu₀k_D(Ak) und k · k exponentiell abklingen.

Beweis. Wie im Beweis zu Korollar 4.9 gezeigt, existiert ein M > 0 derart, dass |f⁰⁰⁰(x)| ≤ M|x|für x ∈ h

7.2.5 Bemerkungen

Bemerkung 7.27. Da die Lösungen nach Satz 7.25 beschränkt sind, genügt es, wenn die Kern-funktion F die Kleinheitsbedingung (v) nur für

x∈

−C0

C1

kAu₀k_D(Ak)

ε−c1

C3k−ε(c1−ε),C0

C1

kAu₀k_D(Ak)

ε−c1

C3k−ε(c1−ε)

erfüllt.

Bemerkung 7.28. Das hier vorgestellte Vorgehen lässt sich auch auf inhomogene Probleme der Art

ut(t) +Au(t) +

t

Z

0

F(u(t−s))ut(s)ds=f(t), u(0) =u0, übertragen, wobeif ∈C¹ [0,∞), D A^k

. Die Konstruktion einer Selbstabbildung wie (7.22) ist unter den zusätzlichen Voraussetzungen

kf⁰(t)k_D(Ak)≤M e^−dt, lim

t→∞kf(t)k_D(Ak)= 0,

möglich, wobeiM ≥0und d >0 mitd(c₁−ε)> kfalls d < ε. Die Kleinheitsbedingungen an die Kernfunktion F hängen wie in den Kapiteln zuvor zusätzlich von den Parametern M und d ab (vgl. Bemerkungen 4.15 und 7.14).

Bemerkung 7.29. In Satz 7.25 haben wir die Kleinheitsbedingungen anF in Abhängigkeit eines gegebenen Anfangswerts u0 formuliert. Bedingung (iv) kann alternativ auch als Kleinheitsbedin-gung an den Anfangswert verstanden werden, d. h., dass zu gegebenen α > 0 und v1 > 0 der Anfangswert u₀ bezüglich der k · k_D(Ak)-Norm so klein gewählt wird, dass Bedingung (iv) erfüllt ist.

Wir haben in den Problemen (7.1) und (7.18) im Differentialgleichungsanteil ausschließ-lich elliptische Differentialoperatoren mit Dirichlet-Randbedingungen behandelt. Die Theorie lässt sich auch auf andere Fälle übertragen, z. B. auf elliptische Operatoren mit Neumann-Randbedingungen. Sei für k ∈ N G ⊆ Rⁿ ein Gebiet mit C^2k-Rand. Zu a_ij, a ∈ C^2k−1( ¯G) (i, j= 1, . . . , n) undu, v∈H¹(G) sei erneut

B(u, v) :=

n

X

i,j=1

ha_ij(·)∂_ju, ∂ivi+ha(·)u, vi.

Damit definieren wir D(A) :=

u∈H¹(G)

∃f_u ∈L²(G) ∀v∈H¹(G) :B(u, v) =hf_u, vi und damit

A:D(A)→L²(G), u7→f_u.

Bemerkung 7.30. Seiu∈C²(G)∩C¹( ¯G)∩D(A), dann gilt auf ∂G

n

X

i,j=1

νiaij∂ju= 0,

wobei ν = (ν₁, . . . , ν_n)⁰∈Rⁿ die äußere Einheitsnormale an∂G sei.

Falls(a_ij(·))_ij symmetrisch und gleichmäßig positiv definit inGist unda(x)≥a₀ für eina₀ >0 und allex∈Ggilt, so folgt mit Satz A10.3 aus [2]³

∃C >0 ∀u∈D A^k

:u∈H^2k(G)mit kuk_H2k(G)≤Ckuk_D(Ak). In [27, Kapitel 2.4] wurde gezeigt, dass Aselbstadjungiert ist mit σ(A)⊆[a₀,∞).

Damit können die Aussagen V1. bis V5. analog für den Neumann-Fall bewiesen werden. Wir illustrieren im Fall n≤3 die Gültigkeit einer analogen Aussage wie V6.:

SeienF ∈C²(R,R)und u∈C^∞( ¯G)∩D(A). Dann gilt

3

X

i,j=1

νiaij∂j(F(u)) =F⁰(u)

3

X

i,j=1

νiaij∂ju= 0, d. h., F(u)∈D(A).

Falls zusätzlich

F⁽ⁱ⁾(x)

≤v₁|x|^α

für v1, α >0 und i= 0,1,2, so kann man anaolog zu V5.für u∈C^∞( ¯G)∩D(A)

für v1, α >0 und i= 0,1,2, so kann man anaolog zu V5.für u∈C^∞( ¯G)∩D(A)

Im Dokument Nichtlineare Integro-Differentialgleichungen aus der mathematischen Physik (Seite 83-0)