Lineare Transformationen und Determinanten

(1)

Lineare Transformationen und Determinanten

(2)

Lineare Transformation

cc

Definition:

V und W sind zwei Vektorräume. Eine Funktion T nennt man eine lineare Transformation von V in W:

T : V → W ,

falls für zwei beliebige Vektoren u und v aus V und ein Skalar c die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. T (⃗u+⃗v) =T(⃗u) +T (⃗v) 2. T (c⃗u) =c T (⃗u)

3. T (⃗0) = ⃗0

Die Vektorräume V und W können verschiedene Dimensionen haben, z.B.:

V = ℝ^m, W = ℝⁿ

10-1

Aus 2. ergibt sich:

(3)

Eigenschaften der Determinante

cc

Eine Determinante ist eine Zahl, die einer quadratischen Matrix zugeordnet ist. Diese Zahl charakterisiert die Matrix, d.h. die Transformation.

Der Betrag der Determinante zeigt, um welchen Faktor sich ein n-dimensionales Volumen bei Anwendung der Matrix ändert.

Ein 2-dimensionales Volumen ist eine Fläche, ein 3-dimensionales Volumen ist ein Volumen in unserem anschaulichen Raum.

Im Folgenden wird diese Eigenschaft der Determinante an Beispie- len von linearen Transformationen demonstriert.

(4)

Eigenschaften der Determinante

cc

11-A1

Abb. 1-1: Eine Fläche, die von den Vektoren u und v aufgespannt wird

Die Vektoren u und v bilden ein rechtwinkliges Rechteck mit der Fläche:

F₀ = F_OACB = det u , v =

∣

^{2 0}^{0 1}

∣

⁼ ^{2 FE}



u = OA = 2, 0 , v = OB = 0, 1

(5)

Eigenschaften der Determinante

cc

Wie ändert sich die Fläche bei der Anwendung folgender Transformationen:

F₀

T₁ =



^{2 0}^{0 1}



^, ^T² ⁼



^{1 0}^{0 2}



T₃ =



^⁰ ^⁰



^, ^T⁴ ⁼



^{0 2}^{2 0}



T₅_a =



^cos^sin ^^{ −}^cos^sin ^^



^, ^T⁵^b ⁼



^cos⁻^sin ^^ ^sin^cos^^



T₆ =



^{1 0}^{0 0}



^, ^T⁷ ⁼



^{0 0}^{0 1}



T₈ =



⁻^{0 1}^{1 0}



^, ^T⁹ ⁼



^{1 0}⁰ ⁻¹



^, ^T^{1 0} ⁼



⁻⁰^{1 0}⁻¹



(6)

Eigenschaften der Determinante

cc

11-1a



u ' = T₁ u , v ' = T₁ v , T₁ =



^{2 0}^{0 1}



Abb. 1-2: Die Fläche, die von den Vektoren u' und v' aufspannt wird

(7)

Eigenschaften der Determinante

cc

F ' = FOA ' C ' B ' = det u ' , v ' = det2 u , v = 2 det u , v = 2 F₀



u ' = T₁ u =



^{2 0}^{0 1}



^⋅



^u^u^x^y



⁼



²^u^u^y^x



⁼

^

⁴⁰

^

⁼ ²^^u

v ' = T₁v =



^{2 0}^{0 1}



^⋅



^v^v^x^y



⁼



²^v^v^y^x



⁼

^

⁰¹

^

^{= }^v

T₁ =



^{2 0}^{0 1}



^, ^det ^T¹ ⁼ ²

Die transformierte Fläche ist zweimal größer als die ursprüngliche Fläche.

(8)

Eigenschaften der Determinante

cc

11-2a



u ' = T₂ u , v ' = T ₂ v , T₂ =



^{1 0}^{0 2}



(9)

Eigenschaften der Determinante

cc

F ' = FOA ' C ' B ' = det u ' , v ' = 2 detu , v = 2 F₀



u ' =



^{u '}^{u '}^x^y



⁼

^

^{1 0}^{0 2}

^

^⋅



^u^u^x^y



⁼



²^u^u^x^y



⁼

^

²⁰

^

^{= }^u

v ' =



^{v '}^{v '}^x^y



⁼

^

^{1 0}^{0 2}

^

^⋅



^v^v^x^y



⁼



²^v^v^x^y



⁼

^

⁰²

^

⁼ ²^^v

T₂ =



^{1 0}^{0 2}



^, ^det ^T² ⁼ ²

Die transformierte Fläche ist zweimal größer als die ursprüngliche Fläche.

(10)

Eigenschaften der Determinante

cc

11-2c



u ' = T₃ u =



^⁰ ^⁰



^⋅



^u^u^x^y



⁼



^^ ^u^u^x^y



^{= }

^

²⁰

^

^{=  }^u

v ' = T₃ v =



^⁰ ^⁰



^⋅



^v^v^x^y



⁼



^^ ^v^v^y^x



^{= }

^

⁰¹

^

^{=  }^v

F ' = FOA ' C ' B ' = det u ' , v ' = det u ,  v = =   F₀

Die transformierte Fläche ist um den Faktor α β größer als die ursprüngliche Fläche.

T₃ =



^⁰ ^⁰



^, ^det ^T³ ^{=  }

(11)

Eigenschaften der Determinante

cc

(12)

Eigenschaften der Determinante

cc

11-3b

u ' = T₄ u =



^{0 2}^{2 0}



^⋅



^u^u^x^y



⁼



²²^u^u^x^y



⁼

^

⁰⁴

^

⁼ ²^^u

v ' = T₄ v =



^{0 2}^{2 0}



^⋅



^v^v^x^y



⁼



²² ^v^v^x^y



⁼

^

⁰²

^

⁼ ²^^v

F ' = FOA ' C ' B ' = det u ' , v ' = det2 u , 2 v = 4 detu , v = 4 F₀

T₄ =



^{2 0}^{0 2}



^, ^det ^T⁴ ⁼ ⁴

(13)

Eigenschaften der Determinante

cc

Abb. 1-5a: Die Fläche F', die von den Vektoren u' und v' aufspannt wird, ist die Fläche, die durch Drehung der Fläche F um den Winkel θ = 120° entsteht

(14)

Eigenschaften der Determinante

cc

11-4b

u ' =



^{u '}^{u '}^x^y



⁼

^

^

^⋅



^u^u^x^y



⁼



^cos^sin ^^ ûû^x^x ^⁻ ^cos^sin ^^ ûû^y^y



v ' =



^{v '}^{v '}^x^y



⁼

^

^

^⋅



^v^v^x^y



⁼



^cos^sin ^^ ^v^v^x^x ^⁻ ^sin^cos^^ ^v^v^y^y



F ' = FOA ' C ' B ' = det u ' , v ' =

=

∣

^cos^cos^^ û^v^x^x ⁻⁻ ^sin^sin ^^ û^v^y^y ^sin^sin ^^ û^v^x^x ^^ ^cos^cos ^^ û^v^y^y

∣

⁼

= u_x v_y − u_y v_x = det u , v

T₅_a =





^, ^det ^T⁵^a ⁼ ¹

(15)

Eigenschaften der Determinante

cc

(16)

Eigenschaften der Determinante

cc

11-4d

F ' = FOA ' C ' B ' = det u ' , v ' =

=

∣

^cos^cos^^ û^v^x^x ^^ ^sin^sin^^ û^v^y^y ⁻⁻^sin^sin ^^ û^v^x^x ^^ ^cos^cos^^ ^vû^y^y

∣

⁼

= u_x v_y − u_y v_x = det u , v

Bei einer Drehung um einen Winkel ändert sich die Fläche nicht.

T₅_b =



^cos⁻^sin ^^ ^sin^cos^^



^, ^det ^T⁵^b ⁼ ¹

T₅_b = T₅^T_a , det T₅_a = det T₅^T_a

Wir haben folgende Eigenschaft von Determinanten bewiesen:

(17)

Eigenschaften einer Determinante

cc

Abb. 1-6a: Projektion auf die x-Achse

T₆ r =



^{1 0}^{0 0}



^⋅



^x^y



⁼



⁰^x



det T₆ = 0

(18)

Eigenschaften einer Determinante

cc

11-6

Abb. 1-6b: Projektion auf die y-Achse

T₇ r =



^{0 0}^{0 1}



^⋅



^x^y



⁼



⁰^y



^, ^det ^T⁷ ⁼ ⁰

Die Determinante einer Transformation, die einer orthogonalen Projektion entspricht, ist gleich Null.

(19)

Eigenschaften einer Determinante

cc

Abb. 1-7a: Spiegelung an der y-Achse



⁻^{1 0}

 _

^x

_ _

⁻^x

_

(20)

11-7b Abb. 1-7b: Spiegelung an der x-Achse

(21)

(22)

Eigenschaften einer Determinante

cc

11-7d

T₉ r =



^{1 0}⁰ ⁻¹



^⋅



^x^y



⁼



⁻ ^x^y



^, ^det ^T⁹ ^{= −}¹

(Abbildung 1-7b, Seite 11-7b)

T_{1 0} r =



⁻⁰^{1 0}⁻¹



^⋅



^x^y



⁼



⁻⁻^x^y



^, ^det ^T^{1 0} ⁼ ¹

(Abbildung 1-7c, Seite 11-7c)

Die Determinante einer Transformation, die der Spiegelung an einer Achse entspricht, ist gleich -1.

Die Determinante einer Transformation, die der Spiegelung am Koordinatenursprung entspricht, ist gleich 1.