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Das Volumen eines Glases

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Academic year: 2021

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Das Volumen eines Glases

Der Umriss eines Sektkelches gehorcht der Funktionsgleichung

!

f (x)=

!

6 4 x2.

Bei welcher Höhe h beträgt das Volumen des Kelches 0,2l?

Lösung

Angelehnt an das Prinzip des Cavalieri ergibt sich:

V=

!

A(y)dy

0 h

"

=

!

"x2dy

0 h

#

mit

!

y=

!

6

4 x2"x2 = 4

6 y folgt =

!

" 4 6 ydy

0 h

#

=

!

" 4

6 ydy

0 h

#

=

!

" 4 6

1 2y2

#

$ % &

' (

0 h

=

!

" 4 6

1 2h2#0

$

% & ' ( )

=

!

" 4 6

1 2h2=

!

" 2 3#h2 Also:

Da V=0,2l=200ml=200cm3 sein soll, ergibt sich:

!

200=" 2

3#h2$h

!

= 1

"

2

3#200 $7,2cm Zusammenfassung: Sei eine Funktion f(x)

!

x"[a,b]gegeben.

Beachte: f(x) muss streng monoton sein, damit der Rotationskörper um die y-Achse berechnet werden kann (Umkehrfunktion bei (1) ).

!

V(h)=" 2 3#h2

y-Achsen-Rotation

!

V(y)=" x2dy

ya=f(a) yb=f(b)

#

x-Achsen-Rotation

!

V(x)=" y2dx

a b

#

(1)

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