Analysis 2 7. Tutorium
Prof. Dr. B. Kümmerer Fachbereich Mathematik
W. Reußwig, K. Schwieger 23. Mai 2011
Aufgabe 1 Leibnizsche Formel
Sei D⊆R, und seien f,g:D→Rzwei n-mal differenzierbare Funktionen.
a) Zeigen Sie die sog. Leibnizsche Formel dn
d xn(f ·g)(x) =
n
X
k=0
n k
f(k)(x)g(n−k)(x). Hinweis: Es gilt n
k
+ k−n1
= n+1k
fürn≥k≥1.
b) Berechnen Sie für f :R→R, f(x):=x3ex die tausendste Ableitung f(1000). Aufgabe 2 Taylor-(und )Polynome
a) Bestimmen Sie im Entwicklungspunkt 0 das Taylorpolynom der Ordnung 3 von p(x):= x4+2x3+3x2+4x+5.
b) Bestimmen Sie im Entwicklungspunkt 0 das Taylorpolynom der Ordnung 16 von p(x):= x18+4x15+3x9−8x5+2x3+5x.
Aufgabe 3
Eine Funktion f : R → R besitze in einer Umgebung von x0 ∈ R stetige Ableitungen bis zur Ordnung n≥3. Weiter gelte
f0(x0) =. . .= f(n−1)(x0) =0 , f(n)(x0)6=0 . Zeigen Sie:
a) Istnungerade, so ist x0keine Extremalstelle.
b) Istngerade, so ist x0eine Extremalstelle. Wann ist x0 ein Maximum, wann ein Minimum?
Aufgabe 4 L’Hospital
Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:
x→∞lim lnx
x , lim
x%1ln(x)·ln(1−x), lim
x&0xx , lim
x&0(1x +lnx), lim
n→∞n(pn
n−1).
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