Aufgabe 1: 20 Punkte

Bezüglich der Anfertigung Ihrer Arbeit sind folgende Hinweise verbindlich:

• Verwenden Sie ausschließlich das vom Aufsichtführenden zur Verfügung gestellte Papier und geben Sie sämtliches Papier (Lösungen, Schmierzettel und nicht gebrauchte Blätter) zum Schluss der Klausur wieder bei Ihrem Aufsichtführenden ab. Eine nicht vollständig abgegebene Klausur gilt als nicht bestanden.

• Beschriften Sie jeden Bogen mit Ihrem Namen und Ihrer Immatrikulationsnummer. Lassen Sie bitte auf jeder Seite 1/3 ihrer Breite als Rand für Korrekturen frei und nummerieren Sie die Seiten fortlaufend. Notieren Sie bei jeder Ihrer Antworten, auf welche Aufgabe bzw. Teilaufgabe sich die- se bezieht.

• Die Lösungen und Lösungswege sind in einer für den Korrektanten zweifelsfrei lesbaren Schrift abzufassen. Korrekturen und Streichungen sind eindeutig vorzunehmen. Unleserliches wird nicht bewertet.

• Bei numerisch zu lösenden Aufgaben ist außer der Lösung stets der Lösungsweg anzugeben, aus dem eindeutig hervorzugehen hat, wie die Lösung zustande gekommen ist.

• Zur Prüfung sind bis auf Schreib- und Zeichenutensilien ausschließlich die nachstehend genann- ten Hilfsmittel zugelassen. Werden andere als die hier angegebenen Hilfsmittel verwendet oder Täuschungsversuche festgestellt, gilt die Prüfung als nicht bestanden und wird mit der Note 5 bewertet.

Bearbeitungszeit: 120 Minuten Hilfsmittel: — Studienbriefe

Anzahl Aufgaben: - 5 - — HFH-Taschenrechner

Höchstpunktzahl: - 100 -

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

Notenspiegel

Note ^{1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0}

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5-0

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Aufgabe 1: 20 Punkte

In nachstehender Tabelle sind für eine Firma neben den in einer Zeiteinheit hergestellten Mengen x eines Gutes die zugehörigen Produktionskosten y in einer Geldeinheit (GE) festgehalten.

Menge x je Zeiteinheit 16 20 22 24 28 34

Produktionskosten y in GE 16 20 28 34 40 42

a. Bestimmen Sie anhand einer geeigneten Tabelle den auf 3 Dezimalstellen gerunde- ten Wert des Korrelationskoeffizienten r. Ist damit die Anwendung des Modells der li- nearen Regression sinnvoll?

7,5 P

b. Berechnen Sie die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x. (2 Dezi-

malstellen). 6 P

c. Nennen und interpretieren Sie den Regressionskoeffizienten. 2,5 P

d. Welche Produktionskosten in einer Geldeinheit erwarten Sie im Mittel für die Produk-

tionsmengen 19 bzw. 29 je Zeiteinheit? (1 Dezimalstelle) 4 P

Aufgabe 2: 20 Punkte

Der Durchmesser x von auf einer Drehbank erzeugten Wellen sei normalverteilt mit dem Mittelwert µx=14,0 mm und der Standardabweichung σx=0,125 mm. Der laufenden Pro- duktion wird nach dem Zufallsprinzip eine Welle entnommen.

a. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser der Welle wenigstens

13,92 mm beträgt? (3 Dezimalstellen) 3 P

b. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser der Welle höchstens

13,98 mm beträgt? (3 Dezimalstellen) 3 P

c. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser der Welle mindestens

13,89 mm und höchstens 14,14 mm beträgt? (3 Dezimalstellen) 4,5 P

d. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Durchmesser der Welle genau 14,0 mm

beträgt? 2 P

e. Eine Welle gilt als nicht brauchbar, wenn der Durchmesser der Welle vom Sollwert 14,0 mm um mehr als 0,27 mm abweicht. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die gewählte Welle nicht brauchbar ist? (3 Dezimalstellen)

4,5 P

f. Je 100 Wellen der beschriebenen Sorte werden in einem Paket verkauft. Wie viele

nicht brauchbare Wellen sind in einem Paket im Mittel zu erwarten? 3 P

In einem mittelständischen Unternehmen ist der wöchentliche Umsatz in der Einheit 1000

€ der letzten 40 Wochen in nachstehender Tabelle klassifiziert festgehalten.

Umsatz in 1000 € von xiu bis unter xio

Anzahl fi

der Wochen

40 − 44 6

44 − 46 8

46 − 48 16

48 − 52 6

52 − 54 3

54 − 60 1

a. Berechnen Sie unter Verwendung der jeweiligen Klassenmitten xi , die sämtliche Werte der i-ten Klasse repräsentieren, und der absoluten Häufigkeiten fi das arithme- tische Mittel, die Varianz (1 Dezimalstelle) und die auf 3 Dezimalstellen gerundete Standardabweichung.

8 P

b. Vervollständigen Sie die obige Tabelle so, dass Sie durch Feinberechnung das erste Quartil, den Median (2 Dezimalstellen) und das dritte Quartil berechnen können.

Bestimmen Sie zusätzlich den mittleren Quartilsabstand.

9 P

c. Bestimmen Sie das Pearsonsche Schiefemaß (3 Dezimalstellen). Liegt eine symmet-

rische, eine links- oder eine rechtsschiefe Verteilung der Wochenumsätze vor? 3 P

Aufgabe 4: 20 Punkte

Eine in die Jahre gekommene Maschine produziert mit einer Wahrscheinlichkeit von p=0,20 defekte Geräte. Der umfangreichen Produktion werden 20 Geräte entnommen. Es beschreibe x die Anzahl der defekten Geräte unter den 20 gewählten.

a. Wie viele verschiedene Werte kann x real annehmen? 1 P

b. Wie ist x verteilt? Nennen Sie alle zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten notwen-

digen Größen (Parameter). 1 P

c. Bestimmen Sie den Erwartungswert bzw. Mittelwert und die Varianz (1 Dezimalstelle)

von x. 3 P

d. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den 20 Geräten keines defekt ist? (6

Dezimalstellen) 3 P

e. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird unter den 20 Geräten höchstens ein defektes

Gerät sein? (6 Dezimalstellen) 3,5 P

f. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter den 20 Geräten wenigstens 2 und

höchstens 4 defekte Geräte sein? (6 Dezimalstellen) 4,5 P

g. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden unter den 20 Geräten mehr als 5 defekte Ge- 4 P

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Aufgabe 5: 20 Punkte

Die folgende Tabelle zeigt die Mengen- und Preisentwicklungen eines fiktiven Warenkor- bes mit den ausgewählten Gütern A, B, C, D und E für die Jahre 2002, 2003 und 2004.

Waren- 2002 2003 2004

korb Menge Preis (€) Menge Preis (€) Menge Preis (€)

A 12,0 9,0 12,8 8,5 12,4 8,8

B 15,0 12,0 15,4 11,6 14,5 12,4

C 16,0 12,0 17,5 11,0 16,2 12,0

D 6,0 20,0 5,0 21,0 5,4 21,0

E 10,0 20,0 12,0 19,0 10,6 20,0

a. Berechnen und interpretieren Sie die Preisindizes nach Laspeyres für die Berichtsjah-

re 2003 und 2004 mit dem Basisjahr 2002. (1 Dezimalstelle) 9 P

b. Berechnen und interpretieren Sie die Preisindizes nach Paasche für die Berichtsjahre

2003 und 2004 mit dem Basisjahr 2002. (2 Dezimalstellen) 9 P

c. Das arithmetische Mittel von 14 Messwerten beträgt 11. Im nachhinein kommt noch der Messwert 17 hinzu. Wie lautet das arithmetische Mittel der 15 Daten? (1 Dezimal- stelle)

2 P

Viel Erfolg!

Für die Bewertung und Abgabe der Prüfungsleistung sind folgende Hinweise verbindlich vorgeschrieben:

• Die Vergabe der Punkte nehmen Sie bitte so vor wie in der Korrekturrichtlinie ausgewiesen. Eine summarische Angabe von Punkten für Aufgaben, die in der Korrekturrichtlinie detailliert bewertet worden sind, ist nicht gestattet.

• Nur dann, wenn die Punkte für eine Aufgabe nicht differenziert vorgegeben sind, ist ihre Aufschlüsselung auf die einzelnen Lösungsschritte Ihnen überlassen.

• Stossen Sie bei Ihrer Korrektur auf einen anderen richtigen Lösungsweg, dann nehmen Sie bitte die Verteilung der Punkte sinngemäß zur Korrekturrichtlinie vor.

• Rechenfehler sollten grundsätzlich nur zur Abwertung eines Teilschritts führen. Wurde mit einem falschen Zwischenergebnis richtig weiter gerechnet, erteilen Sie die hierfür vorgesehenen Punkte ohne weiteren Abzug.

• Ihre Korrekturhinweise und Punktbewertung nehmen Sie bitte in einer zweifelsfrei lesbaren Schrift vor: Erstkorrektur in rot, evtl. Zweitkorrektur in grün.

• Die von Ihnen vergebenen Punkte und die daraus sich gemäß dem nachstehenden Notenschema ergebene Bewertung tragen Sie in den Klausur-Mantelbogen sowie in die Ergebnisliste ein.

• Gemäß der Diplomprüfungsordnung ist Ihrer Bewertung folgendes Notenschema zu Grunde zu legen:

Note 1,0 1,3 1,7 2,0 2,3 2,7 3,0 3,3 3,7 4,0 5,0

notw. Punkte 100-95 94,5-90 89,5-85 84,5-80 79,5-75 74,5-70 69,5-65 64,5-60 59,5-55 54,5-50 49,5–0

• Die korrigierten Arbeiten reichen Sie bitte spätestens bis zum

12.10.2005

an Ihr Studienzentrum ein. Dies muss persönlich oder per Einschreiben erfolgen. Der angegebene Termin ist unbedingt einzuhalten. Sollte sich aus vorher nicht absehbaren Gründen eine

Terminüberschreitung abzeichnen, so bitten wir Sie, dies unverzüglich Ihrem Studienzentrums- leiter anzuzeigen.

Bewertungsschlüssel

Aufgabe 1 2 3 4 5

max. Punktzahl 20 20 20 20 20

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Lösung Aufgabe 1: 20 Punkte

a)

x

y

x

−24 y

−30 (x

−24)

(y

−30)

(x

−24)(y

−30)

16 16 −8 −14 64 196 112

20 20 −4 −10 16 100 40

22 28 −2 −2 4 4 4

24 34 0 4 0 16 0

28 40 4 10 16 100 40

34 42 10 12 100 144 120

144 180 200 560 316

144 180

x 24 y 30

6 6

r 316 0,944

200 560

= = = =

= ≈

⋅

Da r relativ nahe an +1 liegt, kann von einem relativ guten tendenziell linearen Zu-

sammenhang ausgegangen werden. Das lineare Modell ist folglich relativ gut geeignet. 1 P

b)

yx

yx

b 316 1,58 200

a 30 1,58 24 7,92

= =

= − ⋅ = −

Die Funktionsgleichung der Regressionsgeraden von y auf x lautet::

ˆy = − 7,92 1,58x +

c)

Der Regressionskoeffizient lautet 1,58. Bei einer Zunahme der hergestellten Menge um eine Einheit je Zeiteinheit ist im Mittel eine Zunahme der Produktionskosten um 1,58 Geldeinheiten zu erwarten.

2,5 P

d)

ˆy(19) 7,92 1,58 19 22,1 ˆy(29) 7,92 1,58 29 37,9

= − + ⋅ =

= − + ⋅ =

2 P 2 P

3 P

1 P 1 P

1,5 P

2 P 2 P

a)

13,92 14,0

p(x 13,92) p z p(z 0,64) 0,5 p(0 z 0,64) 0,5 0,239

0,125 0,739

 − 

≥ =  ≥ = ≥ − = + ≤ ≤ ≈ + ≈

≈

3 P

b)

13,98 14,0

p(x 13,98) p z p(z 0,16) 0,5 p(0 z 0,16) 0,125

0,5 0,064 0,436

 − 

≤ =   ≤   = ≤ − = − ≤ ≤ ≈

≈ − ≈

3 P

c)

13,89 14,0 14,14 14,0

p(13,89 x 14,14) p z p( 0,88 z 1,12)

0,125 0,125

p(0 z 0,88) p(0 z 1,12) 0,311 0,369 0,680

− −

 

≤ ≤ =   ≤ ≤   = − ≤ ≤ =

= ≤ ≤ + ≤ ≤ ≈ + ≈

4,5 P

d)

p(x=14)=0 2 P

e)

0,27 0,27

p(x 14,0 0,27) p(x 14,0 0,27) p z p z

0,125 0,125 p(z 2,16) p(z 2,16) 2 p(z 2,16) 2 {0,5 p(0 z 2,16)}

2 (0,5 0,485) 0,030

 −   

< − + > + =  <  +  >  =

   

= ≤ − + ≥ = ⋅ ≥ = ⋅ − ≤ ≤ ≈

≈ ⋅ − ≈

4,5 P

f) Es sind im Mittel je Paket

100 0,030 3 ⋅ =

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Lösung Aufgabe 3: 20 Punkte

a)

von xiu bis unter xio xi* fi xi*fi (xi*−47)² (xi*-47)²fi

40 − 44 42 6 252 25 150

44 − 46 45 8 360 4 32

46 − 48 47 16 752 0 0

48 − 52 50 6 300 9 54

52 − 54 53 3 159 36 108

54 − 60 57 1 57 100 100

40 1880 444

2

x x

1880 444

x 47 s 11,1 s 3,331666 3,332

40 40

= = = = ≈ ≈

b)

von xiu bis unter xio fi

f

40 − 44 6 6

44 − 46 8 14

46 − 48 16 30

48 − 52 6 36

52 − 54 3 39

54 − 60 1 40

1

2

3

3 1

10 6 4

0,25 40 10 Q 44 2 44 2 45

8 8

20 14 6

0,50 40 20 Q 46 2 46 2 46,75

16 16

0,75 40 30 Q 48 Q Q 48 45

Q 1,5

2 2

⋅ = → = + − ⋅ = + ⋅ =

⋅ = → = + − ⋅ = + ⋅ =

⋅ = → =

− −

= = =

c)

(P)

3 (47 46,75)

sk 0,225

11,1

⋅ −

= ≈

Da sk(P) > 0 gilt, liegt eine rechtsschiefe Verteilung vor.

2 P

2 P

2 P 2 P

2 P

2 P 2 P

2 P 1 P

2 P

1 P

a) x kann real die 21 verschiedenen Werte 0, 1, 2, ..., 20 annehmen. 1 P

b) x ist binomialverteilt mit n=20 und p=0,2. 1 P

c)

2x

E(x) n p 20 0,2 4

n p (1 p) 20 0,2 0,8 3,2

= ⋅ = ⋅ =

σ = ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ =

1,5 P 1,5 P

d)

0 20

p(x 0) 20 0,2 0,8 0,011529 0

 

 

 

= = ⋅ ≈

e)

1 19

p(x 1) p(x 0) p(x 1) 0,011529 20 0,2 0,8 1

0,011529 0,057646 0,069175

 

  ≈

 

≈

≤ = = + = ≈ + ⋅

+ ≈

3,5 P

f)

2 18 3 17 4 16

p(2 x 4) p(x 2) p(x 3) p(x 4)

20 20 20

0,2 0,8 0,2 0,8 0,2 0,8

2 3 4

0,136909 0,205364 0,218199 0,560472

≤ ≤ = = + = + = =

     

=   ⋅ +   ⋅ +   ⋅ ≈

     

≈ + + ≈

4,5 P

g)

5 15

p(x 5) 20 0,2 0,8 0,174560 5

p(x 5) 1 p(x 5) 1 {p(x 1) p(2 x 4) p(x 5)}

1 (0,069175 0,560472 0,174560) 1 0,804207 0,195793 0,19579

 

 

 

= = ⋅ ≈

> = − ≤ = − ≤ + ≤ ≤ + = ≈

≈ − + + ≈ − ≈ ≈

≈

4 P

Studiengang Wirtschaftsingenieurwesen HFH • Hamburger Fern-Hochschule

WI-WST-P12-050924-KORREKTURRICHTLINIE Seite 6

Lösung Aufgabe 5: 20 Punkte

a)

02 / 03 L

12,0 8,5 15,0 11,6 16,0 11,0 6,0 21,0 10,0 19,0

P 100

12,0 9,0 15,0 12,0 16,0 12,0 6,0 20,0 10,0 20,0 768 100 96

800

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ =

2,5 P

Die Preise sind 2003 unter Verwendung der Mengen des Basisjahres 2002 im

Durchschnitt gegenüber 2002 um (100−96)%=4% gesunken. 2 P

02 / 04 L

12,0 8,8 15,0 12,4 16,0 12,0 6,0 21,0 10,0 20,0

P 100

12,0 9,0 15,0 12,0 16,0 12,0 6,0 20,0 10,0 20,0 809,6

100 101,2 800

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ =

2,5 P

Die Preise sind 2004 unter Verwendung der Mengen des Basisjahres 2002 im

Durchschnitt gegenüber 2002 um 1,2% gestiegen. 2 P

b)

02 / 03 P

12,8 8,5 15,4 11,6 17,5 11,0 5,0 21,0 12,0 19,0

P 100

12,8 9,0 15,4 12,0 17,5 12,0 5,0 20,0 12,0 20,0 812,94 100 95,64

850

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ =

2,5 P

Die Preise sind 2003 unter Verwendung der Mengen des Berichtsjahres 2003 gegenüber

2002 im Durchschnitt um (100−95,64)%=4,36% gesunken. 2 P

02 / 04 P

12,4 8,8 14,5 12,4 16,2 12,0 5,4 21,0 10,6 20,0

P 100

12,4 9,0 14,5 12,0 16,2 12,0 5,4 20,0 10,6 20,0 808,72 100 101,09

800

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ =

⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ =

2,5 P

Die Preise sind 2004 unter Verwendung der Mengen des Berichtsjahres 2004 gegenüber

2002 im Durchschnitt um 1,09% gestiegen. 2 P

c)

14

i 14 15

i 1 i i

i 1 i 1

neu

x

11 x 14 11 x 14 11 17 171

14

x 171 11,4 15

=

= =

= → = ⋅ → = ⋅ + =

→ = =

∑ ∑ ∑

2 P