Zusammenfassungen, ¨ Ubungen und Pr¨ufungsfragen

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Vorlesung Lokale Netzstrukturen (SS 2019)

Zusammenfassungen, ¨ Ubungen und Pr¨ufungsfragen

Prof. Dr. Hannes Frey, (last edited: 16. Juli 2019)

I. NOTATIONEN UNDBEGRIFFSDEFINITIONEN

A. Basisdefinitionen

Definition 1 (Euklidischer Raum): Wir betrachten den n- dimensionalen Vektorraum Rⁿ (hier üblicherweise n = 2 oder 3). Wir bezeichnen p ∈ Rⁿ als Punkt, kpk als euklidische Länge des Vektors p und kp, qk als den euklidischen Abstand zwischen den Punkten p und q. Wir verwenden häufig die Kurzschreibweisekuvkfürku, vk. Den Vektorraum zusammen mit dem euklidischen Abstand bezeichnen wir als euklidischen Raum.

Definition 2 (Graphennotationen):

• Graph – Ein Tupel G = (V, E) bestehend aus einer endlichen Knotenmenge V und einer Kantenmenge E ⊆V ×V. Für (u, v)∈E verwenden wir häufig die Kurzschreibweise uv. Wir verwenden häufig die Kurz- schreibweisev∈Gunduv∈G, umv∈V und uv∈E auszudrücken.

• Ungerichteter Graph – Ein Graph ist ungerichtet, wenn f¨ur jede KanteuvausGauch die KantevuinGvorhan- den ist. In ungerichteten Graphen stellen per Definition uv und vuein und dieselbe Kante dar.

• Gerichteter Graph– Wenn vorige Eigenschaft (ungerichteter Graph) nicht unbedingt erf¨ullt sein muss, sprechen wir von einem gerichteten Graphen. Betrachten wir gerichtete Graphen, stellen per Definitionuvundvuimmer zwei unterschiedliche Kanten dar.

• Subgraph – Ein Graph G = (VG, EG) ist ein Subgraph von H= (VH, EH), bezeichnet alsG⊆H, wennVG⊆ VH undEG ⊆EH gilt.

• Supergraph – Ein Graph H ist ein Supergraph von G, wenn G⊆H gilt.

• Schnitt zweier Graphen – Sei G= (V_G, E_G) und H = (V_H, E_H). Der Graph G∩H ist definiert durch(V, E) mit V =V_G∩V_H und E=E_G∩E_H.

• Vollst¨andiger Graph– Jeder Knoten ist mit jedem anderen Knoten verbunden.

• Gewichteter Graph – Ein gewichteter Graph (G, f) besteht aus einem Graph G= (V, E) und einer Gewichts- funktion f :E 7→R. Wir bezeichnen den Wert f(e)als Kantengewicht der Kante e∈E.

• Gewicht eines Graphen– Wir bezeichnen das Gewicht eines gewichteten Graphen(G, f)mitf(G) =P

e∈Gf(e)

• Euklidischer Graph – Ein Graph ¨uber einer gegebenen Punktmenge P im euklidischen Raum. Das Kantenge- wicht wird ¨uber den euklidischen Abstand zwischen den Kantenendpunkten definiert.

• Euklidisches Gewicht eine euklidischen Graphen – Das euklidische Gewicht eines euklidischen Graphen G bezeichnen wir mit kGk.

• Vollst¨andiger euklidischer Graph – ein euklidischer Graph der vollst¨andig ist.

• Pfad – Ein Pfad p= (v₁, v₂, . . . , v_n)vonv₁ nachv_n in einem Graphen G = (V, E) ist eine Folge von Kanten vivi+1 ∈ E. Wir verwenden häufig die Kurznotation v1v2. . . vn. Des Weiteren verwenden wir häufig den Ausdruck p∈ G, um auszudrücken, dass pein Pfad in Gist.

• Zusammenhängender Graph – Ein Graph G ist zusam- menhängend, wenn für jedes Knotenpaar u und v in G ein Pfad existiert, derumitv verbindet.

• Pfadl¨ange – Ein Pfad p = v1v2. . . vn in einem gewichteten Graphen (G, f) hat ein Pfadgewicht f(p) = Pn−1

i=1 f(vivi+1). Wir bezeichnen den Wert f(p) auch als Pfadl¨ange.

• Zyklus– Ein Pfad p=v₁v₂. . . v_kv₁ mit gleichem Start- und Endknoten ist ein Zyklus, wenn er keinen Knoten und keine Kante zwei mal besucht. (Beachte: in einem ungerichteten Graphen bezeichnet uv und vu ein und dieselbe Kante.)

• Azyklischer Graph– Ein GraphGist azyklisch, wenn er keinen Zyklus enth¨alt.

• Euklidische Pfadlänge – speziell für euklidische Gra- phen G verwenden wir auch die Notation kpk, um die euklidische Pfadlänge eines Pfads p = v1. . . vn in G auszudrücken, d.h. kpk=Pn−1

i=1 kvivi+1k.

• Topologische Pfadlänge– Sei p ein Pfad in einem Gra- phenG. Die topologische Pfadlänge vonpist die Länge von pbei einer Kantengewichtung von 1 für jede Kante in G. Mit anderen Worten zählen wir die Anzahl der Kanten in der Sequenz der Kanten, die vonpdurchlaufen werden. Wir sprechen auch von der Anzahl der Hops. Wir verwenden |p| als Kurzschreibweise für die Anzahl der Hops inp. (Bei der Betrachtung topologischer Pfadlängen in ungewichteten Graphen sprechen wir oft nur von der Pfadlänge.)

• Nachbar – Für jeden Graphen G definieren wir die k-Hop-Nachbarn eines Knotens v als die Menge aller Knoten in G, die von v über einen Pfad mit topologischer Pfadlänge kleiner oder gleich k erreicht werden können. Wenn nicht anders angegeben, gehört der Knoten v selbst zu seiner Nachbarmenge. Wir verwenden die Kurzschreibweise Nk(v) zur Bezeichnung der k-Hop- Nachbarn vonv. Wenn nicht anders angegeben, beinhal-

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tet N₀(v) laut Definition nur den Knoten v. F¨ur Ein- Hop-Nachbarn verwenden wir h¨aufig die Kurzschreib- weise N(n) = N₁(v). (Offensichtlich sind die Ein-Hop- Nachbarn eines Knotensvnur die Knoten inG, mit denen er unmittelbar verbunden ist.) Wir sagen auch, dass zwei Knoten einander sehen, wenn sich beide in der Ein-Hop- Nachbarschaft des anderen Knotens befinden.

• Grad eines Knotens – In einem ungerichteten Graphen bezeichnen wir die Anzahl Nachbarn |N(v)|eines Kno- tens v als Grad vonv.

• Gradbeschränkt – Wir bezeichnen einen ungerichteten Graphen als Grad k beschränkt, wenn jeder Knoten höchstens Grad khat.

B. Lokale Topologiekontrolle

Definition 3 (Graphklasse und Topologiekontrolle):

• Graphklasse – Eine Familie C von Graphen, die eine bestimmte Eigenschaft erf¨ullen. Wir verwenden auch den Begriff Graph-Modell anstelle von Graph-Klasse. Beide Begriffe bezeichnen dasselbe.

• Topologiekontrolle – Eine Abbildung τ : C 7→ D aus einer Graphklasse C in eine GraphklasseD.

• Subgraph-Konstruktion – Topologiekontrolle, die immer aus dem gegebenen Urbildgraphen G einen Subgraphen von Gerstellt.

Definition 4 (Lokale Sicht):

• Lokale Sicht – Die k-Hop-lokale Sicht G[v, k] eines Knotens v ∈ V in einem Graphen G = (V, E) ist ein Subgraph von G bestehend aus der Knotenmenge Vv = Nk(v) und der Kantenmenge Ev = {xy ∈ E : x ∈ Nk−1(v)undy ∈ Nk}. F¨ur die Ein-Hop-lokale Sicht verwenden wir auch die Kurzschreibweise G[v].

Definition 5 (Lokale Topologiekontrolle):

• Lokale Topologiekontrolle – Eine Abbildungτ :C 7→ D von einer Graphklasse Cin eine GraphklasseDwird als k-lokale Topologiekontrolle bezeichnet, wenn f¨ur jeden Graphen GausC gilt:

1) F¨ur alle u ∈ G ist die Abbildung τ auf G[u, k]

anwendbar, d.h. die Graphenτ(G[u, k])sind wohl- definiert

2) Die mit allen u ∈ G lokal konstruierten Graphen τ(G[u, k]) ergeben insgesamtτ(G), d.h.

[

u∈G

τ(G[u, k]) =τ(G)

3) F¨ur jeden Knotenvim konstruierten Graphenτ(G) existiert ein Knoten u im Urbildgraphen, so dass die Ein-Hop-Nachbarschaft vonv∈τ(G)nur durch Kenntnis derk-Hop-Nachbarn vonuim Urbildgra- phenGkonstruiert werden kann. Als Formel notiert:

f¨ur jeden Knoten v ∈τ(G) existiert ein Knotenu inG, so dass

τ(G)[v] =τ(G[u, k])[v].

(Wir sprechen einfach nur von einer lokalen Topologie- kontrolle, wenn der Wert k nicht von Belang ist und

lediglich davon ausgegangen wird, dass es einen festen Wertkf¨ur alle betrachteten Graphen gibt.)

• Lokale Subgraph-Konstruktion – Lokale Topologiekon- trolle, die immer aus dem angegebenen Urbildgraphen einen Subgraphen erzeugt.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨aren Sie anschaulich die Definition der lokalen Topologiekontrolle bzw. lokalen Subgraphkonstruktion.

Prüfungsfrage: Erklären Sie den Sinn der etwas umständlichen Unterscheidung zwischenuundvin der Definition der lokalen Topologiekontrolle.

Korollar 1 (Lokale Topologiekontrolle bei Beibehaltung der Knoten):Seiτ :C 7→ Deine Abbildung von einer Graphklasse C in eine Graphklasse D, welche die Knoten des Urbildgra- phen beibeh¨alt, d.h. die Knoten vonG sind auch die Knoten von τ(G). Des weiteren sei τ stets auf G[v, k] anwendbar.

Die Abbildung τ ist eine k-lokale Topologiekontrolle, wenn f¨ur jedes G∈ C und jeden Knotenv∈τ(G)gilt:

τ(G)[v] =τ(G[v, k])[v].

Prüfungsfrage: Erklären inwieweit die Eigenschaft lokale To- pologieabbildung vereinfacht überprüft werden kann, wenn die Topologieabbildung die Knoten des Urbildgraphen beibehält.

C. 2D Geometrie-Notationen

Definition 6 (Bisektor, Ebene, Kreis und Winkel):

• Bisektordefiniert durch zwei Punkteuundv:B(u, v) = {x:kuxk=kvxk}.

• Geschlossene Halbebene definiert durch zwei Punkte u und v: H(u, v) ={x:kuxk ≤ kvxk}.

• Kreismit Radiusrum Punktv:C_r(v) ={x:kvxk ≤r}.

• DenUmkreisum drei Punkteu,v undwbezeichnen wir mitC(u, v, w).

• Denkleinsten Kreisum zwei Punkteuundvbezeichnen wir mitC(u, v).

• Den Winkel zwischen uv und vw bezeichnen wir mit

∠uvw.

D. K¨urzeste Pfade, Spanner und Graph-Spanner Definition 7 (K¨urzeste Pfade):

• Kürzester Pfad – Ein Pfad p von u nach v in einem gewichteten Graphen(G, f)ist ein kürzester Pfad, wenn für alle anderen Pfadeqvonunachv inGstetsf(p)≤ f(q)gilt.

• Topologisch kürzester Pfad – Für einen gegebenen Gra- phenGbetrachten wir eine Kantengewichtung von1. Ein Pfadpvonunachv inG, der in Bezug auf dieses Kan- tengewicht am kürzesten ist, wird topologischer kürzester Pfad genannt. Wir verwenden die NotationΓG(u, v)als Repräsenant eines kürzesten topologischen Pfades vonu nach v inG. Die Länge des Pfades bezeichnen wir mit

|ΓG(u, v)|. (Mit anderen Worten, die Pfadl¨ange ist hier nur die Anzahl der Kanten im Pfad. Wir betrachten die Mindestanzahl der zu traversierenden Kanten, um vom Knoten uzum Knotenv zu gelangen.). (Betrachten wir

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Graphen ohne Gewichtsfunktion, dann bezieht sich der Begriff k¨urzester Pfad auf den zuvor definierten k¨urzesten topologischen Pfad).

• Euklidisch kürzester Pfad - Ein kürzester Pfad in euklidischen Graphen. Wir verwenden die Notation ΠG(u, v) als Repräsenant eines kürzesten euklidischen Pfades von unachvinG. Die Länge des Pfades bezeichnen wir mit kΠG(u, v)k.

Definition 8 (Spanner, Graph-Spanner und Spanning-Ratio):

• Euklidischer Spanner - Ein auf einer Punktmenge P definierter Graph Gist ein c-Spanner des vollständigen euklidischen Graphen, wenn für alle PunkteuundvinP der euklidisch kürzeste Pfadpvonunachv inGerfüllt:

kpk kuvk ≤c

• Euklidischer Graph-Spanner – Sei G ein euklidischer Graph. Ein Subgraph H ⊆ G mit denselben Knoten wie G ist ein euklidischer c-Spanner von G, wenn für alle Knoten u und v in G der euklidisch kürzeste Pfad ΠG(u, v)vonunachvinGund der euklidische kürzeste Pfad ΠH(u, v)von unach v inH erfüllen:

kΠH(u, v)k kΠG(u, v)k ≤c

• Topologischer Graph-Spanner – Sei G ein beliebiger Graph. Ein Subgraph H ⊆ G mit denselben Knoten wie Gist ein topologischer c-Spanner vonG, wenn für alle Knoten uundv inGder topologisch kürzeste Pfad ΓG(u, v)vonunachvinGund der topologisch kürzeste Pfad ΓH(u, v)von unachv inH erfüllen:

|Γ_H(u, v)|

|ΓG(u, v)| ≤c

• Konstante Spanning-Ratio – Die Konstante c in den obigen Definitionen wird als konstante Spanning-Ratio bezeichnet.

Ubung 1 (Vererbung der Spanner-Eigenschaft an Super-¨ graphen): Sei F ⊆ H ein c-Graph-Spanner (euklidisch bzw. topologisch) vonH. SeiGein Graph mitF ⊆G⊆ H. Zeige, dass auchGein c-Graph-Spanner vonH ist.

Ubung 2 (Transitivit¨at der Spanner-Eigenschaft):¨ Sei F ⊆ G ein c-Graph-Spanner (euklidisch bzw. topologisch) von G und G⊆H ein d-Graph-Spanner von H.

Zeige, dassF ein cd-Graph-Sapnner vonH ist.

Prüfungsfrage: Erklären, wie sich Subgraphbeziehungen nutzen lassen, um die Eigenschaftc-Graph-Spanner nach- weisen zu können.

Ubung 3 (Topologischer Graph-Spanner ist nicht ¨aquiva-¨ lent mit euklidischer Graph-Spanner):Zeige, dass weder 1) aus euklidischer Graph-Spanner topologischer

Graph-Spanner noch aus

2) topologischer Graph-Spanner euklidischer Graph- Spanner

folgt.

Satz 1 (Zusatzbedingungen unter denen euklidischer und topologischer Graph-Spanner ¨aquivalent sind): Ange- nommen f¨ur alle betrachteten Graphen Ghaben Kanten

eine Mindestl¨ange δund eine Maximall¨ange R, d.h. mit uv ∈Gfolgt stets δ≤ kuvk ≤ R. Unter dieser Bedin- gung gilt, dass ein euklidischer auch ein topologischer, sowie ein topologischer auch ein euklidischer Graph- Spanner ist.

Ubung 4 (Beweisabschnitt topologisch impliziert eukli-¨ disch zu vorigem Theorem):Angenommen Kanten haben eine Mindestl¨ange δund eine Maximall¨ange R, d.h. mit uv∈E folgt stetsδ≤ kuvk ≤R.

1) Zeige, dass unter dieser Zusatzbedingung ein topologischer Graph-Spanner auch ein euklidischer ist.

2) Zeige, dass dies nicht gilt wenn man eine der Annahmen Mindestlänge δ bzw. Maximallänge R fallen lässt.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨aren unter welchen Bedingungen und warum euklidischer und topologischer Graph-Spanner

¨aquivalente Begriffe darstellen.

• Nicht-konstante Spanning-Ratio – Wir betrachten auch Graphkonstruktionen, bei denen die linken Seiten der drei obigen Definitionen nicht durch eine Konstante, sondern durch eine Funktion f(n) in der Anzahl der Knoten n begrenzt sind. F¨ur k¨urzeste Euklidische oder topologische Pfade definieren wir entsprechend:

|ΓH(u, v)|

|ΓG(u, v)| ≤f(n)bzw. kΠH(u, v)k

kΠG(u, v)k ≤f(n) Wir nennen diese Funktion f(n) die topologische oder euklidische Spanning-Ratio.

Definition 9 (Obere Schranke, untere Schranke und Spanning-Ratio in Landau-Notation):

• Wir sagen auch, dass vorhin genannte Funktionf(n)eine obere Schrankef¨ur die Spanning-Ratio ist.

• Wenn wir anhand eines Beispiels zeigen können, dass die Spanning-Ratio größer oder gleich einer Funktion g(n) ist, sagen wir, dass g(n) eine untere Schranke für die Spanning-Ratio ist.

• Wenn wir nicht an der exakten Form der oberen Schranke interessiert sind, verwenden wir die O-Notation und sagen nur, dass die Spanning-Ratio durchO(f(n))nach oben begrenzt ist.

• Wenn wir an der exakten Form der unteren Schranke interessiert sind, verwenden wir die Ω-Notation und sagen, dass die Spanning-Ratio durch Ω(g(n))nach unten begrenzt ist.

• Wenn O(f(n)) = Ω(g(n)), verwenden wir die Θ- Notation und sprechen von einemΘ(f(n))euklidischen bzw. topologischen Graph-Spanner.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨aren Sie die Bedeutung des Begriffes Θ(f(n))-Spanner.

Ubung 5 (Wiederholung Landau-Notation):¨ Zeige dass folgendes gilt:

1) n−1∈O(n) 2) n−1∈Ω(n) 3) ^n/2−1^√_n ∈O(√

n) 4) √

6n−12·¹⁺

√ 5

2 ·π∈Ω(√ n)

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(Hinweis: siehe Definitionen zu O und Ωim Anhang)

E. Planarit¨at

Definition 10 (Planarer Graph): Ein Graph G ist planar, wenn er auf eine Ebene so gezeichnet werden kann, dass jede Kante eine zusammenh¨angende Kurve ist (sog. Jordankurve) und sich die Kanten h¨ochstens in ihren Endpunkten schneiden.

Definition 11 (Schnittfreier Graph):Gegeben sei ein Graph dessen Knoten und Kanten in die Ebene gezeichnet sind. Die Kanten seien durch zusammenh¨angende Kurven dargestellt.

Wir sagen, dass ein solcher Graph schnittfrei ist, wenn sich seine Kanten höchsten in ihren Endpunkten schneiden. (Da aus schnittfrei trivialerweise planar folgt wird in der Litertur zu lokalen Netzstrukturen so gut wie nie der Begriff schnittfrei verwendet, sondern einfach von planaren Graphen gesprochen) Satz 2 (Satz von Wagner/Fáry): Jeder planare Graph kann so in die Ebene gezeichnet werden, dass alle Kanten durch gerade Strecken dargestellt sind und sich die Kanten höchstens in ihren Endpunkten schneiden.

F. Kommunikationsgraphen

Definition 12 (Unit-Disk-Graph): Gegeben sei eine Menge V von Punkten auf der 2D-Ebene. Der Unit-Disk-Graph U DG(V) ist ein spezifischer euklidischer Graph, in dem Knoten uund v genau nur dann miteinander verbunden sind, wenn ihre euklidische Distanz kuvk kleiner oder gleich einer festgelegten Distanz R ist. Wir bezeichnen R alsUnit-Disk- Radius. (H¨aufig wird in der LiteraturR= 1angenommen)

Korollar 2 (UDG ist ungerichtet): Jeder Unit-Disk-Graph ist ein ungerichteter Graph.

Definition 13 (Quasi-Unit-Disk-Graph): Gegeben seien Knoten V auf der 2D-Ebene. Wir betrachten zwei Kom- munikationsradien, einen maximalen Radius R und einen minimalen Radius r mitr ≤R. Ein Quasi-Unit-Disk-Graph QU DG(V) ¨uberV ist ein euklidischer Graph(V, E)mit der Eigenschaft, dass f¨ur alleu, v ∈V gilt:

kuvk ≤r⇒uv∈E uv∈E⇒ kuvk ≤R

Wir sprechen von einem ungerichteten Quasi-Unit-Disk- Graphen, wenn zus¨atzlich gilt: uv ∈ E ⇒ vu ∈ E. Sofern das Verh¨altnisR/reine besondere Rolle spielt und durch eine Konstante c durchR/r ≤c begrenzt ist (hier z.B. c =√

2), sprechen wir von einem c-QUDG bzw. einem ungerichteten c-QUDG.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨aren Sie die Definitionen und den Zusam- menhang der Begriffe UDG und QUDG.

Definition 14 (Unit-Ball- und Quasi-Unit-Ball-Graph):Be- trachten wir die Definition von Unit-Disk- und Quasi-Unit- Disk-Graph in 3D sprechen wir von einem Unit-Ball- bzw.

Quasi-Unit-Ball-Graphen.

Ubung 6 (Parallelprojektion von Unit-Ball-Graphen):¨ Be- weise oder wiederlege: Es gibt einc, sodass eine Parallelpro- jektion eines Unit-Ball-Graphen immer einen c-QUDG ergibt.

II. LMST, RNGUNDGG A. EMST und LMST

Definition 15 (Euklidischer Minimaler Spannbaum (EMST)): Gegeben sei eine Punktmenge V. Ein euklidischer minimaler Spannbaum über V ist ein zusammenhängender Graph G = (V, E) mit der Eigenschaft, dass für alle zusammenhängenden Graphen H= (V, F)gilt:

kGk ≤ kHk

Die Notation EMST(V)repr¨asentiert einen solchen minimalen Spannbaum.

Pr¨ufungsfrage: Definierende Eigenschaft eines Euklidischen Minimalen Spannbaumes erkl¨aren.

Ubung 7 (Jeder EMST ist ein Baum):¨ Zeige, dass offensichtlich jeder EMST auch ein Spannbaum ist (d.h. azyklisch und zusammenh¨angend).

Definition 16 (EMST-Konstruktion nach dem Algorith- mus von Kruskal): Sei V eine Punktmenge. Betrachte den vollständigen Euklidischen Graphen überV. Wähle unter den noch nicht ausgewählten Kanten die kürzeste Kante, die mit den schon gewählten Kanten keinen Kreis bildet.

Pr¨ufungsfrage: Euklidischen Minimalen Spannbaum am Bei- spiel konstruieren.

Satz 3 (Teilgraphbeziehung zwischen EMST und UDG):Sei UDG(V) ein zusammenh¨angender Unit-Disk-Graph ¨uber V. Es gilt:

EMST(V)⊆UDG(V)

Satz 4 (Nicht-Lokalit¨at des EMST): F¨ur jedes k gilt, dass die definierte KonstruktionEMST(V)keinek-lokale Topolo- giekontrolle ist.

Prüfungsfrage: Erklären warum sich ein euklidischer minimaler Spannbaum nicht lokal konstruieren lässt.

Definition 17 (Eindeutige Ordnungsrelation f¨ur euklidische Graphen): Auf einer Knotenmenge eines euklidischen Gra- phen sei eine Relation definiert, sodass f¨ur zwei verschiedene Knoten a und b stets a < b oder b < a gelte (z.B.

lexikographische Ordnung). Als eindeutige Ordnungsrelation f¨ur euklidische Graphen definieren wir zwischen Kanten uv und xy die folgende Ordnungsrelation:uv < xy genau dann wenn,

• kuvk<kxyk oder

• kuvk=kxyk undmax(u, v)<max(x, y)oder

• kuvk=kxyk,max(u, v) = max(x, y)und min(u, v)<

min(x, y)

Wir schreibenuv6< xy, wenn uvnicht kleiner als xy gem¨aß dieser Ordnung ist.

Ubung 8 (Kantengleichheit unter der eindeutigen Ordnungs-¨ relation f¨ur euklidische Graphen):Zeige dass ausuv6< xyund xy6< uvfolgt, dassuv undxy dieselbe Kante repr¨asentiert.

Ubung 9 (Wohldefiniertheit der eindeutigen Ordnungsre-¨ lation für euklidische Graphen): Zeige dass die betrachtete Ordnungsrelation für euklidische Graphen unabhängig von der Kantenrichtung ist, d.h. uv < xy ⇐⇒ vu < xy und uv < xy ⇐⇒ uv < yx.

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Ubung 10 (Transitivität der eindeutigen Ordnungsrelation¨ für euklidische Graphen): Zeige dass die betrachtete Ord- nungsrelation für euklidische Graphen transitiv ist, d.h. aus uv < wx undwx < yz folgt immer uv < yz.

Ubung 11 (Kleinstes Element unter der eindeutigen Ord-¨ nungsrelation für euklidische Graphen): Zeige dass für jede Kantenmenge M unter der betrachtete Ordnungsrelation für euklidische Graphen stets ein eindeutiges kleinstes Element existiert.

Ubung 12 (Invariante des Algorithmus nach Kruskal mit¨ der eindeutigen Ordnungsrelation f¨ur euklidische Graphen):

Gegeben sei eine KantenmengeV ={e1, . . . , en}, deren Kan- ten gem¨aß der eindeutigen Ordnungsrelation f¨ur euklidische Graphen sortiert sind, d.h. e1< e2<· · ·< en. Annahme wir konstruieren einen EM ST(V) nach dem Algorithmus von Kruskal dergestalt, dass wir die Knoten in der Reihenfolge e1, e2, . . . , en abarbeiten. Zeige, dass folgende Invariante gilt:

für jedes k >2 gilt für jeden Pfad v₁. . . v_k im konstruierten EMST stetsv_iv_i+1< v₁v_k (für allei).

Lemma 1 (Eindeutigkeit des gemäß Totalordnung konstruierten EMST): Sei G ein EMST mit der zusätzlichen Inva- riante, dass für jedes k > 2 jeder Pfad v1. . . vk in G stets vivi+1 < v1vk (für alle i)) gilt. Zeige, dass G eindeutig ist (d.h. es gibt keinen anderen EMST, der diese Invariante auch erfüllt).

Definition 18 (Eindeutiger euklidischer Minimaler Spann- baum):Gegeben sei eine Totalordnung≤auf den ungerichteten Kanten, d.h. es gelten:

• Reflexivit¨at: e≤e

• Antisymetrie: e₁≤e₂∧e₂≤e₁⇒e₁=e₂

• Transitivit¨at: e₁≤e₂∧e₂≤e₃⇒e₁≤e₃

• Totalit¨at:e1≤e2∨e2≤e1

Des Weiteren seie₁≤e₂⇒ ke1k ≤ ke2kerfüllt. Dereindeu- tige Euklidische Minimale Spannbaum (unter der gegebenen Totalordnung) ist der EMSTGmit der zusätzlichen Invariante, dass für jeden Pfad v₁. . . v_k stetsv_iv_i+1< v₁v_k erfüllt ist.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨aren warum generell ein EMST nicht eindeutig ist und wie die Eindeutigkeit erreicht werden kann.

Definition 19 (Lokaler Minimaler Spannbaum (LMST)):

Seien in folgender Definition EMST(·) jeweils eindeutige euklidische minimale Spannbäume. Wir definieren für eine gegeben Punktmenge V und einem Unit-Disk-Graphen G= (V, E) über V den Lokalen Minimalen Spannbaum (LMST) wie folgt:

uv∈LMST(V) ⇐⇒ uv∈EMST(N(u))und vu∈EMST(N(v))

Prüfungsfrage: LMST an einem Beispiel konstruieren Prüfungsfrage: Erklären warum der LMST das Konzept der eindeutigen euklidischen minimalen Spannbäume benötigt.

Satz 5 (Lokalit¨at von LMST): LMST(V) ist eine 2-lokale Topologiekontrolle.

Satz 6 (Teilgraphbeziehung zwischen EMST und LMST):Sei G = (V, E) ein zusammenh¨angender Unit-Disk-Graph. Sei

EMST(V) der eindeutige euklidische minimale Spannbaum.

Es gilt:

EMST(V)⊆LMST(V)

Prüfungsfrage: Erklären Sie warum LMST=EMST gelten würde, wenn das Ergebnis der LMST-Konstruktion immer einen Baum ergeben würde.

Prüfungsfrage: Erklären Sie warum sich aufgrund der Tatsa- che, dass LMST 2-lokal ist, ein Widerspruch ergeben würde, wenn stets LMST=EMST gelten würde.

Pr¨ufungsfrage: Beispiel konstruieren, in dem LMST keinen Baum konstruiert.

Satz 7 (Gradbeschränkung von LMST): LMST ist Grad 6 beschränkt, d.h. jeder Knoten eines LMST ist mit höchstens 6 Nachbarn verbunden.

Ubung 13 (Beweis der Gradbeschr¨ankung von LMST):¨ Beweise, dass LMST Grad 6 beschr¨ankt ist.

B. Relativer Nachbarschaftsgraph

Definition 20 (Relativer Nachbarschaftsgraph über Punkt- mengen): Für eine Punktmenge V ist der Relative Nachbar- schaftsgraph über der PunktmengeV, im Zeichen RNG(V), definiert über alle Kantenuv mit der Eigenschaft:

kuvk ≤max(kuwk kvwk)f¨ur alle w∈V \ {u, v}

Prüfungsfrage: Definition des RNG anschaulich erklären Definition 21 (Relativer Nachbarschaftsgraph als Subgraph- konstruktion): Gegeben sei ein Graph G über einer Punkt- menge V. Der Relative Nachbarschaftsgraph als Subgraph- konstruktion überGist definiert als

RNG(G) =G∩RNG(V)

Betrachten wir speziell einen Unit-Disk-Graphen über V, so bezeichnen wir den Relativen-Nachbarschaftsgraphen über G als Unit-Relativer-Nachbarschaftsgraphen (URNG) und schreiben hierfürURNG(V), d.h.

URNG(V) = UDG(V)∩RNG(V)

Satz 8 (Lokalit¨at von URNG): URNG ist eine 1-lokale Subgraphkonstruktion.

Ubung 14 (URNG ist eine¨ 1-lokale Subgraphkonstruktion):

Zeige, dass die durch URNG definierte Subgraphkonstruktion eine1-lokale Topologiekontrolle ist.

Satz 9 (Teilgraphbezeihung zwischen LMST und URNG):

LMST(V)⊆URNG(V)

Satz 10 (Obere Schranke zur euklidischen UDG-Spanning- Ratio des URNG): Gegeben sein ein zusammenhängender Unit-Disk-Graph über einer Punktmenge V. Die euklidische UDG-Spanning-Ratio ist durch n−1 nach oben beschränkt, d.h. für alleuund v ausV gilt:

kΠ_URNG(u, v)k

kΠUDG(u, v)k ≤n−1

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Satz 11 (Beispiel zur euklidischen UDG-Spanning-Ratio des URNG):Es gibt PunktmengenV und einen darauf definierten zusammenh¨angenden Unit-Disk-Graphen, sodass URNG die euklidische UDG-Spanning-Ratio n−1 erreicht.

Pr¨ufungsfrage: Skizziere die Tower-Konstruktion zur euklidischen Spanning-Ratio des URNG

Satz 12 (Unbegrenzter Grad des URNG): Der URNG ist nicht gradbeschränkt, d.h. ein Knoten kann unter Umständen mit allen übrigen Knoten verbunden sein.

Ubung 15 (Unbegrenzter Grad des URNG):¨ Zeige, dass URNG nicht gradbeschr¨ankt ist.

C. Gabriel-Graph

Definition 22 (Gabriel-Graph über Punktmengen):Gegeben sei eine Punktmenge V. Der Gabriel-Graph über der Punkt- menge V, im ZeichenGG(V), beinhaltet alle Kanten uvmit u, v ∈V für die gilt, dass innerhalb des KreisesC(u, v)(der kleinste Kreis um uund v) kein weiterer Punkt aus V liegt, d.h. für alle w∈V \ {u, v}gilt:

k(u+v)/2, wk>kuvk/2

Pr¨ufungsfrage: Definition des GG anschaulich erkl¨aren Definition 23 (Gabriel-Graph als Subgraphkonstruktion):

Gegeben sei ein Graph G ¨uber einer Punktmenge V. Der Gabriel-Graph als Subgraphkontruktion ¨uber G, im Zeichen GG(G), ist definiert als

GG(G) =G∩GG(V)

Betrachten wir speziell einen Unit-Disk-GraphenGüberV so bezeichnen wir den Gabriel-Graphen überGalsUnit-Gabriel- Graphund schreiben hierfür UGG(V), d.h.

UGG(V) = UDG(V)∩GG(V)

Korollar 3 (Teilgraphbeziehung zwischen RNG und GG):

Es gilt stets RNG(V)⊆GG(V),RNG(G)⊆GG(G), sowie URNG(V)⊆UGG(V).

Ubung 16 (Beweis der Teilgraphbeziehung zwischen RNG¨ und GG): Zeige, dassURNG(V)⊆UGG(V)gilt.

Satz 13 (Lokalit¨at von UGG): UGG ist eine1-lokale Sub- graphkonstruktion.

Ubung 17 (UGG ist eine¨ 1-lokale Subgraphkonstruktion):

Zeige, dass die durch UGG definierte Subgraphkonstruktion eine 1-lokale Topologiekontrolle ist.

Satz 14 (Beispiel zur euklidischen UDG-Spanning-Ratio des GG): F¨ur jedes n gibt es Punktmengen V mit n Elementen und einen darauf definierten zusammenh¨angenden Unit-Disk- Graphen, sodass UGGeine UDG-Spanning-Ratio

bn/2−1c

√n

erreicht.

Pr¨ufungsfrage: Skizziere die Tower-Konstruktion zur euklidischen Spanning-Ratio des UGG

D. Zusammenfassung

Entwurfsprinzip 1 (Lokale Variante einer globalen Graph- konstruktion): Jedes Konstrukt, welches eine globale Punkt- menge V auf einen Graphen abbildet, lässt sich in eine auf ungerichtete Graphen G definierte lokale Variante einer Subgraphkonstruktion überführen. Wir wenden das Konstrukt für jeden Knoten v ∈ G eingeschränkt auf die Ein-Hop- Nachbarn von v an. Um als Ergebnis einen ungerichteten Subgraphen sicherzustellen, behalten wir immer nur die konstruierten Kanten bei, die in beide Richtungen existieren.

Pr¨ufungsfrage: Illustriere das Entwurfsprinzip lokale Variante einer globalen Graphkonstruktion am Beispiel von LMST, RNG bzw. GG.

Prüfungsfrage: Erkläre zum Entwurfsprinzip lokale Variante einer globalen Graphkonstruktion, in welcher Beziehung die Ergebnisgraphen der globalen und lokalen Variante stehen können.

Korollar 4 (LMST, URNG und UGG sind zusammenhängen- de Graphen): Bei einem zusammenhängenden Unit-Disk- Graphen über V, sind auch LMST(V), URNG(V) und UGG(V) zusammenhängend.

Beweisprinzip 1 (Zusammenhang in Graphen durch Teil- graphbeziehung): Zusammenhang eines Graphen lässt sich zeigen, indem man zeigt, dass dieser einen Teilgraphen enthält, von dem man schon weiß, dass dieser zusammenhängend ist.

Prüfungsfrage: Erkläre wie man sieht, dass bei einem zusam- menhängenden Unit-Disk-Graphen auch LMST, RNG und GG zusammenhängend sind

Beweisprinzip 2 (Teilgraphbeziehung durch Teilmengenbe- ziehung): Dass ein Graph einem anderen enthalten ist, l¨asst sich zeigen, indem man

• entweder f¨ur jede Kante des Subgraphen zeigt, dass diese auch im Supergraphen liegen muss

• oder f¨ur jedes Knotenpaar, welches nicht als Kante im Supergraphen existiert, zeigt, dass diese auch nicht als Kante im Subgraphen exisiteren kann.

Außerdem ist sicherzustellen, dass alle Knoten des Subgraphen im Supergraphen enthalten sind.

Gleichheit von zwei Graphen l¨asst sich zeigen, indem man zeigt, dass beide dieselbe Knotemenge haben und dass beide jeweils ein Teilgraph des anderen sind.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are wie man Teilgraphbeziehung bzw.

Gleichheit von Graphen durch Teilmengenbeziehung zeigt Beweisprinzip 3 (Existenz eines Graphkonstruktes): Die Existenz eines Graphkonstruktes (wie z.B. hier die Existenz eines EMST mit der Eigenschaft, dass jeder Pfad v1v2. . . vk

die Eigenschaftvivi+1< v1vkerfüllt) lässt sich durch Angabe eines Konstruktionsalgorithmus (wie z.B. hier Algorithmus nach Kruskal auf der Reihenfolge der totalgeordneten Kanten) zeigen, indem man nachweist, dass diese Eigenschaft eine Invariante des so gewählten Konstruktionsalgorithmus ist.

Beweisprinzip 4 (Eindeutigkeit eines Graphkonstruktes):

Die Eindeutigkeit eines Graphkonstruktes (wie z.B. hier die Eindeutigkeit eines EMST mit vorhin genannter der Eigen- schaft) l¨asst sich ggf. durch folgendes Widerspruchsbeweis- muster zeigen: Annahme es gibt zwei GraphenGund H mit

(7)

der Eigenschaft. Betrachte die Menge M der Kanten, die in Gaber nicht inH und die inH aber nicht inGliegen (also M = G\H ∪H \G). F¨uhre die Annahme M 6= ∅ zum Widerspruch.

Prüfungsfrage: Erkläre ein Beweismuster, wie man Existenz und Eindeutigkeit eine Graphkonstruktes mit einer bestimmten gewünschten Eigenschaft zeigen kann.

Beweisprinzip 5 (Aussage zu minimalen Graphkonstrukten):

Eine Aussage zu einem Graphkonstrukt G, welches minimal unter einem gegebenen additivem Kantengewicht ist (z.B.

k¨urzester Weg oder euklidischer minimaler Spannbaum) l¨asst sich durch folgendes Widerspruchsbeweismuster zeigen: An- nahme die Aussage gilt nicht. Erzeuge einen Widerspruch durch Austauschen einer Kantenmenge M ⊆ G mit einer Kantenmenge N, deren Kanten in Summe kleineres Gewicht als die Kanten inM haben (also:P

e∈Nf(e)≤P

e∈Mf(e)), der GraphH =G\M ∪N jedoch ebenfalls die Aussage zu Gerf¨ullt.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are an einem Beispiel das ein Beweismus- ter, wie man eine Aussage zu einem unter einem additivem Kantengewicht minimalen Graphkonstrukt zeigen kann.

Entwurfsprinzip 2 (Subgraphkonstruktion durch Schnittbil- dung): Aus jedem globalen Konstrukt, welches eine Punkt- menge auf einen Graphen G abbildet, l¨asst f¨ur Graphen H auf der Punktmenge durch Schnittbildung eine Subgraphkon- struktion definieren.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are das generelle Designprinzip welches zur Definition der Subgraphkonstruktionen URNG und UGG auf der Graphklasse der Unit-Disk-Graphen, verwendet wurde.

Pr¨ufungsfrage: F¨uhrt das generelle Entwurfsprinzip Sub- graphkonstruktion durch Schnittbildung angewendet auf Unit- Disk-Graphen immer zu einer lokalen Subgraphkonstruktion?

Beweisprinzip 6 (Theta-Spanner mit genereller oberer Schranke und einem Beispiel f¨ur untere Schranke):

1) Für jede mögliche Eingabe mitnKnoten muss für jedes Knotenpaar die Spanning-Ratio inO(f(n))liegen und 2) es gibt eine Beispielkonstruktion in dem für ein Paar der

Knoten die Spanning-Ratio inΩ(f(n))liegt

Pr¨ufungsfrage: Was bedeutet, dass eine Graphkonstruktion ein Θ(f(n))-Unit-Disk-Graph-Spanner ist?

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are das Konzept Θ(f(n))-Unit-Disk- Graph-Spanner am Beispiel RNG

III. UNIT-DELAUNAY-TRIANGULIERUNG

A. Voronoi-Diagramm

Definition 24 (Kollinearit¨at): Eine Punktmenge P aus R² wird als kollinear bezeichnet, wenn alle Punkte aus P auf einer gemeinsamen Geraden liegen.

Definition 25 (Kozirkularit¨at): Eine Punktmenge P mit mindestens vier Punkten aus R² ist kozirkul¨ar, wenn alle Punkte ausP auf einem gemeinsamen Kreisbogen liegen.

Definition 26 (Voronoi-Region):Gegeben sei eine 2D Punkt- mengeS. F¨ur jeden Punktu∈S definieren wir dieVoronoi- RegionV R_S(u)um uals

V RS(u) = \

v∈S\{u}

H(u, v)

(Erinnerung:H(u, v)beschreiben die durch uund vdefinier- ten Halbebenen (siehe Definition 6))

Definition 27 (Voronoi-Diagramm): Zu einer 2D Punkt- menge S = {u1, u2, . . . , un} definieren wir das Voronoi- DiagrammV D(S)als

V D(S) ={V R_S(u₁), . . . , V R_S(u_n)}

Die mit der ZeichnungV D(S)gegebenen Kanten sowie deren Unrspr¨unge bezeichnen wir als Voronoi-Kantenund Voronoi- Knoten.

Definition 28 (Degeneriert, Nicht-degeneriert): Einen Voronoi-Knoten mit mehr als drei ausgehenden Kanten bezeichnen wir als degeneriert. Hat er hingegen genau drei ausgehende Kanten, so bezeichnen wir diesen als nicht- degeneriert.

Korollar 5 (Voronoi-Knoten-Erzeugende): Sei S eine 2D- Punktmenge. Sei v ein Knoten des Voronoi-Diagramms V D(S). Es gibt eine Teilmenge T ⊆ S mit |T| ≥ 3, kt1vk = kt2vk = d f¨ur alle t₁, t₂ ∈ T und ksvk > d f¨ur alles∈S.

Korollar 6 (Existenz von degenerierten Voronoi-Knoten):

Das Voronoi-Diagramm über einer Punktmenge P aus R² ist degeneriert, genau dann, wenn P mindestens vier Punkte enthält, die kozirkulär sind.

Korollar 7 (Existenz von unendlichen Geraden im Voronoi- Diagramm): Ein Voronoi-Diagramm ¨uber einer Punktmenge P ausR²hat entweder keine unendliche Gerade oder besteht nur aus unendlichen Geraden. Letzterer Fall ist nur m¨oglich, wenn die Punkte ausP kollinear sind.

Ubung 18 (Voronoi-Region):¨ Zeichne mittels GeoGebra einen Punkt u sowie weitere Punkte um u und konstruiere gem¨aß voriger Definition die Voronoi-Region umu. [Hinweis:

nutze die GeoGebra-Funktionen zum setzen von Punkten, zeichnen von Mittelsenkrechten sowie zeichnen von Viele- cken]

Ubung 19 (Voronoi-Diagramm):¨ Setze mittels GeoGebra eine Menge von Punkten P aus R² und konstruiere das Voronoi-Diagramm dar¨uber [Hinweis: nutze die GeoGebra- Funktion Voronoi(A,B,C,...)]. Vollziehe durch verschieben der Punkte nach:

• Jeder Voronoi-Knoten hat mindestens drei ausgehende Kanten.

• F¨ur jeden Voronoi-Knoten gibt es mindestens drei am n¨achsten liegende Punkte inP.

• Degenerierte Punkte liegen im Falle kozirkul¨arer Punkte inP vor.

• Unendliche Geraden k¨onnen nur existieren, wenn alle Punkte ausP kollinear sind.

Ubung¨ 20 (Kozirkularit¨at und degenerierte Voronoi- Knoten): Zeige oder wiederlege, dass die Menge P eine

(8)

kozirkul¨are Teilmenge enth¨alt genau dann, wenn das Voronoi- Diagramm V D(P) mindestens einen degenerierten Knoten hat.

B. Delaunay-Triangulierung

Definition 29 (Konvexe Menge):Eine Menge M des euklidischen RaumesR^distkonvex, wenn f¨ur alle Punkteu, v∈M auch immer die gesamte Streckeuv zwischenuund v inM liegt, d.h. aus u, v∈M folgt stetsuv∈M.

Definition 30 (Konvexe Hülle):Diekonvexe Hülleconv(P) einer Punktmenge P ist die kleinste konvexe Menge, welche P enthält, d.h.

conv(P) = \

P⊂M konvex M

Definition 31 (Triangulierung): Eine Triangulierung (auch Triangulation) einer gegebenen nicht kollinearen Punktemenge P aus R² ist die Zerlegung der konvexen H¨ulle von P in Dreiecke, sodass die Dreieckspunkte genau die Punkte ausP sind.

Definition 32 (Delaunay-Triangulierung): Eine Triangulie- rung von nicht kollinearen PunktenP ausR² mit der zus¨atz- lichen Eigenschaft, dass die Umkreise der Dreiecke keinen weiteren Punkt ausP enthalten (der Rand nicht mitbetrachtet), wird als Delaunay-Triangulierungbezeichnet.

Korollar 8 (Eindeutigkeit der Delaunay-Triangulation):Die Delaunay-Triangulierung von nicht kollinearen PunktenP aus R²ist eindeutig, wennPkeine kozirkul¨are Teilmenge enth¨alt.

Ubung 21 (Zur Eindeutigkeit der Delaunay-Triangulation):¨ Vollziehe die Aussage des vorigen Korollars zur Eindeutigkeit der Delaunay-Triangulation mittels GeoGebra anhand von vier Punkten nach.

Korollar 9 (Dualität von Delaunay-Triangulation und Voronoi-Diagramm):Gegeben sei eine nicht kollineare Punkt- menge P über R², die auch keine kozirkulären Teilmen- gen enthält. Die Delaunay-Triangulierung besteht in diesem Fall genau aus den Kanten uv aus P × P, für die die Voronoi-Regionen V R(u) und V R(v) des Voronio- DiagrammsV D(P)eine gemeinsame Kante haben.

Ubung 22 (Zur Dualität von Delaunay-Triangulation und¨ Voronoi-Diagramm): Zeichne mittels GeoGebra eine Menge von Punkten im R² und bilde Voronoi-Diagramm, Delaunay- Triangulation sowie die Konvexe Hülle über diese Menge darüber (verschiebe Punkte nach belieben und beobachte, wie sich die drei Konstrukte verändern). [Hinweis: nutze die GeoGebra-Funktionen DelaunayTriangulation(A,B,C,...), Voronoi(A,B,C,...) und KonvexeHülle(A,B,C,...).]

Korollar 10 (Delaunay-Triangulation über Kreiskriterium für zwei Punkte): Gegeben sei eine nicht kollineare Punkt- menge P über R², die auch keine kozirkulären Teilmengen enthält. Die Delaunay-Triangulierung besteht in diesem Fall genau aus den KantenuvausP×P, für die ein KreisCmitu und v auf dem Kreisbogen existiert, welcher keinen weiteren Knoten aus P \ {u, v} innerhalb des Kreises (inklusive des Kreisbogens) enthält.

Definition 33 (Notation zur Delaunay-Triangulation f¨ur beliebige Punktmengen):SeiP eine beliebige Punktmenge aus

R². Die NotationDel(P)bezeichnet eine mögliche Delaunay- Triangulierung, wennP nicht kollinear ist bzw. die eindeutige Delaunay-Triangulierung, wenn P zudem keine kozirkuläre Teilmenge enthält. Ansonsten bezeichnetDel(P) die Menge der Kantenuv, für die ein Kreis existiert, deruundvauf dem Kreisbogen enthält und keinen weiteren Knoten ausP\ {u, v}

innerhalb des Kreises (inklusive des Kreisbogens) enth¨alt.

Prüfungsfrage: Erkläre die Konstrukte Triangulierung und konvexe Hülle.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are die Konstrukte Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulierung

Prüfungsfrage: Erkläre den Zusammenhang von Voronoi- Diagramm, Delaunay-Triangulierung und konvexer Hülle.

Prüfungsfrage: Erkläre die Begriffe kollinear und kozirkulär sowie den Einfluss dieser Eigenschaften auf die Konstrukte Voronoi-Diagramm und Delaunay-Triangulierung.

Korollar 11 (Teilgraphbeziehung von Gabriel-Graph und Delaunay-Triangulation): Sei P eine beliebige Punktmenge.

Der Gabriel-Graph ¨uber P ist in der Delaunay-Triangulation DT(P)enthalten, d.h.:

GG(P)⊆DT(P)

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are warum der Gabriel-Graph in der Delaunay-Triangulierung enthalten ist.

C. Unit-Delaunay-Triangulierung

Definition 34 (Unit-Delaunay-Triangulierung): Sei P eine Punktmenge aus R². Sei U DG(P) ein Unit-Disk-Graph

¨uber P. Wir definieren die Unit-Delaunay-Triangulierung U Del(P)als:

U Del(P) =U DG(P)∩DT(P)

Ubung 23 (Unit-Delaunay-Triangulierung ist nicht lokal):¨ Zeige, dass die Unit-Delaunay-TriangulierungU Del(P)nicht mit lokalen Regeln berechnet werden kann.

Pr¨ufungsfrage: Zeige an einem Beispiel, dass UDel keine lokale Subgraphkonstruktion von UDG sein kann.

Satz 15 (2,42-Spanning-Ratio der Delaunay-Triangulierung (Keil, Gutwin)): Del(S) ist ein _{3 cos(π/6)}^2π = ⁴

√ 3

9 π ≈ 2,42 euklidischer Spanner.

Definition 35 (Kreisbogen): F¨ur einen KreisC mit Mittel- punkt O und Radius r seien p und q zwei Punkte auf dem Rand vonC. Seiθeiner der beiden Winkel∠pOqbzw.∠qOp.

Wir bezeichnen den Kreisbogen von p nach q bzgl. θ als arc(p, q). Wenn aus dem Kontext klar ist welcher der beigen möglichen Kreisbögen gemeint ist, sprechen wir einfach vom Kreisbogen arc(p, q) von p nach q. Wir nutzen zusätzlich das gleiche Symbolarc(p, q), um die Länge des Kreisbogens auszudrücken, d.h.:

arc(p, q) =r·θ

Lemma 2 (Länge von zwei Kreisbögen innerhalb eines größeren Kreisbogens): Sei arc(p, q) ein Kreisbogen von p

(9)

nach q. SeiAdie Fläche inklusive des Randes, welche durch arc(p, q)∪pqbeschrieben ist. Seitein Punkt inA. Für jedes Paar von Kreisbögenarc(p, t)und arc(t, q), welche komplett inA liegen (d.h.arc(p, t)⊆Aund arc(t, q)⊆A) gilt stets:

arc(p, t) + arc(t, q)≤arc(p, q)

Ubung 24 (Beobachtung der Länge von zwei Kreisbögen¨ innerhalb eines größeren Kreisbogens):Vollziehe die Aussage des vorigen Lemmas mittels Geogebra beispielhaft nach. Ver- wende hierzu die Funktion zum zeichnen von Umkreisbögen und setze das Attribut der Umkreisbögen, sodass deren Länge angezeigt wird.

Lemma 3 (Hilfskonstruktion zum Keil/Gutwin-Beweis):

Gegeben sei eine Punktmenge S und eine Delaunay- Triangulierung Del(S) über S. Seien p und q zwei Punkte, sowieCein Kreis mitpundqauf dem Rand vonC. SeiLdie Gerade durchpundq. Die GeradeLtrenntCin zwei Bereiche D1 und D2. Sofern der Bereich D1 keine Punkte aus S im Inneren enthält, gilt: Sei arc(p, q)die Länge des Kreisbogens vonpnachq, welcher den Rand vonD₂beschreibt. Es existiert ein Pfadw(p, q)inDel(S)mit

kw(p, q)k ≤arc(p, q) und f¨ur alle Kanten e∈w(p, q)ist kek ≤ kpqk.

Prüfungsfrage: Erkläre die Kernidee (d.h. die geeignet gewähl- te Sortierung) des Induktionsbeweises zum vorigen Lemma

Ubung 25 (Nachvollziehen der Konstruktion des vorigen¨ Lemmas zum Keil-Gutwin-Beweis):Entwickle schrittwiese die Konstruktion des vorigen Lemmas mittels Geogebra:

1) Zeichne zun¨achst den Ausgangspunkt:

• zwei Punktepund qauf der x-Achse

• die GeradeLdurch pund q

• einen KreisC mit MittelpunktO durch pund q

• den Winkelθ zwischen∠pOq, welcher vonC den Kreisbogenarc(p, q) vonpnachq oberhalb vonL aufspannt

• einen Punkt z auf dem Kreisrand vonC unterhalb vonL

2) Setze weitere beliebige Punkte dergestalt, dass mindestens ein weiterer Punkt innerhalb von C oberhalb von L liegt und kein Punkt innerhalb vonC unterhalb von Lliegt

3) Sei M die Menge der Punkte innerhalb vonC(und damit auch oberhalb von L). Setze einen Kreis D so, dass dieserp und q und einen weiteren Punkt t aus M auf seinem Kreisrand hat, das Innere des Kreises oberhalb vonL aber leer ist.

4) Setze den Kreis C⁰ mit p und t auf seinem Kreisrand und mit MittelpunktO⁰ auf der Geraden durchpundO.

Vollziehe nach, dass

• der Kreis C⁰ unterhalb der Geraden durchp und t leer sein muss

• der Winkel θ⁰, welcher von C⁰ den Kreisbogen von p nach t oberhalb der Geraden durch p und t aufspannt kleiner gleichθist.

5) Setze einen KreisC⁰⁰ mit Mittelpunkt auf dem Bisektor b(p, t), so dasspundtauf dem Kreisrand vonC⁰⁰liegen, ein weiterer Punkt z⁰ auf seinem Kreisrand liegt, aber keiner der Punkte unterhalb der Geraden durch pundt innerhalb vonC⁰⁰ liegt. Vollziehe nach, dass

• der Winkel θ⁰⁰, der von C⁰⁰ den Kreisbogen von p nach t oberhalb der Geraden durch p und t aufspannt, kleiner gleich dem Winkelθ⁰ ist

• das mitC⁰⁰gefundenez⁰nicht daszder Ausgangs- konstruktion sein muss

Lemma 4 (Länge von zwei Kreisbögen mit spezieller Zu- ordnung zu einem größeren Kreisbogens): Sei arc(p, q) ein Kreisbogen mit zugehörigem Winkel θ = 4/3·π (= 240^◦) und Kreismittelpunkt O. Sei arc(q, p) der übrige Teil des Kreisbogens mit Winkel θ⁰ = 2/3·π (= 120^◦) und Kreis- mittelpunktO. Seiarc⁰(p, q)die Spiegelung vonarc(q, p)an der Geraden durch p und q. Sei A die durch arc(p, q)∪pq eingeschriebene Fläche inklusive des Randes. SeiBdie Fläche aller Punkte die in der durcharc⁰(p, q)∪pq eingeschriebenen Fläche inklusive des Randes liegen und die nicht näher zuq als zupliegen. Für jedest∈Bgilt: seiarc(p, t)ein beliebiger Kreisbogen mit arc(p, t) ⊆A. Sei arc(t, q) der Kreisbogen, dessen Mittelpunkt inAliegt und dessen zugeordneter Winkel ebenfallsθ= 4/3·πerfüllt. Es gilt in diesem Fall stets:

arc(p, t) + arc(t, q)≤arc(p, q)

Satz 16 (Erweiterung des Satzes von Keil/Gutwin): Sei S eine endliche Menge von Punkten undDel(S)eine Delaunay- Triangulation ¨uber S. F¨ur jedesp, q ∈ S gibt es einen Pfad w(p, q)inDel(S) mit

kw(p, q)k

kpqk ≤ 2π

3 cos(π/6) =4√ 3

9 π≈2,42 und f¨ur alle Kantene∈w(p, q)istkek ≤ kpqk.

Prüfungsfrage: Erkläre die Kernidee (d.h. die geeignet gewähl- te Sortierung) des Induktionsbeweises zum vorigen Satz

Satz 17 (Euklidische 2.42 UDG-Spanning-Ratio von UDel):

Gegeben sei eine endliche PunktmengeS. Seienu, v∈S. Sei ΠU Del(u, v) ein euklidisch k¨urzester Weg von u nach v in U Del(S). SeiΠU DG(u, v)ein euklidisch k¨urzester Weg von unachv inU DG(S). Es gilt:

kΠ_{U Del}(u, v)k

kΠU DG(u, v)k ≤ 2π

3 cos(π/6) = 4√ 3

9 π≈2,42 Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are die Kernidee zum Beweis des vorigen Satzes

Satz 18 (Untere Schranke f¨ur die euklidische Spanning-Ratio der Delaunay-Triangulation): Es existieren Punktmengen S auf der Ebene, so dass die Delaunay-Triangulation eine euklidische Spanning-Ratio von1,5932hat (> π/2≈1,5708).

Satz 19 (Verbesserte obere Schranke der euklidischen Spanning-Ratio der Delaunay-Triangulation nach Ge Xia):

F¨ur jede Punktmenge S auf der Ebene ist die euklidische Spanning-Ratio der Delaunay-Triangulation Del(S) kleiner als1,998.

(10)

Forschungsfrage: Anpassen des Beweises der bisher bekannten besten oberen Schranke 1,998 zur euklidischen Spanning- Ratio der Delaunay-Triangulierung nach Ge Xia, sodass auch f¨ur die Unit-Delaunay-Triangulierung gesichert ist, dass die Euklidische Unit-Disk-Graph-Spanning-Ratio durch1,998 nach oben beschr¨ankt ist (bisher wissen wir, dass die obere Schranke 2,42ist).

Prüfungsfrage: Was ist zusätzlich im Beweis der mittlerweile bekannten 1,998 euklidischen Spanning-Ratio der Delaunay- Triangulierung zu überprüfen, sodass auch UDel ein 1,998 euklidischer Unit-Disk-Graph-Spanner ist.

Prüfungsfrage: Erkläre auf welchen Wert sich die Schran- ke zur euklidischen Unit-Disk-Graph-Spanning-Ratio der Unit-Delaunay-Triangulierung nach aktuellem Kenntnisstand höchstens noch absenken lassen kann.

Ubung 26 (Gr¨obere Absch¨atzung zur konstanten euklidi-¨ schen UDG-Spanning-Ratio von UDel): Eine Konsequenz, die sich aus der Konstruktion des Beweises nach Dobkin, Friedmann, Supowit (1987) zur ¹⁺

√5

2 π ≈5,08euklidischen Spanning-Ratio der Delaunay-Triangulierung ergibt ist folgende:

Sei S eine endliche Punktmenge im R². Die Delaunay- Triangulierung erfüllt für jedes Knotenpaar u, v ∈ S, dass ein Pfad p(u, v)im Del(S) exisitert, welcher vollständig im kleinsten KreisC(u, v)umuund v liegt und welcher

kp(u, v)k ≤ 1 +√ 5

2 π· kuvk

1) Argumentiere, dass mituv∈U DG(S)auchp(u, v)ein Pfad inU DG(S)ist (d.h.p(u, v)⊆U DG(S)).

2) Beweise damit nach demselben Muster wie wir es in der Vorlesung für die2,42-Spanning-Ratio gemacht haben, dass die euklidische Unit-Disk-Graph-Spanning-Ratio vonU Del(S)folgende obere Abschätzung erfüllt:

kΠU Del(u, v)k

kΠ_{U DG}(u, v)k ≤1 +√ 5

2 π

D. Euklidische UDG-Spanning-Ratio des Unit-Gabriel- Graphen

Satz 20 (Obere Schranke zur euklidischen Spanning-Ratio des Gabriel-Graphen): Sei S eine Punktmenge in R² mit n Elementen. Die euklidische Spanning-Ratio von U GG(S) gegen¨uber U DG(S)ist wie folgt nach oben beschr¨ankt:

kΠU GG(u, v)k kΠ(u, v)k ≤√

6n−12· 2π 3 cos(π/6) f¨ur alle uundv aus S.

E. Zusammenfassung

Beweisprinzip 7 (Induktionsbeweis über Knotenpaare eines euklidischen Graphen):Betrachte auf den Knotenpaaren(u, v) die Sortierung kuvk (beachte auch den Fall gleich langer Kanten) und führe einen Induktionsbeweis gemäß dieser Sor- tierung.

Beweisprinzip 8 (Induktionsbeweis über Knotentripel eines euklidischen Graphen): Betrachte auf Knotentripel (u, v, w) den jeweiligen umschließenden KreisC(u, v, w)und sortiere diese Kreise gemäß einer Kreiseigenschaft (hier z.B. der Win- kel zwischenu, Kreismittelpunkt undvbzw. bei Gleichheit die Abständekuvk.). Führe einen Induktionsbeweis gemäß dieser Sortierung.

Prüfungsfrage: Beschreibe das Prinzip, wie sich ein Induk- tionsbeweis über Knotenpaare bzw. Knotentripel in einem euklidischen Graphen ggf. durchführen lässt.

Beweisprinzip 9 (Für Unit-Disk-Graph gültige Graphkon- strukte): Sei c(u, v) ⊆ G ein Graphkonstrukt (hier konkret Konstruktion von Wegen) für gegebene Knotenuundv eines GraphenG. Füruundveines Unit-Disk-GraphenHistc(u, v) inH enthalten, wenn uv∈ H und für alle e ∈c(u, v) stets kek ≤ kuvkgilt.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are warum unter der Bedingung des zuvor genannten Beweisprinzips ein Graphkonstrukt zu Knotenuund vsicher stellt, dass dieses Graphkonstrukt als Teilgraph eines Unit-Disk-Graphen angenommen werden kann.

Beweisprinzip 10 (Spannereigenschaft für Kanten impliziert Spannereigenschaft für Wege): Sei H ein Graph undG⊂H ein Teilgraph. Zum Beweis, dass G bezüglich eines Kosten- funktionf(u, v)für Kantenuvein Graph-Spanner vonH ist, genügt es die Spanning-RatiospG(u, v)/f(u, v)zu ermitteln (hierbei bezeichnetpsG(u, v)ein kürzester Weg vonunachv inGgemäß Kostenfunktion f(u, v)). Dies ist dann auch eine Graph-Spanning-Ratio von Gbzgl.H.

Prüfungsfrage: Erläutere, warum es im vorhin genannten Beweisprinzip genügt lediglich eine beliebig gewählte Kante anstatt kürzeste Wege zu betrachten.

IV. LOKALEDELAUNAY-TRIANGULIERUNG

A. LDel und PLDel

Definition 36 (Lokale Delaunay-Triangulierung LDel):Wir betrachten eine Punktmenge V in R² und einen Unit-Disk- GraphenUDG(V) überV. Ein Dreieck∆(u, v, w)mit Punk- ten u, v, w ∈ S erfüllt die k-lokale Delaunay-Eigenschaft, wenn uv, vw und wu Kanten des Unit-Disk-Graphen sind und der Kreis C(u, v, w) um u, v, w bzgl. UDG(V) keinen Knoten aus Nk(u) ∪Nk(v)∪ Nk(w) enthält (Erinnerung:

Nk(v)ist diek-Hop-Nachbarschaft vonv; hier bzgl. des Unit- Disk-Graphen). Das Dreieck ∆(u, v, w) wird als k-lokales Delaunay-Dreieckbezeichnet.

Wir definieren die lokale Delaunay-Triangulierung LDel^(k)(V) als den Graphen, der genau aus den Kanten des Unit-Gabriel-Graphen U GG(V) und den Kanten aller m¨oglichenk-lokalen Dreiecke besteht.

Pr¨ufungsfrage: Definition von LDel^(k)(V) anschaulich erkl¨aren

Pr¨ufungsfrage: Warum betrachten man in der Definition zus¨atzlich die Kanten des Unit-Gabriel-Graphen?

Pr¨ufungsfrage: Wieviel Hop Information ben¨otigt man zur Konstruktion vonLDel^(k)(V)?

(11)

Satz 21 (Teilgraphbeziehung von UDel und LDel): Sei V eine Punktmenge inR^d. Es gilt

U Del(V)⊆LDel^(k)(V)

Ubung 27 (Leere Halbebene bei Punkten auf nur einem¨ Delaunay-Dreieck): Angenommen zwei Punkte u und v aus Del(V)bilden die Kante nur eines Delaunay-Dreiecks (anstatt von zweien). Zeige, dass dann eine der durch die Gerade uv definierten beiden Halbebenen (exklusive der Geraden) keinen Punkt aus V enth¨alt.

Korollar 12 (Euklidische Unit-Disk-Spanning-Ratio von LDel): LDel^(k)(V) ist ein euklidischer _{3 cos(π/6)}^2π Unit-Disk- Graph-Spanner.

Pr¨ufungsfrage: Nach welchem Beweisprinzip wurde gezeigt, dass LDel^(k)(V) ein konstanter euklidischer Unit-Disk- Graph-Spanner ist?

Korollar 13 (Schnitt von GG-Kante und1-lokalem Dreieck):

In LDel⁽¹⁾ kann eine Kante des Gabriel-Graphen mit einer Kante eines1-lokalen Dreiecks schneiden.

Ubung 28 (Schnitt von zwei¨ 1-lokalen Dreiecken): Zeige, dass sich in LDel⁽¹⁾ zwei Kanten von zwei1-lokalen Dreie- cken schneiden k¨onnen.

Definition 37 (Planarisierter LDel⁽¹⁾): Wir betrachten einen Unit-Disk-Graphen ¨uber einer Knotenmenge V. Der planarisierteLDel⁽¹⁾– bezeichnet alsP LDel(V)– beinhaltet alle Unit-Gabriel-Graph-Kanten und alle 1-lokalen Dreiecke

∆(u, v, w), welche zus¨atzlich folgende Eigenschaft erf¨ullen.

F¨ur jeden Knoten x ∈ N(u)∪N(v)∪N(w) (Erinnerung N(v)ist die Ein-Hop-Nachbarschaft; hier bzgl. des Unit-Disk- Graphen) gilt, dass jeder Knoteny, mit demxinLDel⁽¹⁾(V) verbunden ist, muss außerhalb des Kreises C(u, v, w) um u, v, w liegen.

Pr¨ufungsfrage: Wie unterscheiden sich P LDel(V) und LDel⁽¹⁾(V)?

Pr¨ufungsfrage: Wieviel Hop Information ben¨otigt man zur Konstruktion von P LDel(V)?

Lemma 5 (Schnitteigenschaft f¨ur Gabriel-Graph-Kante und k-lokales Dreieck):Eine Gabriel-Graph-Kanteuvschneide ein k-lokales Delaunay-Dreieck∆(x, y, z). Dann k¨onnenuundv nicht gleichzeitig außerhalb des Kreises C(x, y, z)liegen.

Lemma 6 (Schnitteigenschaft von zwei k-lokalen Dreie- cken): Es seien ∆(u, v, w) und ∆(x, y, z) zwei k-lokale Dreiecke. Die Kante uv schneide das Dreieck∆(x, y, z)und der Kreis C(u, v, w)um u, v, w beinhalte keinen der Knoten aus {x, y, z}. Dann beinhaltet der Kreis C(x, y, z) entweder uoderv.

Ubung 29 (Unit-Gabriel-Graph ist frei von Schnitten):¨ Zeige, dass ein Unit-Gabriel-Graph keine schneiden Kanten enthalten kann.

Satz 22 (PLDel ist schnittfrei): Der Graph P LDel(V) hat keine schneidenen Kanten.

Satz 23 (Teilgraphbeziehung von LDel): Es gilt LDel^(k+1)(V)⊆LDel^(k)(V)

Satz 24 (Teilgraphbeziehung von LDel und PLDel): Es gilt LDel⁽²⁾(V)⊆P LDel(V)⊆LDel⁽¹⁾(V)

Korollar 14 (Schnittfreiheit von LDel): LDel^(k)(V)ist f¨ur k≥2 frei von schneidenden Kanten.

Prüfungsfrage: Erkläre das Beweisprinzip, anhand dessen gezeigt wurde, dass LDel^(k) für k ≥ 2 keine schneidenden Kanten enthält.

Ubung 30 (Beziehung zwischen LDel und Del):¨ Zeige, dass im Allgemeinen weder

1) einkexistiert, sodassLDel^(k)(V)⊆Del(V) 2) noch Del(V)⊆LDel⁽¹⁾(V)gilt.

B. RDG

Definition 38 (Restricted Delaunay-Graph):DerRestricted- Delaunay-Graph RDG(V) zu einem Unit-Disk-Graphen UDG(V) erf¨ullt: uv ∈ RDG(V) genau dann, wenn uv ∈ UDG(V) und f¨ur alle w ∈ N(u) ∩ N(v) gilt uv ∈ Del(N(w)). (BemerkungN(u)∩N(v)beinhaltet auchuund v)

Pr¨ufungsfrage: Definition vonRDG(V)anschaulich erkl¨aren.

Pr¨ufungsfrage: Wieviel Hop Information ben¨otigt man zur Konstruktion vonRDG(V)?

Satz 25 (Teilgraphbeziehung von UDel und RDG):Es gilt:

U Del(V)⊆RDG(V)

Pr¨ufungsfrage: Nach welchem Beweisprinzip wurde gezeigt, dassRDG(V) ein konstanter euklidischer Unit-Disk-Graph- Spanner ist?

Lemma 7 (Schnitteigenschaft in Unit-Disk-Graphen):Seien uvundwxKanten eines Unit-Disk-Graphen. Wennuvundwx einen Schnitt bilden, dann ist mindestens einer der Endpunkte u, v, w, x mit allen ¨ubrigen Endpunkten von uv und wx verbunden.

Pr¨ufungsfrage: Beweismuster zum Beweis der Schnitteigen- schaft in Unit-Disk-Graphen erkl¨aren.

Satz 26 (Schnittfreiheit von RDG): RDG(V) hat keine schneidenden Kanten.

Pr¨ufungsfrage: Welche prinzipielle Unit-Disk-Graph- Eigenschaft wurde genutzt, um zu zeigen, dass RDG(V) keine schneidenden Kanten hat?

Ubung 31 (Beziehung zwischen RDG und Del):¨ Zeige, dass im Allgemeinen weder

1) RDG(V)⊆Del(V)

2) noch Del(V)⊆RDG(V)gilt.

Ubung 32 (Beziehung zwischen¨ RDG und LDel⁽¹⁾): In welcher Teilgraphbeziehung stehen RDG und LDel⁽¹⁾ zu- einander?

C. PUDel und PDT

Definition 39 (Partielle Delaunay-Triangulation): Wir betrachten einen Unit-Disk-Graphen UDG(V) mit Unit-Disk- Radius R. Die Partielle Delaunay-Triangulation (P DT(V)) beinhaltet alle Kanten uv, die folgende Regel erf¨ullen. Sei w ∈S\ {u, v} ein Knoten, der α=∠uwv maximiert (d.h.

∠uxv≤∠uwv f¨ur allex∈S\ {u, v}). Es muss gelten:

(12)

1) kuvk ≤R und 2) uv∈U GG(V)oder

3) C(u, v, w)∩N(u)\ {u, v, w}=∅ undsin(α)≥ ^kuvk_R Pr¨ufungsfrage: Definition der Partiellen Delaunay- Triangulation erkl¨aren

Pr¨ufungsfrage: Wie unterscheidet sichP DT vonLDel⁽²⁾ und RDG?

Definition 40 (Partieller Unit-Delaunay-Graph): Wir betrachten eine Punktmenge V und einen Unit-Disk-Graphen UDG(V)mit Unit-Disk-RadiusR. Seiu, v∈V mitv∈N(u) (d.h. kuvk ≤R).

Wir bezeichnen uv als gerichtete lokale Delaunay-Kante, wenn uv∈Del(N(u)).

Wir bezeichnen eine gerichtete lokale Delaunay-Kante als lokal detektierbar, wenn ein Punktpexistiert (pmuss nicht aus V sein), sodassp∈V R_N_(u)(u)∩V R_N(u)(v)mitkupk ≤R/2 (hierbei bezeichnet V RM(v) die Voronoi-Region um v∈M bzgl. der Knoten aus M).

Der partielle Unit-Delaunay-Graph P U Del(V) beinhaltet genau alle lokal detektierbaren gerichteten lokalen Delaunay- Kanten.

Definition 41 (Direkter DT-Pfad): SeiV eine Punktmenge.

Wir betrachten das Voronoi-Diagramm V D(V) über V. Für zwei Knoten u, v ∈ V definieren wir den direkten DT-Pfad wie folgt. SeienV R(b0=u), V R(b1), . . . , V R(bk−1=v)die Voronoi-Regionen, die von der Streckeuvgeschnitten werden (verläuftuvparallel zu einer Voronoi-Kante und schneidet diese, dann kann beliebig eine der beiden Voronoi-Regionen für die definierte Sequenz der Voronoi-Regionen gewählt werden).

Hierbei bezeichnet V R(b_i) die Voronoi-Region um b_i ∈ V. Offensichtlich sindV R(bi)undV R(bi+1)immer benachbart, d.h. bibi+1 ist Kante inDel(S)bzw.b0b1. . . b_k−1 ist Pfad in Del(S). Den so konstruierten Pfad bezeichnet man alsdirekten DT-Pfad (kurzDT(u, v)).

Lemma 8 (Existenz eines Zeugen in PUDel): Sei R der betrachtete Unit-Disk-Radius. F¨ur jede Punktmenge V und u, v ∈ V gilt: uv ∈ P U Del(V) genau dann, wenn uv ∈ U Del(V) und ein p mit kupk ≤ R/2 existiert, sodass p∈V RV(u)∩V RV(v).

Lemma 9 (Direkte DT-Pfade in PUDel):F¨uruv∈U Del(V) gilt: der direkte DT-Pfad vonunachv inDel(V)ist auch ein Pfad in P U Del(V).

Lemma 10 (Euklidische Spanning-Ratio von PUDel f¨ur Kanten des UDel): F¨ur jede Kante uv ∈ U Del(V) existiert ein Pfadp(u, v)∈P U Del(V)mitkp(u, v)k ≤ ^π₂kuvk.

Satz 27 (Euklidische UDel-Spanning-Ratio von PUDel):

P U Del(V)ist ein euklidischerπ/2-Spanner von U Del(V).

Pr¨ufungsfrage: Wie wurde mit dem direkten DT-Pfad gezeigt, dass PUDel ein konstanter euklidischer Graph-Spanner von UDel ist?

Korollar 15 (Euklidische UDG-Spanning-Ratio von PU- Del): P U Del(V) ist ein euklidischer _{3 cos(π/6)}^π² Unit-Disk- Graph-Spanner.

Pr¨ufungsfrage: Nach welchem Prinzip wurde die euklidische Unit-Disk-Graph-Spanning-Ratio von PUDel gezeigt?

Definition 42 (Gemeinsame lokale Voronoi-Kante):Wir definieren als gemeinsame lokale Voronoi-Kante CLV E(u, v) (englisch: common local Voronoi edge) folgendes Konstrukt:

CLV E(u, v) =V R_N(u)(u)∩V R_N_(u)(v)∩ V R_N(v)(v)∩V R_N_(v)(u)

Lemma 11 (PUDel ist Teilgraph von PDT): Es gilt P U Del(V)⊆P DT(V).

Lemma 12 (PDT ist Teilgraph von PUDel): Es gilt P DT(V)⊆P U Del(V).

Korollar 16 (Gleichheit von PUDel und PDT): Es gilt P DT(V) =P U Del(V).

Pr¨ufungsfrage: Nach welchem Prinzip wurde die euklidische Unit-Disk-Graph-Spanning-Ratio von PDT gezeigt?

V. GEOGRAPHISCHESCLUSTERING

A. Aggregierte Graphen

Definition 43 (Hexagonraster):EinHexagonrasterH(d)ist die Aufteilung der Ebene durch aneinander liegende gleich große Hexagone mitHexagon-Durchmesser d. Der Hexagon- Durchmesser ist der gr¨oßte m¨ogliche Abstand zweier Punkte aus dem Hexagon (inklusive dem Rand). Ausrichtung und Ursprung des Rasters sind hier nicht festgelegt. Wenn der He- xagondurchmesser nicht von Belang ist, schreiben wir einfach H.

Wir bezeichnen die Hexagone als geographische Cluster.

Die Mitte p eines Hexagons wird als Cluster-Zentrum bezeichnet. Das zu einem Cluster-Zentrumpgeh¨orende Cluster bezeichnen wir mitC(p). Hierbei stelltC(p)auch das Innere des Hexagons ohne dessen Rand dar.

Wir nennen zwei Cluster C(p) und C(q) als benachbart, wenn diese ein gemeinsames Randsegment haben. Dieses bezeichnen wir mit E(p, q). Haben drei Cluster C(p), C(q) undC(r)einen gemeinsamen Punkt, so bezeichnen wir diesen mitV(p, q, r).

Definition 44 (Ordnung auf Punkten): Auf voneinander verschiedenen Punkten(x₁, y₁)und(x₂, y₂)ausR²definieren wir eine Ordnung wie folgt:(x₁, y₁)<(x₂, y₂)genau dann, wennv₁< x₂oderx₁=x₂undy₁< y₂. Auf dieser Ordnung betrachten wir im Folgenden das Minimum und Maximum.

Definition 45 (Geographische Cluster-Zuordnung):F¨ur ein gegebenes HexagonrasterHdefinieren wir alsgeographische Cluster-Zuordnungfolgende AbbildungH :R²→R²:

H(v) =







p, wennv∈C(p)

min(p, q), wennv∈E(p, q) min(p, q, r), wennv∈V(p, q, r)

Ubung 33 ( ¨¨ Uberpr¨ufung der definierten Ordnung): Zeige durch boolesche Umformungen, dass

1) die Ordnung (x1, y1) <(x2, y2) f¨ur jedes voneinander verschiedene Paar p, q ∈ R² gilt (d.h. es gilt immer p < q oderq < p) und

2) die Ordnung eindeutig ist (also nichtp < q und q < p gelten kann)