Vorlesungszusammenfassungen, ¨ Ubungen und Pr¨ufungsfragen

Zuf¨allige Kommunikationsnetze (SS 2019)

Vorlesungszusammenfassungen, ¨ Ubungen und Pr¨ufungsfragen

Prof. Dr. Hannes Frey, (last edited: 16. Juli 2019)

I. PUNKTPROZESSE

A. ¨Ubungen zur Punktprozesssimulation

Ubung 1 (Computer-Simulation eines Gaußschen Poisson-¨ Punktprozesses): Seien X und Y zwei voneinander un- abh¨angige wie folgt identisch normalverteilte Zufallsvariablen:

X, Y ∼ N(0, σ²).

1) Was ist die Wahrscheinlichkeitsdichte f_(X,Y)(x,y) von (X, Y) auf R²? (Hinweis: f¨ur X und Y unabh¨angig giltf(X,Y)(x, y) =fX(x)fY(y))

2) Betrachte einen gem¨aß der vorhin ermittelten Dichte ver- teilten allgemeinen Binomial-Punktprozess mitnPunk- ten in R². Berechne mittels Sage das Intensit¨atsmaß Λ(A)des Prozesses f¨ur die MengeA= [−1,1]×[−1,1].

3) Was ist das Intensit¨atsmaßΛ(A)f¨urA=R²?

4) Simuliere mittels Sage eine Instanz des Prozesses f¨ur n= 5000und σ= 100. (Hinweis: verwende normder Bibliothekscipy.stats; siehe Sage-Anhang) 5) Wie l¨asst sich mit den vorigen ¨Uberlegungen der soge-

nannte Gaußsche Poisson-Punktprozess, welcher durch folgende Intensit¨atsfunktion

λ(x) = n 2πσ²exp

−kxk² 2σ²

f¨urx∈R²f¨ur gegebene Parameternundσdefiniert ist, aufB=R²simulieren? (Hinweis:k(x, y)k²=x²+y²) 6) Erzeuge mittels Sage eine Instanz des Gaußschen Poisson-Punktprozesses f¨ur n= 5000und σ= 100 auf B=R².

7) Erzeuge auf Basis des vorigen Aufgabenschrittes mittels Sage eine Instanz des Gaußschen Poisson-Punktprozess im Fenster B = C0(200) mit C0(200) = Kreis mit Mittelpunkt(0,0)und Radius200. (Hinweis: verwende die Befehlevector,normund [<e> for <e> in

<iterable> if <cond>]aus dem Sage-Anhang) Ubung 2 (Simulation der mittleren Interferenz f¨ur Poisson-¨ verteilte sendende Knoten): Gegeben sei eine Menge von sendenden Knoten modelliert als homogener Poisson- Punktprozess Φ mit Intensit¨at λ. Wir definieren f¨ur Φ die InterferenzI am Punkt (0,0)als

I=X

x∈Φ

min(1,kxk^−α)

(d.h. die Summe aller Signalst¨arkenwerte, die sich aus der Distanz der senden Knoten zum Nullpunkt unter dem APL2- Modell (vgl. Definition 51 der Vorlesung LeNe WS18/19) f¨ur den mittleren Pfadverlust ergibt).

1) Implementiere mittels Sage eine Simulation, welche f¨ur λ= 0.01,α= 3und den AusschnittB = [−100,100]×

[−100,100] von R² f¨ur eine Instanz von Φ den Inter- ferenzwert I(B) = P

x∈Φ∩Bmin(1,kxk^−α)berechnet (d.h. die Interferenz an (0,0), welche sich durch die Ubertragungen aller Knoten aus dem Punktprozess¨ Φ∩B ergibt).

2) Erweitere die Simulation aus dem vorigen Aufgabenteil so, dass der Interferenzwert f¨ur 100 Instanzen berechnet und in einer Liste gespeichert wird. Stelle die Werte mittels eines List-Plots dar.

3) Erkl¨are die in dem erzeugten Plot immer wieder aus der Masse der ¨ublichen Instanzen auftretenden Ausreißer.

4) Berechne zun¨achst wie im ersten Aufgabenteil eine Instanz ϕ des Punktprozesses Φ∩ B. Sei C(x) die Fl¨ache des Kreises mit Mittelpunkt (0,0) und Radius r. Sei I(r) = P

x∈Φ∩C(r)min(1,kxk^−α) die Inter- ferenz der Knoten aus C(r) ∩ϕ. Berechne auf Ba- sis der gegebenen Instanz ϕ mittels Sage die Liste [I(10), I(20), . . . , I(100)] (Hinweis: C(r) ⊆ B f¨ur r ≤ 100) und stelle diese Liste mittels List-Plot dar.

Betrachte das Ergebnis f¨ur verschiedene gew¨ahlte Seed- Werte. L¨asst sich aus der Beobachtung des Prozesses in dem eingeschr¨ankten Bereich B mit Sicherheit die Interferenz aller Knoten ausΦin(0,0) festmachen?

5) Im zweiten Aufgabenteil wurde eine Liste {s₁, s₂, s₃, . . . , s₁₀₀} von Interferenzwerten f¨ur 100 verschiedene Punktprozessinstanzen erstellt.

Bestimme mittels Sage jeweils die Stichprobenmittel f¨ur die Teilmengen {s1}, {s1, s2}, {s1, s2, s3}, . . ., {s1, s2, s3, . . . , s100}. Speichere diese 100 Werte in einer Liste und plotte diese mittels List-Plot. (Hinweis:

das Stichprobenmittel einer Liste von Elementen l¨asst sich mit der Sage-Funktionmeanbestimmen.)

6) Experimentiere f¨ur den Plot des vorigen Aufgabenteils auch mit mehr Instanzen (z.B. 1000 Iterationen an- statt 100). Interpretiere anhand der Plots, warum es wom¨oglich noch deutlich mehr Experiemnte erfordert, um eine relativ sichere Aussage ¨uber den tats¨achlichen Erwartungswert der im Punkt(0,0) vorliegenden Inter- ferenz machen zu k¨onnen.

B. Charakterisierung von Punktprozessen durch Verteilungen Definition 1 (offene und abgeschlossene Menge):Eine Men- ge M ist offen, wenn f¨ur jedes x ∈ M ein > 0 existiert, sodass die offene Sph¨areU(x) ={y:kx−yk< }komplett

in M liegt, d.h. U(x)⊆M. Eine Menge istabgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.

Definition 2 (beschr¨ankte und kompakte Menge):Eine Men- geM istbeschr¨ankt, wenn diese komplett in einer Sph¨are mit endlichem Radius liegt. Eine Menge ist kompakt, wenn diese beschr¨ankt und abgeschlossen ist.

Definition 3 (Menge der Elementarereignisse von Punktpro- zessen): Wir betrachten R^d und die Borel-Mengen B^d aus R^d. Die Menge der Elementarereignisse von Punktprozessen N (d.h. die Menge aller m¨oglichen Realisierungen von Punkt- prozessen) definieren wir ¨uber die Menge aller Z¨ahlmaße auf B^d, d.h.

N ={ϕ:ϕist Z¨ahlmaß aufB^d}

(Erinnerung/Erg¨anzung: ein Z¨ahlmaß ϕerf¨ulltϕ(A)∈N0∪ {∞} und f¨ur kompaktesB istϕ(B)<∞)

Die Elementarereignisse sind demnach die Elemente ϕ ∈ N. Wir bezeichnen die Elemente ϕ auch einfach als Punkt- muster.

Definition 4 (Basis-Elemente der Sigma-Algebra ¨uber der Menge der Elementarereignissen von Punktprozessen): F¨ur k ∈ N0 und kompaktes B ∈ B^d definiert EB,k das Basis- Element, dass genaukPunkte in B liegen, d.h.

EB,k ={N(B) =k}={ϕ∈ N :ϕ(B) =k}

Definition 5 (Sigma-Algebra ¨uber der Menge der Elemen- tarereignisse von Punktprozessen):Die Sigma-AlgebraE ¨uber der Menge der Elementarereignisse von Punktprozessen N ist die kleinste Sigma-Algebra, die alle Basis-Elemente EB,k

enth¨alt.

Definition 6 (Kanonischer Raum/Ergebnisraum eines Punkt- prozesses):Der Maßraum(N,E)(d.h. alle m¨oglichen Elemen- tarereignisse/Instanzen eines Punktprozesses und die Sigma- Algebra der Ereignisse hier¨uber) wird als kanonischer Raum bzw.Ergebnisraumf¨ur einen Punktprozess inR^d bezeichnet.

Definition 7 (Punktprozess):EinPunktprozessist eine mess- bare Abbildung N : Ω→ N aus einem Wahrscheinlichkeits- raum(Ω,A,P)in den Ergebnisraum (N,E).

Definition 8 (Punktprozessverteilung): DieVerteilung eines Punktprozesses ist das dem Ergebnisraum zugeh¨orige Wahr- scheinlichkeitsmaß

Q[E] = P◦N⁻¹(E) = P[N ∈E] f¨ur alleE∈ E Ubung 3 (Q¨ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß): Zeige, dass vorig definiertes Qin der Tat ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist.

Definition 9 (Ausgangs- und Ergebniswahrscheinlichkeits- raum eines Punktprozesses):F¨ur einen PunktprozessN : Ω→ N bezeichnen wir(Ω,A,P)alsAusgangswahrscheinlichkeits- raum und (N,A,Q) alsErgebniswahrscheinlichkeitsraum.

Pr¨ufungsfrage: Punktprozess, sowie Ausgangswahrscheinlich- keitsraum, Ergebniswahrscheinlichkeitsraum und Punktpro- zessverteilung in Analogie zur Definition dieser Begriffe f¨ur einfache reellwertige Zufallsvariablen erkl¨aren.

Korollar 1 (Intensit¨atsmaß als Integral im Ausgangswahr- scheinlichkeitsraum oder Ergebniswahrscheinlichkeitsraum):

Betrachte einen durch die Zufallsvariable N : (Ω,A,P) → (N,E)beschriebenen Punktprozess. Das Intensit¨atsmaßΛ(B)

(d.h. die erwartete Anzahl Punkte in B) des Punktprozesses l¨asst sich sowohl ¨uber den Ausgangswahrscheinlichkeitsraum als auch den Ergebniswahrscheinlichkeitsraum wie folgt aus- dr¨ucken:

E[N(B)] = Z

Ω

N^ω(B)P[dω] = Z

N

ϕ(B)Q(dϕ) (hierbei bedeutetN^ω=N(ω)zwecks besserer Lesbarkeit und ϕ(B)die Anzahl Punkte der Punktprozessinstanzϕ, wir inB liegen)

Korollar 2 (Erwartungswert einer Funktion angewendet auf einen Punktprozess): Seif eine messbare reellwertige Funk- tion angewendet auf Punktprozessinstanzen, d.h.f :N →R. SeiΦdie Zufallsvariable, welche den Punktprozess beschreibt.

Dann ist der Erwartungswert vonf(Φ) gegeben als E[f(Φ)] =

Z

N

f(ϕ)Q(dϕ)

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨aren wie der Erwartungswert einer Funk- tion angewendet auf einen Punktprozess generell berechnet wird.

Korollar 3 (Erwartungswert ¨uber eine Funktion angewendet auf die Anzahl der Punkte eines Punktprozesses):Sei f eine Funktion der FormN0→R. SeiΦdie Zufallsvariable, welche den Punktprozess beschreibt, sowieΦ(B)die Anzahl Punkte, die in den BereichB fallen. Dann ist der Erwartungswert von f(Φ(B))gegeben als

E[f(Φ(B))] = Z

N

f(ϕ(B))Q(dϕ)

Ubung 4 (Erwartete Interferenz im W¨urfelexperiment):¨ Wir betrachten das W¨urfelexperiment mit einem fairen sechssei- tigen W¨urfel. Hiermit definieren wir einen Punktprozess f¨ur den Ergebnisraum(N,E)durch die VerteilungQ(ϕi) = 1/6, wobei dieϕi f¨uri= 1,2, . . . ,6die m¨oglichen Ergebnisse des W¨urfelexperimentes in der folgenden Weise definieren:

• ϕ1={(0,0)}

• ϕ2={(−1,−1),(1,1)}

• ϕ3={(−1,−1),(0,0),(1,1)}

• ϕ4={(−1,1),(−1,−1),(1,−1),(1,1)}

• ϕ5={(−1,1),(−1,−1),(1,−1),(1,1),(0,0)}

• ϕ6={(−1,1),(−1,−1),(1,−1),(1,1),(−1,0),(1,0)}

Sei f : N →Reine Funktion, welche die Interferenz im Nullpunkt bei Pfadverlust 2 gem¨aß APL2-Modell berechnet, d.h.

f(ϕ) =X

x∈ϕ

min(1,kxk⁻²)

Berechne E[f(Φ)] wie in Korollar 2 angegeben, d.h.

E[f(Φ)] =R

Nf(ϕ)Q(dϕ).

Definition 10 (Endlichdimensionale Verteilung): Die endlichdimensionale Verteilung eines Punktprozesses N sind die Verteilungen der f¨ur alle m ∈ N und kompakten B1, B2, . . . , Bk definierten Zufallsvektoren (N(B1), N(B2), . . . , N(Bk)).

Definition 11 (Kapazit¨atsfunktional und L¨uckenwahrschein- lichkeit):DasKapazit¨atsfunktionalT eines simplen Punktpro- zesses Φist definiert als

T(B) = P[N(B)>0]f¨ur B kompakt Das Komplement

V(B) = 1−T(B)

bezeichnet man als L¨uckenwahrscheinlichkeit (aus dem Eng- lischen Void-Probability).

Theorem 1 (Gleichheit bei ¨Ubereinstimmung auf endlichdi- mensionaler Verteilung bzw. Kapazit¨atsfunktional):

• Wenn zwei Punktprozesse auf ihren endlichdimensiona- len Verteilungen ¨ubereinstimmen, dann stimmen diese auch auf ihrer gesamten Verteilung ¨uberein.

• Wenn zwei simple Punktprozesse auf ihren Kapazit¨ats- funktionalen ¨ubereinstimmen, dann stimmen diese auch auf ihrer gesamten Verteilung ¨uberein.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are die Konzepte endlichdimensionale Ver- teilung und Kapazit¨atsfunktional.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are wozu die Konzepte endlichdimensiona- le Verteilung bzw. Kapazit¨atsfunktional n¨utzlich sein k¨onnen.

Theorem 2 (R´enyi’s Theorem): Sei Φ ⊆ R^d ein Punkt- prozess und λ : R^d → R⁺ eine Funktion mit Λ(B) = R

Bλ(x) dx <∞ f¨ur alle beschr¨anktenB. Wenn P[Φ(B) = 0] = exp(−Λ(B))

f¨ur jede Borel-Menge B gilt, dann ist Φ ein Poisson- Punktprozess mit Intensit¨atsfunktion λ(x).

Korollar 4 (Superposition von unabh¨angigen Poisson- Punktprozessen ist wieder ein Poisson-Punktprozess): DieSu- perpositionΦ = Φ₁∪Φ2von zwei voneinander unabh¨angigen Poisson-Punktprozessen Φ₁ und Φ₂ mit Intensit¨atsmaßen Λ₁ undΛ₂ist wieder ein Poisson-Punktprozess mit Intensit¨atsmaß Λ₁+ Λ₂.

Pr¨ufungsfrage: Was bedeutet Superposition von zwei Punkt- prozessen?

Pr¨ufungsfrage: Welcher Punktprozess liegt bei Superposition von zwei unabh¨angigen Poisson-Punktprozessen vor?

Pr¨ufungsfrage: Wie l¨asst sich das Intensit¨atsmaß der Super- position von zwei unabh¨angigen Poisson-Punktprozessen an- hand der Intensit¨atsmaße der beiden Poisson-Punktprozesses beschreiben?

Pr¨ufungsfrage: Was ist die Intensit¨at der Superposition von zwei unabh¨angigen homogenen Poisson-Punktprozessen?

C. Eigenschaften von Punktprozessen

Definition 12 (Parallelverschobener Punktprozess):SeiΦ = {x1, x2, . . .} ein Punktprozess im R^d. F¨ur x ∈ R^d ist Φ_x = {x1+x, x₂+x, . . .} der um x parallelverschobene Punktprozess. F¨ur jedes Ereignis E ist das umxparallelver- schobene EreignisE_x definiert als:

E_x={ϕ∈ N :ϕ−x∈E}

Definition 13 (Parallelverschobenes Z¨ahlmaß): Sei N ein Z¨ahlmaß auf B^d. Das um x ∈ R^d parallelverschobene Z¨ahlmaß N_x ist definiert als N_x = N(· − x) in der Be- deutung, dass Nx(B) = N(B −x) f¨ur alle B ∈ B^d und B−x={y−x:y∈B}.

Definition 14 (Station¨arer Punktprozess):Ein Punktprozess aufR^d iststation¨ar, wenn seine VerteilungQinvariant bzgl.

Verschiebungen ist, d.h. Q(E) = Q(Ex) f¨ur alleE ∈ E und x∈R^d.

Definition 15 (Isotroper Punktprozess): Ein Punktprozess in R^d ist isotrop, wenn seine Verteilung Q invariant bzgl.

Rotation um den Koordinatenursprung o vonR^d ist, d.h. f¨ur alle E ∈ E ist Q(E) = Q(rE) f¨ur Rotation r um o inR^d. Hierbei bedeutetrE={ϕ∈ N :r⁻¹ϕ∈E}

Definition 16 (Bewegungsinvarianter Punktprozess): Ein station¨arer und isotroper Punktprozess wird bewegungsinva- riant bezeichnet.

Pr¨ufungsfrage: Was bedeuten die Begriffe station¨ar und bewe- gungsinvariant?

Pr¨ufungsfrage: Ist ein Poisson-Punktprozess bewegungsinvari- ant?

Pr¨ufungsfrage: Welche Eigenschft hat das Intensit¨atsmaß eines station¨aren Punktprozesses?

D. Punktprozesstransformationen

Definition 17 (Verschiebung eines Punktprozesses):DieVer- schiebung eines Punktprozesses bedeutet, dass jeder Punkt x um eine von den anderen Punkten unabh¨angige Zufallsgr¨oße Vx, deren Verteilung aber von xabh¨angen kann, verschoben wird, d.h. wir betrachten

Φ⁰={x+Vx:x∈Φ}

mitVx unabh¨angig f¨ur allex∈Φ.

Theorem 3 (Verschiebungssatz (engl. Displacement- Theorem)): Sei Φ ein allgemeiner Poisson-Punktprozess

¨uber R^d mit Intensit¨atsfunktion λ(x). Wenn alle Punkte unabh¨angig verschoben werden, sodass die Verteilung der Ortsverschiebung eines Punktes an der Stelle x die Verteilungsdichte ρ(x,·) hat, dann bilden die verschobenen Punkte Φ⁰ wieder einen Poisson-Punktprozess mit der Intensit¨atsfunktion

λ⁰(y) = Z

R^d

λ(x)ρ(x, y) dx

Definition 18 (Verschiebungskern (engl. Displacement- Kernel)): Wir bezeichnen die Verteilungsdichte ρ(x,·) der neuen Positionx+V_xauch als Verschiebungskern.

Pr¨ufungsfrage: Aussage des Displacement-Theorems erkl¨aren

Ubung 5 (Nachbarknoten im Unit-Disk-Graph mit Positi-¨ onsungenauigkeiten): Gegeben sei ein homogener Poisson- Punktprozess Φ in R² mit Intensit¨at λ. Angenommen der Koordinatenursprung (0,0) sei mit allen Knoten v aus Φ verbunden, die kvk ≤ 1 erf¨ullen (sogenanntes Units-Disk- Graphenmodell). Dies definiert einen neuen Punktprozess

Φ₁={x∈Φ :kxk ≤1}

1) Was ist das Intensit¨atsmaßΛ(B)f¨ur Φ₁? (siehe Defini- tion 78 der Vorlesung LeNe)

2) Was ist die Intensit¨atsfunktion λ(x) von Φ₁? (siehe Definition 83 in der Vorlesung LeNe; die Definition dort ist zwar nur f¨ur Poisson-Punktprozesses aufgeschrieben, gilt aber so auch allgemein f¨ur beliebige Punktprozesse) 3) Begr¨unde mit der Definition eines allgemeinen Poisson- Punktprozesses (siehe Definition 82 der Vorlesung Le- Ne), dass Φ1 ein Poisson-Punktprozess f¨ur das im vor- vorigen Schritt hergeleitete Intensit¨atsmaßΛ(B)ist.

4) Angenommen wir haben ein fehlerbehaftetes Positio- nierungssystem, welches f¨ur jeden Punkt x in Φ1 als Position vonxden Wertx+V_x liefert. Hierbei sei V_x eine Zufallsvariable, die unabh¨angig von allen anderen Punkten in Φ₁ ist. Die Verteilungsdichte von V_x (d.h.

der Displacement-Kernel) sei f¨ur alle y ∈R² gegeben als:

ρ(x, y) = 1 2πσ² ·exp

−kx−yk² 2σ²

f¨ur einσ >0. (d.h. der vom Positionierungssystem ge- lieferte Punkt ist hier multivariat Gauss um die tats¨achli- che Position gestreut)

Wir beschreiben damit den Punktprozess der fehlerhaf- ten Positionen der Punkte ausΦ1 als:

Φe={x+Vx:x∈Φ1}

Begr¨unde, dassΦe ein Poisson-Punktprozess ist.

5) Bestimme einen Integralausdruck zur Berechnung der Intensit¨atsfunktionλe(y) zuΦe und l¨ose diesen soweit es geht mittels Sage auf. (Hinweis 1: nutze die Tatsache, dass der Wert λe(y) hier nur von kyk aber nicht von der konkreten Position y abh¨angt. Hinweis 2: Versuche das bei der Herleitung auftretende Integral ¨uber Punkte im R² mit zwei ineinander geschachtelten Integralen auszudr¨ucken (Erinnerung: Fubini).)

Definition 19 (Abbildung eines Punktprozesses):Die Modi- fikation eines Punktprozesses mittels einer Funktion, welche jeden gegebenen Punkt auf einen (anderen) Punkt, m¨oglicher- weise auch in einer anderen Dimension abbildet, wird als Abbildung eines Punktprozesses bezeichnet.

Theorem 4 (Abbildungssatz (engl. Mapping-Theorem)): Sei Φ ein allgemeiner Poisson-Punktprozess mit Intensit¨atsmaß Λ(B) und Intensit¨atsfunktion λ(x). Sei f : R^d → R^s eine messbare Funktion mitΛ(f⁻¹({y})) = 0f¨ur alley∈R^s(d.h.

f schrumpft eine mehrelementige kompakte Menge nicht auf eine einelementige Menge), dann gilt:

Φ⁰=f(Φ) = [

x∈Φ

{f(x)}

ist ein Poisson-Punktprozess mit Intensit¨atsmaß

Λ⁰(B⁰) = Λ(f⁻¹(B⁰)) = Z

f⁻¹(B⁰)

λ(x) dx

f¨ur alle kompaktenB⁰ ⊆R^s.

Pr¨ufungsfrage: Aussage des Mapping-Theorems erkl¨aren.

Ubung 6 (Abbildung von homogenem Poisson-Punktprozess¨ auf Prozess der Nullpunktabst¨ande): Sei Φ ein homogener Poisson-Punktprozess in R² mit Intensit¨atλ. Wir betrachten die Abbildung f :R²→Rmitf(x) =kxk.

1) Was ist das Intensit¨atsmaßΛ(B)vonΦ?

2) Ist die Funktion f eine f¨ur den Abbildungssatz (Mapping-Theorem) verwendbare Funktion?

3) Welcher Prozess liegt gem¨aß Abbildungssatz (Mapping- Theorem) mit f(Φ)vor?

4) Was ist gem¨aß Abbildungssatz (Mapping-Theorem) das Intensit¨atsmaß Λ⁰(B)von f(Φ)f¨ur B∈ B?

5) Wie berechnet sichΛ⁰([0, r])?

6) Bestimme durch die erste Ableitung vonΛ⁰([0, x])nach xdie Intensit¨atsfunktionλ(x).

Definition 20 (Ausd¨unnen eines Punktprozesses): Ausd¨unnen eines Punktprozesses bedeutet streichen von Punkten (¨ubli- cherweise nach einer probabilistischen Regel). Falls das Ent- fernen eines Punktes unabh¨angig von allen anderen Punkten geschieht, wird die Ausd¨unnung als unabh¨anig bezeichnet (unabh¨angige Ausd¨unnung).

Theorem 5 (Unabh¨angiges Ausd¨unnen eines Poisson- Punktprozesses): Sei Φ ein Poisson-Punktprozess mit Inten- sit¨atsmaß Λ(B). Sei g : R^d → [0,1] eine Ausd¨unnungs- funktion, welche jeden Punktxunabh¨angig von allen anderen mit Wahrscheinlichkeit 1−g(x)entfernt. Diese unabh¨angige Ausd¨unnung erzeugt einen Poisson-Punktprozess mit Inten- sit¨atsmaß Λ⁰(B) =R

Bg(x)Λ(dx).

Pr¨ufungsfrage: Aussage des Satzes zum unabh¨angigen Ausd¨unnen eines Poisson-Punktprozesses erkl¨aren

Ubung 7 (Empfangswahrscheinlichkeit im unkorrelierten¨ Log-Normal-Shadowing-Modell als Ausd¨unnfunktion):Wir be- trachten die EmpfangsleistungP_RX(d)in dBm einer ¨Ubertra- gung ¨uber Distanzdgegeben als

PRX(d) =c−10αlog₁₀(d/d0) +Xσ

f¨ur feste Parameter c < 0, α >1, d0 > 0, σ > 0 und der mit Erwartungswert 0 normalverteilten Zufallsgr¨oße Xσ ∼ N(0, σ²). (das so definiertePRX(d)ist die Empfangsleistung im sogenanntenLog-Normal-Shadowing-Modell)

F¨ur eine ¨Ubertragung ¨uber die Distanz d definieren wir gem¨aß der vorig definierten Zufallsvariablen P_RX(d), dass eine ¨Ubertragung m¨oglich ist, wenn

PRX(d)≥θ f¨ur ein geeignetes fest gew¨ahltesθ gilt.

1) Zeige, dass f¨urg(d) = P[c−10αlog₁₀(d/d0)+Xσ≥θ]

gilt:

g(d) = 1−1 2

1 + erf

θ−c+ 10αlog₁₀(d/d₀)

√2σ

(Hinweis: Ungleichung nach Xσ umformen und Vertei- lungsfunktion von Xσ verwenden)

2) Angenommen das Log-Normal-Shadowing-Modell ist unkorreliert und damit gelte f¨ur die ¨Ubertragungswege u bzw. v in den Koordinatenursprung (0,0), dass die ZufallsvariablenP_RX(kuk)bzw.P_RX(kvk)unabh¨angig

sind (sofern u 6= v), d.h. die in P_RX(kuk) bzw.

P_RX(kvk) vorkommenden Zufallsvariablen X_σ^u bzw.

X_σ^v sind unabh¨angig. Ist unter dieser Annahmeg(kxk) als m¨ogliche Ausd¨unnfunktion im vorigen Theorem an- wendbar?

Korollar 5 (Intensit¨atsfunktion bei Ausd¨unnen eines Poisson- Punktprozesses): Besitzt der Poisson-Punktprozess Φdes vo- rigen Satzes eine Intensit¨atsfunktion λ(x), dann ist die Inten- sit¨atsfunktion λ⁰(B)des ausged¨unnten Prozesses gegeben als λ⁰(B) =g(x)λ(x).

Korollar 6 (Unabh¨angiges Ausd¨unnen eines homogenen Poisson-Punktprozesses): Sei Φ ein homogener Poisson- Punktprozess mit Intensit¨at λ. Sei g : R^d → [0,1] ei- ne Ausd¨unnungsfunktion, welche jeden Punkt x unabh¨angig von allen anderen mit Wahrscheinlichkeit 1−g(x) entfernt.

Diese unabh¨angige Ausd¨unnung erzeugt einen inhomogenen Poisson-Punktprozess mit Intensit¨atsfunktionλg(x).

Ubung 8 (Erwartete Anzahl Nachbarn eines Poisson-¨ Punktprozesses im Log-Normal-Shadowing-Modell):Gegeben sei ein homogener Poisson-Punktprozess Φ im R² mit In- tensit¨at λ. Wir betrachten die Empfangsleistung PRX(d) in dBm einer ¨Ubertragung ¨uber Distanz d wie in voriger Auf- gabe definiert wurde (d.h. Empfangsleistung im Log-Normal- Shadowing-Modell). Seien die Parameterc <0,α >1,d₀>0 fest. SeiX_σ∼ N(0, σ²)(d.h. mit Standardabweichungσ >0 und mit Erwartungswert 0normalverteilte Zufallsvariable).

F¨ur jeden KnotenuausΦbestimmen wir die Empfangsleis- tung einer ¨Ubertragung vonu, die wir im Koordinatenursprung (0,0) von R² messen k¨onnen gem¨aß der vorig definierten Zufallsvariablen PRX(kuk) und sagen, dassuvom Ursprung (0,0) empfangen werden kann, wenn

P_RX(kuk)≥θ

f¨ur ein geeignetes θ < 0 (kleiner 0 ist kein Tippfehler; wir betrachten hier dBm).

1) Wir wollen im Folgenden die erwartete Anzahl der Netz- knotenxausΦbestimmen, die gem¨aß der probabilisti- schen Regel PRX(kxk) ≥ θ den Koordinatenursprung (0,0) erreichen k¨onnen. Argumentiere mit vorvoriger Ubungsaufgabe, dass wir hierzu auch den Punktprozess¨ kΦk = {kxk : x ∈Φ} mit Intensit¨atsfunktion λ(x) = 2πλx1x≥0(x)betrachten k¨onnen.

2) Gem¨aß dem hier betrachteten Modell (Log-Normal- Shadowing) ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Knoten u aus kΦk den Koordinatenursprung 0 erreicht, durch P[c−10αlog₁₀(d/d₀) +X_σ≥θ]f¨urd=kukgegeben.

Sei Φ⁰ der Prozess aller Punkte aus kΦk, die nach dieser probabilistischen Regel den Ursprung erreichen.

Argumentiere mit voriger Aufgabe, dassΦ⁰ein Poisson- Punktprozess ist.

3) Bestimme die Intensit¨atsfunktionλ⁰(x)zuΦ⁰.

4) Bestimme einen Integralausdruck f¨ur die in Φ⁰ Anzahl zu erwartenden Knoten, die im Intervall [0, r] liegen (d.h. die Anzal Knoten aus Φ, die zum Ursprung einen Abstand kleiner gleichrhaben und diesen auch gem¨aß Log-Normal-Shadowing-Modell erreichen k¨onnen).

5) L¨ose den Integralausdruck mittels Sage unter den An- nahmen d₀ = 1,α > 0, σ >0 und θ−c < 0. (Hin-

weis: alle Variablen m¨ussen als reellwertig angenommen sein (Erinnerung: assume(x,’real’)); Annahmen der Form x >0definiert man mit assume(x >0); Annahmen der Form θ−c <0 definiert man mit assume(θ−c <0)) 6) Sei θ = −95, c = −40, α = 2, λ = 0.01. Stelle

die Funktionen des im vorigen Schritt gel¨osten Inte- gralausdrucks f¨ur σ = 2 und σ = 3 f¨ur r von 0 bis 1000 gemeinsam in einem Koordinatensystem dar und interpretieren den relativen Verlauf der bei- den Kurven zueinander. (Hinweis: beispielsweise stellt plot([sin(x),cos(x)],x,0,2*pi) die beiden Funktionen sin und cos in einem Koordinatensystem gemeinsam dar) 7) Bestimme den Integralausdruck f¨ur die erwartete Anzahl

Knoten inΦ⁰ auf ganzR⁺0.

8) L¨ose den Integralausdruck mittels Sage; erneut mit den Annahmen d₀ = 1,α > 0, σ >0 und θ−c <0. Wir m¨ussen hier dar¨uber hinaus θ <0 festlegen.

9) Plotte die Relation der im Bereich[0, r]zu erwartenden Knoten gegen¨uber der Anzahl zu erwartenden Knoten im gesamten Bereich [0,∞).

10) Ermittle mittels Sage f¨ur α = 3, σ = 4 f¨ur welche Distanz r das im vorigen Aufgabenschritt betrachtete Verh¨altnis den Wert 0.95 erreicht (d.h. der Abstand r, f¨ur den gilt, dass 95% der Knoten die den Ur- sprung erreichen k¨onnen, einen Abstand kleiner gleich rzum Ursprung haben) (Erinnerung: die Sage-Funktion find root kann Gleichungen numerisch l¨osen)

11) Finde mittels Sage find root wie λ des Ausgangspro- zesses Φ zu w¨ahlen ist, sodass in [0, r] zu vorhin gefundenem Radius rim Mittel 100Knoten liegen, die den Koordinatenursprung gem¨aß dem betrachteten Log- Normal-Shadowing-Modell erreichen k¨onnen.

E. Exkurs: Modellierung von Medienzugriffskontrolle Definition 21 (ALOHA und slotted ALOHA Medienzugriffs- verfahren): Im ALOHA Medienzugriffsverfahren versendet ein Knoten eine zu sendende Nachricht unmittelbar und un- abh¨angig davon, ob andere Knoten dadurch gest¨ort werden k¨onnten. Auch imslotted ALOHAVerfahren sendet ein Knoten unabh¨angig davon, ob andere Knoten dadurch gest¨ort werden k¨onnten. Jedoch ist hier die Zeit f¨ur alle Knoten synchorn in periodische Zeit-Slots eingeteilt. Zum Versenden einer Nachricht wartet ein Knoten bis zum Beginn des n¨achsten Zeit-Slots.

Definition 22 (ALOHA Modell): Gegeben sei ein Punkt- prozess Φ von Netzknoten. Das ALOHA-Modell beschreibt den Punktprozess der aktuell sendenden Knoten als eine unabh¨angige Ausd¨unnung (vgl. Definition 20) des Ausgangs- prozesses Φ. Betrachtet man (wie es in der Regel gemacht wird) die Ausd¨unnung auch r¨aumlich unabh¨angig, dann wird jeder Knoten unabh¨angig von allen anderen mit der gleichen WahrscheinlichkeitpausΦgestrichen.

Pr¨ufungsfrage: Einfaches Modell zur r¨aumlichen Beschrei- bung des ALOHA und sloted ALOHA Medienzugriffsverfah- rens erkl¨aren.

Definition 23 (CSMA (Carrier Sense Multiple Access) Me- dienzugriffsverfahren): Im CSMA (Carrier Sense Multiple Access) Medienzugriffsverfahren h¨ort ein Knoten vor ¨Ubert- ragungsstart in den Kanal. Nur wenn der Kanal frei ist, wird

¨ubertragen. Ansonsten wir die ¨Ubertragung auf einen sp¨ate- ren Zeitpunkt verlegt und ggf. auch verworfen. (Bemerkung:

konkrete CSMA-Varianten unterscheiden sich in der Art, wie lange bei nicht freiem Medium gewartet wird und auch in der Entscheidung, wann ein ¨Ubertragungsversuch bei mehrma- ligem erfolglosem Medienzugriffsversuch letztlich verworfen wird)

Definition 24 (Mat´ern Hard-Core-Prozess vom Typ I):Aus- gehend von einem uniformen Poisson-Punktprozess Φb mit Intensit¨at λb werden alle Punkte markiert, die im Umkreis r (f¨ur ein vorgegebenes r > 0) mindestens einen Nachbarn haben. Der Mat´ern Hard-Core-Prozess vom Typ I Φ ergibt sich dann durch l¨oschen aller dieser markierten Punkte, d.h.:

Φ ={x∈Φb: Φb∩b(x, r) ={x}}

mit b(x, r) ist der Kreis bzw. die Sph¨are mit Mittelpunkt x und Radius r.

Definition 25 (Mat´ern Hard-Core-Prozess vom Typ II):

Ausgehend von einem uniformen Poisson-Punktprozess Φ_b mit Intensit¨at λ_b generiere f¨ur jeden Punkt x eine Marke m(x) gleichverteilt in [0,1]. Markiere jeden Punkt x mit mindestens einem Nachbarn y im Umkreis mit Radiusr (f¨ur ein vorgegebenes r > 0), der m(y) ≤ m(x) erf¨ullt. Der Mat´ern Hard-Core-Prozess vom Typ II Φ ergibt sich dann durch l¨oschen aller dieser markierten Punkte, d.h.

Φ ={x∈Φ_b:m(x)< m(y)f¨ur alley∈Φ_b∩b(x, r)\ {x}}

mit b(x, r) ist der Kreis bzw. die Sph¨are mit Mittelpunkt x und Radius r.

Theorem 6 (Intensit¨at des Mat´ern Hard-Core-Prozess vom Typ I):Die Intensit¨at des Mat´ern Hard-Core-Prozess vom Typ I im R^d ist durch die Konstante

λ=λbexp(−λbcdr^d)

gegeben. Hierbei steht c_d f¨ur die Fl¨ache des Einheitskreises bei Dimension d = 2 bzw. das Volumen der Einheitssph¨are b(0,1)bei Dimension d >2. (z.B.c2=πbzw.c3= 4π/3)

Theorem 7 (Intensit¨at des Mat´ern Hard-Core-Prozess vom Typ II):Die Intensit¨at des Mat´ern Hard-Core-Prozess vom Typ II im R^d ist durch die Konstante

λ= 1−exp(−λbc_dr^d) cdr^d

gegeben. Hierbei steht cd f¨ur die Fl¨ache des Einheitskreises bei Dimension d = 2 bzw. das Volumen der Einheitssph¨are b(0,1)bei Dimension d >2. (z.B.c₂=πbzw.c₃= 4π/3) Pr¨ufungsfrage: Passende vereinfachte Modelle zur r¨aumlichen Beschreibung des CSMA Medienzugriffsverfahrens erkl¨aren.

F. Kontaktdistanz und n¨achster Nachbar

Definition 26 (N¨achster-Nachbar-Operator): F¨ur eine Punktmenge ϕ mit mindestens zwei Punkten definieren wir denN¨achsten-Nachbar-Operatorals

N Nϕ(x) = argmin

y∈ϕ\{x}

{kx−yk}

f¨urx∈ϕ. Falls mehrere solcher n¨achsten Nachbarn existieren, wird ein beliebiger gleichverteilt gew¨ahlt.

Definition 27 (Minimale Distanz):Wir definieren mitkx− Bkf¨urB⊆R^d dieminimale DistanzzwischenxundB, d.h.

kx−Bk= min

y∈B{kx−yk}

Definition 28 (Kontaktdistanz): Die Kontaktdistanz eines Punktprozesses Φ zu einem Punkt u ist die Zufallsvariable ku−Φk.

Definition 29 (Kontaktdistanzverteilung): Die Kontaktdi- stanzverteilungF^u(r)ist die Verteilungsfunktion zur Zufalls- variablen Kontaktdistanz ku−Φk, d.h.:

F^u(r) = P[ku−Φk ≤r] = P[N(b(u, r))>0] =T(b(u, r)) mit b(u, r) ist Kreis bzw. Sph¨are um u mit Radius r. (T(·) ist das Kapazit¨atsfunktional aus Definition 11 hier speziell angewendet auf b(u, r))

WennΦstation¨ar ist, dann h¨angtF^u(r)offensichtlich nicht vonuab. Wir schreiben in diesem Fall einfach F(r).

Definition 30 (N¨achste-Nachbar-Distanz und Verteilung):

Als N¨achste-Nachbar-Distanz f¨ur einen Punkt x aus dem PunktprozessΦdefinieren wirkx−Φ\ {x}k. Die zugeh¨orige VerteilungsfunktionG^x(r) = P[kx−Φ\{x}k ≤r]bezeichnen wir als N¨achste-Nachbar-Distanz-Verteilung zu gegebenem x∈Φ.

Wenn der Prozess Φstation¨ar ist, dann h¨angt G^x(r) nicht vonxab und wir schreiben dann einfachG(r).

Definition 31 (J-Funktion):F¨ur einen station¨aren Punktpro- zessΦdefinieren wir alsJ-Funktiondas folgende Verh¨altnis

J(r) =1−G(r) 1−F(r) f¨ur aller≥0.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are die Zusammensetzung der J-Funktion.

Korollar 7 (J-Funktion eines homogenen Poisson- Punktprozesses): F¨ur einen homogenen Poisson- Punktprozesses gilt J(r) = 1 f¨ur aller≥0.

Pr¨ufungsfrage: Liegt ein homogener Poisson-Punktprozess vor, wenn die J-Funktion konstant1ist?

Pr¨ufungsfrage: Was bedeutet eine Tendenz der J-Funktion kleiner 1bzw. eine Tendenz gr¨oßer1?

Definition 32 (Fry-Plot): Ein Fry-Plot zu einer Punktpro- zessinstanz ϕ in R² ist eine visuelle Analysemethode, in welcher f¨ur jedes Paar verschiedener Punkte u, v ∈ ϕ die Werte u−v auf der Ebene dargestellt sind. (Die Darstel- lung kann auch auf bestimmte Kriterien bzgl. der Punktpaare u, v eingeschr¨ankt sein; z.B. ignoriere alle Punktpaare mit ku−vk> rf¨ur einen gegebenen Radiusr)

Pr¨ufungsfrage: Wie wird ein Fry-Plot konstruiert?

Pr¨ufungsfrage: Was kann man aus einem Fry-Plot ablesen?

Ubung 9 (Fry-Plot und J-Funktion mittels R und spatstat):¨ Verwende die Statisikumgebung R in CoCalc und lade das spatstat Paket mittels des Kommandos library(spatstat).

1) Generiere mittels R eine Instanz eines

• homogenen Poisson-Punktprozesses mit Intensit¨at λ= 1im Fenster [−10,10]²

• Mat´ern Hardcore-Prozesses vom Typ I und II mit Intensit¨atλb= 1 und Mindestabstandsradiusr= 1 im Fenster[−10,10]²

• inhomogenen Poisson-Punktprozesses mit Inten- sit¨atsfunktion

λ(x) = n 2πσ² ·exp

−kxk² 2σ²

(d.h. der Gaußsche Poisson-Punktprozess) mit n= 500 undσ= 2.

2) Plotte die erzeugten Instanzen.

3) Erzeuge Fry-Plots zu den Instanzen.

4) Sch¨atze die J-Funktion f¨ur die Instanzen.

Ubung¨ 10 (Model-Fitting eines homogenen Poisson- Punktprozesses mittels R und spatstat): Erzeuge wie in vo- riger Aufgabe mittels R und spatstat in CoCalc eine Instanz eines homogenen Poisson-Punktprozesses mit Intensit¨at 100 im Fenster[0,1]². Finde auf Basis der Instanz mittels Model- Fitting die Intensit¨at.

Ubung 11 (Model-Fitting eines inhomogenen Poisson-¨ Punktprozesses mittels R und spatstat): Der Ausdruck ppm(p

∼1) ist ein Spezialfall der generellen Anwendung der Funk- tion ppm(p∼<funktion in x und y>).

1) Generiere wie in der vorvorigen Aufgabe einen inhomo- genen Poisson-Punktprozess mit Intensit¨atsfunktion

λ(x) = n 2πσ² ·exp

−kxk² 2σ²

im Fenster[−10,10]² f¨ur n= 500 undσ= 2.

2) Bestimme mittels Model-Fitting ppm(gp ∼ <funktion in x und y>) die Parameter (Intercept) und <funktion in x und y>; im folgenden genannt als a und b.

(Hinweis: <funktion in x und y> ist so anzugeben, dass sich die Intensit¨atsfunktion durch lambda( (x,y) )

= exp(a + b *<funktion in x und y>)ergibt; Beispiel:

Angabe vonf(x, y) =x·ybedeutet Intensit¨atsfunktion λ(x) = exp(a+b(x·y)). ppm sch¨atzt die Parameter a und b. Beachte, dass x²+y² durch abs(x² +y²) anzugeben ist)

3) Rechne anhand der gefundenen Parameter a und b die urspr¨unglichen Parameternund σzur¨uck.

II. SUMMEN UNDPRODUKTE_UBER¨ PUNKTPROZESSE

A. Erwartungswert einer Summe

Theorem 8 (Campbell’s Theorem f¨ur Summen ¨uber Punkt- prozesse):Sei Φein Punktprozess aufR^d mit Intensit¨atsmaß Λ(B). Seif :R^d→Rmessbar. Die Zufallssumme

S=X

x∈Φ

f(x)

ist eine Zufallsvariable mit dem Erwartungswert

E[S] = Z

R^d

f(x)Λ(dx)

vorausgesetzt, dass die rechte Seite endlich ist. WennΦ eine Intensit¨atsfunktionλ(x)besitzt, dann ist

E[S] = Z

R^d

f(x)λ(x) dx

Korollar 8 (Campbell’s Theorem f¨ur Summen ¨uber Stati- on¨aren Punktprozessen): Sei Φ ein station¨arer Punktprozess inR^d mit Intensit¨atλ. Die SummeS =P

x∈Φf(x)ist eine Zufallsvariable mit Erwartungswert

E[S] =λ Z

R^d

f(x) dx

Pr¨ufungsfrage: Erl¨autere die Aussage des Campbell-Theorems f¨ur Summen ¨uber Punktprozessen.

Definition 33 (Summe ¨uber eine Funktion):Ist die Funktion f in der Summe der in vorigen beiden S¨atzen definierten ZufallsvariablenSbesonders hervorzuheben, so schreiben wir auchS[f]und sagen dieSumme ¨uber die Funktion f.

Ubung 12 (Mittlere Interferenz in station¨aren Punktprozes-¨ sen):

Gegeben sei ein station¨arer Punktprozess Φ in R^d mit Intensit¨atλ. Dies seien die Positionen der aktuell sendenden Netzteilnehmer. Der Pfadverlust einer ¨Ubertragung ¨uber eine Distanzxseil(x) =x^−α f¨ur einα≥2(APL1-Modell).

1) Ermittele mittels Campbell-Theorem die Interferenz an einem beliebigen Beobachtungspunkt inR^d.

2) Betrachten nun speziellΦ inR². Bestimme f¨ur α= 2 und α > 2 mittels Sage jeweils eine Funktion zur Berechnung des im vorigen Schritt hergeleiteten Inte- gralausdrucks.

(Hinweis: F¨ur eine Funktion f : R → R l¨asst sich das Integral R

R²f(kzk) dz durch ¨Ubergang in Polarkoordinatendarstellung auch wie folgt berechnen:

R

R²f(kzk) dz = R2π 0

R∞

0 r·f(r) drdφ = 2πR∞ 0 r· f(r) dr)

3) Interpretiere die Ergebnisse.

4) Betrachte nun dasselbe Szenario jedoch mit folgender Pfadverlustfunktion l(x) = min{1, x^−α}. Bestimme erneut einen Ausdruck zur Berechnung der mittleren Interferenz f¨ur α >2.

5) Bestimme f¨ur die im vorigen Aufgabenabschnitt ver- wendete Pfadverlustfunktionl(x) = min{1, x^−α}einen Ausdruck zur Berechnung der mittleren Interferenz f¨ur α = 2, wenn das gesamte betrachtete Netz auf einen Kreis mit Radius r beschr¨ankt ist und die Interferenz vom Kreismittelpunkt beobachtet wird.

B. Wahrscheinlichkeitserzeugendes- und Laplace-Funktional Definition 34 (Wahrscheinlichkeitserzeugendes Funktional eines Punktprozesses): Es sei V die Familie aller messbaren Funktionen v : R^d → [0,1] derart, dass 1 −v(x) einen beschr¨ankten Tr¨ager hat (d.h. 1−v(x) = 0 außerhalb einer beschr¨ankten MengeB⊆R). F¨urv∈ V ist das wahrschein- lichkeitserzeugende Funktional (englisch: probability genera- ting functional (pgfl)) eines PunktprozessesΦdefiniert als:

G[v] = E

"

Y

x∈Φ

v(x)

#

= Z

N

Y

x∈ϕ

v(x)Q(dϕ)

Pr¨ufungsfrage: Was ist der Unterschied zwischen den Konzep- ten wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion (siehe LeNe) und wahrscheinlichkeitserzeugendes Funktional?

Theorem 9 (Wahrscheinlichkeitserzeugendes Funktional de- terminiert die Verteilung):Die Verteilung eine Punktprozesses Φ ist durch sein Wahrscheinlichkeitserzeugendes Funktional G[v] eindeutig bestimmt.

Korollar 9 (Zusammenhang wahrscheinlichkeitserzeugendes Funktional und momentgenerierende Funktion): Das wahr- scheinlichkeitserzeugende Funktional G[v]ist gleich der mo- mentgenerierenden Funktion M_S[logv](1) bzw. der Laplace- TransformiertenL_S[logv](−1).

Pr¨ufungsfrage: Wie ist der Zusammenhang zwischen Zusam- menhang wahrscheinlichkeitserzeugendem Funktional und mo- mentgenerierender Funktion?

Definition 35 (Laplace-Funktional): SeiU die Menge aller beschr¨ankten nicht-negativen messbaren Funktionen mit be- schr¨anktem Tr¨ager. Sei Ψ ein nicht-negatives Zufallsmaß auf R^d (vgl. zuf¨alliges Z¨ahlmaß, welches auf N abbildet; hier bilden die zuf¨alligen Z¨ahlmaße auf R⁺0 ab). F¨ur jedesu∈ U ist das Laplace-Funktionaldefiniert als:

LΨ[u] = E

exp

− Z

R^d

u(x)Ψ(dx)

Pr¨ufungsfrage: Erl¨autere das Konzept Laplace-Funktional.

Pr¨ufungsfrage: Inwiefern ist das Konzept Laplace-Funktional allgemeiner als das wahrscheinlichkeitserzeugende Funktio- nal?

Korollar 10 (Zusammenhang Laplace-Funktional und wahr- scheinlichkeitserzeugendes Funktional eines Punktprozesses):

F¨ur einen Punktprozess Φ sei L_Ψ[u] das Laplace-Funktional zum Zufallsz¨ahlmaß Ψdes Punktprozesses. Im folgenden sei L[u] =L_Ψ[u]. Es gilt:

L[u] =G[exp(−u)]

f¨ur alle u∈ U bzw.

G[u] =L[−log(v)]

f¨ur alle v∈ V.

Pr¨ufungsfrage: Welchen Zusammenhang gibt es zwischen wahrschienlichkeitserzeugendem Funktional und Laplace- Funktional?

C. Momenterzeugende Funktion f¨ur Summen ¨uber Poisson- Punktprozesse

Theorem 10 (Campbell’s Theorem f¨ur homogene Poisson- Punktprozesse): Sei Φ ein homogener Poisson-Punktprozess

¨uber R^d mit Intensit¨at λ. Sei f : R^d → R eine messbare Funktion. Dann ist die Summe

S[f] =X

x∈Φ

f(x)

fast sicher (d.h. mit Wahrscheinlichkeit1) absolut konvergent (d.h. die Reihe ¨uber die Betr¨age konvergiert gegen einen endlichen Wert) genau dann wenn

Z

R^d

min(|f(x)|,1) dx <∞

In diesem Fall ist die momenterzeugende Funktion M_S[f](t) dann gegeben durch

M_S[f](t) = E[e^tS[f]] = exp

λ Z

R^d

(exp(tf(x))−1) dx

f¨ur allet, f¨ur die dieser Erwartungswert existiert.

Definition 36 (Charakteristisches Funktional eines homo- genen Poisson-Punktprozesses): Betachten wir M_S[f](t) f¨ur festgehaltenes t = 1 als Funktion ¨uber alle f, die die Kon- vergenzeigenschaft des vorigen Satzes erf¨ullen, dann nennen wir

M_S[f](1) = exp

λ Z

R^d

(exp(f(x))−1) dx

das charaktersitische Funktional des homogenen Poisson- Punktprozesses.

Theorem 11 (Charakteristisches Funktional determiniert den homogenen Poisson-Punktprozess):Das charakteristische Funktional in der vorhin definierten Form definiert den homo- genen Poisson-Punktprozess.

Pr¨ufungsfrage: Wie l¨asst sich anhand des charakteristischen Funktionals im Prinzip zeigen, dass ein Punktprozess ein homogener Poisson-Punktprozess ist?

Theorem 12 (Campbell’s Theorem f¨ur Summen ¨uber belie- bige Poisson-Punktprozesse):SeiΦein Poisson-Punktprozess

¨uber R^d mit Intensit¨atsmaß Λ(B). Sei f : R^d → R eine messbare Funktion. Dann ist die Summe

S[f] =X

x∈Φ

f(x)

fast sicher absolut konvergent, genau dann wenn Z

R^d

min(|f(x)|,1)Λ(dx)<∞

In diesem Fall ist die momenterzeugende Funktion M_S[f](t) dann gegeben durch

M_S[f](t) = E[e^tS[f]] = exp

λ Z

R^d

(exp(tf(x))−1)Λ(dx)

f¨ur allet, f¨ur die dieser Erwartungswert existiert.

Korollar 11 (Erwartungswert und Varianz von Summen

¨uber Poisson-Punktprozessen):SeiS =P

x∈Φf(x)f¨ur einen Poisson-Punktprozess ¨uber R^d mit Intensit¨atsmaß Λ(B). Er- wartungswert und Varianz berechnen sich wie folgt:

E[S] = Z

R^d

f(x)Λ(dx) Var[S] =

Z

R^d

f²(x)Λ(dx)

Pr¨ufungsfrage: Wie ermitteln sich Erwartungswert und h¨ohere Momente aus dem zuvor genannten Campbell-Theorem?

Ubung¨ 13 (Varianz der Interferenz bei homogenem Poisson-Punktprozess): Gegeben sei ein homogener Poisson- PunktprozessΦinR² mit Intensit¨atλ. Dies seien die Positio- nen der aktuell sendenden Netzteilnehmer. Der Pfadverlust ei- ner ¨Ubertragung ¨uber eine Distanz xseil(x) = min{1, x^−α} f¨ur ein α > 1 (APL2-Modell). Ermittele mit dem vorigen Korollar und mittels Sage die Varianz der Interferenz an einem beliebigen Beobachtungspunkt in R^d.

D. Wahrscheinlichkeitserzeugendes und Laplace-Funktional des Poisson-Punktprozesses

Theorem 13 (Wahrscheinlichkeitserzeugendes Funktional ei- nes Poisson-Punktprozesses):Es seiv∈ V (siehe Def. 34) und Φein Poisson-Punktprozess ¨uberR^dmit Intensit¨atsmaßΛ(B).

Dann ist das wahrscheinlichkeitserzeugende Funktional vonΦ gegeben durch

G[v] = E

"

Y

x∈Φ

v(x)

#

= exp

− Z

R^d

(1−v(x))Λ(dx)

Korollar 12 (Laplace-Funktional des Poisson- Punktprozesses): Es sei u ∈ U (siehe Def. 35) und Φ ein Poisson-Punktprozess ¨uber R^d mit Intensit¨atsmaß Λ(B).

Dann ist das Laplace-Funktional von Φgegeben durch L[u] = exp

− Z

R^d

(1−exp(−u(x)))Λ(dx)

Pr¨ufungsfrage: Wie l¨asst sich ein Produkt ¨uber eine Funkti- on angewendet auf die Punkte eines Punktprozesses mittels wahrscheinlichkeitserzeugendem Funktional berechnen?

Pr¨ufungsfrage: Wie l¨asst sich ein Produkt ¨uber eine Funkti- on angewendet auf die Punkte eines Punktprozesses mittels Laplace-Funktional berechnen?

Ubung 14 (Interferenzverteilung mit Fading):¨ Wir betrach- ten einen homogenen Poisson-Punktprozess Φ mit Intensit¨at λ ¨uber R². Dies seien sendende Netzknoten. Es sei das Pfadverlustmodell l(x) = x^−α f¨ur ¨Ubertragungsdistanz x (APL1-Modell) angenommen. Des Weiteren nehmen wir Fa- ding an, d.h. die Signalempfangsst¨arke wird zus¨atzlich noch mit einem Fading-KoeffizientenHmultipliziert, d.h. die Emp- fangsleistung bei ¨Ubertragung ¨uber eine Distanzxist gegeben durch H · l(x). F¨ur alle ¨Ubertragungen seien die Fading- Koeffizienten unabh¨angig, unabh¨angig vom Punktprozess und identisch verteilt angenommen.

1) (Wiederholung) Betrachte die Projektion Φ₁ = {kxk : x ∈ Φ} von Φ. Bestimme einen Ausdruck f¨ur das Intensit¨atsmaßΛ1(B)von Φ1 an B= [0, x].

2) (Wiederholung) Was ist die Intensit¨atsfunktion vonΦ1? 3) Gib einen Ausdruck f¨ur die Zufallsvariable der im Nullpunkt(0,0)empfangenen Summe der Signalst¨arken aller ¨Ubertragungen aus Φ an. Verwende hierzu die ProjektionΦ1.

4) (Wiederholung) Gib die Laplace-Transformierte LI(s) vonI an.

5) L¨ose den Ausdruck der Laplace-Transformierten mit dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit (Hinweis: Be- dinge ¨uberΦ₁=ϕ, d.h. betrachte den bedingten Erwar-

tungswert E[·|Φ₁ = ϕ]). Als Ergebnis muss folgender Ausdruck heraus kommen:

E

"

Y

x∈Φ1

Eh

e^−sHl(x)i

#

6) L¨ose LI(s) mit dem pgfl f¨ur Poisson-Punktprozesse mit Intensit¨atsmaß Λ(B) bzw. Intensit¨atsfunktion λ(x) weiter auf (vgl. Theorem 13).

7) Annahme H sei ein deterministischer Wert (keine Zufallsvariable). L¨ose den vorher gefundenen Inte- gralausdruck f¨ur α > 2 (Hinweis: es ist R∞

0 (1 − exp(−y/x^α))xdx=y^2/αΓ(1−2/α)).

8) Betrachte nun anstatt h die Zufallsvariable H. Be- stimme analog zur vorigen L¨osung mit dem Resultat aus Aufgabenteil 6 einen geschlossenen Ausdruck f¨ur die Laplace-Transformierte LI(s) (Hinweis: nutze hier E[R

. . .] =R E[. . .])

9) Betrachte speziell den Fall von Rayleigh-Fading. Hier istH ∼Exp(1)undE[H^δ] = Γ(1 +δ). Wie ist hier die Laplace-Transformierte LI(s)?

10) Annahme an Position (0,0) soll eine Nachricht von einem zus¨atzlichen Sender mit Distanz r empfangen werden. Der Pfadverlust sei ebenfalls α. Es sei wie im vorigen Aufgabenschritt Rayleigh-Fading angenom- men. Bestimme die Nachrichtenerfolgswahrscheinlich- keit P[SIR > θ]. (Erinnerung an LeNe:P[SIR> θ] = L_I(θr^α))

III. MARKIERTEPUNKTPROZESSE

A. Definition Markierter Punktprozesse

Definition 37 (Raum der Markierungen):Wir betrachten zur Markierung von Punkten eines Punktprozesses allgemein einen Raum der Markierungen M und eine σ-Algebra M auf M. (Anmerkung: die Borel-σ-Algebra, die aus offenen Mengen ausM erzeugt wird)

Definition 38 (Markierter Punktprozess): Ein markierter PunktprozessaufR^d mit Markierungen ausMist ein simpler PunktprozessΦ =ˆ {(xi, mi)}aufR^d× MmitΦ(Bˆ ×M)<

∞f¨ur alle beschr¨ankten Borel-MengenB⊆R^d.

Den Raum aller m¨oglichen Punktprozessinstanzen bezeich- nen wir mitNˆ, d.h.

Nˆ ={ϕˆ: ˆϕist Z¨ahlmaß aufB^d× M}

Die σ-Algebra der Ereignisse ¨uber Nˆ ist definiert als die kleinste σ-Algebra Eˆ f¨ur die die Abbildung ϕˆ 7→ ϕ(Bˆ ×L) messbar f¨ur alle B∈ B^d und L∈ M ist.

Die Verteilung eines markierten Punktprozesses bezeichnen wir mitQ : ˆˆ E →[0,1]

Definition 39 (Unmarkierter Prozess): F¨ur jedes L ∈ M definieren wir denunmarkierten Prozessmit Markierungen in Lals

Φ_[L]={xi: (x_i, m_i)∈Φ, mˆ _i∈L}

Der zugrunde liegende PunktprozessistΦ[M].

Definition 40 (Station¨arer markierter Punktprozess): Ein markierter Punktprozess Φˆ ist station¨ar, wenn der zugrunde liegende Prozess station¨ar ist.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are die Idee markierter Punktprozesse.

Pr¨ufungsfrage: Welche Arten von Unabh¨angigkeit kann man bzgl. Markierungen von Punktprozessen betrachten?

Definition 41 (Unabh¨angige Markierung): H¨angt die Mar- kierung m_x der Punkte x des markierten Punktprozesses Φ =ˆ {(x, m_x)} nur von der Position des Punktes x aber nicht von den ¨ubrigen Punkten und deren Markierungen ab, so bezeichnen wir einen solchen Prozess als unabh¨angig markiert. Wir bezeichnen in diesem Fall mitMxdie Verteilung der Markierung, d.h. Mx ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf (M,M).

Einen unabh¨angig markierten Prozess bezeichnen wir dar¨uber hinaus alsunabh¨angig und identisch verteilt markiert, wenn die Verteilung von mx auch nicht von der Position x abh¨angt.

B. Intensit¨atsmaß und Campbell-Theorem

Definition 42 (Intensit¨atsmaß eines markierten Punktpro- zesses): Das Intensit¨atsmaß f¨ur markierte Punktprozesse ist definiert als

Λ(Bˆ ×L) = E[ ˆΦ(B×L)]

Pr¨ufungsfrage: Wie haben wir das Konzept Intensit¨atsmaß sinnvoll auf markierte Punktprozesse erweitert.

Korollar 13 (Intensit¨atsmaß f¨ur unabh¨angig markierte Punktprozesse): F¨ur unabh¨angig markierte Punktprozesse er- gibt sich das Intensit¨atsmaß wie folgt

Λ(Bˆ ×L) = Z

B

M_x(L)Λ(dx)

f¨ur B ∈ B^d und L∈ M. Hierbei istMx(L)die Wahrschein- lichkeit f¨ur L gegeben x und Λ(B) das Intensit¨atsmaß des zugrunde gelegten Punktprozesses.

Korollar 14 (Intensit¨atsmaß f¨ur unabh¨angig und identisch verteilt markierte Punktprozesse): F¨ur unabh¨angig und iden- tisch verteilt markierte Punktprozesse ergibt sich das Inten- sit¨atsmaß wie folgt

Λ(Bˆ ×L) =M(L)Λ(B)

f¨ur B ∈ B^d und L∈ M. Hierbei istM(L) die Wahrschein- lichkeit f¨ur L und Λ(B) das Intensit¨atsmaß des zugrunde gelegten Punktprozesses.

Pr¨ufungsfrage: Wie vereinfacht sich das Intensit¨atsmaß eines markierten Punktprozesses im Falle unabh¨angiger, identisch verteilter Markierungen?

Korollar 15 (Intensit¨atsmaß eines station¨aren markierten Punktprozesses):Das Intensit¨atsmaß eines station¨aren markier- ten Punktprozesses erf¨ullt

Λ(Bˆ ×L) =λ_[L]· |B|

Hierbei ist λ_[L] die Intensit¨at vonΦ_[L].

Die Markierungsverteilung ergibt sich hier als

M(L) = λ_[L]

λ[M]

Pr¨ufungsfrage: Wie vereinfacht sich das Intensit¨atsmaß im Falle eines station¨aren markierten Punktprozesses?

Theorem 14 (Campbell-Theorem f¨ur markierte Punktprozes- se):F¨ur jede nichtnegative messbare Funktionf :R^d×M→ Rgilt f¨ur markierte Punktprozesse allgemein:

E



 X

(x,m)∈Φˆ

f(x, m)



= Z

R^d×M

f(x, m) ˆΛ(d(x, m))

Theorem 15 (Campbell-Theorem f¨ur station¨are markierte Punktprozesse):Speziell f¨ur station¨are markierte Punktprozes- se gilt f¨ur jede nichtnegative messbare Funktionf :R^d×M→ R

E



 X

(x,m)∈Φˆ

f(x, m)



=λ Z

R^d

Z

M

f(x, m)M(dm) dx

Theorem 16 (Campbell-Theorem f¨ur station¨are unabh¨angig identisch verteilt markierte Punktprozesse): Speziell f¨ur sta- tion¨are unabh¨angig identisch verteilt markierte Punktprozesse gilt f¨ur jede nichtnegative messbare Funktionf :R^d×M→R

E



 X

(x,m)∈Φˆ

f(x, m)



=λE Z

R^d

f(x, m) dx

Hierbei istmeine Zufallsvariable die gem¨aß der Markierungs- verteilung M verteilt ist.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are was das Campbell-Theorem f¨ur mar- kierte Punktprozesse besagt.

Pr¨ufungsfrage: Wie vereinfacht sich das Campbell-Theorem f¨ur markierte Punktprozesse im Falle station¨arer Punktpro- zesse?

Pr¨ufungsfrage: Wie vereinfacht sich das Campbell-Theorem f¨ur markierte Punktprozesse im Falle station¨arer Punktpro- zesse mit unabh¨angig, identisch verteilten Markierungen?

C. Beispielanwendungen

Definition 43 (Bipolares Netzwerkmodell): Im bipolaren Netzwerkmodell werden die Sender als Punktprozess model- liert. Jedem Sender wird durch geeignete Markierung ein Empf¨anger zugeordnet. M¨ogliche Markierungen sind hierbei z.B.

• Distanz zum Sender

• relative Position zum Sender

• ben¨otigte Sendeleistung

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are wie das bipolare Netzwerkmodell mit dem Konzept markierter Punktprozesse definiert ist.

Korollar 16 (ALOHA mittels markierten Punktprozessen):

ALOHA l¨asst sich als markierten Punktprozess beschreiben.

Jeder Knoten ist mit einer Marke m ∈ {0,1} versehen.

Die Marken sind unabh¨angig und identisch Bernoulli mit Sendewahrscheinlichkeitpverteilt.

Pr¨ufungsfrage: Wie kann man ALOHA mit dem Konzept mar- kierter Punktprozesse sinnvoll modellieren?

Korollar 17 (CSMA mittels markierten Punktprozessen):Die Mat´ern Hardcore-Prozesse vom Typ I und II sind markierte Punktprozesse.

Zum Typ I betrachten wir zum zugrundeliegenden Punkt- prozessΦ den markierten ProzessΦ =ˆ {(x, mx)} mit

mx=1Φ∩b(x,r)={x}

Hierbei istb(x, r)der Kreis (bzw. die Kugel) mit Mittelpunkt xund Radius r.

Zum Typ II betrachten wir zum zugrundeliegenden Punkt- prozessΦ den markierten ProzessΦ =ˆ {(x, tx, m_x)} mit

mx=1tx=miny∈Φ∩b(x,r){ty}

Hierbei ist t_x unabh¨angig gleichverteilt aus[0,1].

Pr¨ufungsfrage: Wie kann man CSMA mit dem Konzept mar- kierter Punktprozesse sinnvoll modellieren?

Ubung 15 (Interferenz im bipolaren Netzwerkmodell):¨ Be- trachte ein drahtloses Netz in R², in dem die Sender einen station¨aren Punktprozess mit Intensit¨atλbilden. Jeder Sender hat einen Empf¨anger mit Distanz 1. Der Kanal unterliegt Rayleigh-Fading. Der Pfadverlust sei α > 2. Jeder Sender stellt seine Leistung so ein, sodass der Empf¨anger mit Emp- fangsleistung1 empfangen kann.

1) Modelliere die geschilderte Situation als markierten Punktprozess.

2) Stelle die Interferenz am Punkt (0,0) geeignet als Zu- fallsvariable dar.

3) Bestimme mit Sage die mittlere Interferenz an (0,0) mittels Campbell-Theorem.

4) Begr¨unde das vorige Ergebnis.

5) Erweitere das Modell so, dass Knoten nur maximal mit Sendeleistung10senden k¨onnen und die Empfangsleis- tung nie ¨uber der Sendeleistung liegen kann.

6) Bestimme mit Sage mit dem erweiterten Modell wie- der die erwartete Interferenz im Punkt (0,0) mittels Campbell-Theorem.

Ubung 16 (Interferenz in CSMA-basierten Netzen):¨ Sei Φb ein homogener Poisson-Punktprozess mit Rate λ im R². CSMA sei als markierter Punktprozess wie in der Vorlesung modelliert:

Φ ={(x, m_x) :x∈Φ_b}

mit

mx=1{Φb∩b(x,r)={x}}

Die Interferenz am Beobachtungspunkt(0,0) sei

I= X

(x,m_x)∈Φ

f(x, mx)

mit

f(x, m_x) =m_xmin{1,kxk^α} f¨ur α >2. BestimmeE[I].

IV. MOMENTMASSE

A. Erstes und zweites Momentmaß

Definition 44 (Erstes Momentmaß): Daserste Momentmaß eines Punktprozesses Φ ist sein Intensit¨atsmaß (E[Φ(B)] = Λ(B)).

Definition 45 (Zweites Momentmaß): Es sei Φ ein Punkt- prozess auf R^d. Damit ist Φ⁽²⁾ = Φ×Φ ein Punktprozess auf R^d ×R^d = R^2d. Das zweite Momentmaß µ⁽²⁾ ist das Intensit¨atsmaß vonΦ⁽²⁾:

µ⁽²⁾(A×B) = E[Φ(A)·Φ(B)]

Korollar 18 (Varianz und Kovarianz aus zweitem Moment- maß): Varianz und Kovarianz eines Punktprozesses Φ l¨asst sich unmittelbar aus dessen zweiten Momentmaß bestimmen

Var[Φ(A)] =µ⁽²⁾(A²)−(Λ(A))² Cov[Φ(A),Φ(B)] =µ⁽²⁾(A×B)−Λ(A)Λ(B) Korollar 19 (Zweites Momentmaß des Poisson- Punktprozesses): F¨ur einen Poisson-Punktprozess Φ mit Intensit¨atsmaßΛ(B)ist das zweite Momentmaß gegeben als

µ⁽²⁾(A×B) = Λ(A)Λ(B) + Λ(A∩B) Im homogenen Fall mit Intensit¨atλist

µ⁽²⁾(A×B) =λ²|A||B|+λ|A∩B|

Definition 46 (Momentmaß nter Ordnung):F¨ur einen Punkt- prozessΦist das Momentmaß nter Ordnungdefiniert als

µ⁽ⁿ⁾(B1×Bn) = E[Φ(B1). . .Φ(Bn)]

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are was das Konzept des Momentmaßes audr¨uckt.

Korollar 20 (Campbell-Theorem auf zweiten Momentma- ßen): F¨ur den Punktprozess Φ×Φ ergibt sich mit dessen zweiten Momentmaß

E



 X

(x,y)∈Φ×Φ

f(x, y)



= Z

R^d

Z

R^d

f(x, y)µ⁽²⁾(dx,dy)

Pr¨ufungsfrage: Wieso ¨ubertr¨agt sich das Campbell-Theorem unmittelbar auch auf das zweite (bzw. allgemein das nte) Momentmaß?

B. Faktorielles Momentmaß

Definition 47 (Zweites faktorielles Momentmaß): Wir be- zeichnen f¨ur einen PunktprozessΦmitΦ?ΦdenPunktprozess aller geordneten Paare verschiedener Punkte, d.h.

Φ?Φ ={(x, x⁰)∈Φ²:x6=x⁰} Das Intensit¨atsmaßα⁽²⁾(A×B)erf¨ullt

α⁽²⁾(A×B) = E[Φ(A)Φ(B)]−E[Φ(A∩B)]

Wir bezeichnen dieses Maß als zweites faktorielles Moment- maß.

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are was das Konzept des faktoriellen Mo- mentmaßes ausdr¨uckt.

Korollar 21 (Zusammenhang zweites Momentmaß und fak- torielles Momentmaß):Zweites Momentmaßµ⁽²⁾und zweites faktorielles Moment α⁽²⁾ erf¨ullen

µ⁽²⁾(A×B) =α⁽²⁾(A×B) + Λ(A∩B) Wenn A∩B=∅, dann:

µ⁽²⁾(A×B) =α⁽²⁾(A×B)

Pr¨ufungsfrage: Wie h¨angen Momentmaß und faktorielles Mo- mentmaß zusammen?

Korollar 22 (Faktorielle Momente des Poisson- Punktprozesses): F¨ur einen Poisson-Punktprozess ist das Faktorielle Moment gegeben als

α⁽²⁾(A×B) = Λ(A)Λ(B)

Im Falle eines homogenen Poisson-Punktprozesses gilt damit α⁽²⁾(A×B) =λ²|A||B|

Korollar 23 (Campbell-Theorem auf zweiten faktoriellen Momenten):F¨ur den PunktprozessΦ?Φergibt sich mit dessen zweiten faktoriellen Moment

E



 X

(x,y)∈Φ?Φ

f(x, y)



= Z

R^d

Z

R^d

f(x, y)α⁽²⁾(dx,dy)

Pr¨ufungsfrage: Erkl¨are wie sich das Konzept des Campbell- Theorems auf faktorielle Momentmaße ¨ubertr¨agt.

Korollar 24 (nte faktorielle Momente): Das nte faktorielle Momentα⁽ⁿ⁾(Bⁿ)zu B ist gegeben durch

α⁽ⁿ⁾(Bⁿ) = E[Φ(B)(Φ(B)−1). . .(Φ(B−n+ 1))]

C. Zweite Momentdichte

Definition 48 (Zweite Momentdichte): Ein Punktprozess Φ auf R^d hat einezweite Momentdichteρ⁽²⁾:R^d×R^d→R⁺0, wenn

α⁽²⁾(C) =α⁽²⁾(A×B) = Z

A

Z

B

ρ⁽²⁾(x, y) dydx f¨ur jedes kompakte C=A×B⊆R^d×R^d gilt.

Korollar 25 (Zweite Momentdichte des Poisson- Punktprozesses): Die zweite Momentdichte eines Poisson- Punktprozesses mit Intensit¨atsfunktionλ(x)erf¨ullt

ρ⁽²⁾(x, y) =λ(x)λ(y)

Im Falle eines homogenen Poisson-Punktprozesses mit Inten- sit¨at λgilt

ρ⁽²⁾(x, y) =λ²

Korollar 26 (Campbell-Theorem mit zweiten Momentdichten ausgedr¨uckt): F¨ur einen Punktprozess Φ f¨ur den die zweite Momentdichte ρ⁽²⁾(x, y) existiert gilt

E



 X

(x,y)∈Φ?Φ

f(x, y)



= Z

R^d

Z

R^d

f(x, y)ρ⁽²⁾(x, y) dxdy

Ubung 17 (Zweites Moment der Interferenz):¨ Die Si- gnalst¨arken von ¨Ubertragungen, welche an einem Empf¨anger ankommen, seien durch einen Poisson-Punktprozess ¨uberR⁺0

mit Intensit¨atsfunktionλ(x)beschrieben. Die InterferenzIsei wie ¨ublich wie folgt definiert:

I=X

x∈Φ

x

1) StelleI² geeignet als Summe ¨uberΦplus Summe ¨uber Φ?Φdar.

2) Gib mithilfe des Ergebnisses des vorigen Aufgabenteils Integralausdr¨ucke an, mit denen sich E[I²] mit kennt- nis von λ(x) berechnen l¨asst. (Hinweis: Verwende die passenden Varianten des Campbell-Theorems)

Definition 49 (nte Momentdichte):Ein PunktprozessΦauf R^d hat einente Momentdichteρ⁽ⁿ⁾, wenn

α⁽ⁿ⁾(B1×· · ·×Bn) = Z

B1

· · · Z

Bn

ρ⁽ⁿ⁾(x1, . . . , xn) dx1. . .dxn

f¨ur jedes kompakte B1× · · · ×Bn⊆R^d× · · · ×R^d gilt.

Pr¨ufungsfrage: Was bedeutet der Begriff Momentdichte?

Korollar 27 (Momentdichten in station¨aren Punktprozes- sen):Wenn der PunktprozessΦstation¨ar ist, dann istρ⁽¹⁾=λ undρ⁽²⁾ h¨angt nur von der Vektordifferenz ab, d.h. es existiert einρ⁽²⁾_st :R^d→R⁺0 mit

ρ⁽²⁾(x, y) =ρ⁽²⁾_st (x−y) f¨ur allex, y∈R^d.

Pr¨ufungsfrage: Wie ist die Momentdichte in station¨aren Punkt- prozessen charakterisiert?

Korollar 28 (Momentdichten in bewegungsinvarianten Punktprozessen): Wenn der Punktprozess Φ bewegungsinva- riant ist, dann istρ⁽¹⁾=λundρ⁽²⁾ h¨angt nur von der Distanz r=kx−yk ab, d.h. es existiert einρ⁽²⁾_mi :R⁺0 →R⁺0 mit

ρ⁽²⁾(x, y) =ρ⁽²⁾_mi(kx−yk) f¨ur allex, y∈R^d.

Pr¨ufungsfrage: Wie ist die Momentdichte in bewegungsinvari- anten Punktprozessen charakterisiert?

Korollar 29 (Momentdichten in homogenen Poisson- Punktprozessen):F¨ur einen homogenen Poisson-Punktprozess mit Intensit¨atλgilt offensichtlich

ρ⁽²⁾(x, y) =ρ⁽²⁾_st (x−y) =ρ⁽²⁾_mi(kx−yk) =λ²

D. Zweite Momente f¨ur station¨are Prozesse

Definition 50 (Reduziertes zweites Momentmaß):SeiΦein station¨arer Punktprozess auf R^d mit Intensit¨at λ. Dann exis- tiert ein MaßK(B)aufR^d, welches f¨ur beliebiges gew¨ahltes x∈Φdie erwartete Anzahl y∈Φ\ {x}bestimmt, die relativ zu x in B liegen, d.h. die y−x ∈B erf¨ullen. Dieses Maß wird alsreduziertes zweites Momentmaß bezeichnet.

Pr¨ufungsfrage: Was beschreibt das zweite reduzierte Moment- maß?