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Leistungsbewertung von drahtlosen Netzen (WS19)
Vorlesungszusammenfassungen, ¨ Ubungen and Pr¨ufungsfragen
Prof. Dr. Hannes Frey, (zuletzt editiert am 30. Oktober 2020)
I. GRUNDLAGEN DERMASS-UND
WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE
A. Einfache Mengenbegriffe
Definition 1 (Potenzmenge): Die Potenzmenge P(Ω) der Menge Ω bezeichnet die Menge aller Teilmengen von Ω (inklusive ∅ undΩselbst), d.h. P(Ω) ={A:A⊆Ω}.
Definition 2 (abz¨ahlbar, ¨uberabz¨ahlbar): Eine Menge M ist abz¨ahlbar, wenn ihre Elemente in der Form {m1, m2, m3, . . .} aufgez¨ahlt werden k¨onnen. Ist dies nicht m¨oglich, so bezeichnet man die Menge als ¨uberabz¨ahlbar.
Definition 3 (disjunkt, paarweise disjunkt):Zwei MengenA undBsinddisjunkt, wennA∩B =∅. Die MengenA1, . . . , An
sind paarweise disjunkt, wennAi∩Aj =∅f¨ur alle i6=j.
Definition 4 (Anzahl Elemente einer Menge): Das Symbol
|M|bezeichnet die Anzahl Elementeeiner MengeM. Definition 5 (Komplement einer Menge):SeiM eine Menge mit Elementen aus einem UniversumΩaller betrachteten Ele- mente. Das Komplementvon M, im Zeichen M, ist definiert alsM ={x∈Ω :x6∈M}
Definition 6 (offene und abgeschlossene Menge):Eine Men- ge M ist offen, wenn f¨ur jedes x ∈ M ein > 0 existiert, sodass die offene Sph¨areU(x) ={y:kx−yk< }komplett in M liegt, d.h. U(x)⊆M. Eine Menge istabgeschlossen, wenn ihr Komplement offen ist.
Definition 7 (beschr¨ankte und kompakte Menge):Eine Men- geM istbeschr¨ankt, wenn diese komplett in einer Sph¨are mit endlichem Radius liegt. Eine Menge ist kompakt, wenn diese beschr¨ankt und abgeschlossen ist.
B. Sigma-Algebra
Definition 8 (Sigma-Algebra): A ⊆ P(Ω) ist eine Sigma- Algebra, wenn gilt:
• Ω∈ A
• A∈ A ⇒A∈ A
• Ai∈ A ⇒S∞
i=1Ai∈ A
Definition 9 (Messraum, messbarer Raum): F¨ur Ω und Sigma-Algebra A ¨uber Ω bezeichnet man (Ω,A) als Mess- raum (oder auchmessbarer Raum).
Ubung 1 (Sigma-Algebren sind schnittstabil):¨ Sei (Ω,A) eine beliebige Sigma-Algebra. Zeige, dass aus Ai ∈ A auch T∞
i=1Ai∈ Afolgt.
Ubung 2 (Mengensubtraktion und Sigma-Algebras):¨ Sei (Ω,A)eine beliebige Sigma-Algebra. SeienM undN inA.
Zeige, dass auch M\N inAliegt.
Definition 10 (Erzeugte Sigma-Algebra):F¨ur ein beliebiges Mengensystem M ⊆ P(Ω) nennt man die kleinste Sigma- AlgebraAdieMenth¨alt (d.h.M ⊆ A) die vonMerzeugte Sigma-Algebra.
Definition 11 (Borel-Sigma-Algebra):Die von allen halbof- fenen Hyper-Rechtecken[u1, v1)×[u2, v2), . . . ,[un, vn) ¨uber Rn erzeugte Sigma-Algebra wird Borel-Sigma-Algebra be- zeichnet. Das Symbol Bn bezeichnet diese Algebra. Speziell f¨urn= 1(d.h. die von allen halboffenen Intervallen erzeugte Sigma-Algebra) schreiben wir einfach B. Die Elemente der Borel-Sigma-Algebra bezeichnen wir alsBorel-Mengen.
Ubung 3 (Elemente der Borel-Sigma-Algebra):¨ Zeige dass jede Einermenge {x} mit x ∈ R zur Borel-Sigma-Algebra geh¨ort.
Ubung 4 (Elemente der Borel Sigma Algebra):¨ Zeige dass alle offenen und geschlossenen Intervalle (d.h.[a, b]and(a, b)) zur Borel-Sigma-Algebra geh¨oren.
Ubung 5 (Elemente der Borel-Sigma-Algebra):¨ Zeige dass der EinheitsviertelkreisQ={(x, y) :x≥0, y≥0, x2+y2≤ 1} ein Element der Borel-Sigma-Algebra B2 ist. Tipp: be- schreibeQ mittels abz¨ahlbar unendlich vielen Vereinigungen und Schnitten von einfachen Rechtecken.
C. Messbarkeit, Maßraum und Wahrscheinlichkeitsraum Definition 12 (Maß):SeiAeine Sigma-Algebra ¨uberΩ. Als Maß bezeichnet man eine Funktion µ: A → R∪ {∞} mit der Eigenschaft:
• F¨ur paarweise disjunkte Ai ∈ A gilt µ(Sn
i=1Ai) = Pn
i=1µ(Ai)f¨ur jedes n∈N∪ {∞}
• µ(∅) = 0
Das Tripel (Ω,A, µ) bezeichnet man alsMaßraum. Die Ele- mente ausAbezeichnet man alsµ-messbar.
Definition 13 (Wahrscheinlichkeitsmaß): Ein Maß µ eines Maßraums (Ω,A, µ) ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn µ(Ω) = 1. Den Maßraum (Ω,A, µ) bezeichnet man dann alsWahrscheinlichkeitsraum. Im Kontext von Wahrscheinlich- keitsr¨aumen verwenden wir f¨ur das Wahrscheinlichkeitsmaß die Notation P[·] anstatt µ(·). Die Menge Ω wird in diesem Kontext als Menge der Elementarereignisse und die Sigma- AlgebraAalsMenge der m¨oglichen Ereignissebezeichnet.
Ubung 6 (M¨unzwurfexperiment):¨ Angenommen eine M¨unze falle auf Kopf bzw. Zahl mit derselben Wahrscheinlichkeit.
Dar¨uber hinaus falle die M¨unze mit (einer sehr kleinen) Wahrscheinlichkeitqauf die Kante. Die M¨unze werde solange geworfen bis Kopf f¨allt.
1) Beschreibe die Menge aller ElementarereignisseΩ.
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2) Beschreibe die WahrscheinlichkeitenPder Elementarer- eignisse.
3) Beschreibe das Ereignis als Menge von Elementarereig- nissen, dass die M¨unze nie auf den Rand f¨allt.
4) Was ist die Wahrscheinlichkeit f¨ur das vorige genannte Ereignis?
5) Was ist die in diesem Beispiel zugrunde liegende Sigma- Algebra?
Definition 14 (Lebesgue-Maß):DasLebesgue-Maß, im Zei- chen| · |, ist das Maß, welches den Borel-Mengen deren Inhalt (L¨ange, Fl¨ache, Volumen,. . .) zuordnet.
Definition 15 (Z¨ahlmaß): Ein Maß der Form µ : A → N0∪ {∞} wird als Z¨ahlmaß bezeichnet. Im Kontext dieser Vorlesung fordern wir zus¨atzlichµ(B)<∞f¨ur alle kompakte B. Wir bezeichnen diese Eigenschaft alslokal endlich.
Definition 16 (Dirac-Maß): Ein Maß der Form δx : A → {0,1} mit δx(A) = 1, wenn x ∈ A und δx(A) = 0, wenn x6∈A wird alsDirac-Maßbezeichnet.
Definition 17 (Diffuses Maß): Ein Maß wird als diffus bezeichnet, wenn es jeder abz¨ahlbaren Menge das Maß 0 zuordnet.
Pr¨ufungsfrage: Zusammenhang zwischen Sigma-Algebra und einem Mengensystem, auf dem ein Maß plausibel festgelegt ist, erkl¨aren
D. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten
Definition 18 (fast sicher, fast unm¨oglich): In einem Wahr- scheinlichkeitsraum (Ω,A,P)heißt ein Ereignis E ∈ A fast sicher, wenn P[E] = 1. Das Ereignis heißt fast unm¨oglich, wenn P[E] = 0.
Definition 19 (unabh¨angig):Zwei EreignisseAundBeines Wahrscheinlichkeitsraumes (Ω,A,P)sind unabh¨angig, wenn P[A∩B] = P[A]·P[B].
Definition 20 (Bedingte Wahrscheinlichkeit): Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P)und ein Ereignis B∈ A mit P[B] >0. Die bedingte Wahrscheinlichkeit P[·|B] ist wie folgt definiert. F¨ur jedes A ∈ A ist P[A|B] = P[A∩ B]/P[B].
Korollar 1 (Bedingte Wahrscheinlichkeit ist ein Wahr- scheinlichkeitsmaß):Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P)und ein EreignisB∈ AmitP[B]>0. Die Funktion Q[·] definiert als Q[A] = P[A|B] ist ein Wahrscheinlich- keitsmaß. F¨ur jedes Ereignis C ∈ A mit P[BC] > 0 gilt Q[A|C] = P[A|BC].
Definition 21 (Partition): Disjunkte Mengen Ai sind eine Partitionvon Ω, wennΩ =S
Ai.
Theorem 1 (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit): Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P). Sei Bi ∈ A eine Partition vonΩ. F¨ur jedesA∈ A gilt stets:
P[A] =X P[ABi] Wenn zudemP[Bi]>0 f¨ur alleigilt, dann ist:
P[A] =X
P[A|Bi]·P[Bi]
Ubung 7 (Satz der totalen Wahrscheinlichkeit):¨ Ein Knoten v sendet nNachrichten an einen Knoten w. Hierzu stehen k
verschiedene Pfade zur Verf¨ugung. Angenommen Knoten v w¨ahlt einen Pfad zuf¨allig aus und sendet alle n Nachrichten
¨uber diesen Pfad. F¨ur 1 ≤i ≤k sei pi die Wahrscheinlich- keit, dass v den Pfad i ausw¨ahlt. Des Weiteren sei qi die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nachricht entlang des Pfades i verloren geht. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Nachrichten korrekt am Zielknoten w ankommen? Hinweis:
definiere passende Ereignisse und rechne mit diesen Ereignis- sen ohne explizite Angabe eines Wahrscheinlichkeitsraumes.
Pr¨ufungsfrage: Nutzen des Satzes der totalen Wahrscheinlich- keit (in der vorhin genannten Form und den noch folgenden Formen) beim Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten erl¨autern
ANHANG
