Analysis Seminar Verallgemeinerte Holomorphie auf Banachr¨aumen

Analysis Seminar

Verallgemeinerte Holomorphie auf Banachr¨aumen

Nathanael Skrepek Wien, 25. M¨ arz 2014

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Polynome 1

2.1 Multilineare Abbildungen . . . 1 2.2 m-homogene Polynome . . . 3

3 Holomorphe Abbildungen 4

3.1 Potenzreihen . . . 4 3.2 Holomorphie . . . 5

4 Cauchysche Integralformeln 7

5 Schwache Holomorphie 9

6 Endliche Holomorphie 14

1 EINLEITUNG 1

1 Einleitung

Diese Arbeit behandelt den Holomorphiebegriff verallgemeinert f¨ur Funktionen von normierten Vektorr¨aumen in normierte Vektorr¨aume. Dabei werden nur Vektorr¨aume ¨uber dem Skalark¨orperCbetrachtet. Das Ziel ist die Holomorphie- Eigenschaft einer Funktion von irgendeinem normierten Raum auf Holomorphie von Funktionen vonCⁿ nach Cherunterzubrechen

Als ersten werden Polynome von normierten Vektorr¨aumen in normierte Vektorr¨aume vorgestellt, damit sp¨ater Potenzreihen eingef¨uhrt werden k¨onnen und somit eine Verallgemeinerung f¨ur analytische Funktionen formuliert werden kann. F¨ur Funktionen aufCist bekanntlich holomorph ¨aquivalent zu analytisch.

Daher wird eine Verallgemeinerung f¨ur analytisch eingef¨uhrt und holomorph als analytisch definiert.

2 Polynome

2.1 Multilineare Abbildungen

2.1. Definition. SeienE1, E2, . . . , Em, F m∈Nnormierte R¨aume, dann nennt man eine Abbildung A:Qm

i=1Ei→F m-linear, falls die Abbildung A(a)i:Ei→F

x7→A(a₁, . . . , a_i−1, x, a_i+1, . . . , a_m) f¨ur allea∈Qm

i=1Ei und f¨ur allei∈ {1, . . . , m}linear ist.

2.2. Definition. F¨urm∈NseienE1, E2, . . . , Em, F normierte R¨aume. Dann bezeichnetLa(E₁, . . . , E_m;F) den Vektorraum, derm-linearen Abbildungen von Qm

i=1E_i nachF.

Der Unterraum der beschr¨ankten m-linearen Abbildungen wird durch L(E₁, . . . , E_m;F) beschrieben, wobei A ∈ L_a(E₁, . . . , E_m;F) genau dann be- schr¨ankt ist, wenn

kAk := sup

x16=0,...,xm6=0

kA(x1, . . . , xm)k_F kx₁k_E

1· · · kx_mk_E

m

= sup

kx1k≤1,...,kxmk≤1

kA(x1, . . . , xm)k_F endlich ist.

2.3. Bemerkung. Wie es das Symbol schon erahnen l¨asst, beschreibtkAk tat- s¨achlich eine Norm auf L(E₁, . . . , E_m;F). Wie f¨ur lineare Abbildungen ist A genau dann stetig, wennkAk endlich ist.

Beweis k0k= 0 folgt unmittelbar aus der Definition. Wenn A6= 0, dann folgt auchkAk 6= 0, nachdem es ein (x1, . . . , xm) gibt, sodassA(x1, . . . , xm)6= 0. F¨ur λ∈Cgilt

kλAk = sup

kx1k≤1,...,kxmk≤1

kλA(x1, . . . , xm)k_F

=|λ| · sup

kx1k≤1,...,kxmk≤1

kA(x1, . . . , x_m)k_F =|λ| kAk

2 POLYNOME 2

F¨urA, B∈ L(E₁, . . . , E_m;F) gilt wegen der Dreiecksungleichung f¨urk.k_F kA+Bk = sup

kx1k≤1,...,kxmk≤1

kA(x1, . . . , x_m) +B(x₁, . . . , x_m)k_F

≤ sup

kx1k≤1,...,kxmk≤1

kA(x1, . . . , xm)k_F+ sup

kx₁k≤1,...,kx_mk≤1

kB(x1, . . . , xm)k_F

=kAk+kBk

SeikAkbeschr¨ankt: F¨ur (x₁, . . . , x_m)∈Qm

i=1E_iund eine Folge (yⁿ₁, . . . , yⁿ_m)_n∈N, (y₁ⁿ, . . . , yⁿ_m)∈Qm

i=1E_if¨ur jedesn∈N, die gegen (0, . . . ,0) konvergiert bez¨uglich der Produktopologie (bzw. Maxiumumsnorm), gilt

kA(x1, . . . , x_m)−A(x₁+yⁿ₁, . . . , x_m+y_mⁿ)k_F

=kA(x1, . . . , xm)−A(x1, . . . , xm)−A(y₁ⁿ, x2+y₂ⁿ, . . . , xm+yⁿ_m)

−A(x₁, yⁿ₂, x₃+y₃ⁿ, . . . , x_m+y_mⁿ)− · · · −A(x₁, . . . , x_m−1, y_mⁿ)k_F

≤ kA(y₁ⁿ, x2+y₂ⁿ, . . . , xm+yⁿ_m)k_F +kA(x1, y₂ⁿ, x3+y₃ⁿ, . . . , xm+yⁿ_m)k_F +· · ·+kA(x1, . . . , x_m−1, yⁿ_m)k_F

≤ kAk kyⁿ₁k_Ekx2+yⁿ₂k_E· · · kxm+y_mⁿk_E

+kAk kx1k_Ekyⁿ₂k_Ekx3+yⁿ₃k_E· · · kxm+y_mⁿk_E +· · ·+kAk kx₁k_E· · · kx_m−1k_Eky_mⁿk_E

F¨ur ein geeignet großesC >0 erh¨alt man

≤CkAk

m

X

i=1

kyⁿ_ik_E−−−→^n∈N 0.

Also ist A stetig bei (x1, . . . , xm)

Ist umgekehrt A stetig, dann existiert zu= 1 einδ >0, sodass kA(x1, . . . , xm)k ≤ 1 f¨ur alle (x1, . . . , xm) mit maxi=1...mkxik_E

i ≤ δ. Diese Bedingung ist sicherlich f¨ur (δ_kx^x1

1k, . . . , δ_kx^xm

mk) erf¨ullt. Also gilt

A δ x1

kx1k_E

1

, . . . , δ xm

kxmk_E

m

_F

≤1

bzw.

A x₁ kx1k_E

1

, . . . , x_m kxmk_E

m

_F

≤ 1 δ^m, womitkAk beschr¨ankt ist.

q 2.4. Definition. F¨ur E1 = E2 = · · · = Em wird der Raum der m-linearen Abbildungen vonE^mnachF alsLa(^mE;F) geschrieben.

Weiters bezeichen wir den Unterraum, der symmetrischenm-linearen Abbil- dungen alsLas(^mE;F), d.h.

Las(^mE;F) =

A∈ La(^mE;F) :A(x1, . . . , xm) =A(x_σ(1), . . . , x_σ(m))∀σ∈Sm , wobei Smf¨ur die Menge aller Permutationen von{1, . . . , m}steht.

2 POLYNOME 3

2.5. Bemerkung. Jedes A ∈ L_a(^mE;F) steht in Beziehung zu einem A_s ∈ L_as(^mE;F). Die symmetrische AbbildungA_s wird Symmetrisierung vonA ge- nannt und hat folgende Gestalt

As(x1, . . . , xm) = 1 m!

X

σ∈Sm

A(xσ(1), . . . , xσ(m)).

Mit A ist klarerweise auch A_s beschr¨ankt. Falls A bereits symmetrisch war, stimmtA mitA_s ¨uberein.

2.2 m-homogene Polynome

2.6. Definition. F¨ur m ∈N wird eine AbbildungP : E → F m-homogenes Polynom von E nach F genannt, wenn es ein A ∈ La(^mE;F) gibt, sodass P(x) =Ax^m(=A(x, . . . , x)) f¨ur allex∈E. F¨ur diese Beziehung schreibt man P = ˆA.

2.7. Bemerkung. AlsPa(^mE;F) bezeichnen wir die Menge allerm-homogenen Polynome. Diese Menge bildet mit punktweiser Addition und punktweiser Ska- larmultiplikation einen Vektorraum.

2.8. Bemerkung. Wenn A ∈ L_a(^mE;F) und A_s ist die Symmetriesierung von A, dann gilt ˆA= ˆA_s

Beweis

Aˆs(x) =As(x, . . . , x) = 1 m!

X

σ∈Sm

A(x, . . . , x) = 1

m!m!A(x, . . . , x) = ˆA(x) q 2.9. Proposition. F¨ur m ∈ N, m ≥1, A ∈ L_as(^mE;F) und P = ˆA gilt die Polarformel

A(x1, . . . , xm) := 1 2^mm!

X

_i=±1 1≤i≤m

1·2· · ·mP(1x1+· · ·+mxm).

Den Beweis findet man in [5, Theorem 1.10]

2.10. Bemerkung. Insbesondere stellt A 7→ Aˆ eine lineare Bijektion zwischen Las(^mE;F) undPa(^mE;F) her.

2.11. Definition. F¨ur m ∈ N wird eine AbbildungP : E → F stetiges m- homogenes Polynom von E nach F genannt, wenn es einA ∈ L(^mE;F) gibt, sodass P= ˆA.

Zus¨atzlich l¨asst sich eine Norm aufP(^mE;F) definieren durch kPk := sup

x∈E,x6=0

kP(x)k

kxk = sup

x∈E,kxk≤1

kP(x)k

2.12. Proposition.

3 HOLOMORPHE ABBILDUNGEN 4

(i) Die Abbildung

ˆ : L(^mE;F)→ P(^mE;F) A7→Aˆ

ist linear, surjektiv und stetig (ii) Die Abbildung

ˆ : Ls(^mE;F)→ P(^mE;F) A7→Aˆ

ist ein Vektorraumisomorphismus und ein Hom¨oomorphismus, wobei kAk ≤ kAk ≤ˆ m^m

m!kAkˆ Den Beweis findet man in [1, Proposition 1.3]

3 Holomorphe Abbildungen

3.1 Potenzreihen

3.1. Definition. Eine Potenzreihe von E nach F (beides normierte Vek- torr¨aume) um einen Punktξist eine Reihe inx∈E der Gestalt

∞

X

m=0

Am(x−ξ)^m,

wobei Am ∈ Ls(^mE;F) f¨ur alle m ∈ N. ¨Aquivalent l¨asst sich das auch durch Polynome formulieren. F¨ur Pm = ˆAm ∈ P(^mE;F) erhalten wir die selbe Po- tenzreihe in der Form

∞

X

m=0

Pm(x−ξ).

DieAmbzw.Pmwerden in Bezug auf die Potenzreihe als Koeffizienten bezeich- net.

3.2. Definition. Als Konvergenzradius einer Potenzreihe umξbezeichnet man die gr¨oßte reelle Zahl r, sodass die Reihe inB_ρ(ξ) gleichm¨aßig konvergiert f¨ur alle ρ, 0≤ρ < r.

Ist der Konvergenzradius gr¨oßer als 0, dann sagt man, dass die Reihe gleich- m¨aßig konvergiert.

3.3. Satz. Seien (Am)_m∈N und (Bm)_m∈N Koeffizienten von Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien R1 undR2 – alsoAm, Bm∈ Ls(^mE;F)– und gilt

∞

X

m=0

Am(x−ξ)^m=

∞

X

m=0

Bm(x−ξ)^m

3 HOLOMORPHE ABBILDUNGEN 5

f¨ur jedesx∈B_ρ(ξ)f¨ur einρ >0, dann folgt A_m=B_m f¨ur allem∈N. Beweis Angenommen es w¨are nicht so, dann existiert ein m0 ∈ N und ein (z1, . . . , zm₀) ∈E^m0, sodass Am₀(z1, . . . , zm₀)6= Bm₀(z1, . . . , zm₀). Wegen der Symmetrie und der Polarformel folgt, dass es auch ein x0 ∈ E gibt, sodass Am₀(x0)^m0 6= Bm₀(x0)^m0. Dieses x0 kann wegen der m0-Linearit¨at normiert gew¨ahlt werden. Nun betrachten wir die Gleichheit

∞

X

m=0

A_m(λx₀)^m=

∞

X

m=0

B_m(λx₀)^m,

welche f¨ur alleλ∈Br(0)⊆C, mitr= min{ρ, R1, R2}gilt. Aus derm-Linearit¨at erhalten wir

∞

X

m=0

λ^mA_m(x₀)^m=

∞

X

m=0

λ^mB_m(x₀)^m.

AusA_m0(x₀)^m0 6=B_m0(x₀)^m0erhalten wir einen Widerspruch zur Eindeutigkeit der Potenzreihen mit komplexen Variablen (siehe [3, Korollar 6.7.9]).

q 3.4. Proposition. SeiE ein normierter Vektorraum undF ein Banachraum, dann l¨asst sich der Konvergenzradiusreiner PotenzreiheP∞

m=0P_m(x−ξ)durch

r= 1

lim sup_m→∞kP_mk^m1 bestimmen.

Den Beweis findet man in [1, Proposition 2.1]

3.5. Korollar. F¨ur die PotenzreiheP∞

m=0A_m(x−ξ)^m=P∞

m=0P_m(x−ξ)um ξ sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

(i) Die Reihe konvergiert gleichm¨aßig.

(ii) Die Folge(kPmk^m1)_m∈N ist beschr¨ankt.

(iii) Die Folge (kAmk^m1)_m∈N ist beschr¨ankt.

3.2 Holomorphie

3.6. Definition. Seien E, F normierte Vektorr¨aume undU ⊆E offen. Eine Funktion f : U → F wird holomorph genannt, wenn es f¨ur jedes ξ ∈ U eine Folge (A_m)_m∈N,A_m∈ L_s(^mE;F), m∈Nund eine reelle Zahlρ >0 gibt, sodass Bρ(ξ)⊆U und die ReiheP∞

m=0Am(x−ξ)^m gleichm¨aßig f¨ur x∈Bρ(ξ) gegen f(x) konvergiert.

Der Raum aller holomorphen Funktionen von U nach F wird als H(U, F) geschrieben.

3.7. Bemerkung. Aquivalent kann man auch eine Folge (P¨ m)_m∈N mit Pm ∈ P(^mE;F) w¨ahlen, sodassf(x) =P∞

m=0Pm(x−ξ) gleichm¨aßig auf einer kleinen

3 HOLOMORPHE ABBILDUNGEN 6

Kugel um ξ. Die Reihe wird auch Taylorreihe vonf um den Punktξ genannt.

Klarerweise erh¨alt manP_mdurch ˆA_mund umgekehrtA_mdurch die Polarformel angewandt auf Pm.

3.8. Definition. F¨urf ∈ H(U, F),ξ∈UseiP∞

m=0Am(x−ξ)^m=P∞

m=0Pm(x−

ξ) die Taylorreihe vonf umξ. Dann definieren wir d^mf(ξ) =m!·A_m∈ L_s(^mE;F)

dˆ^mf(ξ) =m!·Aˆm=m!·Pm∈ P(^mE;F)

als Differential der Ordnungmvonf beiξ. Diese Zuordnung ist wegen Satz 3.3 eindeutig. Die Taylorreihe kann jetzt geschrieben werden als

f(x) =

∞

X

m=0

1

m!d^mf(ξ)(x−ξ)^m, bzw. f(x) =

∞

X

m=0

1 m!

dˆ^mf(ξ)(x−ξ).

3.9. Proposition.SeienE, F normierte Vektorr¨aume undU ⊆Eoffen.H(U, F) ist ein Unterraum von den stetigen Funktionen vonUnachF, also vonC(U;F).

Beweis F¨urf ∈ H(U, F) w¨ahleξ∈U beliebig undρ >0, sodass die Taylorreihe vonf beiξgleichm¨aßig aufBρ(ξ) konvergiert. Weil die Taylorreihe gleichm¨aßig konvergiert, folgt

1

m!dˆ^mf(ξ)

1/m

≤C f¨ur alle m∈N, m≥1. F¨ur m= 0 gilt

1

0!dˆ⁰f(ξ) =f(ξ) Also erhalten wir kf(x)−f(ξ)k ≤

∞

X

m=1

C^mkx−ξk^m= Ckx−ξk 1−Ckx−ξk

f¨urkx−ξk < ρundρC <1. W¨ahle man ρn¨otigenfalls noch kleiner, so erh¨alt man die Stetigkeit vonf beiξ.

q 3.10. Proposition. Seien E,F andG normierte Vektorr¨aume, U ⊆F offen, f ∈ H(U, G), µ ∈ L(E;F) und a ∈ F. Dann schreiben wir µ_a f¨ur die stetige affine Abbildung von E nachF mit µ_a(x) =µ(x) +a. Falls V =µ⁻¹_a (U)nicht leer ist, so gilt f◦µ_a∈ H(V, G)und f¨ur jedesζ∈V

d^m(f◦µa)(η) =d^mf[µa(η)]◦µ^m, dˆ^m(f◦µa)(η) = ˆd^mf[µa(η)]◦µ, wobei µ^m:E^m→F^mfolgendermaßen definiert ist

µ^m(x1, . . . , xm) = (µ(x1), . . . , µ(xm)), (x1, . . . , xm)∈E^m.

4 CAUCHYSCHE INTEGRALFORMELN 7

Beweis Man sieht einfach ein, dass f¨urA∈ L_s(^mF;G) die KompositionA◦µ^m inLs(^mE;G) liegt undA\◦µ^m= ˆA◦µ∈ P(^mE;G) gilt. Daher folgt die zweite Gleichung aus der ersten.

F¨urξ=µa(ζ),ζ∈V wissen wir, dassP∞

m=1Am(t−ξ)^m gleichm¨aßig gegen f(t) konvergiert und zwar in einer Umgebungen von ξ =µa(ζ), wobei Am =

1

m!d^mf(ξ).

f[µa(z)] =

∞

X

m=1

Am[µa(z)−µa(ζ)]^m=

∞

X

m=1

Am[µ(z)−µ(ζ)]^m

=

∞

X

m=1

Am[µ(z−ζ)]^m=

∞

X

m=1

Am◦µ^m(z−ζ)^m

konvergiert gleichm¨aßig in einer UmgebungU_ζ ⊆V. Daher folgtf◦µ_a∈ H(V, G) und

1

m!d^m(f◦µ_a)(η) = 1

m!d^mf[µ_a(η)]◦µ^m.

q

4 Cauchysche Integralformeln

4.1. Satz. Seien E, F normierte Vektorr¨aume, U ⊆ E offen, f ∈ H(U, F), x, ξ∈U undρ >1, sodass (1−λ)ξ+λx∈U f¨ur alle λ∈C,|λ| ≤ρ. Dann gilt

f(x) = 1 2πi

Z

|λ|=ρ

f[(1−λ)ξ+λx]

λ−1 dλ.

Beweis Aus [4, Satz 11.5.13] wissen wir:

F¨ur ein nicht leeres offenesV ⊆C, einz∈V und einδ >0, sodass ¯B_δ(z)⊆ V, gilt f¨ur jedesg∈ H(V, F) undτ∈B_δ(z)

g(τ) = 1 2πi

Z

|λ−z|=δ

g(λ) λ−τ dλ.

Erf¨ullen nunξ, x, ρdie Vorraussetzungen, so istV :={λ∈C: (1−λ)ξ+λx∈ U} ⊆ C offen, ¯Bρ(0) ⊆ V und 1 ∈ Bρ(0). Weiters setzen wir g : V → F, g(λ) =f[(1−λ)ξ+λx]. Laut 3.10 (mitµ_ξ(λ) =ξ+µ(λ) undµ(λ) =λ·(x−ξ)) giltg=f ◦µ_ξ ∈ H(V, F). F¨urg an der Stelle 1 erhalten wir

f(x) =g(1) = 1 2πi

Z

|λ|=ρ

g(λ)

λ−1dλ= 1 2πi

Z

|λ|=ρ

f[(1−λ)ξ+λx]

λ−1 dλ.

q 4.2. Bemerkung. Zu jedemξfindet man einxbzw. zu jedemxeinξ, sodass die Voraussetzungen aus dem Satz erf¨ullt sind, indem man diese in einer ausreichend kleinen Kugel umξbzw.xw¨ahlt.

4 CAUCHYSCHE INTEGRALFORMELN 8

4.3. Satz. Seien E, F normierte Vektorr¨aume, U ⊆ E offen, f ∈ H(U, F), ξ∈U,x∈E undρ >0, sodass ξ+λx∈U f¨ur jedesλ∈C,|λ|< ρ. Dann gilt

1 m!

dˆ^mf(ξ)(x) = 1

m!d^mf(ξ)x^m= 1 2πi

Z

|λ|=ρ

f(ξ+λx) λ^m+1 dλ.

Beweis F¨ur ein nicht leeres offenesV ⊆C, eing∈ H(V, F), 0< r₁< r₂,a∈V, sodass {λ∈C:r₁≤ |λ−a| ≤r₂|} ⊆V, gilt bekanntlich immer

Z

|λ−a|=r1

g(λ)dλ= Z

|λ−a|=r2

g(λ)dλ .

Nun ist V :={λ∈ C : λ 6= 0, ξ+λx ∈ U} eine offene Teilmenge von C und B¯ρ(0)\{0} ⊆ V. Die Funktion g : V → F definieren wir als g(λ) = ^f(ξ+λx)_λm+1 . Wegen Proposition 3.10 giltg∈ H(V, F). F¨ur 0< < ρfolgt{λ∈C:≤ |λ| ≤ ρ} ⊆V, womit f¨ur allem∈N

Z

|λ|=

f(ξ+λx) λ^m+1 dλ=

Z

|λ|=ρ

f(ξ+λx) λ^m+1 dλ . Die Taylorreihe von f bei ξ, P∞

l=0Pl(z−ξ), konvergiert gleichm¨aßig gegen f(z) in Bσ(ξ), f¨ur ein σ > 0. F¨ur x 6= 0, w¨ahle, 0 < < ρ, so klein, dass die Taylorreihe P∞

l=0Pl(z−ξ) in der abgeschlossenen Kugel ¯B_kxk gleichm¨aßig gegen f(z) konvergiert. Wenn wir z =ξ+λx, λ ∈ C,|λ| ≤ setzen, so folgt kz−ξk=|λ| kxk ≤kxk und weiters

Z

|λ|=ρ

f(ξ+λx) λ^m+1 dλ=

Z

|λ|=

∞

X

l=0

Pl(z−ξ) 1

λ^m+1dλ= Z

|λ|=

∞

X

l=0

λ^lPl(x) 1 λ^m+1 dλ Nachdem die Reihe f¨ur|λ|=gleichm¨aßig konvergiert und wegen der Eindeu- tigkeit der ReihendarstellungPm= _m!¹dˆ^mf(ξ)(x) gilt

Z

|λ|=ρ

f(ξ+λx) λ^m+1 dλ=

∞

X

l=0

Pl(x) Z

|λ|=

1

λ^m+1−ldλ= 2πiPm(x)

= 2πi 1 m!

dˆ^mf(ξ)(x).

F¨urx= 0 steht auf beiden Seiten 0.

q 4.4. Proposition.Seif ∈ H(U, F),ξ∈U,ρ >1undx∈U, sodass(1−λ)ξ+ λx∈U f¨ur alleλ∈C,|λ| ≤ρ, dann gilt f¨ur jedes m∈N

f(x)−

m

X

k=0

1 k!

dˆ^kf(ξ)(x−ξ) = 1 2πi

Z

|λ|=ρ

f[(1−λ)ξ+λx]

λ^m+1(λ−1) dλ.

Beweis F¨urλ∈C,06=λ6= 1 gilt 1

λ−1 =

m

X

k=0

1

λ^k+1 + 1 λ^m+1(λ−1).

5 SCHWACHE HOLOMORPHIE 9

Multipliziert man beide Seiten mit _2πi¹ f[(1−λ)ξ+λx] und integriert ¨uber die Kreislinie|λ|=ρ, so erh¨alt man

1 2πi

Z

|λ|=ρ

f[(1−λ)ξ+λx]

λ−1 dλ=

m

X

k=0

1 2πi

Z

|λ|=ρ

f[(1−λ)ξ+λx]

λ^k+1 dλ+ 1 2πi

Z

|λ|=ρ

f[(1−λ)ξ+λx]

λ^m+1(λ−1) dλ.

Aus Satz 4.1 wissen wir bereits, dass die linke Seite gleich f(x) ist. Wenn wir die Integrale in der Summe schreiben als

1 2πi

Z

|λ|=ρ

f[(ξ+λ(x−ξ)]

λ^k+1 dλ= 1 k!

dˆ^kf(ξ)(x−ξ), erhalten wir die Aussage, wobei die letzte Gleichheit aus Satz 4.3 folgt.

q 4.5. Korollar. F¨urf ∈ H(U, F),m∈N,ξ∈U undr >0, sodassB¯r(ξ)⊆U, dann gilt f¨urx∈B_r(ξ)

f(x)−

m

X

l=0

1 l!

dˆ^lf(ξ)(x−ξ)^l

≤ kx−ξk^m+1

r^m(r− kx−ξk) sup

kt−ξk=r

kf(t)k.

Beweis F¨urx=ξsteht auf beiden Seiten 0. Also sei im Folgendemx6=ξund ρ= _kx−ξk^r >1. Außerdem ist (1−λ)ξ+λx∈U f¨ur λ∈C,|λ| ≤ρ. Daher l¨asst sich Proposition 4.4 anwenden:

f(x)−

m

X

k=0

1 k!

dˆ^kf(ξ)(x−ξ)

=

1 2πi

Z

|λ|=ρ

f[(1−λ)ξ+λx]

λ^m+1 dλ

≤ 1

ρ^m(ρ−1) sup

|λ|=ρ

kf[(1−λ)ξ+λx]k. Aus k(1−λ)ξ+λx−ξk =|λ| kx−ξk=ρkx−ξk =rf¨ur|λ|=ρfolgt

sup

|λ|=ρ

kf[(1−λ)ξ+λx]k ≤ sup

kt−ξk=r

kf(t)k, wodurch wir insgesamt

f(x)−

m

X

k=0

1 k!

dˆ^kf(ξ)(x−ξ)

≤ 1

ρ^m(ρ−1) sup

kt−ξk=r

kf(t)k erhalten. Wegen ρ=_kx−ξk^r folgt die Aussage.

q

5 Schwache Holomorphie

Mit dem Satz, der hier vorgestellt wird, l¨asst sich die Holomorphie einer Funkti- on immer auf die Holomorphie von Funktionen mit ZielbereichCzur¨uckf¨uhren.

5 SCHWACHE HOLOMORPHIE 10

5.1. Definition. Eine Funktion f : U → F wird lokal beschr¨ankt bei x∈ U genannt, wenn es eine Umgebung V von xgibt, sodass f(V) beschr¨ankt inF ist, also wennf(V)⊆Br(0) f¨ur einr >0.

f wird lokal beschr¨ankt in U genannt, falls f in jedem Punkt von U lokal beschr¨ankt ist.

5.2. Lemma. SeiM ein metrischer Raum,F ein normierter Vektorraum und f :M →F, dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

(i) f ist lokal beschr¨ankt (inM)

(ii) f ist beschr¨ankt in jeder kompakten TeilmengeK⊆M Beweis (i)⇒(ii):

Laut (i) gibt es f¨ur jedes x∈M eine offene Menge Vx ⊆M mit f(Vx) ist beschr¨ankt. SeiK⊆M kompakt Dann ist{Vx:x∈K}eine offene ¨Uberdeck- ung vonK. Daher findet man aufgrund der Kompaktheit von K eine endliche Teil¨uberdeckungK⊆Sn

i=1Vx_i. Wegen f(K)⊆f(

n

[

i=1

V_xi) =

n

[

i=1

f(V_xi)

und weil die endliche Vereinigung beschr¨ankter Mengen wieder beschr¨ankt ist, ist auchf(K) beschr¨ankt.

(i)⇐(ii):

W¨aref beiξ nicht lokal beschr¨ankt, so g¨abe es f¨ur jede Kugel B1

m(ξ) einxm

aus dieser Kugel, sodass kf(xm)k > m. Die Folge (xm)_m∈N konvergiert nach Konstruktion gegen ξ. Daher ist die Menge

K:={xm:m∈N} ∪ {ξ}

kompakt, aberf(K) nicht beschr¨ankt. Denn f¨ur jedesr >0 existiert einm∈N, sodass kf(xm)k > m > r. Das widerspricht der Vorraussetzung (ii).

q 5.3. Satz.Sei F ein Banachraum, E ein normierter Raum, U ⊆E offen und Ψ⊆F⁰ mit der Eigenschaft

Y ⊆Fbeschr¨ankt ⇔ψ(Y)⊆Cbeschr¨ankt ∀ψ∈Ψ. (1) Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent

(i) f ∈ H(U, F)

(ii) ψ◦f ∈ H(U,C)f¨ur alleψ∈Ψ

Beweis (i)⇒(ii) Nachdem f holomorph ist, l¨asst es sich umξin eine Taylor- reihe entwickeln, die aufB_ρ(ξ) gleichm¨aßig konvergiert.

f(x) =

∞

X

m=0

1

m!d^mf(ξ)(x−ξ)

5 SCHWACHE HOLOMORPHIE 11

Daψlinear und stetig ist, gilt ψ[f(x)] =ψ

^∞ X

m=0

1

m!d^mf(ξ)(x−ξ)

=

∞

X

m=0

1 m!

ψ◦d^mf(ξ) (x−ξ), wobei wegen der gleichm¨aßigen Stetigkeit vonψdie Reihe auch gleichm¨aßig auf Bρ(ξ) konvergiert.

(i)⇐(ii) wird in mehreren Schritten gezeigt:

a) Als erstes zeigen wir, dass Ψ punktetrennend ist:

Angenommen nicht, dann g¨abe zwei es verschiedene Punktex, y∈F, x6=y, sodassψ(x) =ψ(y) f¨ur alleψ∈Ψ. Daraus folgtψ(x−y) = 0 f¨ur alleψ∈Ψ.

Die MengeC·(x−y)⊆F ist sicher unbeschr¨ankt, wird jedoch von allenψ auf 0 abgebildet. Das widerspricht (1).

b) F¨ur jedesd≥0 gibt es einc≥0, sodass f¨ur alley∈Y giltkyk ≤cd, wobei Y :={y∈F:kψ(y)k ≤dkψk ∀ψ∈Ψ}.

Y ist nicht leer, da 0∈Y. F¨ur jedesψ∈Ψ gilt sicher sup_y∈Y kψ(y)k ≤dkψk. Somit istY ⊆F laut (1) beschr¨ankt. Daher kannc:=d⁻¹sup_y∈Y kyk <∞ gew¨ahlt werden, wennd >0. F¨urd= 0 kanncbeliebig gew¨ahlt werden.

c) f ist beschr¨ankt auf jedem kompaktenK⊆U:

Nachdem ψ◦f holomorph und daher stetig ist, folgt dass (ψ◦f)(K) = ψ(f(K)) beschr¨ankt ist f¨ur alle ψ∈ Ψ. Das ist laut (1) ¨aquivalent zur Be- schr¨anktheit vonf(K)⊆F. Wegen Lemma 5.2 istf lokal beschr¨ankt.

d) f ist stetig inU:

W¨ahleξ∈U beliebig. Dazu gibt es ein r >0, sodass Br(ξ)⊆U. Nun folgt aus Korollar 4.5 mitm= 0 f¨urx∈Br(ξ)

|ψ◦f(x)−ψ◦f(ξ)| ≤ kx−ξk

r− kx−ξk sup

kt−ξk=r

kψ◦f(t)k

≤ kx−ξk

r− kx−ξk kψk sup

kt−ξk=r

kf(t)k

Daf laut c) lokal beschr¨ankt ist, kann man r >0 gegebenfalls kleiner ma- chen, sodass sup_kt−ξk=rkf(t)k=d <∞. So erhalten wir:

|ψ(f(x)−f(ξ))| ≤ kx−ξk r− kx−ξkdkψk bzw.

ψr− kx−ξk kx−ξk

f(x)−f(ξ)

≤dkψk

Aus b) folgt, dass es einc≥0 gibt mit

r−kx−ξk kx−ξk

f(x)−f(ξ)

≤cd. Daher:

kf(x)−f(ξ)k ≤ kx−ξk r− kx−ξkcd Also istf beiξstetig.

5 SCHWACHE HOLOMORPHIE 12

e) f ist holomorph inU:

W¨ahleξ∈U wieder beliebig. Wir definieren f¨ur jedesm∈Neine Abbildung Pm : E → F folgendermaßen: F¨ur x ∈ E w¨ahlen wir ein ρ > 0, sodass ξ+λx∈U f¨ur jedes λ∈C,|λ|< ρund setzen

Pm(x) = 1 2πi

Z

|λ|=ρ

f(ξ+λx) λ^m+1 dλ.

Das Integral existiert und ist unabh¨angig vom gew¨ahltenρ. Sind n¨amlichρ1

undρ2 zwei positive reelle Zahlen, sodassξ+λx∈U f¨ur|λ| ≤max{ρ1, ρ2} und setzt man

P_m,1:= 1 2πi

Z

|λ|=ρ₁

f(ξ+λx)

λ^m+1 dλ, P_m,2:= 1 2πi

Z

|λ|=ρ₂

f(ξ+λx) λ^m+1 dλ, dann gilt wegen der Cauchyschen Integralformel (Satz 4.3) f¨ur alle ψ ∈ Ψ

1

m!dˆ^m(ψ◦f)(ξ)(x) =ψ(Pm,1(x)) =ψ(Pm,2(x)). Wegen der punktetrennen- den Eigenschaft von Ψ folgt die Gleichheit der Integrale.

Als n¨achstes zeigen wir, dass P_m stetig ist. Dazu w¨ahle x₀ ∈ E beliebig.

Nachdem die Abbildung (λ, x)∈C×E7→ξ+λx∈E stetig bei (0, x₀) ist, gibt es einρ >0 sodass ξ+λx ∈U f¨ur alle λ∈Cund f¨ur alle x∈E mit

|λ| ≤ ρ und kx−x₀k ≤ ρ. Daher kann f¨ur P_m(x) und P_m(x₀) dasselbe ρ verwendet werden. Aus

kPm(x)−Pm(x0)k= 1 2π

Z

|λ|=ρ

f(ξ+λx)−f(ξ+λx0)

λ^m+1 dλ

≤ 1 ρ^m sup

|λ|=ρ

kf(ξ+λx)−f(ξ+λx0)k folgt wegen der Stetigkeit vonf die vonPmbeix0.

Jetzt brauchen wir noch f¨ur jedes m∈N einAm∈ Las(^mE;F) mit ˆAm= Pm. F¨urm= 0 folgt mit Satz 4.3,ψ(P0(x)) =ψ(f(ξ)). Also istP0=f(ξ)∈ P(⁰E;F). F¨urm≥1 definieren wir Ammit Hilfe der Polarformel

Am(x1, . . . , xm) := 1 2^mm!

X

_i=±1 1≤i≤m

1·2· · ·mPm(1x1+· · ·+mxm)

Dieser Abbildung ist einfach anzusehen, dass sie symmetrisch ist. Um diem- Linearit¨at zu zeigen, reicht es daher die Linearit¨at in der ersten Komponente

5 SCHWACHE HOLOMORPHIE 13

zeigen. F¨ur jedesψ∈Ψ gilt ψ[Am(x1+x⁰₁, x2, . . . , xm)] =

1 2^mm!

X

i=±1 1≤i≤m

₁·₂· · ·_m(ψ◦P_m)(₁(x₁+x⁰₁) +₂x₂+· · ·+_mx_m) = 1

2^mm!

X

i=±1 1≤i≤m

1·2· · ·m

1 m!

dˆ^m(ψ◦f)(ξ)(1(x1+x⁰₁) +2x2+· · ·+mxm) =

1

m!d^m(ψ◦f)(ξ)((x1+x⁰₁), x2, . . . , xm) = 1

m!d^m(ψ◦f)(ξ)(x1, x2, . . . , xm) + 1

m!d^m(ψ◦f)(ξ)(x⁰₁, x2, . . . , xm) = 1

2^mm!

X

_i=±1 1≤i≤m

1·2· · ·m

1 m!

dˆ^m(ψ◦f)(ξ)(1x1+· · ·+mxm)+

1 2^mm!

X

_i=±1 1≤i≤m

1·2· · ·m

1 m!

dˆ^m(ψ◦f)(ξ)(1x⁰₁+· · ·+mxm) =

ψ[A_m(x₁, x₂, . . . , x_m)] +ψ[A_m(x⁰₁, x₂, . . . , x_m)] = ψ[Am(x1, x2, . . . , xm) +Am(x⁰₁, x2, . . . , xm)]

Jetzt folgt aus der punktetrennenden Eigenschaft von Ψ die Linearit¨at von A_m. Als n¨achstes zeigen wir, dass ˆA_m=P_m, womit P_m∈ P(^mE;F):

ψ( ˆA_m(x)) =ψ(A_m(x, . . . , x))

= 1

2^mm!

X

i=±1 1≤i≤m

₁·₂· · ·_m(ψ◦P_m)((₁+· · ·+_m)x)

= 1

2^mm!

X

i=±1 1≤i≤m

₁·₂· · ·_m 1 m!

dˆ^m(ψ◦f)(ξ)((₁+· · ·+_m)x)

= 1

m!d^m(ψ◦f)(ξ)(x, . . . , x) = 1 m!

dˆ^m(ψ◦f)(ξ)(x) =ψ(Pm(x)) Aus der punktetrennenden Eigenschaft von Ψ folgt wieder, dass ˆAm=Pm. Als letzter Schritt bleibt noch zu zeigen, dass P∞

m=0Pm(x−ξ) in einer Umgebung vonξ gleichm¨aßig gegenf(x) konvergiert.

Nachdem laut c) f lokal beschr¨ankt ist, gibt es ein M > 0 und ein σ >0, sodass ¯B_σ(ξ)⊆U und sup_{kt−ξk≤σ}kf(t)k ≤M. Dazu w¨ahlen wir noch zwei reelle Zahlenρ >1 undr >0, sodassrρ < σ, wodurchB_r(ξ) eine Teilmenge von ¯Bσ(ξ) ist. F¨ur jedesx∈Br(ξ) gilt (1−λ)ξ+λx∈B¯σ(ξ) f¨ur alleλ∈C mit|λ| ≤ρ. Daher l¨asst sich Proposition 4.4 aufψ◦f anwenden:

(ψ◦f)(x)−

m

X

k=0

1 k!

dˆ^kf(ξ)(x−ξ) = 1 2πi

Z

|λ|=ρ

(ψ◦f)[(1−λ)ξ+λx]

λ^m+1 dλ.

6 ENDLICHE HOLOMORPHIE 14

Aus _m!¹ dˆ^m(ψ◦f)(ξ)(x) =ψ(P_m(x) erhalten wir ψ

"

f(x)−

m

X

k=0

Pm(x−ξ)

#

=ψ

"

1 2πi

Z

|λ|=ρ

f[(1−λ)ξ+λx]

λ^m+1 dλ

#

Wegen der punktetrennenden Eigenschaft von Ψ bekommen wir

f(x)−

m

X

k=0

Pm(x−ξ)

=

1 2πi

Z

|λ|=ρ

f[(1−λ)ξ+λx]

λ^m+1 dλ

≤ M

ρ^m(ρ−1) f¨ur jedesx∈Br(ξ). Daher konvergiert die Reihe aufBr(ξ) gleichm¨aßig gegen f.

q 5.4. Bemerkung. Wenn F ein Banachraum ist, so erf¨ullt Ψ :=F⁰ die Vorraus- setzung in Satz 5.3, d.h.

Y ⊆Fbeschr¨ankt ⇔ψ(Y)⊆Cbeschr¨ankt ∀ψ∈Ψ

⇒folgt aus der Stetigkeit derψ.

In der Tat ist die rechte Seite ist ¨aquivalent zu: F¨ur alleψ∈Ψ existiert ein r_ψ ≥ 0, sodass |ψ(Y)| ≤ r_ψ. Wenn man y ∈ Y als Element des Bidualraum auffasst, so erh¨alt man

sup

y∈Y

|y(ψ)|= sup

y∈Y

|ψ(y)| ≤r_ψ

Nun folgt aus dem Satz von Banach-Steinhaus, dass sup_y∈Y kyk ≤C <∞. Also istY beschr¨ankt.

6 Endliche Holomorphie

6.1. Definition. Eine Abbildung f : U → F wird endlich holomorph ge- nannt, wenn f¨ur jeden endlichdimensionalen UnterraumSvonEder nicht leeren Schnitt mitU hat,f

S∩U ∈ H(S∩U, F) gilt.

Die Menge aller endlich holomorpher Abbildungen vonU nach F wird mit H_f(U, F) bezeichnet. F¨urf

S∩U wollen wirf_S schreiben.

6.2. Bemerkung. Zu jedem endlichdimensionalen Unterraum X eines topolo- gischen Vektorraums exisitiert eine isomorphe und gleichzeitig hom¨oomorphe Abbildung ι : Cⁿ → X f¨ur ein n ∈ N. Daher k¨onnte man f¨ur endliche Holo- morphie auch fordern, dass f¨ur jedes solcheι mit ι⁻¹(U)6=∅ die Komposition f◦ι|_ι−1(U)holomorph ist.

6.3. Bemerkung.Die MengeHf(U, F) ist mit der punktweisen Addition und der punktweisen skalar Multiplikation ein komplexer Vektorraum. Außerdem folgt aus Proposition 3.10, dass H(U, F)⊆ Hf(U, F).

F¨urf ∈ Hf(U, F),Sein endlichdimensionaler Unterraum vonEmitS∩U 6=

∅ undξ∈S∩U giltd^mfS(ξ)∈ Ls(^mS;F) und ˆd^mfS(ξ)∈ P(S;F) f¨urm∈N.

6 ENDLICHE HOLOMORPHIE 15

Seien nunS₁⊆S₂zwei endlichdimensionale Unterr¨aume vonEmitS₁∩U 6=

∅ undξ∈S₁∩U dann gilt (siehe Proposition 3.10) d⁰fS₂(ξ) =d⁰fS₁(ξ) =f(ξ), d^mfS₂(ξ)

_S

1 =d^mfS₁(ξ), dˆ^mfS₂(ξ)

_S

1= ˆd^mfS₁(ξ) f¨ur allem∈N.

Daher existiert eine Abbildung δ^mf(ξ) ∈ Las(^mE;F), (bzw. ein ˆδ^mf(ξ) ∈ Pa(^mE;F)), sodass δ^mf(ξ)

_S = d^mfS(ξ) f¨ur alle endlichdimensionalen Un- terr¨aumeS vonE.

6.4. Satz. SeienE, F normierte Vektorr¨aume undf eine Funktion von einem offenen U ⊆E nachF. Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

(i) f ist holomorph in U.

(ii) f ist endlich holomorph und stetig inU.

(iii) f ist endlich holomorph und lokal beschr¨ankt in U.

Beweis Die Implikationen (i)⇒(ii) und (ii)⇒(iii) erh¨alt man sofort. Daher bleibt nur noch (iii)⇒(i) zu beweisen.

Also sei im Folgendenf ∈ Hf(U, F) lokal beschr¨ankt undξ∈U. F¨ur jedes x∈ E definieren wir eine Abbildung tx : C → E als tx(λ) = λx. Klarerweise ist tx ∈ L(C;E). Als Tx : C → E definieren wir die affine Abbildung (tx)ξ

wie in Propostion 3.10, also T_x(λ) = (t_x)_ξ(λ) = ξ+λx. Die Menge V_x :=

{λ ∈ C : ξ+λx ∈ U} ist offen und enth¨alt die 0. Wenn wir den h¨ochstens zweidimensionalen Unterraum S_x von E der von x und ξ aufgespannt wird betrachten, dann erhalten wirT_x(V_x)⊆U∩S_x.

V_x⊆C−−→^Tx U∩S_x−→^f F

Nachdem S_x ein endlichdimensional ist und f in H_f(U, F) liegt, ist die Ein- schr¨ankung vonf aufS_xholomorph, alsof_Sx ∈ H(U∩S_x, F). Mit Proposition 3.10 erkennen wir fS_x◦Tx∈ H(Vx, F), wobei

(fS_x◦Tx)(λ) =

∞

X

m=0

1 m!

dˆ^m(fS_x◦Tx)(0)(λ) =

∞

X

m=0

1 m!

dˆ^mfS_x[Tx(0)]◦tx(λ)

=

∞

X

m=0

λ^m m!

dˆ^mfSx(ξ)(x)

F¨ur λ ∈ B¯_rx(0) konvergiert die Reihe gleichm¨aßig, wenn r_x hinreichend klein gew¨ahlt wird. Wenn man die Abbildungen ˆδ^mf(ξ) aus Bemerkung 6.3 betrach- tet, erh¨alt man

f(ξ+λx) = (f◦Tx)(λ) =

∞

X

m=0

λ^m m!

δˆ^mf(ξ)(x).

Die Reihe konvergiert wieder gleichm¨aßig f¨ur λ ∈ B¯_rx(0) f¨ur ein hinreichend kleinesr_x.

6 ENDLICHE HOLOMORPHIE 16

Nachdemf lokal beschr¨ankt ist, gibt es ein ρ > 0 und ein M > 0, sodass B¯_ρ(ξ)⊆U und sup_{kt−ξk≤ρ}kf(t)k ≤M. F¨urx∈E, kxk ≤1 und|λ| ≤ρfolgt ξ+λx∈U. Daher ist ¯Bρ(0) ={λ∈C:|λ| ≤ρ} ⊆Vx als Teilmenge vonCf¨ur jedesx∈E mitkxk ≤1.

Wegenf◦Tx∈ H(Vx, F) erhalten wir gem¨aß Satz 4.3 1

m!

dˆ^m(f◦T_x)(0)(1) = 1 2πi

Z

|λ|=ρ

f◦T_x(0 +λ·1) λ^m+1 dλ f¨ur jedesx∈E mitkxk ≤1 und m∈N. Daher folgt

1 m!

δˆ^mf(ξ)(x) = 1 m!

dˆ^mfS_x(ξ)(x) = 1 m!

dˆ^m(f ◦Tx)(0)(1)

= 1 2πi

Z

|λ|=ρ

f(ξ+λx) λ^m+1 dλ

f¨ur jedes x ∈ E mit kxk ≤ 1 und m ∈ N, womit sich die Norm von ˆδ^mf(ξ) folgendermaßen absch¨atzen l¨asst:

1 m!

δˆ^mf(ξ)

≤ M

ρ^m <∞, m∈N

Also ist ˆδ^mf(ξ) stetig, d.h. ˆδ^mf(ξ)∈ P(^mE;F), f¨ur jedesm∈N. Jetzt bleibt zu zeigen, dass die ReiheP∞

m=0 1

m!ˆδ^mf(ξ)(y−ξ) gleichm¨aßig gegenf(y) konvergiert f¨ur ky−ξk hinreichend klein.

Also w¨ahlen wir σ und r ausR, sodass σ > 1, r > 0 und σr≤ ρ. Daraus erhalten wir ¯B_r(ξ)⊆B¯_ρ(ξ)⊆U. F¨ur einy∈B¯_r(ξ) setzen wirx=y−ξ. Aus den vorherigen Teilen des Beweises wissen wir, dass f ◦T_x ∈ H(Vx, F). Außerdem erh¨alt man wegen der Wahl von x, dass kxk ≤r und daherξ+λx∈U, wenn

|λ| ≤σ.

F¨ur 0 und 1 l¨asst sich Proposition 4.4 auf f ◦Tx mit σanwenden, da (1− ζ)·0 +ζ·1∈Vx f¨ur|ζ| ≤σ. Wir erhalten

(f◦T_y−ξ)(1)−

m

X

k=0

1 k!

dˆ^k(f◦T_y−ξ)(0)(1) = 1 2πi

Z

|λ|=σ

f[(1−λ)ξ+λy]

λ^m+1(λ−1) dλ f¨ur jedesy∈B¯r(ξ) undm∈N, also

f(y)−

m

X

k=0

1 k!

dˆ^kf(ξ)(y−ξ)

=

1 2πi

Z

|λ|=σ

f[(1−λ)ξ+λy]

λ^m+1(λ−1) dλ

≤ M

σ^m(σ−1) Nachdem σ > 1 gew¨ahlt wurde, konvergiert die Reihe gleichm¨aßig f¨ur jedes y∈B¯_r(ξ) gegen f(y)

q

LITERATUR 17

Literatur

[1] Jorge Alberto Barroso. Introduction to Holomorphie, volume 106 ofNorth- Holland Mathematics Studies. Elsevier Science Publishers b.v., Amsterdam, 1985.

[2] Harald Woracek & Michael Kaltenb¨ack & Matrin Bl¨umlinger. Funktional- analysis. Wien, 2012. Vorlesungsskriptum, http://www.asc.tuwien.ac.

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[3] Michael Kaltenb¨ack. Analysis 1 (WS 2011/2012)). Wien, 2011. Vorle- sungsskriptum, http://www.asc.tuwien.ac.at/funkana/skripten/ANA_

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[4] Michael Kaltenb¨ack. Analysis 2 SS 2012. Wien, 2012. Vorlesungsskriptum, http://www.asc.tuwien.ac.at/funkana/skripten/ANA_II_alt.pdf.

[5] Jorge Mujica. Complex analysis in Banach spaces, volume 120 of North- Holland Mathematics Studies. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1986. Holomorphic functions and domains of holomorphy in finite and infi- nite dimensions, Notas de Matem´atica [Mathematical Notes], 107.