Springer-Lehrbuch Masterclass. Eichfeldtheorie. Eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln. von Helga Baum. 1.

Eichfeldtheorie

Eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln von

Helga Baum

1. Auflage

Eichfeldtheorie – Baum

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Thematische Gliederung:

Differentialgeometrie

Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009

Verlag C.H. Beck im Internet:

www.beck.de ISBN 978 3 540 38292 8

Inhaltsverzeichnis: Eichfeldtheorie – Baum

1

Lie-Gruppen und homogene R¨ aume

1.1 Lie-Gruppen und ihre Algebren

Zu den grundlegenden Objekten, die in der Eichfeldtheorie auftreten, geh¨oren Gruppen mit differenzierbarer Struktur. Im ersten Kapitel werden wir einige grundlegende Eigenschaften und Aussagen ¨uber solche Gruppen behandeln, die wir sp¨ater ben¨otigen werden.

Definition 1.1.Eine Lie-Gruppe ist eine algebraische GruppeG, die zus¨atz- lich mit einer differenzierbaren Struktur¹ versehen ist, f¨ur die die Abbildung

G×G−→G

(g, a)−→g·a⁻¹, g, a∈G.

glatt ist.

Viele gut bekannte Gruppen sind Lie-Gruppen. Wir nennen zur Illustration zun¨achst einige Beispiele f¨ur Lie-Gruppen, die h¨aufig vorkommen. Das sind:

1. Der VektorraumRⁿmit der Addition von Vektoren als Gruppenoperation und der durch die Koordinaten gegebenen Mannigfaltigkeitsstruktur.

2. Die Sph¨areS¹:={z∈C| |z|= 1}mit der Multiplikation von komplexen Zahlen als Gruppenoperation und der durch die Einbettung in den R² gegebenen Mannigfaltigkeitsstruktur.

3. Die GruppenGL(n,R) bzw.GL(n,C) als offene Untermannigfaltigkeit des Rⁿ² bzw. desR²ⁿ².

4. Sind G und H zwei Lie-Gruppen, so ist das Gruppenprodukt G×H, versehen mit dem Produkt der differenzierbaren Strukturen, ebenfalls eine Lie-Gruppe.

1 Mit differenzierbarer Struktur meinen wir immer die Struktur einerglatten(d.h.

C^∞) Mannigfaltigkeit. Alle in diesem Buch betrachteten Mannigfaltigkeiten sind glatt. Wir sagen deshalb oft kurz nur ‘Mannigfaltigkeit’.

5. In Kapitel 1.4 werden wir zeigen, dass jede (topologisch) abgeschlosse- ne Untergruppe einer Lie-Gruppe wieder eine Lie-Gruppe ist. Insbeson- dere sind also die Matrizengruppen SL(n,R), SL(n,C), O(n), SO(n), U(n),SU(n),Sp(n),O(p, q),SO(p, q),U(p, q),SU(p, q) undSp(p, q) Lie- Gruppen.

6. In der Riemannschen Geometrie betrachtet man Gruppen von Diffeomor- phismen mit speziellen geometrischen Eigenschaften, z. B. die Gruppe al- ler Isometrien oder die Gruppe aller konformen Abbildungen einer semi- Riemannschen Mannigfaltigkeit. Man kann zeigen, dass auch diese Grup- pen Lie-Gruppen sind.

Definition 1.2.Sei V ein Vektorraum² und [·,·] : V ×V →V eine schief- symmetrische bilineare Abbildung, die die Jacobi-Identit¨at

[[u, v], w] + [[v, w], u] + [[w, u], v] = 0 f¨ur alleu, v, w∈V

erf¨ullt. Dann heißt (V,[·,·]) Lie-Algebra und [·,·] Kommutator oder Lie- Klammer.

Auch hier nennen wir zur Illustration zun¨achst einige Beispiele f¨ur gut be- kannte und h¨aufig auftretende Lie-Algebren:

1. Rⁿ mit [·,·] := 0.

2. R³mit dem durch das Vektorprodukt gegebenen Kommutator:

[v, w] :=v×w.

3. Jede assoziative Algebra (A,·) mit dem Kommutator [a, b] :=a·b−b·a.

Insbesondere ist die AlgebraEnd(V) aller Endomorphismen eines Vektor- raumes bzw. die AlgebraM(n,K) aller (n×n)-Matrizen eine Lie-Algebra.

4. Die spurfreien Matrizen sl(n,R) ={X ∈M(n,R)|Tr(X) = 0}. 5. Die schiefsymmetrischen Matrizen so(n) ={X ∈M(n,R)|X^t=−X}.

6. Der VektorraumX(M) der glatten Vektorfelder einer glatten Mannigfal- tigkeitM mit dem Vektorfeld-Kommutator.

7. Der Vektorraum aller Killingfelder einer semi-Riemannschen Mannigfal- tigkeit mit dem Vektorfeld-Kommutator.

8. Der Vektorraum aller konformen Vektorfelder einer semi-Riemannschen Mannigfaltigkeit mit dem Vektorfeld-Kommutator.

Wir wollen nun jeder Lie-Gruppe G eine endlich-dimensionale reelle Lie- Algebra zuordnen. Dazu f¨uhren wir zun¨achst folgende Bezeichnungen ein. F¨ur ein festes Element g∈Gheißen die Diffeomorphismen

Lg : x∈G−→g·x∈G Linkstranslation, R_g : x∈G−→x·g∈G Rechtstranslation,

αg=Lg◦R⁻¹_g :G−→G innerer Automorphismus.

2 Wir werden in diesem Buch nur reelle und komplexe Vektorr¨aume betrachten.

1.1 Lie-Gruppen und ihre Algebren 3

Ist M eine Mannigfaltigkeit, F : M → M ein Diffeomorphismus und X ∈ X(M) ein Vektorfeld auf M, dann bezeichnedF(X) das durch

dF(X)(x) :=dFF⁻¹(x)X(F⁻¹(x)), x∈M, definierte Vektorfeld. Bekanntlich gilt

dF([X, Y]) = [dF(X), dF(Y)] f¨ur alleX, Y ∈X(M). (1.1) Ein VektorfeldX∈X(G) auf einer Lie-GruppeGheißtlinksinvariant (rechts- invariant), fallsdLg(X) =X (bzw.dRg(X) =X) f¨ur alleg∈Ggilt. Wegen (1.1) ist der Vektorraum

g:={X ∈X(G)|X ist linksinvariant}

mit dem Vektorfeld-Kommutator [·,·] eine Lie-Algebra.

Definition 1.3.Die Lie-Algebra der linksinvarianten Vektorfelder (g,[·,·]) heißt Lie-Algebra der Lie-Gruppe G.

Offensichtlich ist jedes linksinvariante Vektorfeld X ∈ g durch den Vektor X(e)∈T_eGim Tangentialraum an das 1-Element e ∈ G eindeutig bestimmt, denn es gilt

e X(e)

Lg g

dLg(X(e)) =X(g) G

X(g) =dLg(X(e)) f¨urg∈G. (1.2) Deshalb werden wir im Folgenden oftgundT_eGin diesem Sinne identifizieren.

Beispiel 1.1. SeiG=GL(n,R) die Lie-Gruppe aller invertierbaren reellen (n×n)-Matrizen. Die zugeh¨orige Lie-Algebra ist der Vektorraumg=gl(n,R) aller reellen (n×n)-Matrizen mit dem Kommutator

[X, Y] =X◦Y −Y ◦X, X, Y ∈g.

Dies ist leicht einzusehen: DaG=GL(n,R) eine offene Untermannigfaltigkeit vonRⁿ² ist, kann man den TangentialraumTEGan die EinheitsmatrixEmit dem Rⁿ² =gl(n,R) identifizieren. Sei X ∈TEGundγX :I →Geine glatte Kurve in G= GL(n,R) mit γX(0) =E und γ_X (0) = X. F¨ur das durch X gem¨aß (1.2) erzeugte linksinvariante Vektorfeld ˜X gilt dann

X˜(A) =dL_A(X) = d dt

L_A(γ_X(t))

t=0

= d dt

A◦γX(t)

t=0=A◦X.

Da der Kommutator von Vektorfeldern auf Untermannigfaltigkeiten durch Richtungsableitungen berechnet werden kann, folgt:

[X, Y] = [ ˜X,Y˜](E) = ˜X( ˜Y)(E)−Y˜( ˜X)(E)

= d dt

Y˜(γX(t))

t=0− d dt

X˜(γY(t))

t=0

= d dt

γ_X(t)◦Y −γ_Y(t)◦X

t=0

=X◦Y −Y ◦X.

Beispiel 1.2. Sind (g,[·,·]g) und (h,[·,·]h) Lie-Algebren, so ist die direkte Summe g⊕hder Vektorr¨aume mit dem Kommutator

[X1+Y1, X2+Y2] := [X1, X2]g+ [Y1, Y2]h, X1, X2∈g, Y1, Y2∈h eine Lie-Algebra. SindGundH zwei Lie-Gruppen mit den zugeh¨origen Lie- Algebrengundh, so istg⊕hdie Lie-Algebra der Lie-GruppeG×H.

Definition 1.4.1. Seien G₁ und G₂ zwei Lie-Gruppen und ψ : G₁ → G₂ ein Gruppen-Homomorphismus. Ist ψzus¨atzlich glatt, so nennt manψeinen Lie-Gruppen-Homomorphismus.

2. Seien(V₁,[·,·]₁),[V₂,[·,·]₂)zwei Lie-Algebren und ϕ:V₁→V₂ eine lineare Abbildung. ϕheißt Lie-Algebren-Homomorphismus, falls

[ϕ(v), ϕ(w)]2=ϕ([v, w]1) f¨ur allev, w∈V1.

Satz 1.1 Seiψ:G1−→G2ein Lie-Gruppen-Homomorphismus und seieng₁ bzw.g₂die Lie-Algebren der Lie-Gruppen G1 bzw.G2. F¨ur X ∈g₁ bezeichne ψ_∗X ∈g₂ das durch den Vektor dψe(X(e))∈TeG2 definierte linksinvariante Vektorfeld. Dann ist die Abbildung

ψ_∗:g₁−→g₂ X −→ψ_∗X ein Lie-Algebren-Homomorphismus.

Beweis. Seiedas neutrale Element vonG₁. Da das Differentialdψ_elinear ist, ist auch ψ_∗ eine lineare Abbildung. Wir zeigen, dass die VektorfelderX und ψ_∗X ψ-verkn¨upft sind, d.h., dass

(ψ_∗X)(ψ(g)) = (dψg)(X(g)) f¨ur alleg∈G1.

G2

G1

ψ ψ∗(X)(ψ(g)) ψ(g)

g X(g)

1.2 Die Exponential-Abbildung einer Lie-Gruppe 5

Auf Grund der Definition vonψ_∗X gilt:

(ψ_∗X)(ψ(g)) =dLψ(g)(dψe(X(e))

=d(L_ψ(g)◦ψ)eX(e)

=d(ψ◦L_g)_eX(e)

=dψg(dLgX(e)) =dψg(X(g)).

F¨ur den Kommutatorψ-verkn¨upfter Vektorfelder gilt also [ψ_∗X, ψ_∗Y] =ψ_∗[X, Y].

Folglich ist ψ_∗ ein Lie-Algebren-Homomorphismus.

1.2 Die Exponential-Abbildung einer Lie-Gruppe

Im folgenden Abschnitt beweisen wir spezielle Eigenschaften von linksinvari- anten Vektorfeldern auf Lie-Gruppen, die es uns gestatten, angepasste Koor- dinaten einzuf¨uhren.

Satz 1.2 Sei G eine Lie-Gruppe und g ihre Lie-Algebra. ϕX bezeichne die maximale Integralkurve eines linksinvarianten Vektorfeldes X ∈gdurch das neutrale Elemente∈G. Dann gilt:

1. ϕX ist auf ganzRdefiniert.

2. ϕX:R−→Gist ein Homomorphismus der Lie-Gruppen, d.h.

ϕX(0) =e und ϕX(s+t) =ϕX(s)·ϕX(t) f¨ur alles, t∈R.

3. ϕsX(t) =ϕX(s·t) f¨ur alles, t∈R.

Beweis. SeiϕX :I= (tmin, tmax)⊂R−→Gdie maximale Integralkurve von X durche, d.h.ϕX(0) =eund ˙ϕX(t) =X(ϕX(t)), wobei ˙ϕdie Ableitung von ϕnacht bezeichnet. Wir zeigen zun¨achst, dass f¨ur alles, t∈I mits+t∈I

ϕX(s+t) =ϕX(s)·ϕX(t)

gilt. Sei dazus∈Iein fester Parameter undg:=ϕX(s)∈G. Wir betrachten die glatten Kurven

η:τ∈I−→g·ϕ_X(τ)∈G,

˜

η :τ∈(tmin−s, tmax−s)−→ϕX(τ+s)∈G.

η und ˜η sind Integralkurven vonX durchg∈G, denn η(0) =g·ϕX(0) =g,

˜

η(0) =ϕ_X(s) =g und

˙

η(τ) =dL_g( ˙ϕ_X(τ)) =dL_g(X(ϕ_X(τ))) =X(g·ϕ_X(τ)) =X(η(τ)), η(τ) = ˙˙˜ ϕX(τ+s) =X(ϕX(τ+s)) =X(˜η(τ)).

Auf Grund der Eindeutigkeit von Integralkurven stimmen η und ˜η auf dem gemeinsamen DefinitionsbereichI∩(tmin−s, tmax−s) ¨uberein. Somit gilt f¨ur alle t∈I mit t+s∈I:

η(t) =ϕX(s)·ϕX(t) = ˜η(t) =ϕX(s+t).

Wir zeigen nun, dass ϕ_X auf ganzRdefiniert ist.

Angenommen,t_max<∞. Seiα:= min(t_max,|t_min|). Wir betrachten die Kurve η(s) :=ϕ_X(^α₂)·ϕ_X(s− ^α₂). Dann ist η(0) =ϕ_X(^α₂)·ϕ_X(−^α₂) =ϕ_X(0) =e und mit g:=ϕ_X(^α₂) gilt:

˙

η(s) =dL_g

˙ ϕ_X

s−α

2

=dL_g

X

ϕ_X

s−α 2

=X

g·ϕX

s−α

2

=X

ϕX

α 2

·ϕX

s−α

2

=X(η(s)).

Das bedeutet aber, dass η die Integralkurve ϕX von X ¨uber tmax hinaus fortsetzt, was im Widerspruch zur Maximalit¨at vonϕX steht. Also war die Annahmetmax<∞falsch. Analog zeigt man, dasstmin=−∞. Die Integral- kurve ϕX ist folglich auf ganzRdefiniert.

Wir zeigen abschließend, dassϕ_sX(t) =ϕ_X(s·t).

Sei dazuδ(t) :=ϕ_X(s·t). Dann istδ(0) =ϕ_X(0) =e und δ(t) =˙ sϕ˙X(s·t) =sX(ϕX(s·t)) =sX(δ(t)).

Folglich ist δdie Integralkurve vonsX durche, d.h. ϕ_sX(t) =ϕ_X(s·t).

Definition 1.5.Seigdie Lie-Algebra vonG.

Die Abbildung

exp :g−→G X−→ϕX(1)

heißt Exponentialabbildung der Lie-GruppeG.

e X

ϕX(1) G

Nach Satz 1.2 ist die Kurve t∈R→ϕX(t) =ϕtX(1) = exptX die maximale Integralkurve von X durch e ∈ G und die Kurve t ∈ R → g·exptX die maximale Integralkurve vonX durchg∈G.

Beispiel 1.3. Wir betrachten als Beispiel wieder die Gruppe GL(n,R) al- ler invertierbaren Matrizen mit ihrer Lie-Algebra gl(n,R). F¨ur diese Gruppe stimmt die Exponentialabbildung mit dem ¨ublichen Exponential von Matrizen uberein, d.h., es gilt¨

expX =e^X = ∞ n=0

Xⁿ n! .

1.2 Die Exponential-Abbildung einer Lie-Gruppe 7

Der folgende Satz beschreibt eine sehr wichtige Beziehung zwischen Lie- Gruppen-Homomorphismen und ihren Ableitungen.

Satz 1.3 Seiψ:G1→G2 ein Lie-Gruppen-Homomorphismus. Dann gilt ψ(expX) = exp(ψ_∗X)

f¨ur alle ElementeX in der Lie-Algebra von G₁.

Beweis. Wir betrachten γ(t) := ψ(exptX). Dann gilt γ(0) = ψ(e1) = e2, wobei ei das neutrale Element inGi bezeichnet, und

˙

γ(t) =dψ_exptX

X(exptX)

=dψ_exptX

dL_exptX

X(e₁)

=dL_ψ(exptX)dψ_e1 X(e₁)

= (ψ_∗X) ψ

exp(tX)

= (ψ_∗X) γ(t)

.

Folglich ist γ die Integralkurve des linksinvarianten Vektorfeldes ψ_∗X durch das neutrale Elemente2∈G2, was die Behauptung liefert.

Als n¨achstes beweisen wir einige grundlegende Eigenschaften der Exponenti- alabbildung.

Satz 1.4 Die Exponentialabbildung exp : g −→ G ist glatt und ein lokaler Diffeomorphismus um den Nullvektoro∈g. Weiterhin gilt:

1. exp(o) =e,

2. exp(−X) = (expX)⁻¹,

3. exp((t+s)X) = exp(sX)·exp(tX), s, t∈R,X ∈g.

Beweis. Die Glattheit der Exponentialabbildung folgt aus den Standards¨atzen uber die glatte Abh¨¨ angigkeit der L¨osung von linearen Differentialgleichungen von den Anfangswerten. Die Eigenschaften 1., 2., 3. folgen aus Satz 1.2. Es bleibt zu zeigen, dass

dexp_o:Togg−→TeGg

ein Isomorphismus, d.h., dass exp ein lokaler Diffeomorphismus um o∈gist.

Um das zu zeigen, w¨ahlen wir ein linksinvariantes Vektorfeld X ∈ g. Dann gilt

dexp_o(X) = d dt

exp(o+tX)

t=0= d dt

exptX

t=0=X(e).

Identifizieren wirT_eGmitg, so erhalten wir sogardexp_o= Id_g. Mit Hilfe der Exponentialabbildung k¨onnen wir spezielle Koordinaten auf der Lie-Gruppe G einf¨uhren. Sei W(e) ⊂ G eine offene Menge in G, die das diffeomorphe Bild einer bzgl. o sternf¨ormigen Umgebung V(o) ⊂ gist. F¨ur g∈Gsetzen wir

W(g) :=Lg(W(e)) und ϕg := exp⁻¹◦Lg⁻¹ :W(g)−→V(o)⊂gRⁿ.

W(g)⊂G W(e)⊂G

V ⊂g

exp Lg

0 e g

Dann ist (W(g), ϕg) eine zul¨assige Karte der Mannigfaltigkeit G umg. Die UmgebungW(g) heißtNormalenumgebung vongund die durch die Kartenab- bildungϕg gegebenen KoordinatenNormalkoordinaten umg.

Eine Lie-Gruppe G ist insbesondere eine topologische Gruppe. Bekanntlich wird jede zusammenh¨angende topologische Gruppe von einer beliebigen Um- gebung³ihres neutralen Elementes erzeugt. Sei alsoG⁰die Zusammenhangs- komponente vonG, die das neutrale Elementeenth¨alt und W = exp(V)⊂G eine Normalenumgebung von e. Dann gilt

G⁰= ∞ k=1

W^k. (1.3)

F¨ur sp¨atere Anwendungen beweisen wir die folgende Produktformel f¨ur die Exponentialabbildung.

Satz 1.5 SeiGeine Lie-Gruppe undgihre Lie-Algebra. Dann gilt exptX·exptY = exp(t(X+Y) +O(t²)),

wobei X, Y ∈gund |t|< ε,ε hinreichend klein.

Beweis. Wir w¨ahlen Normalkoordinaten (W, ϕ) um e ∈ G. Sei (X1, . . . Xn) eine Basis ingundϕ:W →Rⁿ die Karte

ϕ

exp(x1X1+. . .+xnXn)

= (x1, . . . xn).

Da die Multiplikation inGstetig ist, gibt es eine UmgebungU des neutralen Elementes mitU·U ⊂W. Wir betrachten die Gruppenmultiplikation in den Karten (U×U, ϕ×ϕ) und (W, ϕ):

U×U ⊂G×G W ⊂G

U˜ ×U˜ ⊂Rⁿ×Rⁿ W˜ ⊂Rⁿ

?

ϕ×ϕ

· -

?

ϕ

-

˜ μ

Dabei ist ˜μ(x,0) =xund ˜μ(0, y) =y. Die Taylorformel f¨ur ˜μum (0,0) ergibt:

˜

μ(x, y) = ˜μ(0,0) + n j=1

∂μ˜

∂xj

(0,0)x_j+ n j=1

∂μ˜

∂yj

(0,0)y_j+O(2) = 0 +x+y+O(2),

3 Unter einer Umgebung eines Punktesxverstehen wir in diesem Buch immer eine offeneMenge, diexenth¨alt.

1.2 Die Exponential-Abbildung einer Lie-Gruppe 9

wobeiO(2) f¨ur Ableitungen ab der zweiten Ordnung steht. Damit ist gezeigt, dass

exp(X)·exp(Y) = exp

X+Y +O(2)

f¨ur hinreichend kleine VektorenX undY.

Satz 1.5 ist ein Spezialfall der Baker-Campbell-Hausdorff-Formel⁴. Liegen mit X, Y ∈ g zwei Vektoren vor, f¨ur die das Produkt exp(X)·exp(Y) in einer Normalenumgebung W(e) ⊂ G liegt, so existiert nach Satz 1.4 genau ein VektorX Y ∈exp⁻¹(W)⊂gmit exp(X)·exp(Y) = exp(X Y). Der Vektor X Y heißtCampbell-Hausdorff-Produkt von X undY und hat die folgende Darstellung:

X Y =X+Y +1

2[X, Y]− 1 12

[[X, Y], X] + [[Y, X], Y] + weitere Kommutatoren.

Aus Satz 1.4 folgt insbesondere, dass die durch ein ElementX ∈gdefinierte Abbildung

f :t∈R−→exptX ∈G

ein glatter Gruppenhomomorphismus ist. Wir zeigen als n¨achstes, dass jeder stetige Gruppenhomomorphismus von R nach G in dieser Form darstellbar ist.

Satz 1.6 SeiGeine Lie-Gruppe mit der Lie-Algebra gund ψ:R−→G ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Dann gibt es X ∈ g mit ψ(t) = exptX f¨ur allet∈R. Insbesondere ist jeder stetige Gruppenhomomorphismus ψ:R−→Gauch glatt.

Beweis. Es sei W = exp(V(o)) eine Normalenumgebung um e ∈ G. Da ψ:R→G stetig ist und ψ(0) = e gilt, existiert ein ε > 0 mit ψ(t) ∈ W f¨ur alle t mit |t| ≤ ε. Sei Y ∈ V(o) der Vektor mit exp(Y) = ψ(ε) und X := ^Y_ε. Wir zeigen

ψ(t) = exp(tX) =:f(t) f¨ur allet∈R.

Dazu betrachten wir die Menge K :={t ∈ R| f(t) = ψ(t)} ⊂ R. Da die Abbildungen f, ψ:R−→G Gruppenhomomorphismen sind, istK⊂Reine Untergruppe.K ist außerdem abgeschlossen und enth¨alt 0 undε. Jede nicht- triviale Untergruppe von Rist entweder R selbst oder eine diskrete Gruppe der Form Kd:={n·d|n∈Z},wobeiddas kleinste positive Element vonK ist. Wir zeigen, dassK=Rgilt.

4 Die genaue Formel findet man z. B. im Buch von S. Helgason [He01].

Angenommen, es w¨areK=Kd. Daε∈K, ist ^d₂ < ε. Somit folgt:

f

d 2

2

=

expd 2X

2

= expdX =f(d) =ψ(d) =

ψ d

2 2

. Die Gruppenelementef(d) undψ(d) liegen inW. Aus

2 exp⁻¹

f d

2

= exp⁻¹

f d

2 2

= exp⁻¹

ψ d

2 2

= 2 exp⁻¹

ψ d

2

folgt ψ(^d₂) =f(^d₂). Dann w¨are aberdnicht das kleinste Element vonK. Also war die Annahme K=K_d falsch. Somit gilt K=R.

In Verallgemeinerung des eben bewiesenen Resultates zeigen wir, dass jeder stetige Gruppenhomomorphismus zwischen beliebigen Lie-Gruppen glatt ist.

Zun¨achst verallgemeinern wir Satz 1.4.

Satz 1.7 SeiGeine Lie-Gruppe und gihre Lie-Algebra, f¨ur die eine Vektor- raumzerlegung g=V₁⊕. . .⊕V_r gegeben ist. Dann ist die Abbildung

φ:g=V1⊕. . .⊕Vr−→G

v1+. . .+vr−→exp(v1)·. . .·exp(vr) ein lokaler Diffeomorphismus um o∈g.

Beweis. Der Beweis verl¨auft analog zu Satz 1.4. Wir betrachten das Differen- tial

dφ_o:T₀gg=V₁⊕. . .⊕V_r→T_eGg=V₁⊕. . .⊕V_r. F¨urXi∈Vi erhalten wir

dφ_o(X_i) = d dt

φ(tX_i)

|t=0= d dt

exp(o)·. . .·exp(tX_i)·. . .·exp(o)

|t=0

= d dt

exp(tX_i)

|t=0 = X_i.

Satz 1.8 Jeder stetige Gruppenhomomorphismusψ:G₁→G₂zwischen Lie- GruppenG₁ und G₂ ist glatt.

Beweis. Sei g₁ die Lie-Algebra von G1 und g₂ die Lie-Algebra von G2. Wir fixieren eine Basis (X1, . . . , Xn) ing₁. Dann istψi:t∈R→ψ(exptXi)∈G2

ein stetiger Gruppenhomomorphismus. Nach Satz 1.6 existiert einYi∈g₂, so dass

ψi(t) =ψ(exptXi) = exptYi. Die Abbildungχ:g₁→G₂, definiert durch

χ(t1X1+. . .+tnXn) := exp(t1Y1)·. . .·exp(tnYn),

1.2 Die Exponential-Abbildung einer Lie-Gruppe 11

ist glatt. Seiφ:g₁→G1die in Satz 1.7 betrachtete Abbildung φ(t1X1+. . .+tnXn) = exp(t1X1)·. . .·exp(tnXn).

Da φein lokaler Diffeomorphismus umo∈g₁ ist, giltψ=χ◦φ⁻¹ auf einer Normalenumgebung W(e)⊂G₁. Das zeigt, dassψauf W(e) glatt ist. Da

ψ(g·a) =ψ(g)·ψ(a) =L_ψ(g)(ψ(a)),

ist ψauch glatt auf der Normalenumgebung W(g) =L_g(W(e)) des Punktes

g∈G1.

Als weitere Folgerung aus den Eigenschaften der Exponentialabbildung erhal- ten wir die folgende Aussage ¨uber die Struktur abelscher Lie-Gruppen. Dabei nennen wir eine Lie-Gruppe abelsch, wenn ihr Gruppenprodukt kommutativ ist.

Satz 1.9 Sei G eine zusammenh¨angende abelsche Lie-Gruppe. Dann ist G diffeomorph zu einem Produkt T^k×R^maus einem Torus und einem Euklidi- schen Raum.

Beweis. Wir zeigen zun¨achst, dass die Exponentialabbildung exp :g→Gim Fall abelscher Gruppen ein Gruppenhomomorphismus ist. F¨urX, Y ∈gund hinreichend großesN ∈N0 gilt nach Satz 1.4 und Satz 1.5

exp(X)·exp(Y) =

exp X

N N

· exp

Y N

N

=

exp X

N ·exp

Y N

N

=

exp 1

N(X+Y) + 0 1 N²

^N

= exp

X+Y + 01 N

.

MitN→ ∞folgt exp(X)·exp(Y) = exp(X+Y). DaGeine zusammenh¨ang- ende Lie-Gruppe ist, wird sie von der NormalenumgebungW(e)⊂Gerzeugt, d.h., jedesg∈Gist in der Form

g= exp(X1)·exp(X2)·. . .·exp(Xn) = exp(X1+. . .+Xn), Xi∈g, darstellbar. Folglich ist exp : g → G ein surjektiver Gruppenhomomorphis- mus. Da exp :g→Gein lokaler Diffeomorphismus ist, istK = Ker exp⊂g ein diskreter Normalteiler. Also gilt

Gg|K=T^k×R^m.

Seiv∈TeGundX das vonverzeugte linksinvariante Vektorfeld aufG. Dann ist g(t) = exp(tX) die Integralkurve vonX durch e ∈G, d.h., g(t) ist eine glatte Kurve mit

˙

g(t) =X(g(t)) =dL_g(t)(v) und g(0) =e.

Abschließend wollen wir die Existenz solcher Kurven g(t) f¨ur nichtkonstante Kurven v(t) inT_eGbeweisen.

Satz 1.10 Es seiGeine Lie-Gruppe undv: [0,1]→TeGeine stetige Kurve.

Dann existieren eindeutig bestimmteC¹-Kurven g, a: [0,1]→G, die folgende Differentialgleichungen l¨osen:

˙

g(t) =dL_g(t)(v(t)) und g(0) =e, (1.4)

˙

a(t) =dR_a(t)(v(t)) und a(0) =e. (1.5) Beweis. Wir beweisen nur die Existenz und Eindeutigkeit vong(t). Der Beweis f¨ur a(t) wird analog gef¨uhrt. OBdA k¨onnen wir annehmen, dass die stetige Kurve v auf ganz R definiert ist. Der Beweis der Existenz der L¨osung g(t) von (1.4) basiert auf dem Studium der Integralkurven des VektorfeldesZ auf G×R, das mittels

Z(g, s) =

dLg(v(s)), ∂

∂s(s)

∈T_(g,s)(G×R)

definiert ist. Wir bezeichnen mit φt(z) die Integralkurve von Z durch z ∈ G×R. F¨ur die Integralkurveφ_t(e,0) = (g(t), t) gilt ˙g(t) = dL_g(t)(v(t)) und g(0) =e. Lokale L¨osungen g(t) von (1.4) existieren also immer, es bleibt zu zeigen, dassgauf dem ganzen Intervall [0,1] definiert ist. Sei (e, s)∈G×R. Da {e} ×[0,1]⊂G×Rkompakt ist, gibt es einδ >0, so dass die Integralkurven φ_t(e, s) f¨ur alle s∈ [0,1] und |t| < δ existieren. Wir fixieren eine Zerlegung 0 = t₀ < t₁ <· · · < t_r = 1 von [0,1] mit |tr−t_r−1| < δ. Auf dem Intervall [0, t1] haben wir bereits eine L¨osungg(t) von (1.4). Die Integralkurve φt(e, t1) mit 0 ≤ t ≤ t2−t1 hat die Form φt(e, t1) = (b(t), t+t1) , wobei ˙b(t) = dL_b(t)(v(t+t1)) und b(0) = e gilt. Wir setzen nun die Kurve g(t) auf das Intervall [t1, t2] stetig durch

g(t) :=g(t1)·b(t−t1), t∈[t1, t2], fort. Differenzieren ergibt

˙

g(t) =dL_g(t1)b(t˙ −t₁) =dL_g(t1)dL_b(t−t1)(v(t)) =dL_g(t)(v(t)), folglich haben wir die L¨osung von (1.4) auf dem Intervall [0, t₂]. Wir fahren auf diese Weise f¨ur jeden Teilungsschritt fort und erhalten insgesamt eineC¹- L¨osung g : [0,1]→G von (1.4). Die Eindeutigkeit folgt aus Standards¨atzen

uber gew¨¨ ohnliche Differentialgleichungen.

Die L¨osungen der Anfangswertprobleme (1.4) und (1.5) sind glatt bzw. st¨uck- weise glatt, falls die Kurvev(t) diese Eigenschaft hat.

1.3 Die adjungierte Darstellung 13

1.3 Die adjungierte Darstellung

Die adjungierte Darstellung ist ein spezieller Homomorphismus einer Lie- Gruppe G in die Gruppe GL(g) aller invertierbaren linearen Abbildungen auf der Lie-AlgebragvonG. Bevor wir diese Darstellung betrachten, stellen wir einige grundlegende Begriffe und Fakten ¨uber Darstellungen zusammen.

Definition 1.6.SeiGeine Lie-Gruppe,(A,[·,·])eine Lie-Algebra undV ein Vektorraum ¨uber dem K¨orper der reellen oder komplexen Zahlen. Ein Lie- Gruppen-Homomorphismus ρ:G−→GL(V)heißt auch Darstellung der Lie- Gruppe Guber dem Vektorraum¨ V. Unter einer Darstellung der Lie-Algebra A ¨uberV versteht man einen Lie-Algebren-Homomorphismus ϕ:A→gl(V), d.h. eine lineare Abbildung, f¨ur die gilt

ϕ([X, Y]) =ϕ(X)◦ϕ(Y)−ϕ(Y)◦ϕ(X), X, Y ∈A.

Der Vektorraum V heißt dann Darstellungsraum.

Im Folgenden werden wir f¨ur Darstellungen oft abk¨urzend die Symbolik (G, ρ) oder (V, ρ) benutzen.

Sei G eine Lie-Gruppe mit der Lie-Algebra g. Ist ρ : G −→ GL(V) eine Darstellung der Lie-Gruppe G uber¨ V, so ist nach Satz 1.1 das Differential ρ:g−→gl(V) eine Darstellung der Lie-Algebraguber¨ V.

Aus gegebenen Darstellungen kann man neue erzeugen. Sind z. B. (V, ρ) und (W, σ) zwei Darstellungen der Lie-Gruppe Guber dem Vektorraum¨ V bzw.

W, so ergibt sich eine Darstellung vonG¨uber der direkten SummeV ⊕W ρ⊕σ:G−→GL(V ⊕W)

g −→ (ρ⊕σ)(g) durch

(ρ⊕σ)(g)(v⊕w) :=ρ(g)v⊕σ(g)w.

Wir nennen diese Darstellung direkte Summe der Darstellungen (V, ρ) und (W, σ) und bezeichnen sie auch mit (V, ρ)⊕(W, σ). Auf die analoge Weise werden Darstellungen vonG¨uber dem TensorproduktV⊗W, den Homomor- phismen Hom(V, W), dem dualen RaumV^∗ bzw. dem Raum der k-Formen Λ^k(V^∗) definiert. Wir geben hier nur kurz die dem Element g ∈ G jeweils zugeordneten linearen Abbildungen an:

(ρ⊗σ)(g)(v⊗w) :=ρ(g)v⊗σ(g)w, homρ,σ(g)(F)(v) :=σ(g)F(ρ(g⁻¹)v),

ρ^∗(g)(L)(v) :=L(ρ(g⁻¹)v),

ρk(g)(L1∧. . .∧Lk) :=ρ^∗(g)L1∧. . .∧ρ^∗(g)Lk.

Definition 1.7.Eine Darstellung ρ : G → GL(V) ¨uber einem n-dimen- sionalen euklidischen bzw. hermiteschen Vektorraum (V,·,·V) heißt ortho- gonal bzw. unit¨ar, falls das Skalarprodukt·,· G-invariant ist, d.h., falls

ρ(g)v, ρ(g)wV =v, wV f¨ur alle v, w∈V, g∈G.

Wir zeigen als n¨achstes, dass jede Darstellung einer kompakten Lie-Gruppe orthogonal bzw. unit¨ar ist.

Satz 1.11 Sei Geine kompakte Lie-Gruppe undρ:G−→GL(V) eine Dar- stellung vonG¨uber einem reellen oder komplexen VektorraumV. Dann exis- tiert ein G-invariantes euklidisches bzw. hermitesches Skalarprodukt auf V, d.h., die Darstellung ist orthogonal bzw. unit¨ar.

Beweis. Sei (X1, . . . Xn) eine Basis in TeG und bezeichne X_i^∗ ∈ X(G) die durch Xi definierten rechtsinvarianten Vektorfelder: X_i^∗(g) :=dRg(Xi). Wir betrachten die dualen 1-Formen (ω¹, . . . , ωⁿ) zu (X₁^∗, . . . , X_n^∗). Dann ist dien- Formω=ω¹∧. . .∧ωⁿeine rechtsinvariante Volumenform aufG. Sei·,·ein beliebiges positiv definites Skalarprodukt aufV. DaGkompakt ist, definiert

(v, w) :=

G

ρ(g)v, ρ(g)wωg

ein neues positiv definites Skalarprodukt aufV und wegen der Rechtsinvarianz von ωgilt:

(ρ(a)v, ρ(a)w) =

G

ρ(ga)v, ρ(ga)wω_g

=

G

R^∗_a(ρ(g)v, ρ(g)wωg)

=

Ra(G)

ρ(g)v, ρ(g)wωg

= (v, w).

Erg¨anzend bemerken wir den folgenden Fakt.

Satz 1.12 Ist ρ:G→GL(V)eine Darstellung einer Lie-Gruppe und ·,· ein G-invariantes Skalarprodukt⁵ aufV, d.h.

ρ(g)v, ρ(g)w=v, w ∀ g∈G, v, w∈V. (1.6) Dann gilt

ρ∗(X)v, w+v, ρ∗(X)w= 0 ∀ X ∈g, v, w∈V. (1.7) Ist Gzusammenh¨angend, so sind (1.6) und (1.7) ¨aquivalent.

5 In diesem Buch benutzen wir den BegriffSkalarproduktf¨ur einenichtausgeartete bilineare bzw. hermitesche Form aufV. Positiv definit wird nicht gefordert.

1.3 Die adjungierte Darstellung 15

Beweis. SeienX ∈gundv, w∈V. Aus (1.6) folgt mit Satz 1.3 v, w=ρ(exp(tX))v, ρ(exp(tX))w

=e^tρ∗(X)v, e^tρ∗(X)w.

Leiten wir diese Gleichung nach t ab und setzen t = 0, so folgt (1.7). Sei nunGzusammenh¨angend und gelte (1.7). Die GruppeGwird von einer Nor- malenumgebung ihres neutralen Elementes e erzeugt (siehe (1.3)). Da ρein Homomorphismus ist, gen¨ugt es zum Nachweis von (1.6) zu zeigen, dass

ρ(exp(tX))v, ρ(exp(tX))w=v, w (1.8) f¨ur jedes X∈g und v, w∈V gilt. Setzen wir f¨ur fixierte X ∈g,v, w∈V

F(t) :=ρ(exp(tX))v, ρ(exp(tX))w=e^tρ∗(X)v, e^tρ∗(X)w, so folgt f¨ur die Ableitung vonF

F(t) =ρ∗(X)e^tρ∗(X)v, e^tρ∗(X)w+e^tρ∗(X)v, ρ_∗(X)e^tρ∗(X)w.

Die Invarianzeigenschaft (1.7) liefert F(t) = 0 f¨ur alle t ∈ R. F ist also konstant und F(t) =F(0) =v, w. Damit ist (1.8) gezeigt.

Definition 1.8.Eine Darstellungρ:G→GL(V)heißt irreduzibel, falls kein echter Unterraum W ⊂V existiert, f¨ur denρ(G)W ⊂W gilt.

Satz 1.13 Seiρ:G→GL(V)eine Darstellung einer kompakten Lie-Gruppe

¨

uber einem endlich-dimensionalen Vektorraum. Dann zerlegt sich(V, ρ)in die direkte Summe von irreduziblen orthogonalen bzw. unit¨aren G-Darstellungen, d.h.

(V, ρ) = (V₁, ρ₁)⊕. . .⊕(V_n, ρ_n),

wobei (V_i, ρ_i)irreduzible orthogonale bzw. unit¨are G-Darstellungen sind.

Beweis. Nach Satz 1.11 gibt es auf V ein G-invariantes euklidisches bzw.

hermitesches Skalarprodukt (·,·). Angenommenρ: G→GL(V) ist nicht ir- reduzibel. Dann existiert ein echter ρ(G)-invarianter UnterraumW ⊂V. Sei W^⊥ das orthogonale Komplement von W bez¨uglich des G-invarianten Ska- larproduktes (·,·). Dann gilt ρ(G)W^⊥⊂W^⊥,d.h., wir haben eine Zerlegung V =W ⊕W^⊥ in zwei ρ(G)-invariante Teilr¨aume, die wir dann gegebenen- falls weiter zerlegen k¨onnen. Die Einschr¨ankung vonρ(g) und (·,·) auf diese Teilr¨aume liefert dieG-Darstellungen (Vi, ρi). Da V endlich-dimensional ist,

folgt die Behauptung.

Satz 1.13 gilt im Allgemeinen nicht mehr, wenn die GruppeGnicht kompakt ist. Betrachten wir zum Beispiel die Wirkung der GruppeG=_1a

0 1

|a∈R

durch Matrizenmultiplikation aufR². Dann ist ein 1-dimensionaler Unterraum W ⊂ R² genau dann G-invariant, wenn er vom Vektor (1,0)^t erzeugt wird.

Der invariante UnterraumR(1,0)^that folglich kein invariantes Komplement.

Wir kommen nun zur Definition der adjungierten Darstellung einer Lie- GruppeG¨uber ihrer eigenen Lie-Algebrag. F¨ur ein Elementg∈Gbetrachten wir den inneren Automorphismus

αg:=Lg◦R_g−1 :G→G.

Das Differential (α_g)_∗:g→gist ein Isomorphismus der Lie-AlgebragvonG und wir erhalten

Satz 1.14 1. Die AbbildungAd :g∈G−→(α_g)_∗∈GL(g)ist eine Darstel- lung der Lie-GruppeG.

2. F¨ur das Differentialad := Ad_∗:g−→gl(g)vonAdgilt ad(X)(Y) = [X, Y].

3. SeiZ(G)das Zentrum der Lie-GruppeG. Dann giltZ(G)⊂Ker Adund Z(G) = Ker Ad, fallsG zusammenh¨angend ist.

Beweis. Die Abbildung Ad :G→GL(g) ist ein Homomorphismus, da Ad(ga) = (α_ga)_∗= (α_g◦α_a)_∗= (α_g)_∗◦(α_a)_∗= Ad(g)◦Ad(a).

F¨urX ∈gund hinreichend kleinet∈Rfolgt aus Satz 1.3 Ad(g)X = 1

t

exp⁻¹(α_g(exptX))

= 1 t

exp⁻¹(g·exptX·g⁻¹)

. Dies zeigt die Stetigkeit von Ad. Wegen Satz 1.8 ist Ad auch glatt.

Wir zeigen als n¨achstes ad(X)Y = [X, Y] f¨ur X, Y ∈g. Wir benutzen dazu die Darstellung des Kommutators zweier Vektorfelder als Lie-Ableitung. Sei t ∈R→ϕ_t(x)∈G die Integralkurve des linksinvarianten VektorfeldesX ∈ X(G) durchx∈G. Dann ist

[X, Y](x) =_dt^d

dϕ_−t(Y(ϕt(x))

|t=0.

x ϕt(x) Y(ϕt(x)) dϕ₋t

Wie wir in Kapitel 1.2 gesehen hatten, ist ϕ_t(g) =g·exp(tX) =R_exp(tX)(g) . Dann gilt

ad(X)Y = Ad_∗(X)Y = d dt

Ad(exptX)

|t=0 Y

= d dt

dRexp(−tX)◦dLexptX(Y)

|t=0

= d dt

dR_exp(−tX)(Y(exptX))

|t=0

= [X, Y].

1.3 Die adjungierte Darstellung 17

Zum Beweis der 3. Behauptung bemerken wir, dassggenau dann im Zentrum von Gliegt, wenn αg = IdG gilt. Folglich ist Z(G)⊂Ker Ad. Sei nunG zu- sammenh¨angend undg∈Ker Ad. Da Gals zusammenh¨angende topologische Gruppe von einer Normalenumgebung des 1-Elementes erzeugt wird, gen¨ugt es zu zeigen, dass exptX=α_g(exptX) f¨ur alleX ∈g,t∈R. Wir betrachten den Homomorphismus

ψ:t∈R→αg(exptX)∈G.

Nach Satz 1.6 existiert einY ∈gso, dass exptY =αg(exptX) f¨ur allet∈R.

Differenzieren wir diese Gleichung int= 0, so folgt Y(e) = d

dt(exptY)|t=0= (dαg)e(X(e))

= Ad(g)(X(e)) =X(e).

Demnach istX =Y und somitα_g= Id_G.

Definition 1.9.Die DarstellungAd :G→GL(g)heißt adjungierte Darstel- lung der Lie-Gruppe G. Die Darstellung ad : g → gl(g) heißt adjungierte Darstellung der Lie-Algebra g.

Als erste Anwendung der adjungierten Darstellung erhalten wir die folgende Beziehung zwischen abelschen Lie-Gruppen und abelschen Lie-Algebren. Eine Lie-Gruppe ist abelsch, wenn das Gruppenprodukt kommutativ ist. Eine Lie- Algebragnennt manabelsch, wenn f¨ur ihren Kommutator [·,·]g= 0 gilt.

Folgerung 1.1 Ist G eine abelsche Lie-Gruppe, so ist ihre Lie-Algebra g abelsch. Ist umgekehrt G eine zusammenh¨angende Lie-Gruppe mit abelscher Lie-Algebrag, so istGabelsch.

Beweis. IstGeine abelsche Lie-Gruppe, so giltG=Z(G) = Ker Ad. Folglich ist Ad : G→ GL(g) eine konstante Abbildung und somit ad = Ad_∗ = 0 . Aus Satz 1.14 folgt f¨ur den Kommutator vong: [·,·]g = 0, also istgabelsch.

Sei nun Gzusammenh¨angend und die Lie-Algebragabelsch. Dann gilt ad = 0 = (Ad)_∗ und folglich

Ad(exptX) = exp(tAd_∗(X)) = exp(o) = Id ∈GL(g)

f¨ur alle t ∈ R, X ∈ g. Da Gzusammenh¨angend ist, wirdG von einer Nor- malenumgebung des 1-Elementes erzeugt. Folglich gilt Ad(g) = Id f¨ur alle g ∈ G. Da G zusammenh¨angend ist, folgt außerdem nach Satz 1.14, dass G= Ker Ad =Z(G), folglich ist die GruppeGabelsch.

Abschließend besch¨aftigen wir uns in diesem Abschnitt mit speziellen Skalar- produkten auf Lie-Algebren und den Eigenschaften der von ihnen erzeugten

Metriken auf den zugeh¨origen Lie-Gruppen. Dazu betrachten wir zun¨achst die sogenannte kanonische Form einer Lie-GruppeG- eine 1-Form aufG, die jeden Tangentialvektor anGdurch Linkstranslation in das 1-Element vonG verschiebt.

Definition 1.10.Sei Geine Lie-Gruppe mit der Lie-Algebrag. Die1-Form μ_G ∈Ω¹(G,g),⁶ definiert durch

(μG)g(Xg) :=dL_g−1(Xg)∈TeGg ∀ g∈G, Xg∈TgG,

heißt kanonische Form von G. Andere, h¨aufig benutzte Namen f¨ur μG sind Strukturform oder Maurer-Cartan-Form.

Die kanonische Form μG ordnet jedem linksinvarianten Vektorfeld X auf G den erzeugenden VektorX(e) zu, sie beschreibt also die Identifizierung vong mit T_eG.

Satz 1.15 Die kanonische Form μG von G hat die folgenden Invarianz- Eigenschaften bei Links- und Rechtstranslation:

L^∗_gμG=μG

R^∗_gμG= Ad(g⁻¹)◦μG f¨ur alle g∈G.

Beweis. Die Linksinvarianz folgt unmittelbar aus der Definition. Zum Nach- weis der 2. Formel w¨ahlen wirv∈T_aGundg∈Gund erhalten

(R^∗_gμG)a(v) = (μG)ag(dRg(v)) = dL_(ag)−1dRg(v)

=dL_g−1dR_gdL_a−1(v) = Ad(g⁻¹)(μ_G)_a(v).

Eine Metrikhauf einer Lie-Gruppe Gheißtlinksinvariant (bzw.rechtsinva- riant), wenn L^∗_gh=h(bzw.R^∗_gh=h) f¨ur alleg∈Ggilt. Isthsowohl links- als auch rechtsinvariant, so nennt manhbiinvariant. Aus jedem Skalarprodukt

·,·aufgerh¨alt man eine linksinvariante Metrikh_·,· durch

h_·,·(X, Y) :=μG(X), μG(Y), X, Y Vektorfelder aufG, oder mit anderen Worten durch

(h_·,·)g(v, w) :=dLg⁻¹v, dL_g−1w, g∈G, v, w∈TgG.

Andererseits ist f¨ur eine linksinvariante Metrik h auf G die Bilinearform h_e:T_eG×T_eG→Rein Skalarprodukt aufgT_eG. Die Menge der linksin- varianten Metriken auf einer Lie-GruppeGsteht also in bijektiver Beziehung zur Menge der Skalarprodukte auf ihrer Lie-Algebrag.

6 Ω^k(N, V) bezeichnet den Raum der glattenk-Formen auf der MannigfaltigkeitN mit Werten im VektorraumV. Leser, die mit diesem Begriff nicht vertraut sind, finden eine Erkl¨arung im Anhang A.2.

1.3 Die adjungierte Darstellung 19

Satz 1.16 SeiGeine Lie-Gruppe mit Lie-Algebragundheine linksinvarian- te Metrik aufG. Dann isthgenau dann biinvariant, wenn das zuhgeh¨orende Skalarprodukt he=:·,·Ad-invariant ist, d.h., wenn

Ad(g)v,Ad(g)w=v, w ∀ g∈G, v, w∈g.

Beweis. SeienX undY zwei Vektorfelder aufG. Wir erhalten mit Satz 1.15:

(R^∗_gh)(X, Y) =h(dR_g(X), dR_g(Y)) = μ_G(dR_g(X)), μ_G(dR_g(Y))

=Ad(g⁻¹)μG(X),Ad(g⁻¹)μG(Y).

Daraus folgt die Behauptung des Satzes.

Biinvariante Metriken auf Lie-Gruppen haben sehr sch¨one geometrische Ei- genschaften. Wir verweisen den mit Riemannscher Geometrie vertrauten Leser dazu auf die Aufgaben 1.7 und 1.8 am Ende des Kapitels. Abschließend ler- nen wir eine spezielle Ad-invariante Bilinearform auf Lie-Algebren kennen, die sogenannte Killing-Form, die sich auch als wichtiges Hilfsmittel f¨ur die Untersuchung der Struktur von Lie-Algebren erwiesen hat.

Definition 1.11.Sei g eine Lie-Algebra ¨uber dem K¨orper K. Die Bilinear- form

Bg: g×g −→K

(X, Y)−→Tr (ad(X)◦ad(Y))

heißt Killing-Form⁷vong. Dabei bezeichnetTrdie Spur des Endomorphismus.

Ist Geine Lie-Gruppe mit der Lie-Algebra g, so nennt manBg auch oft die Killing-Form vonG und bezeichnet sie mitBG:=Bg.

Die Killing-Form hat die folgenden Invarianz-Eigenschaften.

Satz 1.17 Sei G eine Lie-Gruppe mit der Lie-Algebra g und bezeichne Bg

die dazu geh¨orige Killing-Form. Des Weiteren seiσ:g→gein Lie-Algebren- Isomorphismus. Dann gilt

Bg(σ(X), σ(Y)) =Bg(X, Y) ∀ X, Y ∈g. (1.9) Insbesondere gilt f¨ur die adjungierten Darstellungen

Bg(Ad(g)X,Ad(g)Y) =Bg(X, Y), (1.10) Bg(ad(X)(Y), Z) +Bg(Y,ad(X)(Z)) = 0 (1.11) wobei g∈GundX, Y, Z∈g.

7 Der Name Killing-Form geht auf Wilhelm Karl Joseph Killing (10.05.1847–

11.02.1923) zur¨uck und hat demnach nichts mit Mord und Todschlag zu tun.

Beweis. Daσ([X, Y]) = [σX, σY] und ad(X)Y = [X, Y], folgt ad(σX)Y = [σX, Y] =σ([X, σ⁻¹Y]) =σ◦ad(X)(σ⁻¹(Y))

und somit ad(σX) = σ◦ad(X)◦σ⁻¹. F¨ur die Killing-Form erhalten wir daraus

B_g(σX, σY) = Tr(ad(σX)◦ad(σY))

= Tr(σ◦ad(X)◦ad(Y)◦σ⁻¹)

= Tr(ad(X)◦ad(Y))

=Bg(X, Y).

F¨ur jedesg∈Gist Ad(g) :g→g ein Isomorphismus der Lie-Algebra. Formel (1.10) ist also ein Spezialfall von (1.9). Die Formel (1.11) ist wegen Ad_∗= ad

eine Folgerung aus Satz 1.12.

Die in den folgenden Beispielen aufgef¨uhrten Formeln f¨ur die Killing-Form erh¨alt man durch direktes Nachrechnen.

Beispiel 1.4. IstGabelsch, so giltBg= 0.

Beispiel 1.5. F¨ur die Lie-Algebrag=gl(n,R) gilt

B_gl(n,R)(X, Y) = 2nTr(X◦Y)−2 Tr(X)·Tr(Y).

Beispiel 1.6. Seigeine Lie-Algebra. Einen Unterraumh⊂gmit [h,g]g⊂h nennt manIdealvong. Ein Ideal ist mit der Einschr¨ankung des Kommutators von goffensichtlich selbst eine Lie-Algebra.

Isth⊂gein Ideal, so gilt

Bg|h×h=Bh.

Als Anwendung erh¨alt man f¨ur die Lie-Algebra der spurfreien Matrizen sl(n,R) ={X∈gl(n,R)|Tr(X) = 0},

die ein Ideal ingl(n,R) bilden,

B_sl(n,R)(X, Y) = 2nTr(X◦Y).

Beispiel 1.7. Die Einschr¨ankungsregel aus dem letzten Beispiel gilt im Allgemeinen nicht. Betrachten wir zum Beispiel die Lie-Algebra der schief- symmetrischen Matrizen

so(n) ={X ∈gl(n,R)|X+X^t= 0}. so(n) ist kein Ideal ingl(n,R) und es gilt

B_so(n)(X, Y) = (n−2) Tr(X◦Y).

1.4 Lie-Untergruppen 21

Die Killing-Formen vonSL(n,R) (n≥2) bzw. vonSO(n) (n≥3) sind nicht- ausgeartet. Lie-Gruppen bzw. Lie-Algebren mit nicht-ausgearteter Killing- Form nennt man auch halbeinfach. Diese Klasse von Lie-Gruppen bzw. Lie- Algebren kann man vollst¨andig klassifizieren. Wir verweisen den interessierten Leser dazu auf B¨ucher ¨uber Lie-Gruppen-Theorie, z. B. auf [K96]. Insbesonde- re besitzen solche Lie-Gruppen eine von der Killing-Form erzeugte biinvariante semi-Riemannsche Einstein-Metrik (siehe Aufgabe 1.9).

Wir beweisen hier noch

Satz 1.18 Sei Geine kompakte Lie-Gruppe. Dann ist ihre Killing-Form ne- gativ semidefinit.

Beweis. Sei g die Lie-Algebra der kompakten Lie-Gruppe G und B_g ihre Killing-Form. Nach Satz 1.11 existiert auf g ein Ad(G)-invariantes Euklidi- sches Skalarprodukt·,·. Durch Differenzieren erh¨alt man

ad(X)Y, Z+Y,ad(X)Z= 0 ∀ X, Y, Z ∈g.

Sei X ∈ g und (Xij) die zu ad(X) geh¨orende Matrix bzgl. einer fixierten orthonormalen Basis in (g,·,·). Dann ist (Xij) schiefsymmetrisch und es gilt

Bg(X, X) = Tr

ad(X)◦ad(X)

= Tr

(Xij)◦(Xkl)

= n

j,k=1

XkjXjk = − n

j,k=1

X_kj² ≤ 0.

Insbesondere ist die Killing-Form jeder kompakten, halbeinfachen Lie-Gruppe negativ definit.

1.4 Lie-Untergruppen

In diesem Abschnitt betrachten wir Untergruppen von Lie-Gruppen. Wir ge- ben Kriterien daf¨ur an, dass eine (algebraische) Untergruppe einer Lie-Gruppe selbst eine Lie-Gruppe ist.

Definition 1.12.Es sei Geine Lie-Gruppe und(g,[·,·]g)eine Lie-Algebra.

1. Eine UntergruppeH ⊂Gheißt Lie-Untergruppe vonG, fallsH selbst eine Lie-Gruppe und die Inklusionsabbildung ι:H →G ein glatter Gruppen- homomorphismus ist. Insbesondere istH eine Untermannigfaltigkeit⁸ von G.

8 Zu dem hier benutzten Begriff der Untermannigfaltigkeit verweisen wir auf den Anhang A.3.