.⊂VL ⊂VL+1

Technische Universit¨at Graz SS 2021

Institut f¨ur Angewandte Mathematik Blatt 6

Univ.–Prof. Dr. O. Steinbach 8.6.2021

Dipl.–Ing. Mario Gobrial

Numerische Mathematik 3

23. Gegeben sei eine Folge von Ansatzr¨aumen

V0 ⊂V1 ⊂. . .⊂VL ⊂VL+1 ⊂. . .⊂L²(Ω) mit zugeordnetenL² Projektionen Q_k :L²(Ω) →V_k,

hQ_ku, v_ki_L²_(Ω)=hu, v_ki_L²_(Ω) f¨ur allev_k∈V_k. Man zeige

Q_kQ_j =Qmin{k,j}.

24. Man beweise das Lemma von Schur: F¨ur eine abz¨ahlbare Indexmenge I seien die Matrix A= (A[`, k])k,`∈I und der Vektoru= (u_k)k∈I gegeben. F¨ur beliebiges α∈R gilt

kAuk²₂ ≤

"

sup

`∈I

X

k∈I

|A[`, k]|2<sup>α(k−`)</sup>

# "

sup

k∈I

X

`∈I

|A[`, k]|2<sup>α(`−k)</sup>

# kuk²₂.

25. Seien Q_i, Q_j die in Aufgabe 23. erkl¨arten L² Projektionen. F¨ur v ∈ H¹(Ω) beweise man die versch¨arfte Cauchy–Schwarz Ungleichung

|h(Q_i−Q_i−1)v,(Q_j −Q_j−1)vi_H¹_(Ω)| ≤ c q^|i−j|k(Q_i−Q_i−1)vk_H¹_(Ω)k(Q_j −Q_j−1)vk_H¹_(Ω) f¨ur ein geeignet gew¨ahltesq < 1.

26. F¨ur das singul¨ar gest¨orte Randwertproblem (% >0)

−%∆u(x) +u(x) =f(x) f¨urx∈Ω, u(x) = 0 f¨urx∈∂Ω

leite man einen Vorkonditionierungsoperator B : H⁻¹(Ω) → H₀¹(Ω) her, welcher robust bez¨uglich %→0 ist.

Abgabe 6: F¨ur das Intervall Ω = (0,1) sei eine Folge gleichm¨assig verfeinerter Netze Ωh`</sub> mit der Maschenweite h<sub>` = 2−`</sup> gegeben. Diese seien rekursiv ausgehend von ei- nem Grobgitter Ω<sub>0</sub> mit h<sub>0</sub> = 1 definiert. Sei V<sub>h`</sub> der Ansatzraum der st¨uckweise linearen Basisfunktionen zum Netz Ωh`</sub>. F¨ur v<sub>h` ∈ Vh`</sub> ↔ v<sup>` ∈ RM`</sup> wird die Interpolierende v<sub>h`+1 =Ih`+1</sub>v<sub>h` ∈V<sub>h`+1</sub> ↔v<sup>`+1 ∈RM`+1 durch

v^{`+1</sup> =P<sub>`,`+1</sub>v<sup>`}

beschrieben. Bestimmen Sie die Anwendung der ProlongationsmatrizenP_`,`+1. F¨urL= 5 seiv_hL =I_hLv die Interpolierende von v(x) = sinπx,x∈(0,1). Man bestimme

v¹ =P_1,2^>P_2,3^>P_3,4^>P_4,5^>v⁵ und stelle das Ergebniss graphisch dar.