Einführung in Dynamische Systeme Vorlesung im Sommersemester 2010 Universität Hamburg Prof. Roland Gunesch

Einführung in Dynamische Systeme Vorlesung im Sommersemester 2010

Universität Hamburg

Prof. Roland Gunesch

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Prof. Roland Gunesch Büro 107, Geomatikum,

Bereich Dgl. und Dynamische Systeme Universität Hamburg

Bundesstr. 55 D-20146 Hamburg Tel. +49-40-428385988 Fax +49-40-428385117 Postanschrift:

Fachbereich Mathematik, Bereich DD Universität Hamburg

Bundesstr. 55 D-20146 Hamburg GERMANY

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Die aktuelle Version dieses Skripts findet sich hier:

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Skript/Gunesch-EinfDynSys-Skript.pdf

Danke für die Mithilfe bei diesem Skript an: Micha Grüber Skript-Version vom 18.07.2010

Inhaltsverzeichnis

Einleitung: Was sind dynamische Systeme? 1 Iteration und Differentialgleichungen 1

Grundbegriffe 3

Lösungen von Differentialgleichungen: Existenz, Eindeutigkeit,

Fortsetzbarkeit 5

Klassifikation von eindimensionalen autonomen DGL: 6

Kontraktionen 11

Irgendwann kontrahierende Abbildungen 12

Lineare Systeme 15

Abbildungen 16

Verhalten von linearen DGL, linearen Flüssen: du

dt = At. 17 Dynamik von Liebesaffären (Romeo und Julia) 19

Maßerhaltende Systeme 21

Dynamik auf dem Torus 25

Translationen auf dem Torus 25

Dynamik von rationalen Torus-Translation 25 Dynamik von irrationalen Torus-Translationen 26 Kriterium für Minimalität von Torus-Translationen 27 Hyperbolische Abbildungen auf dem Torus 30 Physikalische Systeme (theoretische Mechanik) 35

Newton-Systeme, klassische Mechanik 35

Lagrange-Gleichung und Variationsmethoden 36

Hamilton-Systeme 38

Mannigfaltigkeiten 41

Von Fluss zu Abbildung und zurück 45

Poincaré-Abbildungen 45

Suspensionen 46

Konjugation und Orbit-Äquivalenz 49

Hufeisen und Büroklammer 53

iii

INHALTSVERZEICHNIS

Symbolische Dynamik 57

Fraktale und Dimension 59

Selbstähnlichkeitsdimension 59

Hausdorff-Dimension 61

Box-Dimension 62

Dimensionsberechnung per Computer 63

Hyperbolische Dynamik 65

Motivation: Strecken und Stauchen 65

Motivation: Präzise Vorhersagen aus unpräzisen Daten 65

Tangentialraum, Tangentialbündel 65

Anosov-Diffeomorphismen 66

Hyperbolische Mengen, hyperbolische Abbildungen 67 Alternative Hyperbolizitätsbedingung, Lyapunov-Norm 69

Expandierende Abbildungen 69

Eigenschaften von hyperbolischen Mengen 69

Kegelbedingungen für Hyperbolizität 70

Stabile und instabile Mannigfaltigkeiten 70

ε-Pseudo-Orbits 72

Beschattung von Orbits 72

Topologische Entropie 75

Topologische Entropie von Abbildungen 75

Bowen-Metrik 75

Zählen von Überdeckungen 76

Topologische Entropie als exponentielle Wachstumsrate 76 Wieso heißt diese Entropie „topologisch“? 77 Eigenschaften der topologischen Entropie 79

Spannende und separierte Mengen 81

Topologische Entropie von Flüssen 82

Maß-theoretische Entropie 85

Motivation des Begriffes „Information“ 85

Bits 86

Partitionen eines Maßraums 86

Information und Entropie einer Partition 86 Verfeinerungen und maß-theoretische Entropie 87

Attraktoren 89

Definition(en) und elementare Eigenschaften 89

Bifurkationen 91

Krisen von Attraktoren 91

Literaturverzeichnis 93

Index 95

iv

Einleitung: Was sind dynamische Systeme?

Dynamische Systeme sind die Lehre von allen Dingen, die sich mit der Zeit ändern. Das beinhaltet das Universum, das Leben und den ganzen Rest. Folgendes sind typische Beispiele, die untersucht wer- den:

• Das Wetter,

• Planetensysteme,

• physikalische Pendel,

• Computersimulationen wie das „game of life“,

• Computer selbst,

• mathematische Iterationsverfahren, z.B. das Newton- Verfahren.

Iteration und Differentialgleichungen. Allgemein werden hier insbesondere folgende zwei wichtige mathematische Objekte behan- delt:

(1) Lösungen von Differentialgleichungen dx

dt = f(x), (2) Iteration von Abbildungen

f : X→ X, also

xn+1 = f(xn).

Hier werden einige typische Konzepte erklärt, z.B.

• Chaos,

• Ordnung,

• Vorhersagbarkeit,

• Stabilität und

• Instabilität,

• Attraktoren,

• Schmetterlingseffekt,

• Information und

• Entropie.

Dieser Text setzt die folgenden Vorkenntnisse voraus:

1

EINLEITUNG: WAS SIND DYNAMISCHE SYSTEME?

• Analysis

– Satz über implizite Funktionen – Differenzieren imRⁿ

– elementare Maßtheorie

• Lineare Algebra

– Konjugation und Äquivalenz von Matrizen – Jordan-Normalform

2

Grundbegriffe

DEFINITION. Für eine Abbildung f : X → X auf einer Menge X schreiben wir f² := _f ◦ _{f, f}³ _:= _f ◦ _f ◦ _f,

f^k := f ◦ · · · ◦ f (k-malige Verkettung von f).

Denn wir werden die k-malige Verkettung von Abbildungen oft brauchen, die Multiplikation von Werten dagegen selten (und für letztere kann man ohnehin problemlos f(_x)^k schreiben, da dies kaum mit f(x^k)zu verwechseln ist).

Wir nennen f^kauch die k-facheIterationvon f.

D^EFINITION. DasOrbitvonx∈ _Xeiner Abbildung f ist die Folge (x, f(x), f²(x), . . .) = (f^k(x))_k∈N0.

Dabei muss f nicht invertierbar sein; ist das aber der Fall, so ist f^k für alle k ∈ _Z definiert und wir können dasOrbit von x unter der invertierbaren Abbildung f definieren als

(f^k(x))_k∈Z.

In diesem Fall heißt(f^k(x))_k∈N0 daspositive Semiorbitvon xunter f.

Manche Leute sagen statt „das Orbit“ auch „der Orbit“.

DEFINITION. EinFixpunktvon f ist ein Punktx∈ Xmit f(x) = x.

Ein PunktxheißtperiodischmitPeriodek, wenn gilt f^k(x) = x.

Das ist offensichtlich genau dann der Fall, wennxein Fixpunkt von f^k ist. Es ist nicht nötig, dass k den kleinsten möglichen Wert hat;

wenn doch, heißtkdieminimale Periodevonx.

Es gilt also:

LEMMA. Wenn ein Punkt periodisch ist mit Periode k ∈ _N, dann auch mit l·k für alle l∈ _N.

DEFINITION. EinFlussϕauf einer MengeXist eine Abbildung X× R →X, (x,t) 7→ ϕt(x),so dass gilt:

3

GRUNDBEGRIFFE

• ϕ0=id,

• _{für alles,t}∈ _{Rgilt ϕs}◦_ϕt = _ϕs+t.

Üblicherweise wird gefordert, dassϕmindestensC¹ist (in(x,t), also beiden Variablen); in vielen Fällen ist ϕglatt. Sinn macht die Defini- tion auch, wenn ϕnurC⁰ist.

D^EFINITION. Für einen Fluss ϕ heißt ϕt die Zeit-t-Abbildung von ϕ.

L^EMMA. Wenn ϕ ein C^k-Fluss ist, dann ist für alle t ∈ _R die Zeit-t- Abbildung ϕt ein C-Diffeomorphismus.

B^EWEIS. ϕt ist invertierbar mit Umkehrabbildung ϕ−t, da ϕ−t ◦ ϕt = ϕ−t+t = ϕ0 =id . Mitϕist auchϕtundϕ−teineC^k-Abbildung.

Flüsse treten auf natürliche Weise auf, wenn wir Differentialglei- chungen untersuchen:

L^EMMA. Wenn ϕ ein C¹-Fluss ist, dann existiert eine Differential- gleichung _dt^d

_t=0u = f(u), so dass jedes Orbit (u(t))_t∈_R von ϕ die eindeutig bestimmte Lösungskurve des Anfangswertproblems der Differentialgleichung

d dt

_t=0

v(t) = f(v(t)), v(0) = u(0) ist.

B^EWEIS. Definiere f(x) := _dt^d

_t=0ϕt(x). Dies erfüllt per Kon-

struktion die Bedingung.

Die Umkehrung gilt mit Einschränkungen:

LEMMA. Wenn x˙ = f(x)eine Differentialgleichung auf dem Rⁿ ist mit der Eigenschaft, dass jede Lösung x = x(t) sich auf ganz R fortsetzen lässt, also für alle Zeiten t ∈ _Rdefiniert ist, dann können wir einen Fluss definieren durch

ϕt(x0) :=x(t),

wobei x =_x(_t)diejenige Lösung von x˙ = _f(_x)_{ist mit x}(₀) = _x0.

4

Lösungen von Differentialgleichungen: Existenz, Eindeutigkeit, Fortsetzbarkeit

Wir haben schon gesehen, wie Differentialgleichungen Flüsse pro- duzieren können. Hierzu ist es relevant, wie weit eine Lösung sich fortsetzen läßt. Eine Differentialgleichung, die globale Fortsetzbar- keit von Lösungen garantiert, produziert einen auf ganzRdefinier- ten Fluss.

T^HEOREM. Falls

f : U×I →_Rⁿ,U⊂_Rⁿ,I ⊂_R

stetig und in der ersten Variable lokal Lipschitz-stetig ist, dann gibt es für alle Anfangsdaten(u0,t0) ∈U×I eine (lokale) Lösung

u : (t0−δ,t0+δ)→U des Anfangswertproblems

du(t)

dt = f(u(t),t), u(t0) = u0.

Auf(t0−δ,t0+δ)ist u eindeutig. Es gibt eine Formel fürδals Funktion der Schranke von f , der Lipschitz-Schranke von f , und dem Abstand von (u₀,t₀)zum Rand der Menge U×I. Wobei

δ = ¹ 3min





∆ max

U×I

f, 1

L, 0.5 Breite von I



.

DEFINITION. Es gibt ein maximales Existenzintervall J = (a,b) ⊂ I, auf welchem eine Lösung u existiert, sodass kein Intervall J⁰ ⊃

6=

J,J⁰ ⊂ I, auch eine Lösung zuläßt.

L^EMMA. Am Rand des maximalen Existenzintervalls verlässt die Lösung jedes Kompaktum oder läuft auf den Rand von I. D.h. wenn J = (a,b)das maximale Existenzintervall ist und b ∈ I (b liegt also im Inneren von I) dann gibt es eine Folge

(ti)_i∈_N,ti ∈ (a,b), ti i→∞

−−→b, sodass

ku(t_i)k −−→^i→∞ _∞.

5

LÖSUNGEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN: EXISTENZ, EINDEUTIGKEIT, FORTSETZBARKEIT Analog für a ∈ I mit ti −→ a, ti ∈(a,b), sodassku(ti)k −→_∞.

BEWEIS. U×I ist kompakt. Wenn die Aussage falsch ist, bleibt ku(t_i)k beschränkt, also hat u(t_i) eine konvergente Teilfolge. Al- so konvergiert (u(t_i),t_i) ∈ U ×I ebenfalls entlang dieser Teilfol- ge. Wenn b im Inneren von I liegt, dann gibt es eine Umgebung (b−δ₁,b+δ₁)vonbinI, sodass aufU⁰×[b−δ₁,b+δ₁]f beschränkt ist, f eine globale Lipschitz-Schranke auf U⁰×[b−δ1,b+δ1]f hat und der Abstand von Punkten (v,τ) ∈ U⁰×[b−δ1,b+δ1]f zum Rand von U×I mindestens eine untere Schranke ∆1 > 0 ist. Dazu seiU⁰ eine beliebige offene Teilmenge vonU, die beschränkt ist und die den Häufungspunktu∗von(u(ti))_i∈_Nenthält. D.h.

(u∗,b) ∈U⁰×(b−δ1,b+δ1). Da

U⁰×(b−δ1,b+δ1) ⊂U×I, läßt sich das AWP

˙

u = f(u,t), u(b) =u∗

in einer Umgebung b−δ,b+δlösen. Also lässt sich die Lösung des AWP

˙

u= f(u,t), u(t0) =u0

fortsetzen. Widerspruch zur Maximalität von(a,b). Klassifikation von eindimensionalen autonomen DGL:.

D^EFINITION. Wenn die rechte Seite von f(u) einer DGL ˙u(t) = f(u(t)) nicht explizit vont abhängt, dann heißt die DGLautonom, ansonstennicht-autonom.

B^EMERKUNG. Implizit hängt f trotzdem von t ab, da u von t ab- hängt. D.h., wenn t 7→ u(t) eine Lösung der DGL ist, dann ist t7→ f(u(t))im Allgemeinen nicht konstant.

Frage: Gegeben f : R → _R, was ist das typische Verhalten von Lö- sungen der DGL ˙u = f(u)?

BEMERKUNG. Wenn wir für eint0 ∈_Rdie Lösungudes AWP [u˙ = f(u), u(t₀) =u₀

kennen, dann kennen wir für jedes t1∈ _{Rdie Lösungvdes AWP} [u˙ = f(u) u(t1) = u0 .

vist eine Verschiebung vonu, nämlich v(t) = u(t+t₀−t₁).

Denn d

dt(u(t+t0−t1)) = f(u(t+t0−t1)) = f(v(t)), 6

LÖSUNGEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN: EXISTENZ, EINDEUTIGKEIT, FORTSETZBARKEIT

also löst v die Gleichung ^dv_dt = _f(_v(_t))_{, und v} erfüllt die Anfangs- wertbedingung.

T^HEOREM. (Klassifikation des Langzeitverhaltens bei eindimensionalen autonomen DGL) Sei

f : R→_R

stetig und lokal Lipschitz-stetig. Dann gilt: Jede Lösung u : I → _R eines AWP

[u˙ = f(u), u(0) = u0

der autonomen DGL u˙ = f(u)hat die Eigenschaften:

Wenn f(u0) = 0ist, dann ist u ≡u0eine Lösung („Ruhelage“).

Wenn f(u0) > 0ist und rechts von u0 eine Nullstelle u1 von f existiert, dann konvergiert jede Lösung u des AWP [u˙ = f, u(0) =u0 gegen die erste Nullstelle rechts von u0.

Analog für f(u0) < 0: Jede Lösung konvergiert gegen die erste Nullstelle von links von u0.

T^HEOREM. Wenn u˙ = f(u,t)oder u˙ = f(u)eine Lipschitz-stetige und beschränkte rechte Seite f hat, dann gibt es zu allen Anfangsdaten(u0,t0) eine Lösung des AWP[u˙ = f(u), u(t0) =u0 auf einem Intervall dessen Breite nicht vom Punkt abhängt.

K^OROLLAR. Für (global) Lipschitz-stetiges und beschränktes f : Rⁿ × _R → _Rⁿ läßt sich jede Lösung von jedem AWP [u˙ = f(u,t), u(t₀) = u₀ auf ganzRfortsetzen.

Folgerung:

K^OROLLAR. Wenn f autonom ist, d.h. f : Rⁿ → _Rⁿ oder f : U → Rⁿ,U ⊂_Rⁿ, dann existiert ein Fluss aufRⁿ (bzw. auf U), der gegeben ist durch ϕ(u₀)_:=u(t), wobei u die (existierende, eindeutige) Lösung von

[u˙(t) = f(u(t)), u(0) = u0

ist.

B^EWEIS. Überprüfen der Flusseigenschaften:

(i) ϕ0(u0) = u(0), wobeiuLösung von[u˙ = f(u), u(0) = u0

ist.⇒ ϕ0(u0) =u0.

(ii) Zu zeigen: ϕs+t(u0) = ϕs(ϕt(u0)). Wenn ˜u die Lösung von [u˙˜ = f(u˜), u˜(0) = u0 ist und ˜˜u die Lösung von hu˙˜˜ = f(u˜˜), u˙˜˜(0) =u0. Wegen Eindeutigkeit der Lösung des AWP[u˙ = f(u), u(0) = u0, welches von ˜uund von ˜˜u gelöst wird, gilt Gleichheit der Lösungen. Deswegen gilt

ϕs+t(u₀) = ϕs(ϕt(u₀)). 7

LÖSUNGEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN: EXISTENZ, EINDEUTIGKEIT, FORTSETZBARKEIT

Frage: Warum ist es angenehmer, Flüsse zu studieren (statt zeitab- hängiger rechter Seiten von ˙u= f(u,t))?

Antworten: Erster Grund: Kein Divergieren „nach ∞“ in endlicher Zeit.

BEISPIEL. Beispiel ˙u = u². Lösungskurven divergieren in endlicher Zeit, d.h. ku(t)k → _∞ für t → t0 (wobei t0 von den Anfangsdaten abhängt).

Zweiter Grund: Lösungen spalten sich nicht auf.

B^EISPIEL. Beispiel ˙u = u²³. Hier können zwei verschiedene Lösun- gen lange Zeit übereinstimmen und sich dann trennen.

Konsequenz: Wenn wir Lösungen aufzeichnen, können wir auf die t-Koordinate verzichten, da sich Lösungen nicht kreuzen. (Bei Fix- punkten bzw. Ruhelagen gibt es scheinbare Kreuzungen. Dies sind aber in Wirklichkeit keine Kreuzungen, denn der „Kreuzungspunkt“

ist in Wirkichkeit eine Ruhelage und kann nicht überschritten wer- den.)

Allgemeine Frage: Wie verhalten sich Flüsse und deren Flusskur- ven? Welche „Grenzwertmengen“ sind möglich?

DEFINITION. Das Bild von t 7→ _ϕt(u₀), R → U heißt Flusskurve (durch u₀). Ein Diagramm, in dem die Menge U und alle Richtun- gen f(u0) = ^d

dt t=0

ϕt(u0)zu sehen ist, heißtVektorfeld-Diagramm.

Bemerke: Flüsse werden stets im Kontext von autonomen DGL be- trachtet. Das Diagramm, in dem Lösungen eingezeichnet sind, heißt Phasenportrait.

BEISPIEL. Beispiel eines Flusses mit periodischem Verhalten:

ϕt(x) =

cos(t) _sin(t)

−_sin(t) _cos(t)

·x, x ∈_R²oder

x∈ U =







y∈ _R²

kyk²

y²₁+y²₂

≤1





 .

Hier ist ϕperiodisch intmit (vonxunabhängiger) Periode 2π DEFINITION. xheißtperiodischer Punkt des Flusses ϕmitPeriode τ, wenn giltϕτ(x) =x.

BEMERKUNG. Bemerkung: Die Periode ist nicht eindeutig. Z.B. ist auchk·τ eine Periode für jedesk∈ _Z.

LÖSUNGEN VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN: EXISTENZ, EINDEUTIGKEIT, FORTSETZBARKEIT

D^EFINITION. Wenn es ein τ > 0 gibt mit ϕτ(x) = x und ϕτ(x) 6=

x∀_t∈ (0,τ), dann heißtτ dieminimale Periodevon x.

BEMERKUNG. Die minimale Periode ist eindeutig.

Analog für Abbildungen:

DEFINITION3.0.1. f : X →X.xheißtperiodischer Punkt(mitPeri- oden ∈ _{N) wenn} fⁿ(x) = x. Das kleinste solchen ∈ _N,n > 0 heißt minimale Periodevonx.

BEISPIEL 3.0.2. Beispiel für anziehendes periodisches Verhalten:

dθ

dt =1, dr

dt =r(1−r), wobei((r,θ)Polarkoordinaten inR²sind.

9

Kontraktionen

DEFINITION. Einmetrischer Raum ist eine Menge X und eine Ab- bildungd: X×X →_R, so dass für allex,y,z∈ Xgilt:

• d(x,y) =₀⇔ x=y,

• d(x,y) =d(y,x)_,

• d(x,y) ≤d(x,z) +d(y,z).

Daraus kann man die üblichen Folgerungen ziehen, wie z.B.

d(x,y) ≥ 0 (was oft überflüssigerweise in die Axiome geschrieben wird) usw.

D^EFINITION. SeiXein metrischer Raum. EineKontraktionaufXist eine Abbildung f : X →X, für die esc <1 gibt, so dass für allex,y inXgilt:

d(f(x), f(y)) ≤cd(x,y).

Wie schon aus Analysis 1 bekannt, ist dies viel stärker als die Bedin- gung d(f(x), f(y)) < cd(x,y), c ≤1.Es ist auch viel stärker als „für allex,yinXgibt esc <1, so dass giltd(f(x), f(y)) ≤cd(x,y)“.

Es gilt der Kontraktionssatz (auch Fixpunktsatz von Banach ge- nannt):

THEOREM4.0.3. Sei X vollständiger metrischer Raum, f Kontraktion auf X. Dann hat f einen eindeutigenFixpunkt, d.h. einen Punkt mit

f(x₀) = x₀.

Für allex ∈ Xgilt: fⁿ(x)konvergiert gegenx0fürn→∞. Es gilt die Abschätzung

d(fⁿx,x₀) ≤cⁿd(x,x₀).

THEOREM4.0.4. Wenn X eine kompakte Teilmenge desRⁿist, f : X→ X differenzierbar undkD fk <1auf ganz X gilt, dann ist f eine Kontraktion.

D^EFINITION. Die C¹-Norm einer differenzierbaren Funktion f : X →_Rⁿ mit DefinitionsbereichX ⊂_Rⁿ _ist

kfk_C1 :=sup

x∈X

kf(x)k+sup

x∈X

kD f(x)k. (Das ist endlich für Xkompakt und f ∈ C¹(X).)

KONTRAKTIONEN T^HEOREM 4.0.5. Wenn f : X → X eine Kontraktion eines metri- schen Raumes X ist, dann gibt es ε > 0, so dass jede Abbildung f mit˜

f − f^˜

C¹ <εauch eine Kontraktion ist.

Der Fixpunkt einer Kontraktion hängt stetig von Parametern ab:

THEOREM 4.0.6. Sei f : X×Y → X stetig, X ein vollständiger me- trischer Raum, Y ein beliebiger metrischer Raum, und für alle y ∈ Y sei fy := f(.,y) : x 7→ f(x,y) eineλ-Kontraktion. Dann hängt der (existie- rende und eindeutige) Fixpunkt g(y)der Abbildung fystetig von y ab.

BEWEIS. Es ist d(x,g(y))≤

∑

d

f_yⁱ(x), f_yⁱ⁺¹(x)≤ ¹

1−λd(x, fy(x)) und daher gilt fürx =g(y˜), dass

d(g(y)_,g(y˜))≤ ¹

1−λd g(y˜)_, fy(g(y˜))

= ¹

1−λd fy˜(g(y˜)), fy(g(y˜)),

was wegen der Stetigkeit von f beliebig klein wird für ˜y →y.

Irgendwann kontrahierende Abbildungen.

D^EFINITION. Eine Abbildung f : X → Xeines metrischen RaumsX heißt irgendwann kontrahierend, wenn es λ < 1 und C ∈ _Rgibt, so dass für allex,y ∈ _Xeinn0 ∈_Ngibt, so dass für allen>n0gilt:

d(fⁿ(x), fⁿ(y))<Cλⁿd(x,y).

Die Eigenschaft einer Abbildung, irgendwann kontrahierend zu sein, ist robuster als die Eigenschaft, kontrahierend zu sein. Zum Bei- spiel bleibt sie erhalten, wenn die Metrik sich „uniform ändert”:

DEFINITION. Die Metrikend und ˜d auf einer Menge X heißen uni- form äquivalent,wenn esc <_∞gibt, so dass für allex,y∈ Xgilt:

1

cd(x,y) <d^˜(x,y) <cd(x,y)_. Offensichtlich ist dies nur mitc ≥_{1 möglich.}

LEMMA4.0.7. Wenn f irgendwann kontrahierend ist bezüglich der Metrik d, und wennd eine andere Metrik ist, die zu d uniform äquivalent ist, dann˜ ist f auch bezüglichd irgendwann kontrahierend.˜

KONTRAKTIONEN

B^EWEIS. In der Notation der vorigen Definition gilt

d˜(fⁿ(x), fⁿ(y)) <cd(fⁿ(x), fⁿ(y))<cCλⁿd(x,y) <c²Cλⁿd˜(x,y). THEOREM 4.0.8. Sei(X,d)ein metrischer Raum. Eine irgendwann kon- trahierende Abbildung f : X → X ist uniform äquivalent zu einer Kon- traktion auf X. Das heißt, es gibt eine Metrik dL auf X, die zu d uniform äquivalent ist, so dass f bezüglich dL eine Kontraktion ist.

BEWEIS. Die Abbildung f erfüllt

d(fⁿ(x), fⁿ(y))<Cλⁿ

mit KonstantenC <_{∞, λ}<1. Wähleµ ∈ (λ, 1)undnso groß, dass C(λ/µ)ⁿ <1.

Definiere

d_L(x,y) :=

n−1 i

∑

µ⁻ⁱd(fⁱ(x), fⁱ(y)). Dann gilt

d_L(f(x), f(y)) =_µ

∑

µ⁻ⁱd(fⁱ(x), f^I(y))

=µ

n−1 i

∑

µ⁻ⁱd(fⁱ(x), f^I(y))−d(x,y) +µ⁻ⁿd(fⁿ(x), fⁿ(y))

!

=_µ

n−1 i

∑

µ⁻ⁱd(fⁱ(x), f^I(y))−d(x,y) +c(λ/µ)ⁿd(x,y)

!

≤µd_L(x,y).

D^EFINITION. Sei f eine irgendwann kontrahierende Abbildung mit d(fⁿ(x), fⁿ(y)) <Cλⁿ. Eine Metrik

dL(x,y) :=

n−1 i

∑

µ⁻ⁱd(fⁱ(x), fⁱ(y))

mit µ ∈ (λ, 1) und n so groß, dass C(λ/µ)ⁿ < 1, heißt eine Lyapunov-Metrik(auch:angepasste Metrik).

Es gibt mehr als eine Lyapunov-Metrik, daµundnfrei wählbar sind.

Oft wird auch der Falln=_∞betrachtet und ebenfalls als Lyapunov- Metrik bezeichnet.¹

1Für Lyapunov nehmen wir als Schreibweise die Standardtranskription ins englische Alphabet. Auch zu sehen sind die Schreibweisen Ljapunov, Liapunov, Liapunow, Liapunoff, ... sowie die einzig wirklich korrekte:

13

KONTRAKTIONEN

Lineare Systeme

Es gilt für eine lineare Abbildung A :Rⁿ →Rⁿ: Rⁿ =E^s⊕E^u⊕E⁰ mit

E^s =E^s(A) =E⁻ = ^M

|λ|<1,λ∈_R

E_λ⊕ ^M

|λ|<1,λ6∈_R

E_{λ, ¯λ}, E^u =E^u(A) = E⁺ = ^M

|λ|>1,λ∈R

E_λ⊕ ^M

|λ|>1,λ6∈R

E_{λ, ¯λ}, E⁰= E⁰(A) = E^c = ^M

|λ|=1,λ∈_R

Eλ⊕ ^M

|λ|=1,λ6∈_R

E_{λ, ¯λ}.

Für eine Matrix A ist die Einschränkung von A auf E^s irgendwann kontrahierend. Für alle δ>0 gibt es eine Normk.k_Lmit

kA|_E^sk_L <r(A|_E^s) +δ.

Wenn A invertierbar ist, so ist die Einschränkung von A⁻¹ auf E^u irgendwann kontrahierend. Für alle δ > 0 gibt es eine Norm k_.k_L mit

kAE^sk_L <r(A|_E^s) +δ, kA⁻_Eu¹k_L <r(A⁻_Eu¹) +δ.

k.k_L heißtLyapunov-Norm.

Analog gilt für eine lineare Differentialgleichung ˙x= Ax : Rⁿ =E^s⊕E^u⊕E⁰

mit

E^s =E^s(A) = E⁻ = ^M

λ<0,λ∈_R

E_λ⊕ ^M

Re(λ)<0,λ6∈_R

E_{λ, ¯λ}, E^u =E^u(A) = E⁺ = ^M

λ>0,λ∈_R

E_λ⊕ ^M

Re(λ)>0,λ6∈_R

E_{λ, ¯λ}, E⁰=E⁰(A) = E^c = ^M

λ=0,λ∈_R

E_λ⊕ ^M

Re(λ)=0,λ6∈_R

E_{λ, ¯λ}.

Für alle x0 ∈ E^s gilt: Die Lösung x(t) von ˙x = Ax, x(0) = x0 kon- vergiert gegen 0 fürt →_∞.

Für alle x₀ ∈ E^u gilt: Die Lösungx(t)von ˙x = Ax, x(0) = x₀kon- vergiert gegen 0 fürt → −_∞.

LINEARE SYSTEME Für allex₀ ∈ E⁰\ {0}gilt: Es gibt 0<C<∞, so dass die Lösungx(t) von ˙x = Ax, x(0) = x₀für allet ∈ _Rerfüllt, dass 1/C < ||x(t)|| <

C.

Abbildungen. Wir wissen: Orbits von f : x 7→ Ax, x ∈ _Rⁿ, A n×n Matrix über R verhalten sich wie folgt: Auf Eigenräumen mit Eigenwert λ ∈ (−1, 1)bzw. |_λ| < 1 konvergiert jedes Orbit ge- gen 0 (exponentiell), bei A invertierbar divergiert der rückwärtige Orbit (k.k → _∞) (auch exponentiell). Wir nennen dieses ein „sta- biles Verhalten“ auf einer Menge E^s . Umgekehrt für |λ| > 1: alle Orbits divergieren(k.k →_∞)und bei invertierbarem Akonvergiert das rückwärtige Orbit gegen 0. „instabiles Verhalten“ auf einer be- stimmten Menge E^u.

DEFINITION 5.0.9. Die stabile Menge E^s einer linearen Abbildung ist

E^s = ^M

|λ|<1 λ∈_R

Eλ⊕ ^M

|λ|<1 λ∈_C\_R

E_λ,λ

wobei E_λ= Eigenraum zu λundE_λ,λ = Eigenraum zuλundλ.

D^EFINITION. Dieinstabile MengeE^u einer linearen Abbildung ist E^u = ^M

|λ|>1 λ∈_R

E_λ⊕ ^M

|λ|>1 λ∈_C\_R

E_λ,λ

Die Matrix A heißt hyperbolisch für die Abbildung f : x 7→ _Ax, wenn A keinen Eigenwert vom Betrag 1 hat.

THEOREM 5.0.10. Wenn A hyperbolisch ist für f : x 7→ Ax, dann ist f|_Es eine Kontraktion und

∀x∈ E^s : fⁿ(x)ⁿ−→^→∞0.

Wenn A invertierbar ist, gilt auch

kfⁿ(x)k ⁿ−→^→−∞ _∞ für alle x ∈ E^s\{0}.

Es gilt sogar:

T^HEOREM5.0.11. Wennλmit|_λ| <1der maximale Eigenwert von A|_Es

ist, dann gibt es für alleδ >0eine Norm auf dem E^s, so dass f|_E^sin dieser Norm eine Kontraktion mit Kontraktionskonstante|_λ|+δist.

LINEARE SYSTEME

B^EWEIS. (Skizze) Die Matrix eines Jordan-Blocks





λ 1 0 . .. ...

0 λ



 lässt sich durch Konjugation mit









1 0

δ δ²

0 . ..







 umwandeln in die Matrix











λ δ 0

. .. ...

0 . .. δ

0 λ









 Es gilt dann in dieser Basis

kAvk =





J1 0

. ..

0 J_k



v

≤ |λ|kvk+δ.

Verhalten von linearen DGL, linearen Flüssen: du

dt = At.

B^EMERKUNG 5.0.12. Die DGL ˙u = _{λu u} ∈ R, hat Lösungen u(_t) = ce^λt mitc = u(0). Also ist die Abbildung u(0) 7→ u(1) bzw. u0 7→

ϕ₁(u0)(“Zeit-1-Abbildung vonϕ“) der DGL. ˙u=λudie Abbildung u₀7→ e^λu₀.

BEISPIEL5.0.13. Spezialfälle:Rⁿ mit n klein (Zeichnungen) (1) n=1: (Zeichnung)λ <0, λ>0 undλ=0

(2) n=2: A=

λ 0 0 λ

. Fall 1:λ·µ >0(λ6=µ) Fall 2:λ·µ <0

Fall 3:λ=µbzw.A =

λ 1 0 λ

Fall 4: A=ρ·

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

mit|ρ| 6=1 17

LINEARE SYSTEME Spezialfälle: 1·

cosθ sinθ

−sinθ cosθ

, z.B.

0 1

−1 0

. λ 0

0 0

(Zeichnung) (3) n=3 z.B.





λ 0 0 0 µ 0 0 0 υ



 mitλ <_µ<_ν <_{0 oder}





λ 0 0

0 ρcosθ ρsinθ 0 ρ(−sinθ) ρcosθ





mit λ·_ρ < _{0 etwa λ} > _0,ρ < 0. Analog für λ·_ρ > _{0 mit} λ<_ρ <0. (Zeichnung)

BEISPIEL5.0.14. Motivation zum Studium linearer Systeme: Beispiel aus der Modellierung:Harmonischer Oszillator(Zeichnung). Es gilt

m· ^d

2

dt²x=−_c·_x,

x ∈ _R, c > 0, m > 0. Um das System 2. Ordnung besser zu ver- stehen, reduzieren wir die DGL auf eine DGL 1. Ordnung: Definiere v=x. Damit haben wir das System˙

"

˙ x =v

˙

v=−^c mx .

Also d

dt xv

= 01−_m^c0

· xv (Zeichnung)

B^EMERKUNG 5.0.15. Wenn wir eine DGL höherer Ordnung haben, nämlich

dⁿ dtⁿx= f

x, ˙x, . . . , dⁿ⁻¹ dtⁿ⁻¹x

,

dann können wir sie in eine DGL erster Ordnung verwandeln. Defi- niere dazu:

x₁:= x,˙ x₂:= x˙₁, . . . , x_n−1= x˙_n−2.

Dann ist jede Lösung des Systems 1. Ordnung eine des Systemsn-ter Ordnung

x₁:= x,˙ x2:=x˙₁, . . . , xn−1= x˙n−2, f(x,x₁, . . . ,xn−1) = x˙n−1. Der „Preis“ besteht darin, dass wir jetzt eine n-dimensionale Glei- chung statt einer eindimensionalen untersuchen müssen, was aber

LINEARE SYSTEME

oft nicht schlimm ist. Wir können uns also (zumindest bei explizi- ten Differentialgleichungen) immer um Gleichungen erster Ordung kümmern.

Dynamik von Liebesaffären (Romeo und Julia). Beispiel zur Modellierung: Gegeben seien R(t)und J(t)∈ _R:

D^EFINITION 5.0.16. R = „Romeos Gefühle für Julia“, J = _„Julias Gefühle für Romeo“, jeweils zum Zeitpunktt∈ R, und die Dynamik

d dt

R(t) J(t)

=

a b c d

| {z }

reelle

2×2−Matrix

·

R(t) J(t)

.

BEISPIEL 5.0.17. Z.B. d

dtR = bJ, b > 0 und d

dtJ = cR, c < 0. Die Matrix ist

0 b c 0

. Die Eigenwerte sind rein imaginär.

(Zeichnung)

Anderer Fall: („vorsichtige Liebhaber“) a < 0, b > 0, und es gelte:

R˙ = aR+bJund ˙J =aJ+bR. Die Matrix ist dann a b

b a

. Deswegen sind die Eigenwerte: a+b, a−b

| {z }

<0

∈_R, und die Eigenvek- toren sind

1 1

und

−1 1

. (Zeichnungen)

Die Dynamik von Liebesaffären wird in den Übungsaufgaben noch genauer untersucht.

19

Maßerhaltende Systeme

Zunächst zur Wiederholung:

DEFINITION. Sei X eine Menge. Eine σ-Algebra A auf X ist eine Menge von Teilmengen vonXmit

• _∅ ∈ X,

• wenn A∈ A, dann auch X\A∈ A,

• wenn A_i ∈ Afür allei ∈ _N, dann auch^S_i∈NA_i ∈ A.

D^EFINITION. Sei nun X eine Menge und A eine σ-Algebra darauf.

EinMaßaufXist eine Abbildung

µ: A → [0,∞], so dass gilt:

• _µ(∅) = 0,

• _{für alle} A₁,A₂ ∈ A_giltµ(A₁∪A₂) ≤_µ(A₁) +_µ(A₂)_,

• _wenn A_i ∈ A_{für alle}i ∈_Nund A_i∩A_j=_{∅für alle}i,j∈ _N miti 6= j, dann giltµ(^S_i∈NA_i) = _∑i∈Nµ(A_i).

Es ist üblich zu sagen: „Sei X ein Maßraum”, obwohl µ und nicht X das Objekt ist, das die Information über das Maß enthält, damit auch über die zugehörigeσ-Algebra (was der Definitionsbereich des Maßes ist) und damit überX(was die Vereinigung aller Elemente in derσ-Algebra ist).

BEISPIEL 6.0.18. Lebesgue-Maß im Rⁿ (im folgenden Volumen ge- nannt, geschrieben vol).

D^EFINITION 6.0.19. Sei µ ein Maß auf X. Dann heißt eine bijektive Abbildung f : X →Xmaßerhaltend, wenn gilt:

µ(f(A)) =_µ(A) für alle A ∈ A.

Bei dieser Definition wird erstens die σ-Algebra A in den Voraus- setzungen gar nicht erwähnt; das ist korrekt, denn µ enthält diese ja schon als Definitionsbereich. Zweitens wird stillschweigend voraus- gesetzt, dass f dieσ-Algebra wieder auf sich abbildet. Das stimmt nicht für jede Abbildung und jede σ-Algebra. Für die Abbildungen

MASSERHALTENDE SYSTEME undσ-Algebren, die wir betrachten (z.B. stetige Abbildungen imRⁿ und Lebesgue), ist das aber immer erfüllt.

Diese Definition ist ein Spezialfall der folgenden:

DEFINITION. Sei µ ein Maß auf X. Dann heißt eine Abbildung f : X →Xmaßerhaltend, wenn gilt:

µ(f⁻¹(A)) =µ(A)

für alle A ∈ A. Wir sagen dann auch, das Maß µ seiinvariantunter f.

Gemäß dieser Definition ist die Abbildung

f : [0, 1) →[0, 1), f(x) = 2xmod 1 maßerhaltend für das Längenmaß (Lebesguemaß) aufR.

DEFINITION. DieJacobischebzw.Jacobi-Determinante einer diffe- renzierbaren Abbildung f : Rⁿ →_Rⁿ ist

J f :=_detD f.

THEOREM6.0.20. Eine differenzierbare Abbildung f : U →_Rⁿ, U ⊂_Rⁿ offen, ist volumenerhaltend genau dann, wenn

|detD f| ≡1 ist.

Aus der Definition für Abbildungen erhalten wir sofort eine für Flüs- se:

D^EFINITION. Ein Fluss ϕ auf einem Maßraum heißt maßerhaltend, wenn für jedes t ∈ _R die Abbildung ϕt maßerhaltend ist. D.h., für beliebiges A∈ Aistµ(ϕt(A))unabhängig vont.

THEOREM 6.0.21. Ein Fluss aufRⁿ (oder auf einer Teilmenge davon) ist volumenerhaltend genau dann, wenn das zugehörige Vektorfeld

f(x) := ^d

dtϕt(x)|_t=0

überall verschwindende Divergenz hat, d.h.

divf :=

∑

∂f_i

∂i

!

≡_0.

THEOREM6.0.22. (Poincaré-Rekurrenz) Seiµendliches Maß auf X und invariant unter f : X → X. Wenn A ⊂ X die Bedingung µ(A) > 0 erfüllt, dann gibt es n ∈ _Nmit

A∩ fⁿ(A) 6=_∅.

MASSERHALTENDE SYSTEME

D^EFINITION. Sei f : X →Xeine Abbildung (bzw. ϕein Fluss) aufX.

Ein Punktx ∈ _Xheißtpositiv rekurrent, wenn es eine Folge(tk)_k∈N gibt mit

f^tk(x) →x und t_k →+_∞ fürk→_∞ bzw. ϕt_k(x) → x und t_k →+_∞ fürk →_∞, wobei tk ∈ _N(bzw.tk ∈_Rfür einen Fluss).

Analog heißt ein Punkt x ∈ X unter einer invertierbarenAbbildung oder einem Flussnegativ rekurrent, wenn es eine Folge(t_k)_k∈Ngibt mit

f^tk(x) →x und t_k → −_∞ fürk→_∞ bzw. ϕt_k(x)→ x und tk → −_∞ fürk→_∞

mit tk ∈ −_{N (bzw. tk} ∈ R). Wenn ein Punkt positiv und negativ rekurrent ist, heißt errekurrent.

DEFINITION. Dieω-Limesmengeeines Punktesxist die Menge der Häufungspunkte des positiven Semiorbits f^N(x)bzw.ϕ^[0,∞)(x):

ω(x):={y: ∃(t_k)_k∈N : f^tk(x)→y, t_k →+_∞ fürk→_∞}

bzw. ω(x) :={y: ∃(t_k)_k∈N: ϕt_k(x) →y, t_k →+_∞ fürk→ _∞}

Die α-Limesmenge eines Punktes x ist die Menge der Häufungs- punkte des negativen Semiorbits f^−N(x)_bzw.ϕ^(−∞,0](x)_:

α(x) :={y: ∃(t_k)_k∈N: f^tk(x) →y, t_k → −_∞ fürk→_∞}

bzw. α(x):={y: ∃(tk)_k∈N : ϕt_k(x) →y, tk → −_∞ fürk→_∞}

LEMMA6.0.23. Es gilt:

• x ist positiv rekurrent⇐⇒x ∈ ω(x),

• x ist negativ rekurrent⇐⇒_x ∈ _α(x),

• x ist rekurrent⇐⇒ x ∈_ω(x)∩_α(x)_. Weiterhin gilt:

• Wenn das positive Semiorbit von x einen Limes y hat, dann ist ω(x) ={y}.

• Wenn das negative Semiorbit von x einen Limes y hat, dann ist α(x) = {y}.

T^HEOREM 6.0.24. Sei X ⊂ _Rⁿ oderTⁿ, vol(X) < _∞, f : X → X volumenerhaltend. Dann gilt: Für alle x ∈ X gibt es Folgen yk → x, mk →∞, so dass f^mk(yk) → _{x für k} →_∞.

B^EWEIS.

THEOREM 6.0.25. Sei X eine abgeschlossene Teilmenge von Rⁿ oderTⁿ, f : X → X volumenerhaltend und invertierbar. Dann ist die Menge der rekurrenten Punkte dicht in X.

23

MASSERHALTENDE SYSTEME

B^EWEIS.

Dynamik auf dem Torus

Translationen auf dem Torus.

D^EFINITION. Die Abbildung:

fγ :Tⁿ →_Tⁿ : [x]7→ [x+_γ] mit[γ] ∈_Tⁿ oderγ∈ _Rⁿ, d.h.















 x₁ x2

... xn















 7→















 x₁ x2

... xn







 +







 γ₁ γ2

... γn

















heißtTranslationauf dem n-Torus mit Translationsvektorγ.

Der einfachste Fall ist n=1. Die Abbildung ist dann einfach[x1] 7→

[x1+γ1]mit reellen Zahlenx1undγ1.

DEFINITION. Wir sagen,[γ]istrational, wennγrational ist. Ansons- ten heißt [γ]irrational.

Dynamik von rationalen Torus-Translation.

L^EMMA7.0.26. Wennγ = ^p_q,dann ist fγ periodisch mit Periode q, d.h.:

f^q([x]) = [x]∀_x.

B^EWEIS.

f^q([x]) =

x+ ^p

q +. . .+ ^p q

= [x+p] = [x].

DEFINITION. Eine Abbildung f : X → X auf einem metrischen Raum X heißt topologisch transitiv, wenn ein Orbit von f dicht in X ist. Ein Fluss ϕauf X heißttopologisch transitiv wenn ein Orbit von ϕ dicht in X ist. (Zur Wiederholung: A heißt dicht in B, wenn

A⊃B. )

DYNAMIK AUF DEM TORUS D^EFINITION. Die Abbildung: f : X → X (bzw. der Fluss ϕ auf X) heißt minimal, wenn jedes Orbit dicht ist. Es gilt: Wenn f (bzw. ϕ) minimal ist (und X nicht leer), dann ist f (bzw. ϕ) topologisch tran- sitiv.

Dynamik von irrationalen Torus-Translationen.

THEOREM 7.0.27. Wenn γ irrational ist, dann ist die Translation fγ auf T¹minimal.

BEWEIS. Angenommen, ein Orbit f^k(x)_k∈Z wäre nicht dicht.

Sei A der Abschluss davon. Dann ist das Komplement von A offen und nicht leer. Das Komplement besteht aus offenen Intervallen. Sei I ein größtes Intervall daraus. I ist fγ-invariant, d.h. fγ(I) = I. Der Rand dieses Intervalls wird für keink∈ _Zwieder auf den Rand von I abgebildet. Die beiden Randpunkte können beide nicht ins Innere abgebildet werden, denn sonst wäre I∪ f(I)ein größeres Intervall, in welches kein Punkt f^k([x])fällt. Wenn J = I∪ f(I) ein Intervall ist, dann gilt

f^k([x])∈/ I∀k ∈_Z, f^k([x])∈/ f(I)∀k∈ _Z.

Wäre f^k(I) = I für k ∈ _Z\{₀}, dann gelte k,γ ∈ _{Z, was fürγirra-} tional unmöglich ist. Der letzte Fall ist, dass f^k(I)und f^l(I)disjunkt sind für jedesk,l∈ _Z. Da alle diese Intervalle dieselbe (positive Län- ge) haben und Teilmenge vonS¹sind (Gesamtlänge endlich), ist das

ein Wiederspruch.

B^EMERKUNG7.0.28. Bein >1 gibt es noch mehr Möglichkeiten für Orbits als „periodisch“ und „dicht“: Bsp. Zeichung.

D^EFINITION. Die n Zahlen a1, . . . ,an heißen rational unabhängig, wenn aus

∑

λia_i =0

mit λi ∈ _Qfolgt, dassλ1 = λ2 = . . . = λn = 0. (Äquivalent dazu:

λi ∈_Q.)

L^EMMA7.0.29. Sei f : X → X Homöomorphismus. X kompakter metri- scher Raum (also abzählbare Basis der Topologie). Dann ist f topologisch transitiv genau dann wenn gilt:∀U,V ⊂X offen∃n ∈_Zmit

U∩ fⁿ(V) 6=_∅.

B^EWEIS. „⇒“ Sei das Orbit vonxdicht. Also∃_k∈ _{Zmit f}^k(_x) ∈ U und∃l ∈ _Zmit f^l(x) ∈ V. Deswegen ist p= f^k(x)ein Punkt mit

f^l−k(p)∈ V. Also istU∩ f^k−l(V)nicht leer.

DYNAMIK AUF DEM TORUS

„⇐“ Für alle Punktep,q ∈ Xund jedesε>0

∃n : Bε(p)∩ fⁿ(Bε(q)) 6=_∅.

Wähle zu jedemε>0 endlich vielepi, dieε-dicht sind. Es gibt einen Punkt, der alle pi bis aufεerreicht unter der Iteration von f. Es gibt mit demselben Argument ein Orbit, welches jedem Punkt in X ε-

nahe kommt∀_ε>0.

Kriterium für Minimalität von Torus-Translationen.

LEMMA 7.0.30. Auf jedem Raum mit unendlich vielen Punkten gilt für jede Abbildung:

Minimalität⇒topologische Transitivität⇒Die Abbildung ist nicht peri- odisch.

B^EWEIS. Wenn jedes Orbit dicht ist, dann existiert ein dichtes.

Das zeigt die erste Implikation. Die zweite folgt daraus, dass ein dichtes Orbit nicht periodisch sein kann, also die gesamte Abbildung

nicht periodisch ist.

T^HEOREM 7.0.31. Die Translation fγ auf Tⁿ ist minimal genau dann, wenn es keine Zahlen k1, . . . ,kn,K∈ _Zgibt mit

∑

=k_jγj =K

außer k₁ = _{. . .} = kn = ₀ (d.h. die Zahlen γ1, . . . ,γn, 1 sind rational unabhängig).

DEFINITION. Eine MengeUheißt fγ-invariantwenn fγ(U) =U

gilt. Dann gilt automatisch auch f^k(U) =Ufür alle k∈ _Z.

LEMMA 7.0.32. Die Abbildung fγ ist topologisch transitiv genau dann, wenn es keine zwei Mengen U,V ⊂_Tⁿgibt, die nichtleer und fγ-invariant sind, so dass U∩V =_∅.

BEWEIS. „⇐“ Angenommen fγ wäre nicht top. transitiv. Dann gäbe es offene Mengen U,V 6= _{∅, sodass} U ∩ f^k(V) = _{∅ für alle} k∈ _Z. Die Mengen

U˜ = ^[

k∈_Z

f_γ^k(U)

und V˜ = ^[

k∈_Z

f_γ^k(V)

sind offen (da f_γ^k(U) bzw. f_γ^k(V) offen), nichtleer (da f_γ⁰(U) bzw.

f_γ⁰(V)nichtleer) und fγ-invariant.

27

DYNAMIK AUF DEM TORUS

„⇒“Angenommen es gäbe U,V, die beide nichtleer, offen und in- variant sind, dann ist U∩ f_γ^k(V) = _{∅ wenn}U∩V = ∅, im Wider- spruch zur Aussage über top. Transitivität.

D^EFINITION. Eine Funktion F : Tⁿ → _R heißt fγ-invariant, wenn wenn F◦ fγ =Fist, d.h.

F(fγ([x])) = F([x])∀x ∈_Rⁿ.

L^EMMA 7.0.33. Die Abbildung fγ ist topologisch transitiv genau dann, wenn es keine stetige Funktion F : Tⁿ → _R gibt, die nicht konstant ist und die f_γ-invariant ist.

B^EWEIS. (Lemma) „⇒“ FürF : Tⁿ →_Rstetig ist für jedesc ∈ _R die Menge

Uc ={[x] ∈_Tⁿ |F([x])>c} und die Menge

Vc ={[x]∈ _Tⁿ |F([x])<c}

offen. Wenn F nicht konstant ist, dann ∃c ∈ (minF, maxF). Und dann sindUc undVc beide nichtleer. Wenn F außerdem fγ-invariant ist, sind auchUc undVc fγ-invariant.

„⇐“ Wenn U,V offen, nichtleer, invariant und disjunkt existieren, dann können wir eine stetige FunktionFfinden mitF|_U ≡0,F |_V ≡

1, die fγ-invariant ist.

BEWEIS. (Satz) „⇒“ Wenn die Zahlenγ₁, . . . ,γn, 1 nicht rational unabhängig sind, d.h.∃ k1, . . . ,kn,K ∈ _Zmit

∑

=k_jγj =K

mit(k₁, . . . ,kn,K) 6= (0, . . . , 0), dann definiere die FunktionF : Tⁿ → R,

F([x]) =sin 2π

∑

k_jx_j

! .

F ist wohldefiniert: sin 2π

∑

k_jx_j

!

ändert sich nicht, wenn ein x_i durch xi+1 ersetzt wird. Fist stetig und nicht konstant. Also ist fγ

nicht topologisch transitiv und somit auch nicht minimal.

„⇐“ Es seienγ₁, . . . ,γn, 1 rational unabhängig. Angenommen es gä- be eine Funktion F aufTⁿ, die stetig , invariant und nicht konstant ist. Es gibt dann eine Fourier-Reihe für F:

F(x₁, . . . ,xn) =

∑

(k₁,...,kn)∈_Zⁿ

a_k1,...,knexp(2πi(k₁x₁+_{. . .}+knxn))

DYNAMIK AUF DEM TORUS

WennFinvariant ist unter fγ, dann muss gelten F(x₁+γ₁, . . . ,xn+γn) = F(x₁, . . . ,xn), also

(k₁,...,k

∑

a_k1,...,knexp(2πi(k₁(x₁+γ₁) +. . .+kn(xn+γn)))

=

∑

(k₁,...,k_n)∈_Zⁿ

a_k1,...,knexp(2πi(k1x1+. . .+knxn))exp(2πi(k1γ1+. . .+knγn)) und deswegen gilt für alle(k₁, . . . ,kn) ∈_Zⁿ\ {(0, . . . , 0)}_{, dass}

exp(2πi(k₁x₁+_{. . .}+knxn))_exp(2πi(k₁γ1+_{. . .}+knγn)) =₁ oder

a_k1,...,kn =0.

Die Bedingung

exp(2πi(k1x1+. . .+knxn))exp(2πi(k1γ1+. . .+knγn)) =1 ist nur erfüllt für

k₁γ1+_{. . .}+knγn ∈_Z,

was wegen der rationalen Unabhängigkeit vonγ1, . . . ,γn, 1 unmög- lich ist. Also sind a_k1,...,kn alle 0 für (k1, . . . ,kn) 6= (0, . . . , 0). Deswe-

gen ist F (als L²-Funktion) konstant.

Die Translation f_γ : Tⁿ → _Tⁿ_, [x] 7→ [x+_γ] ist also genau dann minimal, wenn sie topologisch transitiv ist, und zwar genau dann, wenn die Zahlen γ1, . . . ,γn, 1 rational unabhängig sind (d.h. wenn aus

∑

k_jγj =K mit k₁, . . . ,kn,K ∈ _Z folgt, dass k₁ = k₂ = _{. . .} = kn =K =0).

DEFINITION. Der lineare Translationsfluss ϕ^γ aufTⁿ (mit mitγ =



 γ1

... γn



 ∈_Rⁿ) ist definiert durch

ϕ^γ_t ([x]) = [x+tγ].

T^HEOREM 7.0.34. Der lineare Translationsfluss ϕ^γ ist minimal genau dann, wenn die Zahlen γ1, . . . ,γn rational unabhängig sind, d.h. aus

∑

k_jγ_j =0mit



 k1

... kn



∈_Zⁿ folgt k₁=k2=. . . =kn =0.

BEMERKUNG7.0.35. Wenn ϕ^γnicht minimal ist, dann auch nicht to- pologisch transitiv.

29