1.1 Kontinuit¨ atsgleichung . . . . 2

Erg¨ anzungen zur Physik I

U. Straumann, 14. Dezember 2013 Physik - Institut Universit¨ at Z¨ urich

Inhaltsverzeichnis

1 Dynamik der Fluide 2

1.1 Kontinuit¨ atsgleichung . . . . 2

1.2 Bernoulligleichung . . . . 4

1.3 Innere Reibung . . . . 4

1.4 Die Navier-Stokes Gleichung . . . . 5

1.5 Helmholtzsche Wirbels¨ atze . . . . 7

1.6 Die Anatomie von Wirbeln . . . . 8

1.7 Potentialwirbel (Badewannenwirbel) . . . . 9

1 Dynamik der Fluide

1.1 Kontinuit¨ atsgleichung

Fluide sind Zust¨ ande von Materie in denen keine (Gase) oder nur sehr kleine Scherkr¨ afte (Fl¨ ussigkeiten) auftreten. Sie besitzen keine starre Form.

Die Bewegung der Massenelemente von Fluiden wird durch deren Geschwindigkeit dargestellt.

An jedem Ort im Raum besitzt das dortige Massenelement eine Geschwindigkeit. Sie h¨ angt vom Ort und Zeit ab und ist ¨ uberall definiert, sie stellt also ein Vektorfeld dar, das man die Str¨ omung nennt:

~ v(x, y, z, t) Stroemung als Vektorfeld (1) Die Str¨ omung heisst station¨ ar, wenn es keine explizite Zeitabh¨ angigkeit gibt:

∂~ v

∂t = 0 stationaere Stroemung (2)

Ein Teilchen (Massenelement), das sich mit der Str¨ omung mitbewegt, sieht eine andere Ge- schwindigkeitsabh¨ angigkeit als ein Beobachter, der an einer festen Stelle (x, y, z) misst. Wenn sich ein Teilchen um (dx, dy, dz) verschiebt, dann sieht es eine Ver¨ anderung

d~ v = ∂~ v

∂x dx + ∂~ v

∂y dy + ∂~ v

∂z dz + ∂~ v

∂t dt (3)

Dividieren wir diese Gleichung durch dt erhalten wir d~ v

dt = (grad ~ v) · ~ v + ∂~ v

∂t substantielle Ableitung (4)

Diese Gleichung ist komponentenweise zu verstehen, es gilt zum Beispiel dv

dt = grad v

· ~ v + ∂v

∂t (5)

Der Gradient ist ja eigentlich f¨ ur Skalarfelder definiert, und ergibt einen Vektor.

Stellen wir uns nun eine Fl¨ ache A in der (y,z)-Ebene vor, durch die das Vektorfeld str¨ omt. Aus den mathematischen Hilfsmitteln (Kap. 8.6., Fl¨ achenintegrale) wissen kennen wir schon

Φ = Z

A

~ v · dA ~ Fluss des Vektorfeldes (6)

Mit Massenfluss Q bezeichnen wir die Masse M des Fluides, die pro Zeiteinheit durch die Fl¨ ache A str¨ omt. Diese Masse hat in einem Quader mit Querschnitt A und L¨ ange dx = v · dt Platz. Es wird also

Q = dM

dt = ρ A dx

dt = ρ A v

(7)

Man definiert den Massenfluss pro Fl¨ ache

~j = Q

A = ρ ~ v Stromdichte (8)

Dies geht ganz analog f¨ ur andere Vektorfelder, wo etwas transportiert wird, zum Beispiel die elektrische Stromdichte.

Betrachten wir nun einen Quader mit Kantenl¨ angen dx, dy, dz, der mit seinen Kanten also parallel zu den Koordinatenachsen liegen soll. Wir wollen die gesamte Massenbilanz des Quaders aufstellen. Dazu m¨ ussen wir den Fluss durch alle 6 Seitenfl¨ achen des Quaders betrachten. Aus dem Quader hinausfliessende Masse f¨ uhrt zu einer Abnahme der Masse, hineinfliessende zu einer Zunahme. Die Summe der 6 Fl¨ usse durch die Seitenw¨ ande wird also

Q

= − X

~j · A ~ = − Z

A

~j · dA ~ (9)

Ist der Gesamtfluss verschieden von null, muss die Masse im Quader mit der Zeit entweder zu- oder abnehmen, und zwar gerade um den Massenfluss: Q

= ∂M/∂t. Die Massenbilanz ist also positiv oder negativ. Wenn die Massenbilanz positiv ist, erwarten wir anschaulich, dass die Dichte ρ innerhalb des Quaders zunimmt, da das Volumen ja konstant ist. In der Tat:

∂M

∂t = ∂

∂t Z

V

ρdV = Z

V

∂ρ

∂t dV (10)

Andererseits k¨ onnen wir auf das Volumen den Gauss’schen Satz anwenden (mathematische Hilfs- mittel, Kap 9.3 “Divergenz”). F¨ ur das Stromdichtefeld ~j (x, y, z, t) gilt demnach f¨ ur den Fluss durch die gesamte Oberfl¨ ache, also alle 6 Teilfl¨ achen

I

~j · dA ~ = Z

V

div ~j dV Satz von Gauss (11)

Durch Kombination der letzten drei Gleichungen ergibt sich sofort

∂ρ

∂t + div ~j = 0 Kontinuitaetsgleichung (12)

Die Kontinuit¨ atsgleichung gilt immer, auch f¨ ur nicht station¨ are Str¨ omungen und solche mit

Reibung. Dei einzige Annahme besteht darin, dass keine Masse verloren gehen darf.

1.2 Bernoulligleichung

Falls keine Reibung oder andere disssipativen Prozesse (solche bei denen Energie in W¨ arme verwandelt wird) vorkommen, ist die mechanische Energie erhalten. Die Energieerhaltung pro Volumeneinheit f¨ uhrt zu der Gleichung

p + ρ

2 v

+ ρgz = konst Bernoulligleichung (13) f¨ ur ein Fluid in einem Schwerefeld, das der z-Richtung entgegengesetzt ist. Herleitung und Anwendungen des Bernoulligleichung werden in der Hauptvorlesung besprochen.

1.3 Innere Reibung

Schon Newton hat festgestellt, dass die Effekte der Str¨ omungsreibung bei kleinen und grossen Geschwindigkeiten verschieden sind.

a) F¨ ur kleine Geschwindigkeiten ist die Viskosit¨ at η relevant, die die Reibungskraft aufgrund von Scherkr¨ aften bei laminaren Str¨ omungen beschreibt. F¨ ur eine homogene Str¨ omung senkrecht zur z-Richtung entsteht eine Scherspannung τ (Kraft pro Fl¨ acheneinheit)

τ = η dv

dz Newtonsches Reibungsgesetz (14)

F¨ ur eine Kugel vom Radius r, die von einem Fluid laminar umstr¨ omt wird, erh¨ alt man daraus die Reibungskraft R

R = 6π r η v Stokesche Reibung an einer Kugel (15) Eine weitere Anwendung ist der Massenfluss Q durch ein Rohr mit Radius R, Druckunterschied

∆p ¨ uber die Rohrl¨ ange l:

Q = πρ∆p

8ηl R

Hagen − Poiseuille (16)

b) F¨ ur grosse Geschwindigkeiten beobachten wir turbulente Str¨ omungen mit Wirbelbildung. Die Wirbel enthalten kinetische Energie, die Kraft R auf das umstr¨ omte Objekt mit Querschnitt A muss entsprechende Arbeit leisten. Die kinetische Energie pro Volumeneinheit betr¨ agt

v

, man macht deshalb den Ansatz

R = c

ρ

2 v

A Reibungskraft bei grossem v (17)

mit c

einer dimensionslosen Kennzahl, die nur von der Form des Objektes abh¨ angt (z.B. Kugel

c

= 0.22).

c) Das Kriterium von Reynold. Bei welchen Geschwindigkeiten liegt die Grenze zwischen “klein”

und “gross”? Das Kriterium von Reynold soll daf¨ ur einen Anhaltspunkt geben. Wir betrachten vorerst eine Kugel, die von einem Fluid umstr¨ omt wird. Bei kleinen Geschwindigkeiten dominiert der lineare Zusammenhang mit v, das Gesetz von Stokes (15), bei grossen Geschwindigkeiten uberwiegt der quadratische Term gem¨ ¨ ass (17).

v R

durch η

v

v

durch ρ bestimmt

bestimmt Stokes

Der Uebergang von laminar zu turbulent passiert in der N¨ ahe der kritischen Geschwindigkeit v

, bei dem die beiden Beitr¨ age gleich gross sind:

c

ρ

2 v

A = 6π r η v

(18)

Man definiert die dimensionslose Reynoldszahl Re mit Re = ρvr

η (19)

und stellt durch Umstellen von (18) fest, dass turbulente Str¨ omung f¨ ur Re > Re

= 12

c

(20)

eintritt. Dies nennt man das Reyonldskriterium. Die kritische Reynoldszahl 12/c

ist etwa 60 f¨ ur eine Kugel. F¨ ur Str¨ omungen in einem Rohr mit Radius r und mit glatten W¨ anden liegt die kritische Reynoldszahl bei etwa 2300.

Das Aehnlichkeitsgesetz nach Reynold besagt, dass zwei geometrisch ¨ ahnliche Anordnungen ver- schiedener Gr¨ osse genau dann die gleichen Str¨ omungsverh¨ altnisse zeigen, wenn sie die gleiche Reynoldszahl (19) aufweisen. Das ist zum Beispiel bei Messungen mit Modellen in einem Wind- kanal relevant.

Das Reynoldskrieterium gibt nur einen ungef¨ ahren Anhaltspunkt. In Praxis wird die Turbulenz

nicht immer bei der genau gleichen Reynoldszahl eintreten, sondern variieren. Zuf¨ allige kleine

St¨ orungen spielen f¨ ur den Einsatzpunkt der Turbulenz ebenfalls eine Rolle.

Um die Bewegungsgleichung zu bekommen, m¨ ussen wir das II. Newtonsche Prinzip anwenden, und daf¨ ur alle Kr¨ afte kennen.

Es wirken folgende Kr¨ afte auf dm

a) Der Druck. Es gibt nur einen Effekt, wenn der Druck auf der einen Seite von dm verschieden ist, gegen¨ uber der anderen. Die Kraft auf dm wird dann zum Beispiel auf eine Seitenfl¨ ache dA = dx · dy in z-Richtung F

= p(z) · dA. Die totale Kraft in z-Richtung setzt sich aus den beiden gegen¨ uberliegenden Seitenw¨ anden zusammen:

dF

= p(z)dA − p(z + dz)dA (21)

Machen wir das f¨ ur alle 3 Koordinatenrichtungen und dividieren durch das Volumen dV = dA·dz erkennen wir, dass die Druckkraft pro Volumeneinheit f ~

= d F /dV ~ gerade durch den negativen Gradienten des Druckes bestimmt wird.

f ~

= −grad p (22)

“Der Druck ist das Potential der Druckkraftdichte”.

b) Die Gewichtskraft. Allgemeiner nennt man eine Kraft, die nur vom Volumen abh¨ angt und nicht vom dynamischen Zustand des Fluides, eine Volumenkraft. Wir definieren die Volumen- kraftdichte zum Beispiel f¨ ur das Gewicht:

f ~

= G ~

V ol = ρ · ~ g (23)

c) Die viskose Reibung. Betrachten wir dazu eine laminare Str¨ omung, bei der eine Scheibe der Fl¨ ache dA, der Dicke dx und der Masse dm = ρ dA dx sich in z-Richtung mit der Geschwin- digkeit v

bewegt. Die Geschwindigkeit ¨ andere sich in x-Richtung gem¨ ass dem Newtonschen Reibungsgesetz, was infolge der Viskosit¨ at η zu einer Scherkraft F

in z-Richtung f¨ uhrt. Die Scherspannung ist definiert durch τ = dF

/dA, also die Kraft pro Fl¨ acheneinheit (¨ ahnlich wie Druck). Das Newtonsche Reibungsgesetz (14) lautet hier

τ = η dv

dx (24)

Die Kraft in z-Richtung auf die Scheibe wird

dF

= τ (x + dx) dA − τ (x) dA Dividieren durch dV = dA · dx ergibt die Kraftdichte

f

= ∂τ

∂x

Wir setzen das Newton’sche Reibungsgesetz ein und erhalten:

f

= η ∂

v

∂x

(25)

Macht man die gleiche Ueberlegungen in allen drei Raumrichtungen erh¨ alt man in Vektorschreib- weise

f ~

= η ∆~ v (26)

mit der Definition f¨ ur den Laplaceoperator:

∆v

= ∂

v

∂x

+ ∂

v

∂y

+ ∂

v

∂z

und ∆~ v = (∆v

, ∆v

, ∆v

) (27) Nun fassen wir alle drei Kraftdichten zusammen und erhalten die Bewegungsgleichung

ρ d~ v

dt = −grad p + ρ ~ g + η ∆~ v (28)

Das ist die Navier-Stokes Gleichung (hier in der Form f¨ ur inkompressible Fl¨ ussigkeiten, andern- falls muss man noch die Volumenviskosit¨ at ber¨ ucksichtigen).

Man beachte, dass es sich bei der Ableitung d~ v/dt um die substantielle Ableitung (4) handelt, also um die Ver¨ anderung, die das mitbewegte Teilchen sieht.

Die Navier-Stokes-Gleichung hat keine nichttrivialen analytischen L¨ osungen. Man muss nume- rische Methoden zur L¨ osung einsetzen.

Falls die innere Reibung vernachl¨ assigt werden kann (η = 0), wird die Navier-Stokes Gleichung zur Eulergleichung

ρ d~ v

dt = −grad p + ρ ~ g (29)

Beachte wiederum, dass es sich um die substantielle Ableitung handelt. Wollen wir die Ver¨ anderung der Str¨ omung an einem bestimmten, festen Ort wissen, m¨ ussen wir Gleichung (4) einsetzen, da- mit wird die Eulergleichung zu

ρ ∂~ v

∂t = −ρ(~ v · grad ~ v) − grad p + ρ ~ g (30) 1.5 Helmholtzsche Wirbels¨ atze

Aus der Eulerschen Gleichung (29) kann man im Prinzip die Helmholtzschen Wirbels¨ atze ablei- ten. Sie gelten f¨ ur reibungsfreie Fl¨ ussigkeiten. Unter Wirbelfaden verstehen wir die Linie die die Zentren der rotierenden Fl¨ achen verbindet. Die Helmholtzschen Wirbels¨ atze lauten:

(1) Im Inneren von Fluiden k¨ onnen Wirbel ¨ ortlich weder beginnen noch enden. Das heisst die Wirbelf¨ aden k¨ onnen nur an Oberfl¨ achen enden oder sind geschlossene Kurven.

Flugzeug

1.6 Die Anatomie von Wirbeln

Wir wollen nun die Anatomie von Wirbeln noch etwas genauer studieren:

Ein Wirbel in einem Fluid besteht im allgemeinen aus zwei Teilen, einem Wirbelkern und einem Zirkulationsgebiet.

Kern

Zirkulationsgebiet

Kern

Zirkulationsgebiet Zirkulationsgebiet

Im Innern eines Wirbels rotiert das Fluid fast wie ein fester K¨ orper. Das heisst es gilt

v = rω im Wirbelkern (31)

Weiter aussen muss die Geschwindigkeit wieder abnehmen, da der Wirbel schon aus Energie- gr¨ unden ¨ ortlich beschr¨ ankt sein muss. In erster N¨ aherung gilt

v = Γ

2πr im Zirkulationsgebiet (32)

Man definiert allgmein f¨ ur eine beliebige Str¨ omung die Zirkulation Z durch Z =

I

~ v · d~ s (33)

also als geschlossenes Linienintegral. Im Zirkulationsgebiet eines Wirbels wird die Zirkulation auf einem Kreis mit Radius r um das Zentrum des Wirbels also gerade Z = 2πrv = Γ.

Im Wirbelkern betr¨ agt die Zirkulation Z

= 2π r

ω.

F¨ ur eine beliebiges Vektorfeld ~ v(x, y, z) definiert man die Rotation durch rot ~ v = ( ∂v

∂y − ∂v

∂z , ∂v

∂z − ∂v

∂x , ∂v

∂x − ∂v

∂y ) (34)

Die Rotation erzeugt also aus einem Vektor wieder einen Vektor.

Zum Beispiel gilt in einem Wirbelkern ~ v = ω (−y~ e

+ x~ e

), woraus man sofort erh¨ alt rot~ v = (0, 0, 2ω). Die Rotation in einem Wirkbelkern ist also ¨ uberall konstant und zeigt in Richtung der Drehachse.

Im Vergleich mit der Zirkulation oben findet man f¨ ur den Wirbelkern den Zusammenhang

Z

= A (rot ~ v)

(35)

In der Tat gilt allgemein der Satz von Stokes (siehe mathematische Hilfsmittel, Kapitel 9.4

“Rotation”)

I

~ v · d~ s = Z

A

rot ~ v · d A ~ (36)

Falls die Rotation einer Str¨ omung verschwindet, rot ~ v = 0, nennt man die Str¨ omung eine Potentialstr¨ omung. Dies ist das Helmholtzkritierium. Es ist motiviert durch die Tatsache, dass die Rotation eines Gradientenfeldes immer null ist:

rot (grad φ) = 0 φ(x, y, z) = Skalarfeld (37) (Beweis durch Einsetzen der Definitionen) Das Str¨ omungsbild einer Potentialstr¨ omung l¨ asst sich also durch den Gradienten eines Potentialfeldes darstellen.

Eine Potentialstr¨ omung ist gewissermassen das Gegenteil eines Wirbels. Zum Beispiel besitzt eine homogene Str¨ omung in x-Richtung mit ~ v = (a, 0, 0) ein Potential φ = a · x, sodass ~ v = grad φ.

Aber auch der Zirkulationsbereich im ¨ ausseren eines Wirbels ist eine Potentialstr¨ omung. F¨ ur ein Potential φ = Γ · α/2π (mit α = Azimuthwinkel in der Rotationsebene) erh¨ alt man eine tangentiale Geschwindigkeit ~ v = grad φ mit Betrag v = Γ/2πr. (F¨ ur die Herleitung rechne den Gradienten in Polarkoordinaten aus).

Also, merke:

1. Eine Potentialstr¨ omung ist durch einen Gradienten darstellbar und ist immer wirbelfrei und die Zirkulation verschwindet (lokal) Z = 0.

2. Ein Wirbel mit Z 6= 0 besitzt eine nicht verschwindende Rotation und kann nicht durch einen Gradienten dargestellt werden.

In einer gegebenen Str¨ omung findet man die Zirkulation, in dem man um eine kleine Fl¨ ache herum ein gesschlossenes Integral H

~ v · d~ s ausrechnet.

Anschauung f¨ ur die Zirkulation: Die Zirkulation um eine kleine Fl¨ ache gibt an, wie stark die

Fl¨ ache im Lauf der Bewegung rotiert. Ist die Zirkulatoin null, beh¨ alt die Fl¨ ache ihre Ausrichtung,

ein kleiner Korkzapfen, der im Wasser schwimmt, ¨ andert seine Orientierung nicht. Wenn die

Zirkulation einen nicht verschwindenden Wert hat, dann rotiert die Fl¨ ussigkeit um den Zapfen,

Zirkulation verschwindet

Z = I

~ v · d~ s = 0 (38)

sofern das Wirbelzentrum durch diesen geschlossenen Weg nicht umschlossen wird.

Im gesamten Innern des Wirbels gilt v = Γ/2πr. Der Druck in der Fl¨ ussigkeit muss positiv sein, dort wo er null ist, befindet sich die Oberfl¨ ache. Die Oberfl¨ ache am inneren Rand des Wirbels bildet den “Wirbelstamm”.

Wir wollen die Form dieser Oberfl¨ ache berechnen. Wenn wir die innere Reibung vernachl¨ assigen, k¨ onnen wir das mit dem Gesetz von Bernoulli machen. Sei z die vertikale Achse, mit z

= 0 an der Oberfl¨ ache, wo p

= 0, und bei grossem Radius r

, wo v

= 0. Seien v

, r

, z

die Gr¨ ossen an der Oberfl¨ ache des Wirbelstammes, nach Definition ist p

= 0 und v

= Γ/2πr

. Die Bernoulligleichung f¨ ur den Vergleich von Ort (r

, z

) und Ort (r

, z

) wird:

0 + 0 + 0 = 0 + ρ

2 v

− ρgz

(39)

Nach Einsetzen von v

und Umsortieren erhalten wir die Gleichung f¨ ur die Form des Wirbel- stammes:

z

= Γ

8πg · 1

r

(40)

r

v